信息必刷卷04（新高考八省专用）-2025年高考数学考前信息必刷卷

2025年高考考前信息必刷卷04（新高考八省专用） 数 学·参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B D C C B A D D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ACD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）【答案】(1)(2) 【详解】（1），， ，（2分） ，（4分） 当且仅当即时，，所以函数的值域是．（6分） （2）由（1）得，所以，（7分） ，，，，（9分） 由正弦定理得， 又，故，（11分） 由余弦定理得，，．（13分） 16． （15分）【答案】(1)证明见解析(2). 【详解】（1）因为，所以，（1分） 在中，由正弦定理，得， 所以，所以，（2分） 则由勾股定理，得，（3分） 在中，由余弦定理，得， 所以，所以，即，（5分） 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面.（7分） （2）由（1）知四棱台的下底面面积 ，（8分） 因为，所以上底面面积，设四棱台的高为， 则四棱台的体积为，所以，（9分） 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以两两垂直.（10分） 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 所以，设平面的法向量为，（11分） 则，即，令，得， 所以平面的一个法向量为，（13分） 由题可知平面的一个法向量为，（14分） 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为.（15分） 17．（15分）【答案】(1)(2)(3)证明见解析， 【详解】（1）由题意可得数学优秀的学生有4名，这4名中物理优秀的有3名同学， 由条件根概率公式可得；（2分） （2）分析r的向量意义，设， 则，分别令的样本相关系数，的样本相关系数，与的样本相关系数为，（4分） 则，，，（6分） ， 夹角余弦值最大值为；（8分） （3）都是的一个排列， （9分） （10分） 同理 （12分） .（14分） 结合图表（15分） 18．（17分）【答案】(1)证明见解析(2)数列不是下界数列，理由见解析(3)证明见解析 【详解】（1）由题意知，，故数列是下界数列.（3分） （2）由，知，（5分） ．（6分） 因为，（7分） 所以，故数列不是下界数列．（9分） （3）由题意知，，，（11分） 因为，所以，所以．（13分） ，当时，，（14分） 当时， ，所以．（17分） 19．（17分）【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则球心，，（1分） 设为所形成曲线上的任意一点，由题意可知，则，  （2分） 又，，（3分） ，  （4分） ，化简得，（5分） 当时，可得所求曲线的方程为.（6分） （2）对，利用隐函数求导法则，得，  （7分） 过点的曲线的切线方程为，  （8分） 即，  又，  ①，证毕.（10分） （3）对于（1）中所得曲线，类似于圆的平移，将此曲线的中心平移到坐标原点，此时对应的方程为，该曲线为椭圆.   在题图2中，设点的坐标为，点，，的坐标分别为，，， 将该曲线方程记为，则，，由（2）知：两条切线，的方程分别为，，  （12分） 又点在这两条切线上，且，由此可知点，都在直线上，可得直线的方程为  ②.  由题意可知直线的方程为  ③，（13分） 联立②③可得点坐标为， 可得直线的方程为  ④，  （15分） 由①知，直线的方程为  ⑤，（16分） 联立④⑤并由可得点的横坐标， 将，，，，，代入上式，得.（17分） 试卷第2页，共22页 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年高考考前信息必刷卷04（新高考八省专用） 数 学 考情速递 高考·新动向：从近年新高考和最新的八省联考可以看出命题老师在减少题量、控制计算量的情况下，给予考生充足的思考时间，要求考生能够从多个角度进行思考、分析问题，能够灵活、综合应用知识和方法解决问题，着重考查思维的灵活性，充分发挥高考的选拔功能。 高考·新情境：通过合理创设新颖的问题情境，考查学生独立思考、提出观点、推理论证的能力，考查学生敢于质疑和批判的思维能力，考查学生的数学创新思维能力和创新性意识，引导高中数学复习要淡化解题技巧、规避答题套路，注重培养学生良好的思维品质和创新意识。如本卷第3题，以生活中的应用（系鞋带）为背景进行设计，打破了以往相对固化的试题模式，极具创新性。试题题干简洁，题意通俗易懂，把考查的重心放在空间想象能力上，要求学生具备良好的直观思维。试题着力于“反套路、反刷题”，引导中学教学破除题海战术、消除套路，重视培养学生的关键能力和学科素养。 命题·大预测：①2025年新高考数学试题依然会注重对基础知识的考查，学生需要回归教材，扎实掌握数学的基础概念，这是解题的基础和前提。②新高考将更加注重考查学生的综合应用能力，学生需要能够将所学知识灵活运用于实际问题的解决中，如利用函数模型解决实际问题、利用几何知识进行空间图形的分析等。同时还应加强跨模块知识的整合和应用能力的培养，提高解决综合性问题的能力。③随着新高考改革的推进，会出现一些新的题型和考点，学生需要及时关注高考动态，了解新题型和新考点的特点和考查要求，做好相应的准备。 在复习过程中，要注重对新题型的训练和对新考点的理解和掌握，提高应对新题型和新考点的能力。 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，且，则实数的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解不等式可得，即， 解不等式可得或； 当时可得，解得.因此实数的最小值为3.故选：B 2．十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁•怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，若用反证法证明，第一步是假设猜想不成立，即（    ） A．对任意正整数，关于的方程都有正整数解 B．对任意正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 C．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 D．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 【答案】D 【详解】命题为全称命题， 则命题的否定为：存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解，故选：D. 3．在保证鞋带系紧的前提下，哪种系法使用的鞋带长度最短？（    ） A．  B．   C．   D．   【答案】C 【详解】在保证鞋带系紧的前提下，我们需要考虑的是每种系法中鞋带的交叉和打结方式，以及这些方式如何影响所需鞋带的总长度. A. 小网丝系法：这种系法的特点是鞋带在鞋面上形成多个交叉点，每个交叉点都需要一定的鞋带长度来完成.此外，最后还需要打一个结来固定，这也会消耗额外的鞋带. B. 蝴蝶结系法：这种系法在鞋面上形成了一个明显的蝴蝶结形状，这需要鞋带在鞋面上进行多次交叉和缠绕.虽然蝴蝶结看起来美观，但这种复杂的交叉方式会使得所需鞋带长度增加. C. 爱心串系法：这种系法的特点是鞋带在鞋面上形成了一个心形图案，但交叉点相对较少，且心形图案的构造相对简单，不需要过多的鞋带进行缠绕.此外，这种系法在完成心形图案后，可以直接打结固定，不需要额外的鞋带长度. D. 小蜜蜂系法：这种系法在鞋面上形成了一个类似蜜蜂翅膀的图案，需要鞋带进行多次交叉和缠绕.虽然这种系法也很美观，但与爱心串系法相比，它需要更多的鞋带来完成图案的构造. 故选；C. 4．权，是中国传统度量衡器具，历史悠久，文化底蕴深厚，承载着中华民族在政治，经济，文化方面的大量信息．“环权”类似于砝码（如下图），用于测量物体质量．已知九枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则的前8项和为（    ）    A．194 B．193 C．192 D．191 【答案】C 【详解】由题意知，成等差数列，设公差为，成等比数列，公比为， 因为，,联立解得, 所以,,， 所以的前8项和为.故选：C 5．金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度与其来摘后时间（天）满足的函数解析式为.若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为；若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为.现在金针菇失去的新鲜度为，则采摘后的天数为（    ）（结果保留一位小数，） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得，两式相除可得，则，， ∵，解得，设天后金针菇失去的新鲜度为，则，又， ∴，，，， 则，故选：B. 6．笛卡尔是法国著名的数学家、哲学家、物理学家，他发明了现代数学的基础工具之一——坐标系，将几何与代数相结合，创立了解析几何．相传，52岁时，穷困潦倒的笛卡尔恋上了18岁的瑞典公主克里斯蒂娜，后遭驱逐，在寄给公主的最后一封信里，仅有短短的一个方程：，拿信的公主早已泪眼婆娑，原来该方程的图形是一颗爱心的形状．这就是著名的“心形线”故事．某同学利用几何画板，将函数，画在同一坐标系中，得到了如图曲线．观察图形，当时，的导函数的图像为(    )    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】根据f(x)和g(x)的解析式可知f(x)和g(x)均为偶函数，图像关于y轴对称， 当x>0时，，设y，则，∴此时f(x)对应的图像是题干中图像在第一部分的半圆，∴x>0时，g(x)对应题干中的图像在第四象限的部分， ∵该部分图像单调递增，故的值恒为正，即图像始终在x轴上方，故排除选项BC；且该部分图像的切线斜率先减小后增大，故的值先减小后增大，由此对应的只有A图像满足．故选：A． 7．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，若点是与在第一象限内的交点，且,设与的离心率分别为，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示：设椭圆与双曲线的焦距为,,由题意可得 ， ，即 ，即 ， 由可知，令，，所以，故选D. 【点睛】本题主要考查了双曲线和椭圆的性质以及离心率的问题，考查了转化思想，属于中档题. 8．“三角换元思想”是三角函数中的基本思想.运用三角换元法可以处理曲线中的最值问题.譬如：已知，求的最大值.我们令，，则.这样我们就把原问题转化为三角函数最值问题.已知是曲线上的点，则的最大值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【详解】设，由， 可得，则， 设，则， 所以，令，则，所以在上单调递减， 所以在上单调递增，所以当时取最大值， 最大值为，所以的最大值为.故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．给出下列命题，其中正确命题为（    ） A．已知数据，满足：，若去掉后组成一组新数据，则新数据的方差为21 B．随机变量服从正态分布，若，则 C．一组数据的线性回归方程为，若，则 D．对于独立性检验，随机变量的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小 【答案】ABD 【详解】对于A选项，去掉后的平均数为， 方差为故A选项正确； 对于B选项，由于随机变量服从正态分布， 则，关于1对称，则故B选项正确； 对于C选项，因为，所以，又因为回归方程为， 所以，所以，故C选项错误； 对于D选项，对于独立性检验，随机变量的值越大，则两变量有关系的程度的错误率更低，故越大，判定“两变量有关系”的错误率更低，D选项正确．故选:ABD. 10．“”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线过坐标原点，上的点到两定点，的距离之积为定值．则下列说法正确的是（   ）（参考数据：）    A．若，则的方程为 B．若上的点到两定点、的距离之积为16，则点在上 C．若，点在上，则 D．当时，上第一象限内的点满足的面积为，则 【答案】ACD 【详解】已知原点在上，则，设为上任意一点， 则有，整理得． 若，则的方程为，故A正确； 若，则，代入方程得，显然点不在此曲线上，故B错误； 若，点在上，有， 整理得，所以，故C正确； 因为，，可得， 所以点是曲线和以为直径的圆在第一象限内的交点， 联立方程，解得，，即，所以，故D正确．故选：ACD 【点睛】根据题干背景得到曲线方程为关键. 11．如图，圆锥的底面直径和母线长均为6，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则（    ）    A．当时，直线与所成角的余弦值为 B．当时，四面体的体积为 C．当且面时， D．当时， 【答案】ACD 【详解】由题意可知是边长为6的等边三角形，，，. 时，为的中点，取得，为直线与所成角或其补角， 又根据余弦定理可得， 再根据余弦定理可求得, 所以,，.则，故A正确； 在中，，，得， ，且，则四面体的体积为. ，为的中点，为的中点，故四面体体积为四面体体积的四分之一，得四面体体积为，故B错误； 对于CD选项：【法一】当时，取的中点，则，所以面 过作交于，所以面， 此时为的中点,又因相较于点，所以面面， 得面，所以，故C正确； 当时，，在面内过作交于， 则面，面，故此时得到的，中，， 由余弦定理得，，，得，则，故D正确. 故选：ACD.       【法二】则以为坐标原点，过点与垂直的直线为轴，分别以、所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，，， ，，， 得，， ， 对于C，，则，， 设平面的一个法向量为，则，，可取. 面时，得，解得.故C正确. 对于D，， 由得，，.故D正确.故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11．已知函数，则曲线的对称中心为 ． 【答案】 【详解】曲线的对称中心为，则， 即，整理得， 依题意，与无关，则，解得，此时， 所以曲线的对称中心为. 故答案为： 12．一场篮球比赛需要3名裁判员（1名主裁判、2名助理裁判），现从9名（5男4女）裁判员中任意选取3人担任某场篮球比赛的裁判，则这3名裁判员中既有男裁判员，又有女裁判员，且男裁判员担任主裁判的概率是 ． 【答案】 【详解】先计算既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数. 因为男裁判员担任主裁判，所以先从名男裁判员中选名作为主裁判，有种选法.后有两种情况. 从名女裁判员中选名作为助理裁判，有种选法. 从名女裁判员中选1名作为助理裁判，和从名男裁判员中选1名作为助理裁判，有种选法. 根据乘法原理，既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数为种. 再计算从名裁判员中选人的总情况数.从名裁判员中选人作为裁判，总数为种. 所求概率. 故答案为：. 13．某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图，已知锐角外接圆的半径为4，且三条圆弧沿三边翻折后交于点. 若，则 ；若，则的值为 . 【答案】 /0.75 【详解】设外接圆半径为，则，由正弦定理，可知， 即，由于是锐角，故， 又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即,故， 所以； 设，则， 由于，不妨假设， 由余弦定理知， 设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于 ,故 , 则得， 所以， 同理可得， 所以，故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 在平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边与单位圆交于，将的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于，记． (1)求函数的值域； (2)在中，若，，，求的面积． 【答案】(1)(2) 【详解】（1），， ，（2分） ，（4分） 当且仅当即时，，所以函数的值域是．（6分） （2）由（1）得，所以，（7分） ，，，，（9分） 由正弦定理得， 又，故，（11分） 由余弦定理得，，．（13分） 16． （15分） 如图，在四棱台中，，，CD=2，AD=3，BC=4，. (1)证明：平面平面； (2)若，四棱台的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2). 【详解】（1）因为，所以，（1分） 在中，由正弦定理，得， 所以，所以，（2分） 则由勾股定理，得，（3分） 在中，由余弦定理，得， 所以，所以，即，（5分） 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面.（7分） （2）由（1）知四棱台的下底面面积 ，（8分） 因为，所以上底面面积，设四棱台的高为， 则四棱台的体积为，所以，（9分） 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以两两垂直.（10分） 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 所以，设平面的法向量为，（11分） 则，即，令，得， 所以平面的一个法向量为，（13分） 由题可知平面的一个法向量为，（14分） 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为.（15分） 17．（15分） 在某一次联考中，高三（9）班前10名同学的数学成绩和物理成绩如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩 116 131 124 126 121 110 106 99 118 117 数学名次 7 1 3 2 4 8 9 10 5 6 物理成绩 80 78 79 81 74 65 63 70 73 84 物理名次 3 5 4 2 6 9 10 8 7 1 (1)从这10名同学任取一名，已知该同学数学优秀（成绩在120分（含）以上），则该同学物理也优秀（物理成绩在78分（含）以上）的概率； (2)已知该校高中生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，经计算这10名同学的数学成绩和物理成绩的样本相关系数约为0.8，已知这10名同学物理成绩与化学成绩的样本相关系数约为，分析相关系数的向量意义，求的样本相关系数的最大值. (3)设为正整数，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同，按照由大到小的顺序，记在中排名是位在中的排名是位.定义变量和变量的斯皮尔曼相关系数（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数.记，其中，证明：，并用上述公式求这组学生的数学成频和物理成绩的斯皮尔曼相关系数（精确到0.01） （参考公式：相关系数）。 【答案】(1)(2)(3)证明见解析， 【详解】（1）由题意可得数学优秀的学生有4名，这4名中物理优秀的有3名同学， 由条件根概率公式可得；（2分） （2）分析r的向量意义，设， 则，分别令的样本相关系数，的样本相关系数，与的样本相关系数为，（4分） 则，，，（6分） ， 夹角余弦值最大值为；（8分） （3）都是的一个排列， （9分） （10分） 同理 （12分） .（14分） 结合图表（15分） 18．（17分） 若数列满足：，若存在，都有，则称这个数列为下界数列，并把其中最小的值叫做临界值，记为. (1)记数列前项和为，证明：数列是下界数列； (2)记数列前项和为，判断数列是否为下界数列，并说明理由； (3)若数列是首项及公比均为2的等比数列，记，数列的临界值为，证明：． 【答案】(1)证明见解析(2)数列不是下界数列，理由见解析(3)证明见解析 【详解】（1）由题意知，，故数列是下界数列.（3分） （2）由，知，（5分） ．（6分） 因为，（7分） 所以，故数列不是下界数列．（9分） （3）由题意知，，，（11分） 因为，所以，所以．（13分） ，当时，，（14分） 当时， ，所以．（17分） 19．（17分） 如图1，将一个半径为的球放在桌面上，桌面上的一点的正上方相距处有一点光源，与球相切于点，也与球相切，点在桌面上，在此点光源的照射下，球在桌面上的影子的边界就形成某种曲线.设方程在和时，对于每一个都分别有唯一的值存在，那么就说方程在和时确定一个隐函数，其求导法则为（这里表示关于的导数，也是隐函数的图象在点处切线的斜率）. (1)建立适当的空间直角坐标系，求当时，在此点光源的照射下，球在桌面上的影子的边界形成的曲线的方程； (2)求证：过椭圆上任意一点的切线方程； (3)若将（1）中所得曲线的中心平移到坐标原点，此时该曲线内切于，且分别与，，相切于点，，，的延长线交于点，的延长线交于点，如图2，当点坐标为（1，4），点坐标为时，求点的横坐标. 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则球心，，（1分） 设为所形成曲线上的任意一点，由题意可知，则，  （2分） 又，，（3分） ，  （4分） ，化简得，（5分） 当时，可得所求曲线的方程为.（6分） （2）对，利用隐函数求导法则，得，  （7分） 过点的曲线的切线方程为，  （8分） 即，  又，  ①，证毕.（10分） （3）对于（1）中所得曲线，类似于圆的平移，将此曲线的中心平移到坐标原点，此时对应的方程为，该曲线为椭圆.   在题图2中，设点的坐标为，点，，的坐标分别为，，， 将该曲线方程记为，则，，由（2）知：两条切线，的方程分别为，，  （12分） 又点在这两条切线上，且，由此可知点，都在直线上，可得直线的方程为  ②.  由题意可知直线的方程为  ③，（13分） 联立②③可得点坐标为， 可得直线的方程为  ④，  （15分） 由①知，直线的方程为  ⑤，（16分） 联立④⑤并由可得点的横坐标， 将，，，，，代入上式，得.（17分） 25 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年高考考前信息必刷卷04（新高考八省专用） 数 学 考情速递 高考·：从近年新高考和最新的八省联考可以看出命题老师在减少题量、控制计算量的情况下，给予考生充足的思考时间，要求考生能够从多个角度进行思考、分析问题，能够灵活、综合应用知识和方法解决问题，着重考查思维的灵活性，充分发挥高考的选拔功能。 高考·：通过合理创设新颖的问题情境，考查学生独立思考、提出观点、推理论证的能力，考查学生敢于质疑和批判的思维能力，考查学生的数学创新思维能力和创新性意识，引导高中数学复习要淡化解题技巧、规避答题套路，注重培养学生良好的思维品质和创新意识。如本卷第3题，以生活中的应用（系鞋带）为背景进行设计，打破了以往相对固化的试题模式，极具创新性。试题题干简洁，题意通俗易懂，把考查的重心放在空间想象能力上，要求学生具备良好的直观思维。试题着力于“反套路、反刷题”，引导中学教学破除题海战术、消除套路，重视培养学生的关键能力和学科素养。 命题·①2025年新高考数学试题依然会注重对基础知识的考查，学生需要回归教材，扎实掌握数学的基础概念，这是解题的基础和前提。②新高考将更加注重考查学生的综合应用能力，学生需要能够将所学知识灵活运用于实际问题的解决中，如利用函数模型解决实际问题、利用几何知识进行空间图形的分析等。同时还应加强跨模块知识的整合和应用能力的培养，提高解决综合性问题的能力。③随着新高考改革的推进，会出现一些新的题型和考点，学生需要及时关注高考动态，了解新题型和新考点的特点和考查要求，做好相应的准备。 在复习过程中，要注重对新题型的训练和对新考点的理解和掌握，提高应对新题型和新考点的能力。 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，且，则实数的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁•怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，若用反证法证明，第一步是假设猜想不成立，即（    ） A．对任意正整数，关于的方程都有正整数解 B．对任意正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 C．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 D．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 3．在保证鞋带系紧的前提下，哪种系法使用的鞋带长度最短？（    ） A．  B．   C．   D．   4．权，是中国传统度量衡器具，历史悠久，文化底蕴深厚，承载着中华民族在政治，经济，文化方面的大量信息．“环权”类似于砝码（如下图），用于测量物体质量．已知九枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则的前8项和为（    ）    A．194 B．193 C．192 D．191 5．金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度与其来摘后时间（天）满足的函数解析式为.若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为；若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为.现在金针菇失去的新鲜度为，则采摘后的天数为（    ）（结果保留一位小数，） A． B． C． D． 6．笛卡尔是法国著名的数学家、哲学家、物理学家，他发明了现代数学的基础工具之一——坐标系，将几何与代数相结合，创立了解析几何．相传，52岁时，穷困潦倒的笛卡尔恋上了18岁的瑞典公主克里斯蒂娜，后遭驱逐，在寄给公主的最后一封信里，仅有短短的一个方程：，拿信的公主早已泪眼婆娑，原来该方程的图形是一颗爱心的形状．这就是著名的“心形线”故事．某同学利用几何画板，将函数，画在同一坐标系中，得到了如图曲线．观察图形，当时，的导函数的图像为(    )    A．   B．   C．   D．   7．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，若点是与在第一象限内的交点，且,设与的离心率分别为，则的取值范围是 A． B． C． D． 8．“三角换元思想”是三角函数中的基本思想.运用三角换元法可以处理曲线中的最值问题.譬如：已知，求的最大值.我们令，，则.这样我们就把原问题转化为三角函数最值问题.已知是曲线上的点，则的最大值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．给出下列命题，其中正确命题为（    ） A．已知数据，满足：，若去掉后组成一组新数据，则新数据的方差为21 B．随机变量服从正态分布，若，则 C．一组数据的线性回归方程为，若，则 D．对于独立性检验，随机变量的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小 10．“”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线过坐标原点，上的点到两定点，的距离之积为定值．则下列说法正确的是（   ）（参考数据：）    A．若，则的方程为 B．若上的点到两定点、的距离之积为16，则点在上 C．若，点在上，则 D．当时，上第一象限内的点满足的面积为，则 11．如图，圆锥的底面直径和母线长均为6，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则（    ）    A．当时，直线与所成角的余弦值为 B．当时，四面体的体积为 C．当且面时， D．当时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11．已知函数，则曲线的对称中心为 ． 12．一场篮球比赛需要3名裁判员（1名主裁判、2名助理裁判），现从9名（5男4女）裁判员中任意选取3人担任某场篮球比赛的裁判，则这3名裁判员中既有男裁判员，又有女裁判员，且男裁判员担任主裁判的概率是 ． 13．某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图，已知锐角外接圆的半径为4，且三条圆弧沿三边翻折后交于点. 若，则 ；若，则的值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 在平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边与单位圆交于，将的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于，记． (1)求函数的值域； (2)在中，若，，，求的面积． 16． （15分） 如图，在四棱台中，，，CD=2，AD=3，BC=4，. (1)证明：平面平面； (2)若，四棱台的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 17．（15分） 在某一次联考中，高三（9）班前10名同学的数学成绩和物理成绩如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩 116 131 124 126 121 110 106 99 118 117 数学名次 7 1 3 2 4 8 9 10 5 6 物理成绩 80 78 79 81 74 65 63 70 73 84 物理名次 3 5 4 2 6 9 10 8 7 1 (1)从这10名同学任取一名，已知该同学数学优秀（成绩在120分（含）以上），则该同学物理也优秀（物理成绩在78分（含）以上）的概率； (2)已知该校高中生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，经计算这10名同学的数学成绩和物理成绩的样本相关系数约为0.8，已知这10名同学物理成绩与化学成绩的样本相关系数约为，分析相关系数的向量意义，求的样本相关系数的最大值. (3)设为正整数，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同，按照由大到小的顺序，记在中排名是位在中的排名是位.定义变量和变量的斯皮尔曼相关系数（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数.记，其中，证明：，并用上述公式求这组学生的数学成频和物理成绩的斯皮尔曼相关系数（精确到0.01）（参考公式：相关系数）。 18．（17分） 若数列满足：，若存在，都有，则称这个数列为下界数列，并把其中最小的值叫做临界值，记为. (1)记数列前项和为，证明：数列是下界数列； (2)记数列前项和为，判断数列是否为下界数列，并说明理由； (3)若数列是首项及公比均为2的等比数列，记，数列的临界值为，证明：． 19．（17分） 如图1，将一个半径为的球放在桌面上，桌面上的一点的正上方相距处有一点光源，与球相切于点，也与球相切，点在桌面上，在此点光源的照射下，球在桌面上的影子的边界就形成某种曲线.设方程在和时，对于每一个都分别有唯一的值存在，那么就说方程在和时确定一个隐函数，其求导法则为（这里表示关于的导数，也是隐函数的图象在点处切线的斜率）. (1)建立适当的空间直角坐标系，求当时，在此点光源的照射下，球在桌面上的影子的边界形成的曲线的方程； (2)求证：过椭圆上任意一点的切线方程； (3)若将（1）中所得曲线的中心平移到坐标原点，此时该曲线内切于，且分别与，，相切于点，，，的延长线交于点，的延长线交于点，如图2，当点坐标为（1，4），点坐标为时，求点的横坐标. 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$