第六单元 正比例和反比例 知识归纳与题型突破（知识清单）-2024-2025学年六年级数学下册单元速记·巧练（苏教版）

第六章 正比例和反比例 知识归纳与题型突破 01 思维导图 02 知识速记 一、正比例的意义及图像 1.正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就是成正比例的量，它们的关系就叫作成正比例关系。 2.正比例关系的判断方法：首先判断这两种量是不是相关联的量。再看这两种量相对应的两个数的比值是否一定，比值一定，则这两种相关联的量成正比例，反之，则不成正比例。 3.正比例图像：正比例图像是一条经过原点的直线。从图像中可以直观地看出两种量的变化情况，由一种量的值可以直接找到对应的另一种量的值。 二、反比例的意义 1.反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就是成反比例的量，它们的关系就叫反比例关系。 2.反比例关系的判断方法：(1)两种量是相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。(2)两种量中相对应的两个数的积一定。 三、大树有多高（比例的应用） 1．在外通过测量各种物体的长度及其影子的长度，然后再找出物体长度和影子的比例关系，找出其中的规律。 2．在活动过程中积累数学活动的基本经验，仔细感受解决问题的乐趣，感受数学在实际生活中的应用。 3．以分组的形式，培养自己解决问题的能力以及团队合作精神和创新意识。 03 题型归纳 题型一　正比例和反比例的意义 例1．（2024•房山区）中国首颗太阳探测卫星“羲和号”，可以连续对太阳进行观测。其搭载的成像光谱仪通过对太阳的日面扫描，获得光谱的数量（单位：条）与对应的时长（单位：秒）关系如下： 时长/秒 0 5 10 15 20 25 30 …… 获得光谱的数量/条 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 …… （1）根据表中数据，写出一个正确的比例式：　 　； （2）根据表中数据，在下图中描出表示获得光谱的数量与对应的时长的点，并把这些点顺次连接起来。 （3）如果连续观测5分钟，获得光谱的数量大约是 　 　条。 巩固训练 1．（2024•晋州市）我们做过滴水实验，一个没有拧紧的水龙头的漏水情况如图。 （1）点A表示什么意思？　 　 （2）如果用t表示时间，v表示漏水量，用式子表示它们的关系是，t和v是否成正比例？　 　 （3）假设1个人每天喝水2升，一个月（30天计算）的漏水量可供这个人喝几天？ 2．（2024春•增城区期中）根据条件，把表格填写完整。 （1）已知x和y成正比例关系。 x 9 45 y 30 180 （2）已知x和y成反比例关系。 x 24 8 y 15 30 3．（2024春•岷县期中）如图所示的图像表示斑马和长颈鹿的奔跑情况． （1）斑马的奔跑路程与奔跑时间是否成正比例关系？长颈鹿呢？ （2）估计一下，两种动物18分钟各跑了多少千米？ （3）从图像上看，斑马跑得快还是长颈鹿跑得快？ 题型二　辨识成正比例的量与成反比例的量 例2．（2024•杭州）周叔叔一家去自驾游，从A地途径B地，到达C地。下面是行驶过程中的一些统计数据。 时间/h 1 2 3 4 …… 路程/km 80 160 240 320 …… 耗油量/L 10 20 30 40 …… 二氧化碳排放/kg 13.2 26.4 39.6 52.8 …… ①观察如表，　 　和 　 　成 　 　比例。 ②第一天，从A地出发时，汽车油箱里有45L汽油，要去距离400km的B地，途中需要加油吗？ ③第二天，要从B地去C地，行了3小时，发现正好行了全程的75%，照这样的速度，到达C地还需要多少小时？ 巩固训练 1．（2024•鼓楼区）“立竿见影”应用了比例的知识，同一时间、同一地点，竿高和影长成 　 　比例，观察如表并填写。 高度 影长 小树 1.5m 0.8m 大树 　 　m 4.8m 2．（2024•大洼区）下面是一辆汽车行驶6小时路程和时间的统计表，根据统计表完成问题。 路程/km 80 160 240 320 400 480 时间/时 1 2 3 4 5 6 （1）分别在图中描出各点并顺次连接。 （2）路程和时间成 　 　比例。 （3）在一幅比例尺是的地图上，量得甲乙两地距离是4cm，这辆汽车从甲地出发按这个速度行驶要 　 　小时到达乙地。 3．（2024•乾县）《成语故事》的总价与购买本数如下表。 购买本数/本 0 1 2 3 4 5 6 …… 总价/元 0 10 20 30 60 …… （1）将上表补充完整。 （2）总价与购买本数之间成什么比例？为什么？ （3）在如图中标出表中的数据对应的点，然后连接各点。 （4）480元最多可以购买 　 　本《成语故事》。 题型三　比例的应用 例3．（2024秋•南海区校级月考）《中华人民共和国国旗法》中对国旗的构造有着明确的规定：旗面为红色、长方形：长与宽之比为3：2，也就是宽是长的。中国国旗尺寸不是统一的，在必要时，可按比例放大或缩小。一面国旗长192cm，这面国旗周长是多少米？面积是多少平方米？ 巩固训练 1． 41．（2024•丛台区）车队向灾区运送救灾物资，去时每小时行60千米，4.5小时到达，返回时每小时多行15千米，返回出发地点用了多长时间？（用比例解） 2．（2024•宝安区）排版一部书稿，如果每页排640个字，要200页；如果每页排800个字，可排多少页？ 3．（2024•九江）你知道吗？远古时候，“小山羊”在人们的生活中起着“钱”的作用，64只羊可以换多少把斧头？请用列比例的方法解决问题。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 正比例和反比例 知识归纳与题型突破 01 思维导图 02 知识速记 一、正比例的意义及图像 1.正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就是成正比例的量，它们的关系就叫作成正比例关系。 2.正比例关系的判断方法：首先判断这两种量是不是相关联的量。再看这两种量相对应的两个数的比值是否一定，比值一定，则这两种相关联的量成正比例，反之，则不成正比例。 3.正比例图像：正比例图像是一条经过原点的直线。从图像中可以直观地看出两种量的变化情况，由一种量的值可以直接找到对应的另一种量的值。 二、反比例的意义 1.反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就是成反比例的量，它们的关系就叫反比例关系。 2.反比例关系的判断方法：(1)两种量是相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。(2)两种量中相对应的两个数的积一定。 三、大树有多高（比例的应用） 1．在外通过测量各种物体的长度及其影子的长度，然后再找出物体长度和影子的比例关系，找出其中的规律。 2．在活动过程中积累数学活动的基本经验，仔细感受解决问题的乐趣，感受数学在实际生活中的应用。 3．以分组的形式，培养自己解决问题的能力以及团队合作精神和创新意识。 03 题型归纳 题型一　正比例和反比例的意义 例1．（2024•房山区）中国首颗太阳探测卫星“羲和号”，可以连续对太阳进行观测。其搭载的成像光谱仪通过对太阳的日面扫描，获得光谱的数量（单位：条）与对应的时长（单位：秒）关系如下： 时长/秒 0 5 10 15 20 25 30 …… 获得光谱的数量/条 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 …… （1）根据表中数据，写出一个正确的比例式：　 　； （2）根据表中数据，在下图中描出表示获得光谱的数量与对应的时长的点，并把这些点顺次连接起来。 （3）如果连续观测5分钟，获得光谱的数量大约是 　 　条。 【分析】（1）观察表格中数据，会发现每一组时长和对应的获得光谱的数量的比值是相等的，5秒对应500条，10秒对应1000条等，它们的比值都是，所以比例式可以为：5：500＝10：1000，20：2000＝25：2500等。只要满足这样的比例关系即可。 （2）按照表格中的数据，在坐标图上找到对应的点，然后把这些点依次连接起来即可。 （3）先把5分钟换算成秒，即5×60＝300秒，30秒时是3000条，300 秒是30秒的10倍，所以获得光谱的数量大约是3000×10＝30000条。 【解答】解：（1）根据表中数据，写出一个正确的比例式：5：500＝10：1000。（答案不唯一） （2）根据表格中提供的数据分别在对应位置描上点，然后将点连接起来。 （3）因为1分钟＝60秒，5分钟＝（5×60）秒＝300 秒，从表格中可以看出30秒时获得3000 条光谱，300秒大约是30秒的10倍，所以获得光谱的数量是3000×10＝30000条。 如果连续观测5分钟，获得光谱的数量大约是30000条。 故答案为：5：500＝10：1000，（答案不唯一）30000。 【点评】此题考查了正比例和反比例的意义，要求学生能够掌握。 巩固训练 1．（2024•晋州市）我们做过滴水实验，一个没有拧紧的水龙头的漏水情况如图。 （1）点A表示什么意思？　 　 （2）如果用t表示时间，v表示漏水量，用式子表示它们的关系是，t和v是否成正比例？　 　 （3）假设1个人每天喝水2升，一个月（30天计算）的漏水量可供这个人喝几天？ 【分析】（1）横坐标表示时间，纵坐标表示漏水量，据此解答。 （2）从图像上可以看出，水龙头每分钟漏水12毫升，根据漏水量÷时间＝每分钟漏水量写出关系式；再判断两种量是否成正比例。 （3）先求出水龙头一个月的漏水量，再求可供这个人喝几天。 【解答】解：（1）点A表示水龙头6分钟漏水72毫升。 （2）＝12，V与t的比值一定，V与t成正比例。 （3）12×60×24×30＝518400（毫升） 518400毫升＝518.4升 518.4÷2＝259.2（天） 答：可供这个人喝259.2天。 故答案为：水龙头6分钟漏水72毫升。＝12，成正比例。 【点评】本题考查了正比例图像的认识、判定及利用正比例解决问题的能力，综合性较强，需灵活掌握。 2．（2024春•增城区期中）根据条件，把表格填写完整。 （1）已知x和y成正比例关系。 x 9 45 y 30 180 （2）已知x和y成反比例关系。 x 24 8 y 15 30 【分析】（1）正比例是两个相关联的量比值一定，求出x与y的比值，再根据x与y的比值即可求出未知的x或y； （2）反比例是两个相关联的量积一定，求出x与y的积，再根据x与y的积即可求出未知的x或y。 【解答】解：x：y＝9：180＝9÷180＝ 当y＝30时，x＝×30＝1.5 当x＝45时，y＝45÷＝900 x 1.5 9 45 y 30 180 900 （2）xy＝8×15＝120 当x＝24时，y＝120÷24＝5 当y＝30时，x＝120÷30＝4 x 24 8 4 y 5 15 30 【点评】此题考查正比例、反比例的认识。掌握正比例和反比例的意义是解答的关键。 3．（2024春•岷县期中）如图所示的图像表示斑马和长颈鹿的奔跑情况． （1）斑马的奔跑路程与奔跑时间是否成正比例关系？长颈鹿呢？ （2）估计一下，两种动物18分钟各跑了多少千米？ （3）从图像上看，斑马跑得快还是长颈鹿跑得快？ 【分析】（1）斑马和长颈鹿奔跑的速度是一定的，即路程和时间的比值一定，所以路程和时间成正比例关系； （2）依据图像可知，长颈鹿5分钟跑了4千米，斑马10分钟跑了12千米，根据路程÷时间＝速度，再根据速度×时间＝路程，据此解答． （3）由图像可知，斑马的图像斜度大，所以斑马跑得快． 【解答】解：（1）根据图像可知，斑马和长颈鹿奔跑的速度是一定的，即路程和时间的比值一定，所以路程和时间成正比例关系； （2）4÷5×18 ＝0.8×18 ＝14.4（千米） 12÷10×18 ＝1.2×18 ＝21.6（千米） 答：长颈鹿18分钟跑了14.4千米，斑马18分钟跑了21.6千米． （3）答：由图像可知，斑马跑得快． 【点评】此题解答关键从统计图中获取信息，当图像是一条直线时，说明两种相关联的量成正比例关系． 题型二　辨识成正比例的量与成反比例的量 例2．（2024•杭州）周叔叔一家去自驾游，从A地途径B地，到达C地。下面是行驶过程中的一些统计数据。 时间/h 1 2 3 4 …… 路程/km 80 160 240 320 …… 耗油量/L 10 20 30 40 …… 二氧化碳排放/kg 13.2 26.4 39.6 52.8 …… ①观察如表，　 　和 　 　成 　 　比例。 ②第一天，从A地出发时，汽车油箱里有45L汽油，要去距离400km的B地，途中需要加油吗？ ③第二天，要从B地去C地，行了3小时，发现正好行了全程的75%，照这样的速度，到达C地还需要多少小时？ 【分析】①观察表格可知，路程和时间成正比例，行驶路程和耗油量成正比例； ②根据表格中数据可知，行驶1千米耗油的数量是0.125升；然后用400乘行驶1千米耗油量，求出行驶400千米耗油量，再与45升比较即可； ③设路程为y km，行驶完全程还需要x小时，运用路程和时间成正比例关系，列式计算。 【解答】解：①观察表格可知，＝，比值是80，所以路程和时间成正比例（答案不唯一）。 ②400×（10÷80） ＝400×0.125 ＝50（升） 45＜50，所以途中需要加油。 答：途中需要加油。 ③设路程为y km，行驶完全程还需要x小时。 0.75x＝0.75 x＝1 答：到达C地还需要1小时。 故答案为：路程；时间；正。（答案不唯一） 【点评】此题考查主要正比例的意义及应用。 巩固训练 1．（2024•鼓楼区）“立竿见影”应用了比例的知识，同一时间、同一地点，竿高和影长成 　 　比例，观察如表并填写。 高度 影长 小树 1.5m 0.8m 大树 　 　m 4.8m 【分析】根据比例的知识，我们知道同一时间、同一地点，物体的长度和它的影子的长度的比值一定，所以同一时间、同一地点，竿高和影长成正比例。由此列式解答即可。 【解答】解：“立竿见影”应用了比例的知识，同一时间、同一地点，竿高和影长成正比例。 设大树的高为x米。 1.5：0.8＝x：4.8 0.8x＝1.5×6 x＝9 答：大树高9米。 填表如下： 高度 影长 小树 1.5m 0.8m 大树 9m 4.8m 故答案为：正；9。 【点评】解答此题的关键是，同一时间、同一地点，物体的长度和它的影子的长度的比值一定。 2．（2024•大洼区）下面是一辆汽车行驶6小时路程和时间的统计表，根据统计表完成问题。 路程/km 80 160 240 320 400 480 时间/时 1 2 3 4 5 6 （1）分别在图中描出各点并顺次连接。 （2）路程和时间成 　 　比例。 （3）在一幅比例尺是的地图上，量得甲乙两地距离是4cm，这辆汽车从甲地出发按这个速度行驶要 　 　小时到达乙地。 【分析】（1）根据统计表中的数据描点，连线即可； （2）因为行驶的速度一定，是路程和时间的比值一定，所以路程和时间成正比例；据此判断； （3）根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据求出实际距离，路程÷速度＝时间，据此用实际距离除以速度即可解答。 【解答】解：（1） （2）路程÷时间＝速度（一定），路程和时间的比值一定，所以路程和时间成正比例； （3）4÷＝20000000（厘米） 20000000厘米＝200千米 200÷80＝2.5（小时） 答：这辆汽车从甲地出发按这个速度行驶要2.5小时到达乙地。 故答案为：正，2.5。 【点评】本题考查了正比例和反比例的意义，并且能够根据统计图表提供的信息，解决有关的实际问题。 3．（2024•乾县）《成语故事》的总价与购买本数如下表。 购买本数/本 0 1 2 3 4 5 6 …… 总价/元 0 10 20 30 60 …… （1）将上表补充完整。 （2）总价与购买本数之间成什么比例？为什么？ （3）在如图中标出表中的数据对应的点，然后连接各点。 （4）480元最多可以购买 　 　本《成语故事》。 【分析】（1）利用总价＝单价×数量，依据表中数据计算单价，然后计算总价，由此解答本题； （2）单价＝总价÷数量，由此解答本题； （3）依据（1）去作图； （4）利用数量＝总价÷单价去解答。 【解答】解：（1）10÷1＝10（元/本） 4×10＝40（元） 5×10＝50（元） 购买本数/本 0 1 2 3 4 5 6 …… 总价/元 0 10 20 30 40 50 60 …… （2）单价＝总价÷数量，总价与购买本数之间成正比例，因为总价与购买本数的商是单价，单价一定，则总价与购买本数之间成正比例。 （3）如图： （4）480÷10＝48（本） 答：480元最多可以购买48本《成语故事》。 故答案为：40、50；48。 【点评】本题考查的是正比例的应用。 题型三　比例的应用 例3．（2024秋•南海区校级月考）《中华人民共和国国旗法》中对国旗的构造有着明确的规定：旗面为红色、长方形：长与宽之比为3：2，也就是宽是长的。中国国旗尺寸不是统一的，在必要时，可按比例放大或缩小。一面国旗长192cm，这面国旗周长是多少米？面积是多少平方米？ 【分析】用192乘，求出长方形的宽，再根据长方形周长＝（长+宽）×2，再根据长方形面积＝长×宽，即可解答。 【解答】解：192厘米＝1.92米 1.92×＝1.28（米） 周长： （1.92+1.28）×2 ＝3.2×2 ＝6.4（米） 面积： 1.92×1.28＝ 2.4576（平方米） 答：这面国旗周长是6.4米，面积是2.4576平方米。 【点评】本题考查的是比例的应用和长方形周长、面积的计算，理解和应用比例的意义、熟记公式是解答关键。 巩固训练 1． 41．（2024•丛台区）车队向灾区运送救灾物资，去时每小时行60千米，4.5小时到达，返回时每小时多行15千米，返回出发地点用了多长时间？（用比例解） 【分析】因为路程是不变的，速度×时间＝路程，由此可见，速度与时间成反比例，因此即可列出反比例式求解． 【解答】解：设返回出发地点用了x小时，由题意得： （15+60）×x＝60×4.5， 75x＝270， x＝3.6． 答：返回出发地点用了3.6小时． 【点评】上面题目要求用比例解答，这时应注意，找出题中哪个量是固定不变的，再看与它相关联的量是成正比例，还是成反比例，然后列比例式求解． 2．（2024•宝安区）排版一部书稿，如果每页排640个字，要200页；如果每页排800个字，可排多少页？ 【分析】根据题意知道此书的总页数一定，每页排字的个数和总页数成反比例，由此列式解答即可． 【解答】解：设可排x页， 640×200＝800x， 800x＝128000， x＝160； 答：可排160页． 【点评】解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，找准对应量，列式解答即可． 3．（2024•九江）你知道吗？远古时候，“小山羊”在人们的生活中起着“钱”的作用，64只羊可以换多少把斧头？请用列比例的方法解决问题。 【分析】设64只羊可以换x把斧头，根据羊的只数与斧头把数的比一定，即列比例解答。 【解答】解：设64只羊可以换x把斧头。 64：x＝4：6 4x＝64×6 4x÷4＝64×6÷4 x＝96 答：64只羊可以换96把斧头。 【点评】列比例解答应用题，关键是根据题意设出未知数，再找出含有未知数的等量关系式。 学科网（北京）股份有限公司 $$