第六单元 圆 知识归纳与题型突破（知识清单）-2024-2025学年五年级数学下册单元速记·巧练（苏教版）

第六章 圆 知识归纳与题型突破 01 思维导图 02 知识速记 一、圆的认识 1．圆是由曲线围成的封闭图形。 2．用圆规画圆时，针尖固定的一点是圆心，连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径。 3．圆有无数条直径和半径。在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半，用字母表示为。 4．圆是轴对称图形，有无数条对称轴。 二、扇形的意义、圆心角与扇形大小的关系 1．扇形：一条弧和经过这条弧两端点的两条半径所围成的图形叫作扇形。 2．扇形的大小：在同圆或等圆中，扇形的大小与圆心角的大小有关，圆心角大的扇形大，圆心角小的扇形小。 三、圆的周长 1．圆的周长：围成圆的曲线的长叫作圆的周长。 2．圆的周长与直径的关系：圆的周长与圆的直径有关，圆的直径越长，圆的周长就越长。 3．圆周率：任何一个圆的周长除以它的直径的商都是一个固定的数，我们把它叫作圆周率，用字母π表示。 4．π是一个无限不循环小数。π＝3.141592653…在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。 5．圆的周长公式：如果用C表示圆的周长，那么周长C与直径d或半径r的关系是：C＝πd或C＝2πr 四、圆的周长公式的应用 解决“已知圆的周长，求直径或半径”的问题时，关键要清楚圆的周长计算公式，可以列方程解答，也可以用算术方法解答。 五、圆的面积 1.如果用S表示圆的面积，那么圆的面积公式用字母表示是S＝πr2。 2.应用圆的面积公式解决问题时，关键是先找准或求出圆的半径，然后应用圆的面积公式S＝πr2求出圆的面积。 六、已知圆的周长，求圆的面积 已知圆的周长求圆的面积，要先求出圆的半径，再求圆的面积。 七、简单组合图形的面积 1．两个半径不相等的同心圆之间的部分叫作圆环，也叫环形。 2．圆环的面积＝外圆的面积－内圆的面积，如果用R表示外圆半径，r表示内圆半径，S表示圆环的面积，那么圆环的面积计算公式是S＝πR2－πr2或S＝π(R2－r2)。 3．组合图形面积的求法：把图形进行分割、拼接，转化为规则几何图形，再求面积。 03 题型归纳 题型一　圆、扇形的认识及其性质 例1．有一个没有标注圆心的圆，淘气正在测量这个圆的直径（如图）。他的方法对吗？依据是什么？ 巩固训练 1．如图，线段AC是大圆的半径，线段BC是小圆的半径，两条半径分别长10cm和7cm，则AB的长是 　 　cm。 2．下面图形中哪些角是圆心角？在括号里画“√”。 3．看图填一填。 题型二　圆、圆环的周长 例2．一个两端是半圆形的运动场，中间是长方形。这个运动场的周长是多少米？ 巩固训练 1．一个长方形ABCD，长为3厘米，宽为1厘米。如果绕B点逆时针旋转60°，那么点A在旋转中走过的路程有多长？ 2．计算下面各图形的周长。 （1） （2） 3．如图，一只蚂蚁从点A走向点B，有两条路可走，一条路线是沿着图中最大的半圆弧走，另一条路线是沿着图中三个连续的小半圆弧走。请通过计算比一比，走哪条路近一些？（单位：cm） 题型三　圆、圆环的面积 例3．广场中央的圆形喷水池的直径是20米，在水池的周围是一条宽10米的环形水泥路（如图）。这条水泥路的面积多少平方米？ 巩固训练 1．无人驾驶技术日益成熟，某科技公司计划建设一个无人驾驶汽车环形测试跑道。环形测试场地内侧就是一个半径为40米的圆形休息区，环形测试跑道的宽度设计为10米。环形测试跑道的面积是多少平方米？ 2．某小区的中心公园有一个亭子，亭子的底座是一个直径8米的圆形，小区的物业要在圆形底座的四周铺一条宽1米的环形小路，这条小路的面积是多少平方米？ 3．如图是长为8厘米，宽为5厘米的铁片，工人想用铁片剪一个最大的圆，你能帮一下他吗？请标出这个圆的圆心、半径。剪完后的下脚料面积够20平方厘米吗？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 圆 知识归纳与题型突破 01 思维导图 02 知识速记 一、圆的认识 1．圆是由曲线围成的封闭图形。 2．用圆规画圆时，针尖固定的一点是圆心，连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径。 3．圆有无数条直径和半径。在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半，用字母表示为。 4．圆是轴对称图形，有无数条对称轴。 二、扇形的意义、圆心角与扇形大小的关系 1．扇形：一条弧和经过这条弧两端点的两条半径所围成的图形叫作扇形。 2．扇形的大小：在同圆或等圆中，扇形的大小与圆心角的大小有关，圆心角大的扇形大，圆心角小的扇形小。 三、圆的周长 1．圆的周长：围成圆的曲线的长叫作圆的周长。 2．圆的周长与直径的关系：圆的周长与圆的直径有关，圆的直径越长，圆的周长就越长。 3．圆周率：任何一个圆的周长除以它的直径的商都是一个固定的数，我们把它叫作圆周率，用字母π表示。 4．π是一个无限不循环小数。π＝3.141592653…在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。 5．圆的周长公式：如果用C表示圆的周长，那么周长C与直径d或半径r的关系是：C＝πd或C＝2πr 四、圆的周长公式的应用 解决“已知圆的周长，求直径或半径”的问题时，关键要清楚圆的周长计算公式，可以列方程解答，也可以用算术方法解答。 五、圆的面积 1.如果用S表示圆的面积，那么圆的面积公式用字母表示是S＝πr2。 2.应用圆的面积公式解决问题时，关键是先找准或求出圆的半径，然后应用圆的面积公式S＝πr2求出圆的面积。 六、已知圆的周长，求圆的面积 已知圆的周长求圆的面积，要先求出圆的半径，再求圆的面积。 七、简单组合图形的面积 1．两个半径不相等的同心圆之间的部分叫作圆环，也叫环形。 2．圆环的面积＝外圆的面积－内圆的面积，如果用R表示外圆半径，r表示内圆半径，S表示圆环的面积，那么圆环的面积计算公式是S＝πR2－πr2或S＝π(R2－r2)。 3．组合图形面积的求法：把图形进行分割、拼接，转化为规则几何图形，再求面积。 03 题型归纳 题型一　圆、扇形的认识及其性质 例1．有一个没有标注圆心的圆，淘气正在测量这个圆的直径（如图）。他的方法对吗？依据是什么？ 【分析】圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小，通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径，如图测量圆中的线段，其中最长的线段即为圆的直径。据此解答即可。 【解答】解：有一个没有标注圆心的圆，淘气用如图的方法测量这个圆的直径，他的方法对，这是因为直径是圆内最长的线段。（合理即可） 【点评】本题考查了圆的认识，掌握圆的特征是解答题目的关键。 巩固训练 1．如图，线段AC是大圆的半径，线段BC是小圆的半径，两条半径分别长10cm和7cm，则AB的长是 　 　cm。 【分析】根据图示，线段AB的长等于大圆的半径加小圆的半径，然后减去4厘米的重叠部分，据此解答即可。 【解答】解：10+7﹣4 ＝17﹣4 ＝13（厘米） 答：AB的长是13厘米。 故答案为：13。 【点评】本题考查了圆的认识，结合重叠知识解答即可。 2．下面图形中哪些角是圆心角？在括号里画“√”。 【分析】在一个圆中，一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形。 【解答】解：如图： 【点评】本题考查了扇形的定义及认识。 3．看图填一填。 【分析】梯形的上底是圆的直径，梯形的左边的腰是半圆的半径，直径等于半径的2倍； 长方形的宽是圆的直径，长是一条直径和一条半径的和。 长方形的宽是大圆的直径，长是大圆的直径和小圆的直径的和。据此解答即可。 【解答】解：。 【点评】掌握正方形和长方形中最大的圆与边长、长、宽的关系。 题型二　圆、圆环的周长 例2．一个两端是半圆形的运动场，中间是长方形。这个运动场的周长是多少米？ 【分析】通过观察图形可知，这个运动场的周长等于直径是50米的圆的周长加上两条直跑道的长度。根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式解答。 【解答】解：3.14×50+100×2 ＝157+200 ＝357（米） 答：这个运动场的周长是357米。 【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 巩固训练 1．一个长方形ABCD，长为3厘米，宽为1厘米。如果绕B点逆时针旋转60°，那么点A在旋转中走过的路程有多长？ 【分析】通过观察图形可知，如果绕B点逆时针旋转60°，那么点A在旋转中走过的路程等于半径为3厘米的圆周长的六分之一，根据圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式解答。 【解答】解：2×3.14×3÷（360°÷60°） ＝18.84÷6 ＝3.14（厘米） 答：点A在旋转中走过的路程有3.14厘米。 【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 2．计算下面各图形的周长。 （1） （2） 【分析】（1）根据圆周长＝2π×半径，即可解答； （2）根据圆周长＝2π×半径，再除以2，求出半圆周长，再加上8，再加上5，再加上5，即可解答。 【解答】解：（1）3.14×3×2＝18.84（ cm） 答：图形的周长是18.84 cm。 （2）3.14×8÷2+5+5+8 ＝12.56+18 ＝30.56（ cm） 答：图形的周长是30.56cm。 【点评】本题考查的是圆周长的计算，熟记公式是解答关键。 3．如图，一只蚂蚁从点A走向点B，有两条路可走，一条路线是沿着图中最大的半圆弧走，另一条路线是沿着图中三个连续的小半圆弧走。请通过计算比一比，走哪条路近一些？（单位：cm） 【分析】通过观察图形可知，其中一条路的长度是直径为（8×3）厘米的圆周长的一半，另一条路的长度是直径为8厘米的圆周长一半的3倍，根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式分别两条路的长度，然后进行比较即可。 【解答】解：3.14×（8×3）÷2 ＝3.14×24÷2 ＝37.68（厘米） 3.14×8÷2×3 ＝12.56×3 ＝37.68（厘米） 答：两条路一样近。 【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 题型三　圆、圆环的面积 例3．广场中央的圆形喷水池的直径是20米，在水池的周围是一条宽10米的环形水泥路（如图）。这条水泥路的面积多少平方米？ 【分析】根据题意，，小圆的直径是20米，半径是20÷2＝10（米），在水池的周围是一条宽10米的环形水泥路，大圆的半径是10+10＝20（米），代入数据计算即可。 【解答】解：20÷2＝10（米） 10+10＝20（米） 3.14×（202﹣102） ＝3.14×300 ＝942（平方米） 答：这条水泥路的面积942平方米。 【点评】本题考查了圆环的面积，解决本题的关键是熟练运用圆环的面积公式计算。 巩固训练 1．无人驾驶技术日益成熟，某科技公司计划建设一个无人驾驶汽车环形测试跑道。环形测试场地内侧就是一个半径为40米的圆形休息区，环形测试跑道的宽度设计为10米。环形测试跑道的面积是多少平方米？ 【分析】根据环形面积公式：S＝π（R2﹣r2），把数据代入公式解答。 【解答】解：40＝10＝50（米） 3.14×（502﹣402） ＝3.14×（2500﹣1600） ＝3.14×900 ＝2826（平方米） 答：环形测试跑道的面积是2826平方米。 【点评】此题主要考查环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 2．某小区的中心公园有一个亭子，亭子的底座是一个直径8米的圆形，小区的物业要在圆形底座的四周铺一条宽1米的环形小路，这条小路的面积是多少平方米？ 【分析】由题意可知：小路是环形，根据环形面积＝外圆面积﹣内圆面积，把数据代入公式进行解答。 【解答】解：3.14×（8÷2+1）2﹣3.14×（8÷2）2 ＝3.14×52﹣3.14×42 ＝3.14×25﹣3.14×16 ＝78.5﹣50.24 ＝28.26（平方米） 答：这条小路的面积是28.26平方米。 【点评】此题是环形面积的实际应用，关键是理解内圆半径加上环宽等于外圆半径，根据环形面积公式解答即可。 3．如图是长为8厘米，宽为5厘米的铁片，工人想用铁片剪一个最大的圆，你能帮一下他吗？请标出这个圆的圆心、半径。剪完后的下脚料面积够20平方厘米吗？ 【分析】圆心在长方形对角线的交点上，半径等于长方形宽的一半，剪完后的下脚料面积等于长方形的面积减去圆的面积，根据长方形的面积公式：S＝ab，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式求出剩下部分的面积，然后与20平方厘米进行比较即可。 【解答】解：作图如下： 8×5﹣3.14×（5÷2）2 ＝40﹣3.14×6.25 ＝40﹣19.625 ＝20.375（平方厘米） 20.375＞20 答：剪完后的下脚料面积够20平方厘米。 【点评】此题考查的目的是理解掌握圆的画法及应用，长方形的面积公式、圆的面积公式及应用。 学科网（北京）股份有限公司 $$