第九章 平面直角坐标系（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（福建专用，人教版2024）

第9章 平面直角坐标系（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．在平面直角坐标系中，位于第四象限的点是（   ） A． B． C． D． 2．若点在轴上，点在轴上，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在平面直角坐标系中点的坐标满足；则点P在第（    ）象限 A．一或二 B．一或三 C．二或三 D．二或四 4．下列说法正确的是（　　） A．点一定在第四象限 B．若，则点表示原点 C．已知点轴，且，则B点的坐标为 D．已知点与点，则直线平行y轴 5．如图，点是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点向轴、轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点叫做“垂距点”，例如：如图中的点是“垂距点”．下列选项是“垂距点”是（   ） A． B． C． D． 6．平面直角坐标系中，点，，，若轴，则线段的长度最小为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．已知在 内有任意一点经过平移后对应点为，又已知点在经过此次平移后的对应点为，设，则m的值是（        ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．在平面直角坐标系中，点，，，若平分，轴，轴，且，则的值为（　　） A．9 B． C． D． 9．如图，已知直线l1⊥l2，且在某平面直角坐标系中， x轴∥l1，y轴∥l2，若点A的坐标为(-1，2)，点B的坐标为(2，-1)，则点C在(     ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．如图，一个机器人从点出发，向正西方向走2m到达点；再向正北方向走4m到达点；再向正东方向走6m到达点；再向正南方向走8m到达点；再向正西方向走10m到达点按此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．已知点、，则 ． 12．已知点，，则线段的中点坐标为 ． 13．如图，点，，若将线段平移至的位置，则的值是 ． 14．已知△ABC的各顶点坐标分别为A（－5，2），B（1，3），C（3，－1），则△ABC的面积为 ． 15．如图，直线经过原点O，点C在y轴上，D为线段上的一点，若，，，，则长度的最小值是 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，，，，一只瓢虫从点A出发以3个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2023秒瓢虫在点 处（填写坐标）． 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）如图，点A、B在x轴上，点C在y轴上，点D在线段BC上，且∠ODB＝∠ACB，E是AC上的一点，且E(-3，a)，F(-3，0)，若∠1＝120°，求∠2的度数 18．（8分）已知三角形的顶点分别为，，，三角形是三角形经过平移得到的，三角形中任意一点平移后的对应点为． (1)请写出由三角形得到三角形的平移的过程； (2)请在如图所示的平面直角坐标系中，画出三角形，并写出点，，的坐标． 19．（8分）已知点，根据下列条件求点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的横坐标比纵坐标小4； (3)点在第一、三象限的角平分线上． 20．（8分）近年来，园林部门为了对古树名木进行系统养护，建立了相关的地理信息系统，其中重要的一条就是要确定这些树的位置．如下图，某小区有树龄百年以上的古松树4棵（A，B，C，D）．为了加强对古树的保护，园林部门将4棵古松树的位置用坐标表示，，． (1)请你在图上建立合适的平面直角坐标系，并用坐标表示古松树D的位置； (2)该小区想要在古松树间修建一座凉亭P供居民乘凉，要求凉亭P到古松树C的距离最近，请在图上标出凉亭P的位置，写出点P的坐标，并说明其中的理由是什么？ 21．（8分）在平面直角坐标系中，为原点，的顶点坐标分别为，，，将点右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到对应点． (1)直接写出点的坐标； (2)求的面积； (3)点是一个动点，若的面积等于的面积，请求出点坐标． 22．（10分）如图，在直角坐标系中，已知三点，其中满足关系式，． (1)求的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，是否存在点，使四边形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（10分）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴距离的较小值称为点P的“短距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“短距”为______； (2)若点是第一象限内的“完美点”，求a的值； (3)若点为“完美点”，求点的“短距”． 24．（12分）在平面直角坐标系中，，，，且． (1)请直接写出点，，的坐标； (2)如图（1），平移线段至，使点的对应点是点，求三角形的面积； (3)如图（2），点是轴正半轴上一点，当把四边形的面积分为的两部分时，求点的坐标． 25．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B在坐标轴上，其中满足，点M在线段上． (1)求A，B两点的坐标； (2)将平移到，点A对应点，点对应点，若，求m，n，t的值； (3)如图2，若点C，D也在坐标轴上，F为线段上一动点（不包含点A，点B），连接，平分，试探究与的数量关系． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 平面直角坐标系（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．在平面直角坐标系中，位于第四象限的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是各象限内点的坐标特点、坐标轴上点的坐标特点．各象限内点的坐标特点：第一象限点的坐标为，第二象限点的坐标为，第三象限点的坐标为，第四象限点的坐标为，据此判定即可． 【详解】解：∵第四象限点的坐标为 ∴符合第四象限点的坐标特征， 故选：C． 2．若点在轴上，点在轴上，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据轴上点的纵坐标为零，轴上点的纵坐标为零，可得、的值，根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案． 【详解】解：由点在轴上，点在轴上，得 ，． 解得：，， 则点在第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了点的坐标，利用轴上点的纵坐标为零，轴上点的纵坐标为零得出、的值是解题关键． 3．在平面直角坐标系中点的坐标满足；则点P在第（    ）象限 A．一或二 B．一或三 C．二或三 D．二或四 【答案】B 【分析】根据，可判断x和y的符号，即可确定点P所在的象限． 【详解】解：∵， ∴x和y为同号即为同正或同负， ∴点在第一或第三象限． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 4．下列说法正确的是（　　） A．点一定在第四象限 B．若，则点表示原点 C．已知点轴，且，则B点的坐标为 D．已知点与点，则直线平行y轴 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，正确把握点的坐标特点是解题的关键．本题直接利用坐标轴上点的坐标特点以及平行于坐标轴的直线上点的关系分别分析即可得出答案． 【详解】A.当时，点在x轴上，故该选项错误； B. 若，则点可能在轴上，可能在y轴上，也可能表示原点，故该选项错误； C. 已知点轴，且，则B点的坐标为或，故该选项错误； D. 已知点与点，则直线平行轴，故该选项正确， 故选：D． 5．如图，点是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点向轴、轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点叫做“垂距点”，例如：如图中的点是“垂距点”．下列选项是“垂距点”是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，新定义．求出各点到坐标轴的距离之和，根据“垂距点”的定义进行判断即可． 【详解】解：A、点到坐标轴的距离之和为，故该点不是“垂距点”； B、到坐标轴的距离之和为，故该点是“垂距点”； C、到坐标轴的距离之和为，故该点不是“垂距点”； D、到坐标轴的距离之和为，故该点不是“垂距点”． 故选：B 6．平面直角坐标系中，点，，，若轴，则线段的长度最小为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于轴的直线上各点的横坐标相等是解题的关键．先根据轴得出的值，再由垂线段最短即可得出的值，进而得出结论． 【详解】解：轴，点，， ， 当时，线段最短， ， 即时，线段的长度最小为， 故选：B． 7．已知在 内有任意一点经过平移后对应点为，又已知点在经过此次平移后的对应点为，设，则m的值是（        ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是坐标与图形变化—平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键． 【详解】解：∵点在经过此次平移后的对应点为， ∴的平移规律为：向左平移个单位，向下平移个单位， ∴，， ∴， 故选B． 8．在平面直角坐标系中，点，，，若平分，轴，轴，且，则的值为（　　） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知在一、三象限或二、四象限的平分线上即，则有或（不合题意，舍去），在第一象限，结合轴得即可求解． 【详解】解：由题意可知，平分，轴，轴，且， 可知在一、三象限或二、四象限的平分线上， ， 即或（不合题意，舍去）， 解得：， ， 故：在第一象限， 轴， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标系内点的特点；解题的关键是结合题意得到在一、三象限或二、四象限的平分线上，从而求解． 9．如图，已知直线l1⊥l2，且在某平面直角坐标系中， x轴∥l1，y轴∥l2，若点A的坐标为(-1，2)，点B的坐标为(2，-1)，则点C在(     ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据题意作出平面直角坐标系，根据图象可以直接得到答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， 如图，依题意可画出直角坐标系， ∴点A位于第四象限，点B位于第二象限， ∴点C位于第三象限． 故选：C． 【点睛】考查了坐标与图形性质，解题时，利用了“数形结合”的数学思想，比较直观，应用“数形结合”的数学思想是解题的关键． 10．如图，一个机器人从点出发，向正西方向走2m到达点；再向正北方向走4m到达点；再向正东方向走6m到达点；再向正南方向走8m到达点；再向正西方向走10m到达点按此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的变化规律，结合题意确定点的变化规律是解题关键．由图可得，点的位置变化有4种可能的位置，除第1点外分别是在四个象限内，并确定点在第三象限，然后结合，的坐标，即可获得答案． 【详解】解：由图可得，点的位置变化有4种可能的位置，除第1点外分别是在四个象限内， ， 点在第三象限， ，，…， ． 故选：D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．已知点、，则 ． 【答案】3 【分析】此题考查坐标与图形的性质．根据题意得到点，点都在轴上，再利用两点间的距离公式计算即可． 【详解】解：∵点、， ∴点，点都在轴上， ∴． 故答案为：3． 12．已知点，，则线段的中点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据中点坐标公式运算即可． 【详解】解：设线段的中点为， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查中点坐标公式．若，，则中点，熟练掌握公式是解题的基础． 13．如图，点，，若将线段平移至的位置，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的知识、有理数的乘方、代数式求值，解决本题的关键是根据点、的横坐标与纵坐标的变化得到线段平移的方向和距离，根据平移的方向和距离得到、的值．点的纵坐标由变为，可知线段向上平移了个单位长度，所以可得，点的横坐标由变为，线段向右平移了个单位长度，所以可得，把和代入计算即可． 【详解】解：将线段平移至的位置， 点的纵坐标由变为， 线段向上平移了个单位长度， ， 点的横坐标由变为， 线段向右平移了个单位长度， ， ． 故答案为： ． 14．已知△ABC的各顶点坐标分别为A（－5，2），B（1，3），C（3，－1），则△ABC的面积为 ． 【答案】13 【分析】用一个长方形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积． 【详解】解：如图， △ABC的面积＝4×81×62×43×8＝13． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了坐标与图形、三角形的面积，解题的关键是用一个长方形的面积分别减去三个直角三角形的面积． 15．如图，直线经过原点O，点C在y轴上，D为线段上的一点，若，，，，则长度的最小值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了坐标与图形、垂线段最短、三角形的面积公式，求得的面积是解题的关键． 过A点作轴于点E，过点B作轴于点F，结合点的坐标得，，，进而可解得，结合垂线段最短可知当时，取最小值，结合三角形面积公式解得的值，即可． 【详解】解：如图，过A点作轴于点E，过点B作轴于点F， ∵，，，， ∴，，， ∴， ∵垂线段最短， ∴当时， 如图所示，取最小值， 此时可有，即， 解得， ∴长度的最小值是2． 故答案为：2． 16．如图，在平面直角坐标系中，，，，一只瓢虫从点A出发以3个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2023秒瓢虫在点 处（填写坐标）． 【答案】 【分析】本题主要考查了规律型点的坐标，找出瓢虫的运动规律是解题的关键．据点A、B、C、D的坐标可得出及长方形的周长，由，可得出当秒时瓢虫在点C处． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴， ∴瓢虫爬行一个循环所用的时间为， ∵， ∴当秒时，瓢虫在点C处， ∴此时瓢虫的坐标为． 故答案为：． 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）如图，点A、B在x轴上，点C在y轴上，点D在线段BC上，且∠ODB＝∠ACB，E是AC上的一点，且E(-3，a)，F(-3，0)，若∠1＝120°，求∠2的度数 【答案】∠2=60°． 【分析】由E(-3，a)，F(-3，0)得到EFOC，求得∠ACO=60°，再判断ACOD，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵E(-3，a)，F(-3，0) ， ∴EFOC， ∵∠1=120°， ∴∠ACO=180°-120°=60°， ∵∠ODB=∠ACB， ∴ACOD， ∴∠2=∠ACO=60°． 【点睛】本题考查了坐标与图形，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 18．（8分）已知三角形的顶点分别为，，，三角形是三角形经过平移得到的，三角形中任意一点平移后的对应点为． (1)请写出由三角形得到三角形的平移的过程； (2)请在如图所示的平面直角坐标系中，画出三角形，并写出点，，的坐标． 【答案】(1)三角形先向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到 (2)见解析，，， 【分析】（1）根据点P平移前后的坐标变化即可得知三角形ABC的平移过程． （2）根据三角形的平移变化过程，计算出各个点的坐标即可．横坐标左减右加，纵坐标上加下减． 【详解】（1）三角形中任意一点平移后的对应点为， ∴平移后对应点的横坐标加4，纵坐标加6． ∴三角形先向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到 （2）如图，三角形即为所求． ，． ； 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移变化，熟练的掌握平移的性质和坐标的变化规律是解题的关键．在平面直角坐标系中，左右平移横坐标变化，左减右加；上下平移纵坐标变化，上加下减． 19．（8分）已知点，根据下列条件求点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的横坐标比纵坐标小4； (3)点在第一、三象限的角平分线上． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查点的坐标，熟练掌握特殊点的特征，是解题的关键： （1）根据轴上的点的纵坐标为0，进行求解即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可； （3）根据第一、三象限的角平分线上的点的横纵坐标相同，进行求解即可． 【详解】（1）解：点在轴上， 点的纵坐标为0，即，解得， ， 点的坐标为； （2）解：∵点的横坐标比纵坐标小4， ，解得， ，， 点的坐标为． （3）解：点在第一、三象限的角平分线上， 点的横坐标与纵坐标相同， ，解得， ，， 点的坐标为． 20．（8分）近年来，园林部门为了对古树名木进行系统养护，建立了相关的地理信息系统，其中重要的一条就是要确定这些树的位置．如下图，某小区有树龄百年以上的古松树4棵（A，B，C，D）．为了加强对古树的保护，园林部门将4棵古松树的位置用坐标表示，，． (1)请你在图上建立合适的平面直角坐标系，并用坐标表示古松树D的位置； (2)该小区想要在古松树间修建一座凉亭P供居民乘凉，要求凉亭P到古松树C的距离最近，请在图上标出凉亭P的位置，写出点P的坐标，并说明其中的理由是什么？ 【答案】(1)古松树D的位置为，作图见解析 (2)凉亭P的坐标为；理由画图见解析 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标确定出原点的位置是解题的关键． （1）以点A向左3个单位，向下5个单位为坐标原点，建立平面直角坐标系，写出D的坐标即可． （2）写出P的位置的坐标，说出垂线段最短即可． 【详解】（1）∵， ∴A点向左3个单位长度，再向下5个单位长度，就是原点， 建立平面直角坐标系如图所示， 古松树D的位置为 ； （2）凉亭P在上的位置，如图所示， 凉亭P的坐标为； 理由：，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 21．（8分）在平面直角坐标系中，为原点，的顶点坐标分别为，，，将点右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到对应点． (1)直接写出点的坐标； (2)求的面积； (3)点是一个动点，若的面积等于的面积，请求出点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查坐标与图形的变化，三角形的面积，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用坐标平移方法即可得； （2）连接，根据求解即可； （3）构建方程求解即可． 【详解】（1）解：∵将点右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到对应点， ∴， 即； （2）解：如图，连接． ； （3）解：如图，点的纵坐标为， 由的面积等于的面积 得：， 解得：或， 或． 22．（10分）如图，在直角坐标系中，已知三点，其中满足关系式，． (1)求的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，是否存在点，使四边形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2) (3)存在点 【分析】本题考查了坐标与图形性质，实数的非负性，熟练掌握实数的非负性，灵活运用分割法求面积是解题的关键． （1）根据非负数的性质，即可解答； （2）根据，即可解答； （3）存在，根据面积相等求出m的值，即可解答． 【详解】（1）解：由，且，得 ，，， ∴，，； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵， 又∵， ∴， 解得， ∴存在点，使． 23．（10分）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴距离的较小值称为点P的“短距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“短距”为______； (2)若点是第一象限内的“完美点”，求a的值； (3)若点为“完美点”，求点的“短距”． 【答案】(1)1 (2)5 (3)1或2 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，正确理解“短距”和“完美点”的定义是解题关键． （1）根据“短距”的定义和点到坐标轴的距离求解即可得； （2）根据“完美点”的定义建立方程，解方程可得的值，再根据第一象限内的点的横、纵坐标均大于0求解即可得； （3）先根据“完美点”的定义建立方程，解方程可得的值，再根据“短距”的定义求解即可得． 【详解】（1）解：点到轴的距离为，到轴的距离为， 所以点的“短距”为1， 故答案为：1． （2）解：∵点是“完美点”， ∴， 即或， 解得或， 当时，，此时点的坐标为，位于第一象限内，符合题意； 当时，，此时点的坐标为，位于第二象限内，不符合题意； 综上，的值为5． （3）解：∵点为“完美点”， ∴， 即或， 解得或， 当时，， ∴点的坐标为， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点的“短距”为1； 当时，， ∴点的坐标为， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点的“短距”为2， 综上，点的“短距”为1或2． 24．（12分）在平面直角坐标系中，，，，且． (1)请直接写出点，，的坐标； (2)如图（1），平移线段至，使点的对应点是点，求三角形的面积； (3)如图（2），点是轴正半轴上一点，当把四边形的面积分为的两部分时，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，非负数的性质等等： （1）根据非负数的性质得到，，则，，据此可得答案； （2）根据点A和点C的坐标得到平移方式为向右移动5个单位长度，向上移动1个单位长度，据此求出点D的坐标；过点C和点D分别作y轴的垂线，垂足分别为G、H，根据进行求解即可； （3）连接，设，根据求出，再分当时，，当时，，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，，； （2）解：平移线段至，使点的对应点是点，点，， 平移方式为向右移动5个单位长度，向上移动1个单位长度， ， 点D的坐标为，即， 如图所示，过点C和点D分别作y轴的垂线，垂足分别为G、H， ∴， ∴ ； ∴三角形的面积． （3）解：如图：连接， 设， ，，， ， 当时，， ， 解得：， ； 当时，， ， 解得：， ； 综上，当把四边形的面积分为的两部分时，点的坐标为或． 25．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B在坐标轴上，其中满足，点M在线段上． (1)求A，B两点的坐标； (2)将平移到，点A对应点，点对应点，若，求m，n，t的值； (3)如图2，若点C，D也在坐标轴上，F为线段上一动点（不包含点A，点B），连接，平分，试探究与的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)理由见解析． 【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标与图形、平面直角坐标系中点的平移、平行线的性质、三角形外角的定义和性质、平面直角坐标系中点的平移等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． （1）利用非负数的性质解得a，b的值，即可获得答案； （2）分别过点B，A作x轴，y轴的垂线交于点H， 过点C作于G，易得 利用面积法解得n的值，即可确定 进而可得点向左移动3个单位长度，向下移动8个单位长度得到点然后确定m，t的值即可； （3）过点O作交于点N，过点P作交y轴于点M，证明 即可获得答案． 【详解】（1）解： 又 解得： ∴； （2）解：如图1， 分别过点B， A作x轴， y轴的垂线交于点H，过点C作于G， ， ， ， 即， 解得： ∴点向左移动3个单位长度，向下移动8个单位长度得到点 ∵点在线段上，其对应点为， ； （3）解：理由如下： 如图2，过点O作交于点N， 过点P作交y轴于点M， 设， ∵平分， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由平移的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$