湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2024-2025学年高三下学期核心模拟（二）数学试卷

7.几何学史上有一个若名的米粉问题：“设点M,N是税角∠八QB的一边QM上 2024~2025学年高三核心模拟卷 的两点，试在边Q船上花一点P,使得∠M伊N最大“如图，其结论是：点P为过 M,N两点且和射城Q妇相切的图与射线QB的切点，权据以上结论解决以下问 可在平面直角坠标系xOy中，给定两点M(0,2),N(4,10),点P在上轴上移 数学 动，当∠MPN取最大值时，点P的机坐标是 A-6 县一4 注意事项： C4 D6 1本卷满分150分，黄优时网12知分钟。器题背，走得自己岭姓多，准考证号填写在优延幕和答题 卡上，并得津考证季条形妈格马在器题卡上的他定位里， &已知圆E号+芳-1(@>6>0)的左右热点分别为，店成A是E上的一点：底B是y结上的- 2选棒规纳作答，每小通瑞出茶聚后，用级相统把答题十上时应题日的答来格号海黑，可在议题 基，草偏纸和答题卡上的垂答题区城均无数， 点，且F,=0,B=4PA,则E的离心米为 3,非越择题的作答：用器字是直径多在多题卡上对立的暑超区城内，写在饮题喜，草临镇和茶班卡 上的非馨题区媛均无处， A &子 c 号 七者议情桌后，清将木议道基和答题十一并上交 二，进择题：本服共3小题，每小题6分，共8分。在每小超输出的选项中，有多项符合是日菱求。全包 一，选语题：本觅共8小易，每小短5分，我40分。在每小质拾出的西个选项中，只有一项是符合题日面 选时的得香分，品分法对的得都分分，有选量的得0分。 求的。 .已知一随数据：27,37.14.33.47,26.24.18,3药，若去掉14和47，别剩下的数漏与原数据烟比，下列说 ，已知能合A一4长2当小，则A的子集的个数为 达正确的是 A中位数不交 B平均数不变 A7 B8 C.15 D16 C方妻不变 D,第40百分位数不变 含已知友数=a十1(a>0,∈我)，且满足2=3脑则= A5-41 B4-相 已免器数化一予6[-一]，则下列说法正销的是 C5+4i D.+4i A(x)的图象关于y轴对称 且f红恰有3个零点 3已知内量a,6满足=4，-，且(e+2b)⊥b,则a与约夹角为 C:)在[一晋0]上单迷端 D:)的最大值大于号 A香 肽骨 c臀 n管 1L.在校长为1的王方体ABCD-AB,CD中，点E最棱DC的中点，点P调足1正一A+uA市，其 4.在△ABC中，内角A,B.C的对边分剩为ab,c,聊d十="悬“mA十simB-1的 中A∈[0,1]∈〔0,1]，喇下列说法正确的是 A充分不必登条件 B必要不充分条州 A存在点P,使得平面PBD∥平面B品1D,C C充要条作 D既不党分又不必要条件 B若A+=1,粥IPB一|PE的量小值为】 5.已知两数/z)-|ln(2+-x)川.则不等式f(2x)>f1一x)的解架是 C著一专则三检维P-A,品D外接球的表置积的最小值为2 (-o,-1U(片4∞ (1】 D若∠EPD-∠BPA,则点P的转述长度为青、 c(仔+m n(-e,》 三，填空愿：本题共3小，每小题5分，共15分， 6国庆长假期同，某社区组织看望圆守老人活动，现安排小张，小胡等8名杜区工作者去看望甲，乙，两， 12,某工厂为研究某种产品的产量x电》与所活某种原材料的质量y(纯)的相关性，在生产过程中收集5 丁这图位图守老人社区决定两名社区工作者看望一位老人，考虑到社区工作者与老人住址而离同愿， 组对症数据(y》,如表所希 不安排小张君限老人甲，不变排小湖者望老人乙，需不同的安推方法共有 3456T A1350种 且1440种 C1620种 D.1500种 根据表中数站，得出y关于x的经验回归方程为少一0.85x一0，药，则表中四的植为 1已知数列a满足a1=1.2a一a,十em4=0NneN)则+++…+1- 1条（术小题清分17分） 41的 d 14.已知能物线y产一8x的患点为F,进点P(一2,0)的直线4与抛物线交于M,N两点，且∠MFN= 已每双由线C子-希=1(a0,6>0)的下，上限点分别为A@,-2)A0,2,点P为C的上支 ∠PFN,则MF- 上异于顶点的一点，且直线PA,与直线PA:的斜率之积为号 四.解题：本题共5小盟，共7刀分。解答应写出文字说明，证明试程安演算步课。 15,(本小题蜡分3分) (1求C的方程 最尚随密卷是中国传统的手工艺品之一，因产于江西窄凳锡镇面御名，景箱随绕器以其前美的工艺， (2)已知直线PA与直线y-1交于点M,直线MA:与C的上支交于另外一点N. ①试判断直线PN是香过定点？若过定点，求出该定点坐标：否则，请说明理由： 塑特的风格和充质悬的品质莲得名于世，景整硝空器约历史可以追测到唐代，经过宋，元，明，清整侧 ②记△A:LM和△PMN外接图的面积分别为S1,S,且S-16S,求直线PN的方程， 代的发限，逐渐形成了独转的风格，景御镇空器的制作过程事常复杂，需要经过多道工序，包桥制坯， 彩检.烧等，其中，彩绘是最能慎党器的一大特色，采用的是慢统的箱下彩和鞋上影找法，色套解施， 阳案精美，最设景能馆的肾花登烧制开密后经检股分为成品和废品两类，现有青花变10个，其中5个 由工匠甲绕材，3个由工罪乙烧制，2个由工正丙烧制，甲、乙、丙这三人烧制青花烧的成品率依欢为 05.0.8,0.9 (自)若从这10个青花整中任取1个，求取出的青花变是成品的辰串： (2)若每作青花瓷成品的收人为0元，每件青花烧废品的收入为0兄，记库机变量X为乙烧制的这 3个青花袋的总收人，求X的分布列及数学期望. 1(本小题璃分17分) 设函数(：)的异函数为广(x),若引了(x)11对任意的x∈D恒成文，别称函数f(x)为区到D上 的一阶有界函数” 1低《本小题调分15分) (1判断两数()一2co受+1和g)=是香为R上的一阶有界函数"并说明理由 在△A5C中，内角A,B.C的对边分别为a,e,且A-生C (2)若函数(x)为R上的一阶有界函数”，且f(x)在R上单调通培，授M,N为西数f(x)图象上 十 相异的两点，记直线MW的斜率为青，求证：01： (1若a'=e,且△ABC的面积W5,求△ABC的满长 (a》著函数fx》-+ax(2-)一2+x+a2为区间[0,1]上的”一阶有界函数”，求a的取值 2若D为线段BC长线上一点.且BA⊥AD,BD=CD,求in∠ACD 花国 17.(本小墨裤分15分) 如图，在五霞体ABCDEF中，∠ADC=0”,AB=3,AE-DE-DC-2E下-2，EF∥平面ADCD,平 面ADE⊥平面ABCD.点G是线段BF上的一点 (1)求证：四边形ACD是样形 20若二直角B-DC-F的大小为号.直线DG与平蚕FBC所成角的 正弦值为区，求DG的值2024~2025学年高三核心模拟卷（二) 数学参考答案 1.B由题意知，A={x∈Z当<0=《-2，-1,01，可知A有3个元素，所以A的子集个数为2=8.故选B a2-=0, a=4,fa=-4, 2.D由题意，得g2=(a十bi)2=a-6+2abi=32i,所以 解得 或 又a>0,所以g=4十4i,故 12ab=32, b=4b=-4. 选D. 3.D因为(a+2b)⊥b,所以(a十2b)·b=0,即a·b+2b=a·b十2×(3)2=0，所以a·b=-6,所以cos(a,b)= 治-号又0<a≤，则a与b的夹角为浮放选D a·b 4.A若a+=2,则C-受，所以B=产-A,所以sinB=sim(变-A)=cosA,所以simA十sinB=simA+cosA= 1,所以“a2+6=c2”是“simA+simB=1"的充分条件；当sinA+simB=1时，取A=,B=变十受=A+受，此时满 足sirA+irB=sin叠十cos叠-l,但C-夸≠受，即a+≠c,所以“a2+B=e”不是“simA十simB=1”的必要 条件.综上，“a十仔=c2”是“simA十sinB=1”的充分不必要条件.故选A 5.A因为f(-x)=ln(/x+I+x)=-n(+I-x)=ln(x+T-x)=f(x),所以f(x)为偶函 数，且当x≥0时，f(x)=ln(/+i-x)|=|n(2+百+x)|=n(x+百+x),又y=x2+1在[0，+∞)上 单调递增，所以y=√T+T在[0，十∞)上单调递增，又y=x在[0，十∞)上单调递增，由复合函数的单调性，y= ln(√/+I+x)在[0，+∞)上单调递增，由f(2x)>f(1-x),得f(|2x|)>f(|1-x|),所以|2x|>|1-x|, 解得>号或x<-1,即不等式f(2x)>f1-x)的解集是(-9，-1DU(分，十∞).故选A 6.B8名社区工作者看望四位老人，每两位社区工作者看望一位老人共有C8CC=2520种安排方法，其中小张看望老 人甲的情况有CCC臂=630种：小胡看望老人乙的情况有CCC=630种：小张看望老人甲，同时小胡看望老人乙的情 况有CCC号=180种，所以符合题意的安排方法有2520一630一630+180=1440种.故选B. 7.C由题意知，点P为过M,N两点且和x轴相切的圆与x轴的切点，已知M(0,2),N(4,10),则线段MV的中点坐标 为(2.6).直线MN的斜*为kw=9号=2，线段MN的垂直平分线方程为y一6=-：一2》，即y=-名r+7.所 以以线段MN为弦的圆的圆心在直线y=一之x十7上，所以可设圆心坐标为C(a,7一a）,又因为圆与x轴相切，所 以圆C的半径r=7-7a又因为1CM1=r,所以(a-0)+(7-a-2)'=(7-2a)',解得a=4或a=-6,即 切点分别为P(4,0)和P(一6,0)，两圆半径分别为5,10.由于圆上以线段MN(定长)为弦所对的圆周角会随着半径 增大而圆周角角度减小，且过点M,N,P的圆的半径比过M,N,P的圆的半径大，所以∠MP'N<∠MPN,故点 P(4,0)为所求，所以当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是4.故选C. 8.C设|F2A|=m,因为B下=4FA,所以|BF,|=4m,AB=5m,由对称性可得|F,Bl= 4m,又FA.FB=0,所以F1A⊥FB,所以|FA=√/(5m)-(4m)F=3m,cos∠FBA ==专又R,A+FA=2a,所以m=2a,EBl=BE=2a,又RFl= 2,所以由余弦定理os∠F,BA=FB十B那2EEL上_2a)+(2a)-(2c 2FBBF 2·2a·2a 一号，所以2如=5示，所以E的离心率e=舌=故选C 5 9.AD将原数据按从小到大的顺序排列为14,18,24,26,27,33,35,37,47，其中位数为27，平均数为 (14+18+24+26+27+33+35+37+47)÷9=29,方差是号×[(-15)2+(-11)2+(-5)2+(-3)2+(-2)2+4+ 6+8+18]=8,由40%×9=3.6，得原数据的第40百分位数是第4个数26，若去掉14和47，得到新的一组数据 为：18,24,26,27,33,35,37，其中位数为27，平均数是(18+24+26+27+3+35+37)÷7-290，方差是号× [(-号)°+(-号)+(-9)+(-》+（學）广+（停）+（学）门=1，由40%×7=2.8得新数据的第40 百分位数是第3个数26，故中位数和第40百分位数不变，平均数与方差改变，故A,D正确，B,C错误.故选AD 10CD-)=0升=一盟千=-，所以/)为奇函数，放A错误：令)=0，得血=0，解得x= 一元或x=0或x=x,所以f(x)恰有3个零点，故B正确：由了(x)=十D血2匹，令g(r) (x2+1)9 (x+1)cosx-sinx·2.xr,则g'(x)=2 rcos r-(x2+1)sinx-2sinx-2.xcos r=-(x2+3)sinx,当x∈(0，x]时，可 得sinx0,所以g(x)≤0，g(x)单调递减：当x∈[-π，0)时，可得sinx≤0，所以g(x)≥0，g(x)单调递增，由 gx)=-(+1<0,g(-x)=-(+1D<0且g(-吾)=号(+1-受)-号x-40>0,s(任）-号x-4 >0,可得g(年)g(x)<0,g(-年)g(-x)<0,所以存在m∈（-元，-于)∈（至，x),使得g(m)=0,g() =0,当x∈[-元，)时，g(x)<0,可得f(x)<0,f(x)单调递减：当x∈(，)时，g(x)>0,可得(x)>0, f(x)单调递增：当x∈(2，x]时，g(x)<0,可得(x)<0,f(x)单调递减，故C正确：又∫(x)=f(x)> sin()】 -导放D正确，放连n 2 11.ACD在正方体ABCD-ABCD,中，BD∥BD,BD过平面BDC,BD1C平面BDC,所以BD∥平面BDC, 同理可得DA1∥平面BDC,又DA∩DB=D,DA1,DBC平面DBA1,所以平面DBA1∥平面BDC,所以当A=1, μ=0，即点P与点A重合时，平面PBD∥平面BD,C,故A正确：若A+=1,则AP=AAA+uAD=AAA+ (1-A)AD=ADA+AD.所以D求-=ADA,即点P在线段DA1上，当点P位于点D时，|PB|-|PEI=|DB| 1DE=厄-弓<1，放B错误：分别取AA,DD,的中点G,H,若入=，则点P在线段GH上，又△PAD的外接圆 AD 的半径=2sn之APD=2inZA,PD,义AB1平面PD,A,设三棱锥P-ABD的外接球的半径为R,所以 R=√P+(学)-√mZ∠APD十子≥√一+子-号当且仅当P为线段GH的中点时，等号成立，所以三 棱锥P-A,BD,外接球的表面积的最小值为4x×(号）=2x,放C正确：若∠EPD=∠BPA,又△PAB与△PDE均 为直角三角形，所以△PABn△PDE,所以别-沿-2在正方形ADDA中，以A为个 原点，AD、AA分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0,1),D(1,1),设A D √(x-1)+(y-1)2 =2,整理得(x-号)'+(y一1)=号，所以点P 在侧面AMDD内的轨迹为以F(停，1)为圆心，以号为半径的MN,所以DF=子， IFN=号，在△FDN中.s∠DFN=P=子，所以∠MFN=∠DFN=吾所以N=号·号=号x,放D正 确.故选ACD. 12.4.5由题意知x=3十4+5+6土7=5，y=25十3+4士m士6=m+5.5,由样本中心点必在回归方程所对应的直线 5 上得m+15.5=0.85X5-0.25,解得m=4.5. 5 1这02因为a=1,2a-a十aa1=0m∈N).所以2=2·+1.即十1=2(2+1).面+1=2.所以数 列士十1是以2为首项，2为公比的等比数列，所以止+1=，所以士=2-1，所以+品+十…+=2-1 +2-1+2-1++2°-1=2X,2】-8=502. 1-2 14.8由题意得，F(2,0),显然直线1的斜率不为0，设直线1的方程为x=my一2，不妨 1y2=8.x, 设m>0,由 得y2-8my十16=0，易得△=64一64>0，设M(xy), x=my-2 N(x,边)，则y>0,为>0，则为+为=8,1为=16，所以|MN|=√1+m· y一为l,PN=十m·=+·均，由正弦定理得P sin∠PNF= eN周为∠FN=∠PFN∠PNF+∠NF= 所以>-别即.为产 /个+m·wL= 2,又|MF=+2=y1一2+2=my,所以 4 兰。，即m为=4一4=4y十)一4，即16m=46m-64,解得m=25,则为十为= 1y一2 3 =16,解得=45，所以1MF=m=25X45=& 16/3 3 15.解：(1)记事件A,为“取出的青花瓷是甲烧制的”，事件A2为“取出的青花瓷是乙烧制的”， 事件A为“取出的青花瓷是丙烧制的”，设事件B为“取出的青花瓷是成品”， 则PA)=是-7PA)=0PA)=是=号，P(B1A)=0.5PB1A)=0.8,P(B1A)=0.9, P(B)=P(A:)P(B A)+P(A)P(B A:)+P(A)P(B A3) =0.5X0.5十0.3X0.8十0.2X0.9=0.67.…6分 (2)X的所有可能取值为0,600,1200,1800， …7分 所以PX=0)=(1-吉)广=zPX=60o)=C(侍)广'(1-吉)广=贵 PX=120)=G(告)广(1-号)= PX=180)=(停)广'=赏： 所以X的分布列为： X 0 600 1200 1800 西 12 64 125 125 …10分 所以EX)=0×房+60X贵+120×绕+180×离=14c …13分 16,解：1)因为oA_sB什asC,由正弦定理得0A-0sB士0sS, 6+c sin A sin B+sin C' 所以sin Acos B+sin Acos C-=sin Bcos A+sin Ccos A, 所以sin Acos B-cos Asin B=sin Ccos A-cos Csin A,即sin(A-B)=sin(C-A), 所以C-B=《舍)或B+C=2A,放元一A=2A,解得A= ,……4分 由余弦定理得a=6+c2-2 bxccos A=+c2-bc,又a2=bc, 所以+2-b=x,即(b-c)”=0,所以b=c, …6分 所以Sx=mA-县=5，解得a=h=c=2, 4 所以△ABC的周长为a十b十c=6. …8分 (2)设∠ACB=0,且BC=2CD,在△ACD中，由正弦定理得CD AC sim吾im(0-吾） 在△ACB中，由正弦定理得BC AC .…10分 sin(0+） sim(叶） 1 所 2c0s0 sim(吾） 2 13分 号sn0-ws0 2 解得am0=33,所以sin0=3@,所以sn∠ACD=sin(x-0D=sing=3四 14 14 …15分 17.(I)证明：在五面体ABCDEF中，因为EF∥平面ABCD,EFC平面CDEF 平面ABCD∩平面CDEF=CD,所以CD∥EF, …4分 同理可证AB∥EF,… ……5分 所以CD∥AB且AB=3,CD=2,所以四边形ABCD是梯形. 6分 (2)解：取AD中点O,BC中点H,连接OE,OH,如图所示，因为平面ADEL平 面ABCD,平面ADE∩平面ABCD=AD,CDC平面ABCD,∠ADC=90°，所 以CD⊥平面ADE, …8分 又DEC平面ADE,所以CD⊥DE, 所以∠ADE是二面角B-DC-F的平面角，即∠ADE=60°，又AE=DE,所以 △ADE为正三角形. …9分 以O为坐标原点，以OA,OH,OE所在的直线分别为x轴，y轴，x轴建立空间 直角坐标系，如图所示， 所以B(1,3.0),C(-1,2.0),F(0,1,5),D(-1,0,0).所以C克=(2,1,0)，C=(1,-15). n…Ci=2x+y=0, 设平面FBC的一个法向量为n=(x,y,x),所以 n.C亦=x-y+5x=0, 令=月解得x=-12, 所以平面FBC的一个法向量为n=(一1,2,3).… 11分 设B元=1B=A(-1,-25)=(-X,-2x3x)(0≤A≤1)， 所以D元-D成+B元=(2,3,0)+(-A,-2a5)=(2-A3-2以，3x), 设直线DG与平面FBC所成角的大小为0， 所以m0=cosn,心1=n 1A-2+2(3-2a)+3x 1n·1DG√/-1)+22+(3)×√(2-)+(3-2x)+(3x) 14 V8x-16+13 …13分 解得=或=2（舍)… …14分 所以成=（侵2.号），所以G√（号）广++（受）=.… …15分 18,解由题意知a=2,设P(y).所以斗一是=1，所以听=4(1+是) 又直线PA与直线PA:的斜*之积为行：所以心士2，心二2立二4_41+产)上 41 31 ……2分 解得6=2，所以C的方程为-1. …4分 (2)①显然直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=kx十t,P(x,y),N(x2,之)， 3k-1≠0， 得(3k8-1)x2+6k1x+32-12=0,则△=36k2-4(3-1)(32-12)>0, y=kx+t y1>0,2>0, 十x= 36-7=3212 6kt 3k2-1 小6分 设M五1D.则=n,=是6==子，所以n,=一3谈又m,n=子 所以kN=一日 8分 所以当2.当2=红3.色2=一日，整理得 (e+号)n+1-2n+)+1-2=0,即(e+号)2+1-2=0， 3k21 化简得-号+41-9=0，即-61十8=0，解得1=4或1=2，… …10分 因为当1=2时，点P与A2重合，不符合题意：… …11分 所以直线PN的方程为y=kx十4，所以直线PN过定点(0,4).… …12分 @在△A气M中，根据正孩定理得之=2，其中n为△AA:M外接圆的半径。 在△MN中，根据正孩定理得=2其中n为△PMN外接园的半径， 又∠A,MA+∠PMN=所以s血∠A,M=∠PMN,所以片=， 又S=,S=,所以号-（份）'-(）广=(p）=6所以1PN=16.…14分 设直线PN的方程为y=kx十4，P(x,1),N(),由 ￥一2-1得(3k-1)2+24kx+36=0, y=kx+4 3k2-1≠0， 期4=576-144(3k-1>0,解得-<<号，所以+= 24k 36 3欢西4=3k与 y1>0,%>0, 所以1PN川=/+E1a一|=+E·√（ 36_12+)=16,…16分 解得长=或=一昏，所以直线PN的方程为y=十4或y= 191)解：由题意知fx)=2o号+1=2×1+0Z+1=2+s,所以f(x)=一m,所以1/x1= 2 |一sinx≤1在R上恒成立，故(x)=2co号十1为R上的“一阶有界函数”；…2分 由g(x)=e-1,所以g'(x)=e1,当x>1时，|g(x)|=|e-1|=e-1>1, 所以g(x)=e一1不是R上的一阶有界函数”.。 …4分 (2)证明：因为函数f(x)为R上的“一阶有界函数”，所以|了(x)|≤1，即一1≤(x)≤1， 设M(M),N(xy),其中x1>x,所以k-1=C）-)-1=x)=0=m)+ n一T2 1 设F(x)=f(x)一x,所以F(x)=子(x)-1≤0，所以F(x)在R上单调递减，又x>x,所以F(x1)<F(m),即 f(n)一一f()十2≤0，所以k-1≤0，所以k≤1；… …8分 因为f(x)在R上单调递增，又1>，所以f(n)>f),所以k=)二2>0 T1一X% 综上，0k≤1.…10分 (3)解：由题意知了(x)=e+a(x2-1)+2a.x2-2ex+1=e十a(3x2-1)-2ex+1, 又f(x)为区间[0,1]上的一阶有界函数”，所以|了(x)|≤1，即-1≤了(x)≤1， |f(0)|=|2-al≤1， 所以 1f(1)|=|2a-e+1|≤1， 解得1a≤分.…12分 令g(x)=(x)=e+a(32-1)-2ex+1,所以g'(x)=e+6ax-2e, 其中1<a<号y=ey=6ax在区间[0,1]上单调递增，所以g(x)=e+6ax一2e在区间[0,1]止单调递增， 又g(3)=ed+2a-2e<0,g(1)=a-e≥6-e>0,所以存在m∈(3,1），使得g(m)=0,即c0+6am-2e=0, 所以当0<x<时，g'(x)<0,当x<x<1时，g'(x)>0, 所以了(x)在区间(0，)上单调递减，在区间(，1)上单调递增， 所以fx)m=f()=o+a3话-1D-2m+1=(1-7十品)e-eo e+1. 3. 设)=(1-r+)e-r云+1,3<<1， 所以()=(-1)1-3x2+e13r2-1-3x)[e(c-1)+2e 6. 3.x 6. 又号<<1，所以(x-1e+2e>0所以当xE(号，号)时，(x)>0,h(x)单调递增，当x(写1)时，(x)<0, )单调递减，又c<3,所以h(号)=专d-智+1>-1，i1)=一号e+1>-1.所以h()>-1,即了(x)=>-1, 所以a的取值范围是[1，受] ……17分