精品解析：贵州省凯里市第一中学2025届高三模拟考试(黄金Ⅱ卷)数学试题

凯里一中2025届高三模拟考试（黄金1卷） 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数在复平面内对应点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 40 D. 80 4. 已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（ ） A. 3 B. C. D. 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 已知角的终边经过点，将的终边逆时针旋转得到角，若，则（ ） A. B. C. D. 3 7. 已知椭圆的左，右焦点分别为，点在该椭圆上，若满足为直角三角形的点共有8个，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，则函数零点的个数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数的最小值是 B. 是函数的一个周期 C. 在上单调 D. 将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数 10. 已知数列满足，，则（ ） A. B. 是等差数列 C. 一定是等比数列 D. 数列的前99项和为 11. 《九章算术》卷五《商功》中，记载了一种几何体“刍童”，这种几何体是上下底面为互相平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的六面体.如图，现有一高为2的“刍童”，其中，则（ ） A. 该“刍童”的所有侧棱的延长线交于一点 B. 该“刍童”的所有侧棱与下底面所成角的正弦值均为 C. 该“刍童”外接球的表面积为 D. 该“刍童”外接球表面上的点到平面的距离的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 一个打印机有喷墨头和扫描器两个独立的组件，喷墨头发生故障的概率是，扫描器发生故障的概率是，则这两个组件都不发生故障的概率是______. 13. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的一个动点，点的坐标是，则的最小值为______. 14. 已知分别为锐角三个内角的对边，的面积，则的取值范围是______. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某工厂在改进生产技术后，针对新旧两种技术所生产的电子元件实施质量检测，现从每种技术生产的产品中各随机抽取容量为40的样本进行电压测试.已知标准电压为3.7V，误差绝对值不超过0.1V的电子元件为优品，超过0.1V的电子元件为良品. （1）已知旧技术生产的40个样本电子元件的电压测量值近似服从正态分布的近似值为样本均值3.7，的近似值为样本标准差0.09.假设该工厂前期运用旧技术已生产电子元件40000个，试估算旧技术生产的电子元件电压测量值高于3.88V的有多少个？ （2）从新技术生产的40个样本电子元件中随机选取一个是优品的概率为.请补全以下列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为电子元件的优良情况与新旧技术有关？ 优品 良品 合计 旧技术 新技术 合计 16 附：若随机变量服从正态分布，则，.. 0.100 0.050 0.025 0.005 2.706 3.841 5.024 7.879 16. 如图，平面与不等，，四棱锥的体积为为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若是的两个极值点，证明：. 18. 已知双曲线的左，右顶点分别为的右焦点到渐近线的距离为，过点的直线与的右支交于两点（点在第一象限），直线与交于点. （1）求双曲线的方程； （2）证明：点在定直线上； （3）记的面积分别为，若，求直线的方程. 19. 对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如的“交替和”是的“交替和”是5.已知集合，其中 （1）求集合的所有非空子集的“交替和”的总和； （2）集合的所有非空子集的“交替和”的总和构成数列，求数列的通项公式； （3）证明：，其中e是自然对数的底数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凯里一中2025届高三模拟考试（黄金1卷） 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数在复平面内对应点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简复数形式,由复数的几何意义与复平面内点一一对应即可求解. 【详解】由题意可得, ， 故复数在复平面内对应点为， 因为是第四象限的点， 故选：D 2. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由交集的结果求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】依题意，由，得，此时成立；反之当时，不一定成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 40 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项求的系数. 【详解】由题得的展开式的通项为 令，则,所以的系数为 故选：B 4. 已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义，结合数量积的运算律求解即得. 【详解】由向量与的夹角为，得， 由在方向上的投影向量为，得，则， 整理得，所以. 故选：A 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，排除C，再由当时，排除A，B，即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为，关于原点对称， 且所以函数是奇函数，其图象关于原点中心对称，排除C； 又由当时，排除A，B; 故选：D． 6. 已知角的终边经过点，将的终边逆时针旋转得到角，若，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先由条件求出，再根据角的旋转及两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为角的终边经过点， 所以， 所以，解得：. 故选：D 7. 已知椭圆的左，右焦点分别为，点在该椭圆上，若满足为直角三角形的点共有8个，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】数形结合，问题转化成，进而利用的关系求离心率的取值范围. 【详解】如图： 因为使为直角三角形的点有8个，所以在中，必有，即， 所以，即，可得. 又椭圆的离心率，所以. 故选：A 8. 设函数，则函数零点的个数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数零点的意义可得，在同一坐标系内作出函数图象，数形结合求出零点个数. 【详解】依题意，，显然，则， 在同一坐标系内作出函数的图象，如图， 当时，由，得，解得， 当时，由，得，则， 因此当时，函数有3个零点； 当时，， 观察图象知，在区间上，函数各有2个零点， 当时，， 令，， 函数对是递增的，， 因此当时，，当时，， 则当时，函数无零点，所以函数的零点个数为9. 故选：B 【点睛】关键点点睛：利用函数零点的意义，将函数的零点转化为函数的图象交点，并作出图象是求解的关键. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数的最小值是 B. 是函数的一个周期 C. 在上单调 D. 将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，求出函数的解析式，再结合正弦函数性质逐项判断. 【详解】观察的图象知，，最小正周期，解得， 而，则，又，于是，， 对于A，函数的最小值是，A正确； 对于B，是函数的一个周期，B正确； 对于C，当时，，则当时取得最小值， 因此在上不单调，C错误； 对于D，将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数，D正确. 故选：ABD 10. 已知数列满足，，则（ ） A. B. 是等差数列 C. 一定是等比数列 D. 数列的前99项和为 【答案】BC 【解析】 【分析】令，可求的值，判断A的真假；递推公式两边同除以，可得，可得的特征，判断B的真假；进一步可求的通项公式，判断C的真假；利用裂项求和法可求数列的前99项和，判断D的真假. 【详解】对A选项：令可得：，故A错误； 对B选项：递推公式两边同除以，可得，即， 又，所以是以1为首项，以1为公差的等差数列，故B正确； 对C选项：由B可知：，所以， 所以，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，故C正确； 对D选项：因为， 所以数列的前99项和为： ，故D错误. 故选：BC 11. 《九章算术》卷五《商功》中，记载了一种几何体“刍童”，这种几何体是上下底面为互相平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的六面体.如图，现有一高为2的“刍童”，其中，则（ ） A. 该“刍童”的所有侧棱的延长线交于一点 B. 该“刍童”的所有侧棱与下底面所成角的正弦值均为 C. 该“刍童”外接球的表面积为 D. 该“刍童”外接球表面上的点到平面的距离的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】判断“刍童”不是棱台，可判断A的真假；求出侧棱与底面所成角的正弦，判断B的真假；求“刍童”外接球半径，进而求外接球表面积，判断C的真假；先求球心到平面的距离，再求“刍童”外接球表面上的点到平面的距离的最大值，判断D的真假. 【详解】对A：根据“刍童”的概念可知：“刍童”不是棱台，所以“刍童”的所有侧棱的延长线不会交于一点，故A错误； 对B：设在平面上的射影为、在直线上的射影为，如图： 易知，该“刍童”的所有侧棱与下底面所成角均相等. 则,，, 所以， 可得， 设，则，故B正确； 对C：如图： 若该“刍童”的的外接球的球心在“刍童”外面，设其外接球半径为，，（） 则， 所以该“刍童”的的外接球的表面积为：. 若该“刍童”的的外接球的球心在“刍童”里面，设其外接球半径为，，（） 则，不合题意，故舍去. 所以该“刍童”的的外接球的表面积为：.故C正确； 对D：如图： 等腰梯形中，，，，所以， 即等腰梯形外接圆的半径. 所以该“刍童”的的外接球球心到平面的距离为：， 所以该“刍童”外接球表面上的点到平面的距离的最大值为，故D正确. 故选：BCD 【点睛】结论点睛：球面上任意点到某平面的距离的最大值，等于球的半径与球心到平面的距离之和. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 一个打印机有喷墨头和扫描器两个独立的组件，喷墨头发生故障的概率是，扫描器发生故障的概率是，则这两个组件都不发生故障的概率是______. 【答案】##0.96 【解析】 【分析】利用对立事件及相互独立事件的概率公式列式计算即得. 【详解】依题意，这两个组件都不发生故障的概率是. 故答案为： 13. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的一个动点，点的坐标是，则的最小值为______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义，结合几何图形求出最小值. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 过作垂直于准线，垂足为，交抛物线于点，过点作垂直于准线，垂足为， 因此，当且仅当共线时取等号， 所以的最小值为5. 故答案为：5 14. 已知分别为锐角三个内角的对边，的面积，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理、三角形面积公式求出，再利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换及三角函数性质求出范围. 【详解】在中，由及三角形面积公式，得， 由余弦定理得，则， 而，解得，， 由正弦定理得 ，锐角由确定， 而为锐角三角形，则，即，， 显然，而， ，因此，， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】思路点睛：涉及求三角形边长比的范围问题，时常利用三角形正弦定理，转化为关于某个角的函数，再借助三角函数的性质求解. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某工厂在改进生产技术后，针对新旧两种技术所生产的电子元件实施质量检测，现从每种技术生产的产品中各随机抽取容量为40的样本进行电压测试.已知标准电压为3.7V，误差绝对值不超过0.1V的电子元件为优品，超过0.1V的电子元件为良品. （1）已知旧技术生产的40个样本电子元件的电压测量值近似服从正态分布的近似值为样本均值3.7，的近似值为样本标准差0.09.假设该工厂前期运用旧技术已生产电子元件40000个，试估算旧技术生产的电子元件电压测量值高于3.88V的有多少个？ （2）从新技术生产的40个样本电子元件中随机选取一个是优品的概率为.请补全以下列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为电子元件的优良情况与新旧技术有关？ 优品 良品 合计 旧技术 新技术 合计 16 附：若随机变量服从正态分布，则，.. 0.100 0.050 0.025 0.005 2.706 3.841 5.024 7.879 【答案】（1）910 （2）列联表见解析；能认为电子元件的优良情况与新旧技术有关. 【解析】 【分析】（1）先根据正态分布的特点求，再估计元件的个数. （2）结合概率的意义完成列联表，计算，即可进行判断. 【小问1详解】 由题意，旧技术生产的电子元件的电压测量值， 所以. 所以旧技术生产的40000个电子元件中电压测量值高于3.88V的估计有：个. 【小问2详解】 因为新技术生产电子元件优品的概率为，则新技术生产的40个样本元件中优品数为：，良品数为：；则旧技术生产的元件良品数为：，优品数为：，完成列联表如下： 优品 良品 合计 旧技术 28 12 40 新技术 36 4 40 合计 64 16 80 所以， 因为，所以依据小概率值的独立性检验，能认为电子元件的优良情况与新旧技术有关. 16. 如图，平面与不等，，四棱锥的体积为为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 取中点，连接，由，得， 由平面，又平面，则， 而平面， 则平面，由，得， 由平面，得，而， 则由四棱锥的体积为， 得，解得， 取中点，连接， 由为的中点，得， 于是四边形为平行四边形， 则，而平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用锥体的体积求出，再利用平行公理及线面平行的判定推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点在平面内作，则平面，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 令平面的法向量，则， 取，得， 令平面的法向量，则， 取，得， 平面与平面所成的角为，则， 所以平面与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若是的两个极值点，证明：. 【答案】（1）答案见解析； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）结合定义域，再利用导数的正负来判断函数的单调性即可； （2）利用极值点就是导数的零点，从而转化为一元二次方程的两个正根，结合韦达定理，把不等式转化为以参数为变量的不等式，再利用构造函数求导来进行证明即可. 【小问1详解】 当时，， 则， 当时，，所以在区间上递增； 当时，，所以在区间上递减. 【小问2详解】 由求导得： ， 因为是的两个极值点， 所以是方程的两个根， 也是一元二次方程的两个根， 则有，解得：， 则 ， 构造函数， ， 所以在区间上单调递减， 即， 所以可得原不等式成立. 【点睛】方法点睛：把证明双变量不等式，通过韦达定理转化为单变量不等式，从而可用求导法来证明. 18. 已知双曲线的左，右顶点分别为的右焦点到渐近线的距离为，过点的直线与的右支交于两点（点在第一象限），直线与交于点. （1）求双曲线的方程； （2）证明：点在定直线上； （3）记的面积分别为，若，求直线的方程. 【答案】（1）； （2） 证明：由（1）知，，直线不垂直于轴，设方程为， 由消去得，设， ，，则，， 直线：，直线：， 联立得，解得， 所以直线与交于点在定直线上； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合点到直线距离公式求出即可. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及联立直线与方程计算即得. （3）利用三角形面积公式，结合给定比值化简计算即得直线方程. 【小问1详解】 双曲线的渐近线为，设，则， 而，所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，， 则，即， 于是，解得，即， 所以直线的方程为，即. 19. 对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如的“交替和”是的“交替和”是5.已知集合，其中 （1）求集合的所有非空子集的“交替和”的总和； （2）集合的所有非空子集的“交替和”的总和构成数列，求数列的通项公式； （3）证明：，其中e是自然对数的底数. 【答案】（1）12； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出集合的所有非空子集，再求出“交替和”及总和. （2）将集合的所有非空子集分类，并将含有3的多元素子集与不含有3的非空子集配对求出每对集合的“交替和”的和，进而求出数列的通项公式. （3）用导数证明，再利用此不等式，结合对数运算及等比数列前n项和公式推理得证. 【小问1详解】 集合，其所有非空子集为：， 它们的“交替和”分别为，且， 所以集合的所有非空子集的“交替和”的总和为12. 【小问2详解】 集合，其非空子集共有个， 将这些非空子集分为3类：第一类，含元素3的单元素集，有1个； 第二类，含元素3的多元素集合（至少两个元素），有个； 第三类，不含元素3的非空集合，有个， 第一类的“交替和”为3； 将第二类中的集合与第三类中的集合（集合中的元素去掉元素3构成的新集合）配对， 则集合与集合的“交替和”的和始终为3，如取，则， 集合与集合的“交替和”的和为， 这样的配对共组，因此集合的所有非空子集的“交替和”的总和为， 所以数列的通项公式为. 【小问3详解】 令函数，求导得，函数在上单调递减， 则，即，因此， 于是 ， 所以. 【点睛】关键点点睛：将集合分类，再将含有3的多元素子集与不含有3的非空子集配对求出每对集合的“交替和”的和是求出通项公式的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $