精品解析：安徽省A10联盟2025届高三下学期2月开学考试数学试题

安徽省A10联盟2025届高三下学期2月开年考试数学试题 第 I 卷 (选择题 共 58 分) 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面上对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】. 所以在复平面上对应的点位于第三象限，故选C. 2. 已知全集 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集以及补集的定义即可求解. 【详解】由可得 又，故， 故， 故选：B 3. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式可得，再利用二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】 . 故选：A. 4. 已知向量 ，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据在上的投影向量公式计算即可解决. 详解】由题意， 所以在上的投影向量为， 故选：A 5. 已知函数 ，若 ，则 取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论即可代入函数表达式，列不等式求解. 【详解】当时，解得， 当时，解得， 综上可得 的取值范围是， 故选：D 6. 设 分别是双曲线 的上、下焦点，双曲线上的点 满足 ，则 的面积等于（ ） A. B. 12 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线定义可得，进而得，即可利用面积公式求解. 【详解】由可得，故， 又，故,即， 故的面积为， 故选:D 7. 已知正四棱台 的上、下底面积分别为 2，8，当正四棱台的外接球的体积最小时， 该四棱台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据可求外接球半径的最小值，再根据勾股定理求出斜高后可求侧面面积. 【详解】设该正四棱台上，下底面的中心分别为，设该正四棱台的高为，外接球半径为， 连接，则该正四棱台的外接球的球心在上，记为， 因为上、下底面积分别为 2，8，故上下底面的边长分别为， 故上下底面的对角线的分别为， 因为，当且仅当与重合时，等号成立，所以， 此时四棱台的高，该四棱台的侧面的斜高， 所以侧面积． 故选：D. 8. 设函数 的定义域为 ，若函数 满足条件： 存在 ，使 在 上的最小值为 ，最大值为 ，其中 为正整数，则称 为“ 倍缩函数”. 若函数 为“4 倍缩函数”，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性列方程，进而可得是方程的两个根，利用换元法以及二次方程根的分布即可求解. 【详解】由于为单调递增函数，故为增函数， 则，即， 所以是方程的两个根． 设，则，关于的方程为有两个不等的正实根， 所以，解得， 故选：B． 【点睛】关键点点睛：根据函数单调性求解最值得到是方程的两个根，换元得有两个不等的正实根求解. 二、选择题：本题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分， 有选错的得 0 分， 部分选对的得部分分. 9. 已知随机变量服从正态分布 ，则（ ） 参考数据： 若 服从正态分布 ，则 ， . A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可结合选项逐一求解. 【详解】由服从正态分布 可知 对于A，，A正确， 对于B，，故B正确， 对于C，，故C错误， 对于D，，故D正确， 故选：ABD 10. 已知函数 ，若及其导函数 的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数在区间 上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 最大值为3 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据确定图象中振幅为的对应的图象，进而得，，，根据正余弦型函数的性质可判断BC，D选项结合辅助角公式判断可得. 【详解】由得， 因为，所以， 故由图象可知：，，得，，， 由，得，故A正确； ，由得， 由得， 故在区间，上单调递增，在区间，上单调递减，故B错误； ，由，得的对称轴为， 故C正确； ，其中，， 故的最大值为，故D错误， 故选：AC 11. 在平面内，曲线是动点 到定点 ， 距离之积为常数 的点的集合. 已知过原点，则（ ） A. B. 关于直线对称 C. 面积的最大值为 2 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两点间距离公式化简整理求出轨迹方程，由过原点解出判断A，根据对称性利用特殊点判断B，换元结合二次函数的值域判断C，根据轨迹方程解出的范围判断D. 【详解】由题意可得 ， 即， 因为过原点，所以将代入解得，A说法正确； 曲线的方程可转化为， 将代入解得或， 因为点关于直线的对称点不在上，所以不关于直线对称，B说法错误； 令，则， 所以，的面积，所以 面积的最大值为 2，C说法正确； 由可得， 所以，即，解得， 所以，，D说法正确； 故选：ACD 第 II 卷 (非选择题 共 92 分) 三、填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 已知抛物线 的顶点、焦点分别为 ，则以线段 为直径的圆的标准方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆心和半径即可求解. 【详解】由题意可知，故圆心为，半径为1， 所以圆的方程为， 故答案为： 13. 已知奇函数 的定义域为 ，其导函数 满足 ，则 _________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据求导得，进而结合可得，即可利用周期性求解. 【详解】由于为奇函数，故，则， 又，故，故， ，，以及， 故，则， 因此为周期函数，且周期为4，故， 故答案为：3 14. 甲、乙两人进行电子竞技比赛，已知每局比赛甲赢的概率为 ，乙赢的概率为 ， 且 . 规定： 比赛中先赢三局者获胜，比赛结束. 若每局比赛结果相互独立，记比赛共进行了 局，则 的数学期望的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式求解概率，即可利用期望公式求解，结合基本不等式以及二次函数的性质求解最值. 【详解】, 易知， ， ， ， ． ，，当且仅当时取等号， 当时，． 故答案为： 【点睛】方法点睛： 求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值； （2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列； （3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望 （在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等， 可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）． 四、解答题：本大题共 5 个小题，共 77 分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知 中，角 所对的边分别为 ，已知 . （1）求 的大小； （2）若 ，求 外接圆的半径； （3）若点 在线段 上， ， ，求 的最小值. 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化以及三角恒等变换即可求解， （2）由余弦定理可求解，即可利用正弦定理求解， （3）利用等面积法可得，即可利用基本不等式的乘“1”法求解. 【小问1详解】 由可得 ， 由正弦定理得， 由于,故， 因为,故， 【小问2详解】 由余弦定理可得， 由得， 解得所以， 所以的外接圆半径为， 【小问3详解】 因为， 所以， 又，故， 故即， 则， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 16. 已知函数 . （1）若 ，求 的极值； （2）若 在区间 上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）的极大值的极小值 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数确定函数的单调性，即可根据极值的定义求解， （2）分离参数后构造，求导可得函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 当时，， ， 令，则或， 当和时，， 当时，， 故在和单调递增，在单调递减， 故当时，取极大值 当时，取极小值 【小问2详解】 令，则，则， 令， 则， 令，则， 由于故， 即，所以在单调递减， 故，故，则在单调递增， 且当时，，当时，， 故，即， 故实数的取值范围为 17. 如图，在四棱锥 中， ， . （1）求证： ； （2）若 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直判定定理得出线面垂直，再结合线面垂直的性质定理得出线线垂直； （2）应用空间向量线性运算得出，再应用空间向量法计算二面角余弦值即可. 【小问1详解】 取的中点，连接． 不妨设，则． 因为，所以四边形为正方形，则，，从而． 又，所以，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以． 【小问2详解】 由（1）知，四边形为正方形，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，取中点， ， 又因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 则，所以， 故， 则． 设平面的法向量为， 则， 令，得为平面的一个法向量． 由（1）知，平面，则平面的一个法向量为， 故， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，且 的短轴长为 是 上不同的四点. （1）求 的方程； （2）若点 在 轴上方，且 ，求直线 的斜率； （3）若 都在 轴上方，且 ，求四边形 面积的最大值. 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质列方程组即可求解， （2）联立直线与椭圆方程可得韦达定理，根据向量的坐标关系，代入化简即可求解， （3）根据平行以及椭圆对称性得,进而得,利用韦达定理得，即可换元，结合基本不等式求解. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为， 则，且， 结合，解得， 故椭圆方程为 【小问2详解】 由题意可得， 由于，即，故直线的斜率为正数， 设， 联立，得， 所以， 因此，， 因此故，解得， 故直线的斜率为1. 【小问3详解】 延长交椭圆于点, 由，以及椭圆的对称性可知, 则与等底等高，所以, 四边形的面积为, 设由（2）知：， 所以 故, 令，所以， 当且仅当时，即时，四边形的面积取到最大值. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 19. 已知等差数列 的公差为 1，且 是 的等差中项. （1）求数列 的通项公式； （2）从数列 的前 项中 ，随机选出两个不同的项相乘，所得结果为奇数的概率为 . 是否存在正整数 ，当 时，恒有 ，若存在，求出 的最小值，若不存在， 请说明理由； （3）数列 满足 ，记数列 的前 项中所有奇数项的和为 ，求证： . 【答案】（1） （2）5 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差中项可得，即可利用等差数列的性质解得，即可求解， （2）对分奇偶，根据组合以及古典概型概率公式求解概率，即可列不等式求解， （3）根据裂项相消求和得，构造函数，由导数求解单调性可得恒成立，令，即可求解. 【小问1详解】 由于 是 的等差中项， 故， 所以解得， 故， 【小问2详解】 从数列的前 项中 ，随机选出两个不同的项相乘，共有种方法；要使所得乘积为奇数，则两项均为奇数． ①当为偶数时，前项中有个奇数，个偶数， 从个奇数中任取2个不同的奇数，共有种方法； 则， 由，得，解得，此时的最小值为6． ②当为奇数时，前项中个奇数，个偶数， 从个奇数中任取2个不同的奇数，共有种方法； 则， 由，得，即，该不等式对任意奇数恒成立． 综上所述，存在正整数，当时，恒有，故的最小值为5． 【小问3详解】 由题意得，， 则， 则 ． 构造函数， 则在上单调递减，， 当时，，即恒成立． 令，则，即， ． 以上各式相加得， ． 综上，． 【点睛】方法点睛：常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省A10联盟2025届高三下学期2月开年考试数学试题 第 I 卷 (选择题 共 58 分) 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面上对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知全集 ，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 4. 已知向量 ，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数 ，若 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设 分别是双曲线 的上、下焦点，双曲线上的点 满足 ，则 的面积等于（ ） A. B. 12 C. D. 6 7. 已知正四棱台 的上、下底面积分别为 2，8，当正四棱台的外接球的体积最小时， 该四棱台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数 的定义域为 ，若函数 满足条件： 存在 ，使 在 上的最小值为 ，最大值为 ，其中 为正整数，则称 为“ 倍缩函数”. 若函数 为“4 倍缩函数”，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分， 有选错的得 0 分， 部分选对的得部分分. 9 已知随机变量服从正态分布 ，则（ ） 参考数据： 若 服从正态分布 ，则 ， . A. B. C D. 10. 已知函数 ，若及其导函数 的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数区间 上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的最大值为3 11. 在平面内，曲线是动点 到定点 ， 距离之积为常数 的点的集合. 已知过原点，则（ ） A. B. 关于直线对称 C. 面积的最大值为 2 D. 第 II 卷 (非选择题 共 92 分) 三、填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 已知抛物线 的顶点、焦点分别为 ，则以线段 为直径的圆的标准方程为_________. 13. 已知奇函数 的定义域为 ，其导函数 满足 ，则 _________. 14. 甲、乙两人进行电子竞技比赛，已知每局比赛甲赢的概率为 ，乙赢的概率为 ， 且 . 规定： 比赛中先赢三局者获胜，比赛结束. 若每局比赛结果相互独立，记比赛共进行了 局，则 的数学期望的最大值为_____. 四、解答题：本大题共 5 个小题，共 77 分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知 中，角 所对的边分别为 ，已知 . （1）求 的大小； （2）若 ，求 外接圆的半径； （3）若点 在线段 上， ， ，求 的最小值. 16. 已知函数 . （1）若 ，求 的极值； （2）若 在区间 上存在零点，求实数的取值范围. 17. 如图，在四棱锥 中， ， . （1）求证： ； （2）若 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值. 18. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，且 的短轴长为 是 上不同的四点. （1）求 的方程； （2）若点 在 轴上方，且 ，求直线 的斜率； （3）若 都在 轴上方，且 ，求四边形 面积的最大值. 19. 已知等差数列 公差为 1，且 是 的等差中项. （1）求数列 的通项公式； （2）从数列 前 项中 ，随机选出两个不同的项相乘，所得结果为奇数的概率为 . 是否存在正整数 ，当 时，恒有 ，若存在，求出 的最小值，若不存在， 请说明理由； （3）数列 满足 ，记数列 的前 项中所有奇数项的和为 ，求证： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $