第一章 三角形的证明（单元检测）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

第一章 三角形的证明单元检测 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．， ， C．， ， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理对四个答案进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵，∴不能够成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 2．如图，，，， 要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的判定，根据“”的判定方法，结合题干条件判断，即可解题． 【详解】解： ，，， 要根据“”证明， 需添加条件为斜边相等，即， 故选：A． 3．如图，若，，则图中全等三角形共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 先依据等边对等角的性质得到，然后再结合全等三角形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：连接BC， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∵， ∴， ∵在和中，， ∴， ∴， ∵在和中，， ∴， ∵在和中，， ∴． 故选C． 4．如图，中，，是高，，，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． 根据含角的直角三角形的三边特征，即可解答． 【详解】解：∵中，是高， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 5．如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质和三角形内角和是，掌握了以上知识是解答本题的关键； 本题先根据角平分线得到，再利用三角形内角和可得，根据垂直平分线的性质可得，然后即可求解的度数； 【详解】解：∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； 故选：B； 6．如图，在中，，．以A为圆心，为半径画弧交于点D；分别以C，D为圆心，大于长为半径画弧交于点E，射线交于点F，连结，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作图-基本作图，由作法得， 平分， 再证明得到， 接着利用三角形的内角和定理得到，即可求解． 【详解】解：由作法得， 平分， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 故选： B． 7．在中，的平分线相交于I，过点I且，若，则（　　） A．8 B．6 C．7 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，利用“等角对等边”及“等边对等角”证明，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； 故选：A． 8．如图，在中，，边AC的垂直平分线MN分别交AB、AC于点M，N，点D是边BC的中点，点P是MN上任意一点，连接PD，PC，若周长最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接得出，，得到，当在同一条直线上时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 垂直平分， ， ， ， 当在同一条直线上时，最小， 最小值为， 周长最小值为， ， 点是的中点， ， ， ， 故选：C ． 9．如图，中，，是边的垂直平分线，交于，过点作于点E，平分交于，连接．下列结论：①；② ；③ ；④．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质，得到；过点F作于点H，证明，得到，结合平分，得到，继而，可证明；利用斜边大于直角边，证明；利用等腰三角形的性质，全等三角形的性质，结合三角形内角和定理证明． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴； 故①正确； 过点F作于点H， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， ∴， 故④正确； 故选D． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形中，斜边大于任意直角边，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，角的平分线的性质，直角三角形中，斜边大于任意直角边，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 10．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G．若，则点G到的距离为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 过点G作于点H，由作图过程可知，射线为的平分线，可得，则点G到的距离为6． 【详解】解：过点G作于点H， 由作图过程可知，射线为的平分线， ∵，， ∴， ∴点G到的距离为6． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．等腰三角形的一边长是6，另边长是10，则该等腰三角形的周长是 ． 【答案】22或26/26或22 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义．分两种情况解答即可求解． 【详解】解：若腰长为6，此时该等腰三角形的周长是； 若腰长为10，此时该等腰三角形的周长是； 综上所述，该等腰三角形的周长是22或26． 故答案为：22或26 12．如图所示的是的正方形网格，点，，都在网格点上，则 ．    【答案】 【分析】根据勾股定理和勾股定理的逆定理可得是等腰直角三角形，可得，即可求解． 【详解】解：延长至，连接， ， ， ，即， 是等腰直角三角形， ， ∴， 故答案为：．      【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是得到是等腰直角三角形． 13．如图，在中，，边的垂直平分线与的延长线交于点，与外角的平分线交于点，过作，垂足为，若，，则为 ． 【答案】9 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，准确添加辅助线构建全等三角形是解题关键． 过点D作，垂足为M，连接，，通过证明RtRt，RtRt，结合全等三角形的性质分析求解． 【详解】解：过点D作，垂足为M，连接，， ∵平分，且，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵边的垂直平分线与的延长线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 14．如图，在中，，点是的垂直平分线与的交点，将沿着翻折得到，则的度数是 ． 【答案】/40度 【分析】由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质和三角形内角和定理求得，，根据翻折的性质求得，进而求得的度数． 【详解】解：点是的垂直平分线与的交点， ， ， ，， 将沿着翻折得到， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查翻折的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角的性质，解题的关键是掌握翻折的性质和线段垂直平分线的性质． 15．如图，点是内一点，，，点关于直线的对称点为点，关于直线的对称点为点，连接，分别交，于点，，连接，，下列结论：；当时，的周长为；；，其中正确的有 个． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质得，， ，， ，，求出，根据等腰三角形的性质得出 ，求出，再求出，即可判断；根据，，求出的周长，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，即可判断；在中，根据三边关系，即可判断；根据全等三角形的性质求出，，求出，即可判断． 【详解】解：∵点关于直线的对称点为点，关于直线的对称点为点， ∴，， ，， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，故正确； ∵，， ∴的周长， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是，故正确； 在中，， ∵， ∴，故正确； 在和中， ， ∴， ∴， 同理， ∵，， ∴， 故正确， 综上可知：正确，共个， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称性质，三角形的三边关系，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定等知识点，能熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 16．如图，在等腰三角形中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的腰上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定性质、角平分线的性质定理，连接，由等腰三角形的性质可得，，过点作于，于，由角平分线的性质定理可得，再由全等三角形的性质和等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵D为的中点， ∴，， 过点作于，于， ∴， ∵点P是等腰三角形的腰上的一点，且是以为腰的等腰三角形， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理可得：， ∴， ∴； 综上所述，的度数是或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，，垂足分别为F、E，，求证： (1)． (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定定理“”以及平行线的判定，“”即为在直角三角形中，一组直角边和一组斜边对应相等的两个三角形全等，根据题意确定全等条件是解题的关键． （1）由，可得出，即可证明； （2）由（1）可得，即可得，从而求证． 【详解】（1）证明：， ，即， 又， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）得， ， ． 18．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （2）先根据垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上； （2）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，，， ∴， 设，， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，等腰三角形的性质，对顶角相等等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 19．如图，在中，， (1)求证：； (2)以为边，作等边三角形，且点在的左侧，连接，，．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形内角和定理求出，即可解答； （）过点作，交的延长线于点，由等边三角形的性质得，，再利用所对直角边是斜边的一半得出，最后由三角形面积公式即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形与性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作，交的延长线于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积， ∴的面积为． 20．如图，中，． (1)利用尺规作的角平分线，交于点；（保留作图痕迹，不写做法） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是作角平分线和含度角的直角三角形的性质，等角对等边； （1）依据角平分线的作图方法即可得到； （2）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到的度数，进而得出，，根据含度角的直角三角形的性质得出，进而求得，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 21．如图1，已知等腰直角中，，，点D是腰上的一点（不与A，C重合），连接，过点A作，垂足为点E． (1)若是的角平分线，求证：； (2)探究：如图2，连接，当点D在线段上运动时（不与A，C重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】(1)见解析 (2)的大小不变，为定值 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）延长，相交于点F，先证明得到，再证明得到，进而可证得结论； （2）过点C作于点M，于点N，证明得到，根据角平分线的判定定理证得是的角平分线，进而可得，即可得结论． 【详解】（1）证明：如图，延长，相交于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：的大小不变，为定值，理由如下： 如图，过点C作于点M，于点N， 则， ∵， ∴， 由①可知，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴, 即的大小不变，为定值． 22．如图1，等边与等边的顶点B，C，D三点在一条直线上，连接，两线相交于点F． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，连接， ①求证：是的平分线， ②若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①见解析；②6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，再由又，，，可得，，即可求解； （3）①过点C作，，垂足分别为，，则， 由全等的性质可得，再由可得，得到，从而得出是的平分线，求得，推导得出，即可求解； ②在线段上取一点G，使，连接，由等边三角形的性质可得，，，，再证明，从而可得，再求解即可． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， ； （2）解：如图，设交于点O， 由（1）可知，， ， 又，，， ， ； （3）①证明：过点C作，，垂足分别为，， 则， 由（1）可知， ， 又， ， ， 是的平分线， ， ， 是的平分线，， 解：②在线段上取一点G，使，连接， 由（2）可知，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ，从而， 在和中， ， ， ， ，， ， 23．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点E，使，连接．根据__________可以判定__________，得出__________． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】 （2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，请判断的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 【答案】（1）；；；；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）如图1，延长，使，连接，利用证明，得到，再由三角形三边的关系得到，则，即可求出； （2）延长使，连接，根据垂直平分线的性质得到，然后利用证明，得到，，进而得到，最后根据勾股定理证明即可； （3）延长交的延长线于点F，根据证明，然后根据垂直平分线的性质得到，最后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）延长，使，连接， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）， 证明：如图所示，延长到G，使，连接， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴； （3）解：如图所示，延长交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ， ∴，， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定方法，三角形的三边关系，勾股定理，线段垂直平分线的性质，“倍长中线”法的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形． 试卷第26页，共27页 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角形的证明单元检测 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．， ， C．， ， D．，， 2．如图，，，， 要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（ ） A． B． C． D． 3．如图，若，，则图中全等三角形共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 4．如图，中，，是高，，，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，．以A为圆心，为半径画弧交于点D；分别以C，D为圆心，大于长为半径画弧交于点E，射线交于点F，连结，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．在中，的平分线相交于I，过点I且，若，则（　　） A．8 B．6 C．7 D．5 8．如图，在中，，边AC的垂直平分线MN分别交AB、AC于点M，N，点D是边BC的中点，点P是MN上任意一点，连接PD，PC，若周长最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，中，，是边的垂直平分线，交于，过点作于点E，平分交于，连接．下列结论：①；② ；③ ；④．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 10．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G．若，则点G到的距离为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．等腰三角形的一边长是6，另边长是10，则该等腰三角形的周长是 ． 12．如图所示的是的正方形网格，点，，都在网格点上，则 ．         13．如图，在中，，边的垂直平分线与的延长线交于点，与外角的平分线交于点，过作，垂足为，若，，则为 ． 14．如图，在中，，点是的垂直平分线与的交点，将沿着翻折得到，则的度数是 ． 15．如图，点是内一点，，，点关于直线的对称点为点，关于直线的对称点为点，连接，分别交，于点，，连接，，下列结论：；当时，的周长为；；，其中正确的有 个． 16．如图，在等腰三角形中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的腰上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是 ． 三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，，垂足分别为F、E，，求证： (1)． (2)． 18．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 19．如图，在中，， (1)求证：； (2)以为边，作等边三角形，且点在的左侧，连接，，．求的面积． 20．如图，中，． (1)利用尺规作的角平分线，交于点；（保留作图痕迹，不写做法） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 21．如图1，已知等腰直角中，，，点D是腰上的一点（不与A，C重合），连接，过点A作，垂足为点E． (1)若是的角平分线，求证：； (2)探究：如图2，连接，当点D在线段上运动时（不与A，C重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 22．如图1，等边与等边的顶点B，C，D三点在一条直线上，连接，两线相交于点F． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，连接， ①求证：是的平分线， ②若，，求的长度． 23．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点E，使，连接．根据__________可以判定__________，得出__________． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【问题解决】 （2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，请判断的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 试卷第26页，共27页 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$