热点3-3 解三角形及其应用（8题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考通用）

热点3-3 解三角形及其应用 三年考情分析 2025考向预测 解三角形及其应用是高考数学的高频考，在选择题、填空题及解答题中都有出现．命题侧重考查正弦定理、余弦定理和面积公式的应用，难度适中。也与三角恒等变换、三角函数等知识结合、注重考查解三角形在实际问题中的应用． 正弦定理和余弦定理及其变形依然是2025年高考的重点内容．题型包括选择题、填空题和解答题，难度多为中档，除利用正、余弦定理解三角形外，还可能结合三角形的中线、高线、角平分线等性质考查三角形的面积、周长、最值和范围问题． 题型1 利用正、余弦定理解三角形 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理. （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理． 2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简． 3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等． 1．（24-25高三上·陕西西安·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．1 D．4 【答案】C 【解析】由正弦定理得: ，则 又因为 ，所以 ， 所以 ， 在中由余弦定理得: .代入得: . 解得: 或 ， 又因为 ，则 ，故，故选：C. 2．（24-25高三上·河南·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】 ， 由正弦定理得 ，即 ， ， ， ， ， ， 由余弦定理得： ；故选： 3．（24-25高三下·山东淄博·开学考试）的内角，，的对边分别为，，，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，可得， 所以，所以， 所以，所以，因为，所以.故选：B. 4．（24-25高三上·贵州·月考）在中，内角所对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】由题可得， ，，当且仅当取等号， 所以.故选：B. 题型2 利用正、余弦定理判断三角形形状 1、通过正弦定理和余弦定理，化边为角（如，等），利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断。此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如，；或等． 2、利用正弦定理、余弦定理化角为边，如，等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断． 3、注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种情况的可能． 1．（23-24高三下·河北秦皇岛·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A．为直角三角形 B．为锐角三角形 C．为钝角三角形 D．的形状无法确定 【答案】A 【解析】由，可得， 则， ， ， 即， 由，故只能为锐角，可得， 因为，所以，.故选：A. 2．（24-25高三上·四川绵阳·月考）在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 【答案】A 【解析】， 由正弦定理得，则， 又，可得， 为三角形的内角，， 所以一定是等腰三角形.故选：. 3．（24-25高三上·江苏扬州·月考）在中，角，，分别为，，三边所对的角，，则的形状是（    ） A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】C 【解析】由得：，且， ，且， ， ， 化简整理得：，即， 或，又， 是直角三角形但一定不是等腰三角形．故选：． 4．（24-25高三上·福建南平·期中）在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】因为向量，共线， 则，由正弦定理可得：， 则， 因为，则，可知，，，均不为， 可得，则，即； 同理由向量，共线可得：； 综上所述：. 所以的形状为等边三角形.故选：A 题型3 与三角形面积有关的问题 1、常用的三角形面积公式： 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心． （1） （2） （3） （4） 2、与三角形面积有关问题的解题策略 （1）利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积； （2）把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量． 1．（24-25高三上·浙江宁波·期末）在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为，，所以， 又，即， 所以， 所以， 所以， 因为，即， 又（其中）， 所以，则， 即， 又，即，即， 又，所以，解得， 所以，解得， 所以.故选：B 2．（24-25高三上·贵州安顺·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，所以， 即，得到， 又，则，所以，解得. （2）由（1）知，又，所以， 又，所以， 又， 所以. 3．（24-25高三上·浙江·期末）在中，角对应的边分别为，. (1)求角A； (2)若，，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由及正弦定理， 可得，故， 由余弦定理，可得， 由于，故， （2）由（1）可知，所以 因为，所以 所以，由 所以， 所以 所以. 4．（24-25高三下·安徽·月考）在中，角的对边分别为． (1)求； (2)若为边上一点，且的面积为，证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】（1）由，则， 所以，，则. （2）由，可得（负值舍）， 则，而， 所以，即，得证. 题型4 平面多边形中的解三角形问题 将复杂的多边形分割成若干个三角形，通过逐一解决每个三角形的问题，求解整个多边形的边长和角度，有时还需结合三角恒等变换逐步． 1．（24-25高三上·山东淄博·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，成等差数列，且． (1)求证：为等边三角形； (2)如图，点D在边BC的延长线上，且，，求的值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为，，成等差数列，则， 又因为，由余弦定理可得， 即，解得， 所以为等边三角形. （2）设，则， 在中，由余弦定理可得， 即，解得，即， 由正弦定理可得. 2．（24-25高三上·甘肃酒泉·月考）如图，已知的内角所对的边分别是，，且的外接圆面积为. (1)求边； (2)若，延长至，使得，求. 【答案】(1)7；(2)5 【解析】（1）设的外接圆半径为， 由题意，解得. 由和正弦定理，可得：， 又由余弦定理，可得， 因为，故 由正弦定理，； （2）由（1）已得， 则， 化简得：，解得，（舍去）. 由余弦定理，可得， 所以. 由，可得. 故 ， 在中，由正弦定理，, 即得. 3．（24-25高三上·安徽亳州·期末）如图，在平面四边形中，，，平分. (1)若，，求； (2)若，求. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）∵平分，∴，故， ∵，， ∴，， 在中，由余弦定理得. （2）设，则. 设，则，， 在中，由余弦定理得， ∵，∴， ∴，， ∴. 4．（24-25高三上·浙江·月考）如图，四边形中，． (1)求； (2)为边上一点，且的面积为，求的外接圆半径． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，所以， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 两式作差得：，解得， 因为，所以． （2）因为 由（1）知，可得，且， 则所以， 在中，可得，所以， 在中，可得， 在中，可得， 可得,所以，则， 所以，解得， 设的外接圆半径为， 由正弦定理得，解得， 所以的外接圆半径为． 题型5 解三角形中的中线问题 1、中线长定理：在中，是边上的中线，则 2、向量法： 【点睛】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）. 1．（24-25高三上·福建厦门·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)设D为边AB的中点，若，且，求a． 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）在中，由及正弦定理得， 即，即， 而，即，则，又， 所以. （2）依题意，，则，或， 当时，由， 得， 在中，由正弦定理得，，则， 在中，由余弦定理得， 因此， 当时，， ，， 所以或. 2．（24-25高三上·湖北武汉·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足 (1)求B； (2)若的面积为，，求中线BD的长． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，所以， 又因为 所以，，得， 所以，由余弦定理得， 又B为三角形内角， 所以， （2）因为的面积为，，， 所以，，所以，又， 因为BD为的中线，所以，， 所以，， 所以 3．（24-25高三上·海南海口·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，，. (1)求的最大值； (2)若的面积为为中点，求的值. 【答案】(1)12；(2) 【解析】（1）由余弦定理， 因为， 即， 整理，得，即. 由于，则. ∵，∴当且仅当时，等号成立 ∴的最大值为12 （2）由题知，， 平方可得，， 联立得：，且， 即联立解出， ∴，∴. 4．（24-25高三上·山东济南·期末）记的内角的对边分别为，已知 (1)求A的值； (2)若边上的两条中线相交于点P，且求的正切值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）在，因为，由正弦定理得： 即 即 因为 所以 而 所以整理得 因为中所以 又所以 （2）因为AM是边BC的中线，所以 则 不妨设则所以 即解得或舍所以 在中即 即， 解得即 所以，在中 又易知，P是重心，所以 所以 题型6 解三角形中的角平分线问题 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， 1、利用角度的倍数关系： 2、内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷． 3、等面积法： 因为，所以，所以 整理的：（角平分线长公式）． 1．（24-25高三上·湖北武汉·月考）在中，角的对边分别为且满足. (1)求； (2)若的角平分线与交于点，，，求. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 即， 又，所以，， 所以，所以； （2）如图，由题意得，， 所以，即， 又，代入解得， 由余弦定理，可得，即， 所以． 2．（24-25高三上·河南·期末）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)设的平分线交线段于点，若，证明：为直角三角形. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为，所以. 由余弦定理，得， 又因为，所以. （2）因为是的平分线，所以， 设的边上的高为，则由， 得，即， 由余弦定理，得， 所以，从而，故为直角三角形. 3．（24-25高三上·湖南衡阳·期末）在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，外接圆半径为2，的角平分线与交于点.求的长. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 所以,即,即, 因为，所以. （2）. 所以，从而，所以， 因为外接圆半径为，所以外接圆直径为， 由正弦定理得， 所以 因为的角平分线为，所以，所以 在中，由正弦定理得，即，解得 4．（24-25高三上·安徽宣城·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，D是BC上的点，AD平分∠BAC，求AD的最大值． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由已知及正弦定理有，即， 由余弦定理有，，则. （2）由（1）可知，则①， 由基本不等式有，可得， 又，则， ∵， ∴，可得， 由①有， 令，则在上单调递增， 所以AD的最大值为. 题型7 测量距离、高度、角度问题 1、求距离、高度问题 （1）选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量． （2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 2、求角度问题 （1）分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角． （2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的综合应用． 1．（24-25高三上·江西·月考）南昌双子塔，坐落于红谷滩区赣江北岸，是南昌标志性建筑之一.如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度（两座双子塔的高度相同），在地面上选择了一座高为的大楼，在大楼顶部处测得双子塔顶部的仰角为，底部的俯角为，则双子塔的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，，， 则在中，，即， 在中，， 由正弦定理得，即， 所以.故选：D. 2．（24-25高三上·海南·月考）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，由正弦定理可知： ，则，即， 在直角中， 由，得，故选：A. 3．（24-25高三上·福建·期末）如图，一艘客船在处测得灯塔在它的南偏东方向，测得灯塔在它的南偏东方向.该客船向正东方向行驶后到达处，此时客船测得灯塔在它的南偏西方向，测得灯塔在它的南偏西方向，则灯塔与灯塔之间的距离（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，， 所以在中， 因为， ， 由正弦定理可得：，则，解得：， 在中，所以， 所以在，由余弦定理可得： ， 所以.故选：A. 4．（24-25高三上·山东潍坊·期末）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，且，则 ． 【答案】 【解析】因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 在中，已知， 由正弦定理得， 所以； 因为，则，所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为，，故， 在中，由余弦定理得：， 故，所以 题型8 解三角形与三角函数综合应用 1．（24-25高三上·天津·期中）设函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间及对称轴； (3)在锐角中，内角，，的对边分别是，，，且，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)单调递增区间是，对称轴为，；(3) 【解析】（1） 所以函数的最小正周期为； （2）令，得，， 所以函数的单调递增区间是. 令，，得，， 所以函数的对称轴为，. （3）锐角中，， ，解得，所以， 所以， 所以的取值范围是. 2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，在中，内角、、所对的边分别为、、，且. (1)求函数在区间上的值域； (2)求角； (3)若，求的面积. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）根据题意，可得， 当时，，所以，， 故， 所以函数在区间上的值域为. （2）由（1）得，即. 因为，，所以，可得. （3）由余弦定理得， 若，则， 因为， 所以，可得，即. 由正弦定理，得，， 所以，结合，可得. 所以的面积. 3．（24-25高三上·河南安阳·期中）已知函数是偶函数，且其图象上相邻的最高点与最低点间的距离为. (1)求的单调递增区间； (2)在中，其内角的对边分别为，已知2，且，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）， 所以由函数为偶函数，知. 又，所以，即有. 因为，所以有. 所以. 又其图象上相邻的最高点与最低点间的距离为，且， 所以有，解得. 所以的单调递增区间为. （2）由正弦定理，及， 得， 化简可得，即. 又，所以. 由，及余弦定理， 得，解得或（舍去），所以. 又因为，所以. 所以. 4．（24-25高三上·江苏扬州·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，. (1)判断的形状； (2)已知，，，点、是边上的两个动点（、不重合，且点靠近，点靠近）.记，. ①当时，求线段长的最小值； ②是否存在常数和，对于所有满足题意的、，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由. 参考公式：，. 【答案】(1)直角三角形或等腰三角形；(2)①；②成立，， 【解析】（1）在中，因为，且， 所以， 即，， 所以或者. 当时，所以，为直角三角形； 当时，所以，为等腰三角形. 综上所述，为直角三角形或等腰三角形. （2）①因为，所以，又，，所以，. 如图，设，， 方法一：在中，由正弦定理，得， 所以. 在中，由正弦定理，得， 所以 . 因为，所以， 故当，即时，. 方法二：在中，由正弦定理，得，所以. 在中，由正弦定理，得， 所以 . 因为，所以， 故当，即时，. 方法三：在中，由正弦定理，得，所以. 在中，由正弦定理，得，所以. 所以 ， 因为，所以， 故当，即时，. ②假设存在常数，，对于所有满足题意的，， 都有成立， 则存在常数，，对于所有满足题意的，，利用参考公式，有 . 由题意，是定值，所以，是定值， 对于所有满足题意的，成立，故有， 因为，从而， 即，，所以. 故，. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高三上·江西·一模）的内角的对边分别为.已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】由正弦定理，得， 所以， 又，所以，所以.故选：A. 2．（24-25高三上·河南濮阳·月考）在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】由题设有，故，故， 由余弦定理可得， 故，故三角形外接圆的半径为，故选：B. 3．（24-25高三上·云南昆明·期末）在钝角中，内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当为钝角时，由余弦定理得， 所以，解得， 因为，所以，所以； 当为钝角时，由余弦定理得， 所以，解得， 因为，所以，所以，故选：D 4．（24-25高三上·广东·一模）如图，已知，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】，，，所以. ，， ， ，解得或（舍）故选：D 5．（24-25高三上·甘肃张掖·一模）在中，内角的对边分别为，记的面积为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以． 结合余弦定理，得， 所以． 所以，解得． 因为，所以，所以．故选：B. 6．（24-25高三上·福建福州·月考）在中，已知分别为角的对边.若，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】由及余弦定理得：， 则，由正弦定理得：， 由二倍角公式可得：， 移项并利用和差化积公式整理可得：， 又，所以，解得或， 由于，所以.故选：C. 7．（24-25高三上·重庆·月考）在中，内角A，，的对边分别为，，，已知，则（    ） A．4049 B．4048 C．4047 D．4046 【答案】A 【解析】在中，，可得， 即，故， 即，所以， 所以，即，所以 故.故选：A. 8．（24-25高三上·江苏·月考）某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边△，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，， 又，则，设，则， 在中，由正弦定理得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，又，解得，则， 所以，故选：B 二、多选题 9．（24-25高三下·广西·开学考试）在中，内角所对的边分别为，若，，且，则（    ） A．的外接圆直径为 B． C．的面积为 D．的周长为 【答案】ABD 【解析】因为，由正弦定理可得外接圆直径，故A正确； 由易得， 所以等价于， 所以， 由正弦定理得，故B正确； 由余弦定理可得，代入，解得， 的面积为，故C错误， 所以的周长为，D正确.故选：ABD. 10．（24-25高三上·福建福州·月考）在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 【答案】ACD 【解析】对于A，，则，由正弦定理可得，，故A正确； 对于B，由正弦定理，，此时无解，故B错误； 对于C，，又且， ，可知，，均为锐角，故为锐角三角形，故C正确； 对于D：，， ，， ，或，若，，则， 所以为等腰三角形或直角三角形，故D正确．故选：ACD． 11．（24-25高三上·广东深圳·月考）在锐角三角形中，外接圆的半径为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于AB，锐角三角形中，，，外接圆的半径为， ，，则有，同理， 所以由正弦定理， 得， 由得，有，有， 所以，故A选项正确，B选项错误； 对于C，，由上，得，则有，故C选项正确； 对于D，， 设，，则， 所以时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以时，有最小值1，又，， 所以，即，故D选项错误.故选：AC. 三、填空题 12．（24-25高三上·广东佛山·一模）记的内角的对边分别为且，则 ． 【答案】 【解析】因为， 故， 所以， 整理得到：，故. 13．（24-25高三上·江苏扬州·期末）在中，已知角所对的边分别，的面积，，，则的周长为 ． 【答案】 【解析】因为的面积，， 所以，所以， 又，所以， 又，， 所以， 又，所以， 由余弦定理可得， 由，，可得， 所以，所以，所以， 所以的周长为. 14．（24-25高三上·江西·月考）如图，在中，，，、是边上的两点，且，则 ． 【答案】 【解析】因为，，则， 不妨设，则， 因为，则， 所以，，同理可得， 因为，则， 故， 由二倍角的余弦公式可得，可得， 所以，. 四、解答题 15．（24-25高三上·广东惠州·模拟预测）在中，角所对的边分别为，，，且，. (1)若边上的高，求证：为等边三角形； (2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）证明：在中，，， 由余弦定理得，即①. 又， 即，故②. 由①②得，即，故. 所以为等边三角形. （2）在中，由， 得， 又直线为的平分线， 则， 所以，即③， 又由余弦定理可得，即.④， 由③④可知， 解得或（舍）， 所以的周长为. 16．（24-25高三上·山东菏泽·期末）如图，平面四边形ABCD中AC平分 (1)若求； (2)若 （ⅰ）求； （ⅱ）求 【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】（1）由题意可知AC平分因此 则， 而， 故在中，由余弦定理可得. （2）（ⅰ）设则，设，则， 由余弦定理可得， 所以，解得. （ⅱ）由于在直角三角形ACD中为锐角， 则 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点3-3 解三角形及其应用 三年考情分析 2025考向预测 解三角形及其应用是高考数学的高频考，在选择题、填空题及解答题中都有出现．命题侧重考查正弦定理、余弦定理和面积公式的应用，难度适中。也与三角恒等变换、三角函数等知识结合、注重考查解三角形在实际问题中的应用． 正弦定理和余弦定理及其变形依然是2025年高考的重点内容．题型包括选择题、填空题和解答题，难度多为中档，除利用正、余弦定理解三角形外，还可能结合三角形的中线、高线、角平分线等性质考查三角形的面积、周长、最值和范围问题． 题型1 利用正、余弦定理解三角形 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理. （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理． 2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简． 3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等． 1．（24-25高三上·陕西西安·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．1 D．4 2．（24-25高三上·河南·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（    ） A． B． C．2 D． 3．（24-25高三下·山东淄博·开学考试）的内角，，的对边分别为，，，且，则为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·贵州·月考）在中，内角所对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D．2 题型2 利用正、余弦定理判断三角形形状 1、通过正弦定理和余弦定理，化边为角（如，等），利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断。此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如，；或等． 2、利用正弦定理、余弦定理化角为边，如，等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断． 3、注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种情况的可能． 1．（23-24高三下·河北秦皇岛·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A．为直角三角形 B．为锐角三角形 C．为钝角三角形 D．的形状无法确定 2．（24-25高三上·四川绵阳·月考）在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 3．（24-25高三上·江苏扬州·月考）在中，角，，分别为，，三边所对的角，，则的形状是（    ） A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 4．（24-25高三上·福建南平·期中）在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形 题型3 与三角形面积有关的问题 1、常用的三角形面积公式： 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心． （1） （2） （3） （4） 2、与三角形面积有关问题的解题策略 （1）利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积； （2）把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量． 1．（24-25高三上·浙江宁波·期末）在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D．1 2．（24-25高三上·贵州安顺·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若，求的面积． 3．（24-25高三上·浙江·期末）在中，角对应的边分别为，. (1)求角A； (2)若，，求的面积. 4．（24-25高三下·安徽·月考）在中，角的对边分别为． (1)求； (2)若为边上一点，且的面积为，证明：． 题型4 平面多边形中的解三角形问题 将复杂的多边形分割成若干个三角形，通过逐一解决每个三角形的问题，求解整个多边形的边长和角度，有时还需结合三角恒等变换逐步． 1．（24-25高三上·山东淄博·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，成等差数列，且． (1)求证：为等边三角形； (2)如图，点D在边BC的延长线上，且，，求的值． 2．（24-25高三上·甘肃酒泉·月考）如图，已知的内角所对的边分别是，，且的外接圆面积为. (1)求边； (2)若，延长至，使得，求. 3．（24-25高三上·安徽亳州·期末）如图，在平面四边形中，，，平分. (1)若，，求； (2)若，求. 4．（24-25高三上·浙江·月考）如图，四边形中，． (1)求； (2)为边上一点，且的面积为，求的外接圆半径． 题型5 解三角形中的中线问题 1、中线长定理：在中，是边上的中线，则 2、向量法： 【点睛】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）. 1．（24-25高三上·福建厦门·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)设D为边AB的中点，若，且，求a． 2．（24-25高三上·湖北武汉·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足 (1)求B； (2)若的面积为，，求中线BD的长． 3．（24-25高三上·海南海口·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，，. (1)求的最大值； (2)若的面积为为中点，求的值. 4．（24-25高三上·山东济南·期末）记的内角的对边分别为，已知 (1)求A的值； (2)若边上的两条中线相交于点P，且求的正切值. 题型6 解三角形中的角平分线问题 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， 1、利用角度的倍数关系： 2、内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷． 3、等面积法： 因为，所以，所以 整理的：（角平分线长公式）． 1．（24-25高三上·湖北武汉·月考）在中，角的对边分别为且满足. (1)求； (2)若的角平分线与交于点，，，求. 2．（24-25高三上·河南·期末）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)设的平分线交线段于点，若，证明：为直角三角形. 3．（24-25高三上·湖南衡阳·期末）在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，外接圆半径为2，的角平分线与交于点.求的长. 4．（24-25高三上·安徽宣城·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，D是BC上的点，AD平分∠BAC，求AD的最大值． 题型7 测量距离、高度、角度问题 1、求距离、高度问题 （1）选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量． （2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 2、求角度问题 （1）分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角． （2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的综合应用． 1．（24-25高三上·江西·月考）南昌双子塔，坐落于红谷滩区赣江北岸，是南昌标志性建筑之一.如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度（两座双子塔的高度相同），在地面上选择了一座高为的大楼，在大楼顶部处测得双子塔顶部的仰角为，底部的俯角为，则双子塔的高度为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·海南·月考）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·福建·期末）如图，一艘客船在处测得灯塔在它的南偏东方向，测得灯塔在它的南偏东方向.该客船向正东方向行驶后到达处，此时客船测得灯塔在它的南偏西方向，测得灯塔在它的南偏西方向，则灯塔与灯塔之间的距离（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山东潍坊·期末）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，且，则 ． 题型8 解三角形与三角函数综合应用 1．（24-25高三上·天津·期中）设函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间及对称轴； (3)在锐角中，内角，，的对边分别是，，，且，求的取值范围. 2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，在中，内角、、所对的边分别为、、，且. (1)求函数在区间上的值域； (2)求角； (3)若，求的面积. 3．（24-25高三上·河南安阳·期中）已知函数是偶函数，且其图象上相邻的最高点与最低点间的距离为. (1)求的单调递增区间； (2)在中，其内角的对边分别为，已知2，且，求的面积. 4．（24-25高三上·江苏扬州·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，. (1)判断的形状； (2)已知，，，点、是边上的两个动点（、不重合，且点靠近，点靠近）.记，. ①当时，求线段长的最小值； ②是否存在常数和，对于所有满足题意的、，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由. 参考公式：，. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高三上·江西·一模）的内角的对边分别为.已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高三上·河南濮阳·月考）在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（    ） A． B．2 C． D． 3．（24-25高三上·云南昆明·期末）在钝角中，内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·广东·一模）如图，已知，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 5．（24-25高三上·甘肃张掖·一模）在中，内角的对边分别为，记的面积为，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·福建福州·月考）在中，已知分别为角的对边.若，且，则（    ） A． B． C． D．或 7．（24-25高三上·重庆·月考）在中，内角A，，的对边分别为，，，已知，则（    ） A．4049 B．4048 C．4047 D．4046 8．（24-25高三上·江苏·月考）某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边△，已知，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三下·广西·开学考试）在中，内角所对的边分别为，若，，且，则（    ） A．的外接圆直径为 B． C．的面积为 D．的周长为 10．（24-25高三上·福建福州·月考）在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 11．（24-25高三上·广东深圳·月考）在锐角三角形中，外接圆的半径为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高三上·广东佛山·一模）记的内角的对边分别为且，则 ． 13．（24-25高三上·江苏扬州·期末）在中，已知角所对的边分别，的面积，，，则的周长为 ． 14．（24-25高三上·江西·月考）如图，在中，，，、是边上的两点，且，则 ． 四、解答题 15．（24-25高三上·广东惠州·模拟预测）在中，角所对的边分别为，，，且，. (1)若边上的高，求证：为等边三角形； (2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长. 16．（24-25高三上·山东菏泽·期末）如图，平面四边形ABCD中AC平分 (1)若求； (2)若 （ⅰ）求； （ⅱ）求 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$