第七章 二元一次方程组（单元检测）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（鲁教版五四制）

第七章 二元一次方程组单元检测 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．解是的方程组可能是（    ） A． B． C． D． 2．将方程改写成用含x的式子表示y的形式，结果是（    ） A． B． C． D． 3．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（   ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 4．已知关于、的方程组和有相同的解，那么值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，足球的表面是由块呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，已知黑色皮块数比白色皮块数的一半多块，则白色皮块的块数是（    ）    A．18 B．20 C．22 D．24 6．在中国传统数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价一马、二牛价不满一万．如半牛之价，问牛、马价各几何？”译文：“今有2匹马、1头牛的总价超过10000钱，其超出的钱数相当于匹马的价格，1匹马、2头牛的总价不足10000钱．所差的钱数相当于头牛的价格．问每头牛、每匹马的价格各是多少？”设每匹马的价格为x钱，每头牛的价格为y钱，则依据条件可列方程组为（   ） A． B． C． D． 7．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表2，小王和小张各自乘车，行车里程分别为6公里与8.5公里．如果下车时两人所付车费相同，那么两辆滴滴快车的行车时间相差（    ） 计费项目 里程费 时长费 运途费 单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里 注：车费由里程费、时长费、运途费三部分，其中里程费按行车的实际里程计费；时长费按行车的实际时间计算，运途费的收取方式为：行车7公里以内（含7公里）不收运途费 超过7公里的，超出部分每公里收0.8元 A．10分钟 B．13分钟 C．15分钟 D．19分钟 8．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，若两根铁棒长度差为，下列说法： ①两根铁棒的长度和为； ②其中一根铁棒长度为； ③两根铁棒的长度和为； ④其中一根铁棒露出水面的长度为． 其中说法正确的个数为（    ）    A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 9．把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为8，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（　　） A．29 B．28 C．27 D．26 10．如图，一次函数与的图象，下列说法正确的是（   ） ①；②的图象，随自变量的增大而减少；③不论为何值，一次函数的图象总过定点；④方程组的解是． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．若是方程的一个解，则m的值是 ． 12．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则常数的值为 ． 13．对于实数x，y，我们定义一种新运算（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，例如．若，，则 ． 14．若方程组的解满足，则的值为 ． 15．将如图1所示的5个小长方形分别不重叠地放在两个形状、大小完全相同的大长方形中（如图2，3）．已知大长方形的长为，则图3中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差是 ．（用含的式子表示） 16．如图，直线与轴交于点，与直线交于点，方程组的解为，若点是轴上的动点，且，则点的坐标为 ． 三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（1）用代入消元法解方程组： （2）用加减消元法解方程组： 18．已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？ 19．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，根据上面的信息解答： (1)求出正确的a，b的值 (2)求出原方程组的正确解． 20．若两个角的差的绝对值等于，则称这两个角互为“垂角”．例如： ，，，则与互为“垂角”（本题中所有角都是指大于且小于的角）．    (1)已知一个角比它的“垂角”的少，求这个角的度数； (2)如图所示，，，是否存在射线，使得与互为“垂角”？若存在，直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 21．某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲、乙两种货车运货情况如表： 第一次 第二次 甲种货车（辆） 2 5 乙种货车（辆） 3 6 累计运货（吨） 13 28 (1)甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？ (2)若某货主共有20吨货物，计划租用该公司的货车，正好（每辆货车都满载）把这批货物运完，请你写出所有租车方案 (3)王先生要租用该公司的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费时甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？ 22．如图，某高速路有一段区间测速，限速．现有一辆大货车经过测速区，以测速区起始线为轴，以高速路路边的围栏为轴，建立平面直角坐标系如图，为区间测速货车行驶的笔直路线（轴）．． (1)该货车通过测速区间的时间为分钟（车身长忽略不计），该货车行驶的平均速度为 千米/小时，是否超速 （填“是”或“否”）； (2)在测速区起始线且距车头米的点处有一个固定激光测速仪，激光射线与 交于点； 在点 处设置可转动的另一台测速仪， 射出的激光线追踪货车头点，当车头刚好在测速区起始线时． ①求射线 所在直线的函数表达式， ②射线、射线的交点坐标； (3)若车头刚好在测速区起始线时开始计时，请直接写出激光射线与射线有交点的时长． 23．今年11月份，某商场用22200元购进长虹取暖器和格力取暖器共400台，已知长虹取暖器每台进价为50元，售价为70元，格力取暖器每台进价为60元，售价为90元． 甲生产厂家：格力取暖器出厂价为每台60元，折扣数如下表所示： 一次性购买的数量 不超过150台的部分 超过150台的部分 折扣数 打九折 打八五折 乙生产厂家：格力取暖器出厂价为每台50元，当出厂总金额达一定数量后还可按下表返现金． 出厂总金额 不超过7000元 超过7000元，但不超过10000元 超过10000元 返现金金额 0元 直接返现200元 先返现出厂总金额的2%，再返现296元 (1)求11月份两种取暖器各购进多少台？ (2)在将11月份购买的两种取暖器从厂家运往商场的过程中，长虹取暖器出现的损坏（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而格力取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利35%，已知格力取暖器在原售价基础上提高5%，问长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？ (3)今年重庆的天气比往年寒冷了许多，进入12月份，格力取暖器的需求量增大，商场在筹备“双十二”促销活动时，决定去甲、乙两个生产厂家都只购进格力取暖器，甲、乙生产厂家给出了不同的优惠措施：（如表格）已知该商场在甲生产厂家购买格力取暖器共支付8610元，在乙生产厂家购买格力取暖器共支付9700元，若将在两个生产厂家购买格力取暖器的总量改由在乙生产厂家一次性购买，则商场可节约多少元？ 试卷第6页，共22页 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 二元一次方程组单元检测 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．解是的方程组可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的满足每个方程式解题关键．将分别代入方程组，满足的方程组即为答案． 【详解】解：A、把代入方程组得：，不符合题意； B、把代入方程组得：，符合题意； C、把代入方程组得：，不符合题意； D、把代入方程组得：，不符合题意； 故选：B． 2．将方程改写成用含x的式子表示y的形式，结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解、等式的基本性质，利用等式的基本性质1求解即可． 【详解】解：根据等式的基本性质1，方程两边同时减， 得， 故选：B． 3．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（   ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【答案】C 【分析】本题考查加减消元法．根据加减消元法，逐一进行判断即可． 【详解】解： 要消去，可以将，要消去，可以将 故选：C． 4．已知关于、的方程组和有相同的解，那么值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组求解，、的方程组和有相同的解，列出方程组求出、的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， 因为两方程有相同的解， 所以将代入， 得， 解得， 所以． 故选：B． 5．如图，足球的表面是由块呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，已知黑色皮块数比白色皮块数的一半多块，则白色皮块的块数是（    ）    A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的运用，设黑色的有x块，白色的有y块，根据数量关系列二元一次方程组求解即可，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：设黑色的有块，白色的有块， ∴， 解得，， ∴白色皮块的块数为， 故选：B ． 6．在中国传统数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价一马、二牛价不满一万．如半牛之价，问牛、马价各几何？”译文：“今有2匹马、1头牛的总价超过10000钱，其超出的钱数相当于匹马的价格，1匹马、2头牛的总价不足10000钱．所差的钱数相当于头牛的价格．问每头牛、每匹马的价格各是多少？”设每匹马的价格为x钱，每头牛的价格为y钱，则依据条件可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．设每匹马的价格为x钱，每头牛的价格为y钱，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设每匹马的价格为x钱，每头牛的价格为y钱，根据题意可得， ． 故选D． 7．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表2，小王和小张各自乘车，行车里程分别为6公里与8.5公里．如果下车时两人所付车费相同，那么两辆滴滴快车的行车时间相差（    ） 计费项目 里程费 时长费 运途费 单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里 注：车费由里程费、时长费、运途费三部分，其中里程费按行车的实际里程计费；时长费按行车的实际时间计算，运途费的收取方式为：行车7公里以内（含7公里）不收运途费 超过7公里的，超出部分每公里收0.8元 A．10分钟 B．13分钟 C．15分钟 D．19分钟 【答案】D 【分析】设小王的行车时间为分钟，小张的行车时间为分钟，根据计价规则计算出小王的车费和小张的车费，建立方程求解 【详解】解：设小王的行车时间为分钟，小张的行车时间为分钟，依题可得： , , , , 故答案为D. 【点睛】本题考查列方程解应用题，读懂表格中的计价规则是解题的关键. 8．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，若两根铁棒长度差为，下列说法： ①两根铁棒的长度和为； ②其中一根铁棒长度为； ③两根铁棒的长度和为； ④其中一根铁棒露出水面的长度为． 其中说法正确的个数为（    ）    A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】设较长铁棒的长度为，较短铁棒的长度为，因为两根铁棒之差为，故可得方程：，又知两棒未露出水面的长度相等，又可得方程，把两个方程联立，组成方程组，解方程组可得两根铁棒的长度，再逐项判断即可． 【详解】解：设较长铁棒的长度为，较短铁棒的长度为，由题意得： 解得，， ∴较长铁棒的长度为，较短铁棒的长度为，故②正确； ∴两根铁棒的长度和为，故①正确，③不正确； ∴较长铁棒露出水面的长度为，较短铁棒露出水面的长度为，故④正确， 因此正确的结论是①②④，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程组求解． 9．把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为8，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（　　） A．29 B．28 C．27 D．26 【答案】B 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设小长方形的长为m，宽为n，大长方形的另一边长为x，根据图形之间的关系可得，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设小长方形的长为m，宽为n，大长方形的另一边长为x． 由题意得， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验，是方程的解， ∴大长方形的周长． 故选：B． 10．如图，一次函数与的图象，下列说法正确的是（   ） ①；②的图象，随自变量的增大而减少；③不论为何值，一次函数的图象总过定点；④方程组的解是． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，两直线交点与二元一次方程组的解，理解图示信息，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据一次函数图象经过的象限可判定①；根据一次函数的图象经过第二、四象限，可判定②；由一次函数，，可得当时，，即与的值无关，可判定③；根据一次函数与的图象经过，可判定④；由此即可求解． 【详解】解：根据图示可得，一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， 一次函数的图象经过第二、四象限， ∴，故①正确； ∵， ∴一次函数中，随自变量的增大而减少，故②正确； ∵一次函数，， ∴当时，，即不论为何值，一次函数的图象总过定点，故③正确； ∵一次函数与的图象经过， ∴方程组的解是，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④． 故选：D ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．若是方程的一个解，则m的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二元一次方程的解的含义及解一元一次方程，掌握方程的解的含义是解题的关键． 使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．将方程的解代入方程可得关于的一元一次方程，从而可求出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ， ， 故答案为：8． 12．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则常数的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程的解，熟练掌握消元法解二元一次方程组是解题的关键．利用加减消元法解二元一次方程组可得，结合方程组的也是二元一次方程的解，即可求出常数的值． 【详解】解：， 得，， 解得：， 代入到②，得， 解得：， 方程组的解为， 由题意得，也是方程的解， ， 解得：， 常数的值为2． 故答案为：2． 13．对于实数x，y，我们定义一种新运算（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，例如．若，，则 ． 【答案】11 【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．已知两等式利用题中的新定义化简，计算求出m与n的值，代入，再把代入计算即可求出值． 【详解】∵，， ∴根据题中的新运算，得 解得 ∴， ∴． 故答案为：11 14．若方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，熟知解一元二次方程组的加减消元法是解题的关键．先把方程组中的方程相减求出的值，再与相比较即可得出的值． 【详解】解：， 得，， ， ， 解得． 故答案为：1． 15．将如图1所示的5个小长方形分别不重叠地放在两个形状、大小完全相同的大长方形中（如图2，3）．已知大长方形的长为，则图3中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差是 ．（用含的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组，整式的加减设图1中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为，根据图形，列二元一次方程组；求得图1的长方形的长和宽，再计算两个图形中阴影部分的周长之差 【详解】设图1中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为 由图2可知 解得： 由图3可知： 设图2的阴影部分周长为 ，设图3的阴影部分周长为 故答案为：． 16．如图，直线与轴交于点，与直线交于点，方程组的解为，若点是轴上的动点，且，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得点，然后可设点，进而根据三角形面积可建立方程进行求解． 【详解】解：由方程组的解为，可知：点， 设点，直线与x轴的交点为D，如图， 把点、代入得： ，解得：， ∴， 令，则有，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或10， ∴或； 故答案为或． 三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（1）用代入消元法解方程组： （2）用加减消元法解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算． （1） 代入消元法解二元一次方程组即可； （2）先整理方程组，然后用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：（1）令 由①得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得， ∴原方程组的解为 （2）方程组整理，得 ，得，解得． 把代入①，得， ∴原方程组的解为 18．已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？ 【答案】(1)，；， (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的正整数解的确定，同解方程的含义，二元一次方程组的解法，二元一次方程的固定解，掌握以上知识是解题的关键． （1）把y看作已知数表示出y，进而确定出方程的正整数解即可． （2）由题意得：，解方程组求解x，y，再把x，y的值代入，从而可得答案． （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，；，． （2）联立得：， 解得：， 代入得：， 解得：． （3）∵，即总有一个解， ∴方程的解与m无关， ∴，， 解得：，． 则方程的公共解为． 19．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，根据上面的信息解答： (1)求出正确的a，b的值 (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把代入①，能求出，把代入②，求出即可； （2）运用加减消元法求出原方程组的解，即可作答． 本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解和求代数式的值等知识点，能得出关于、的方程是解此题的关键． 【详解】（1）解：依题意，把代入①，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； （2）解：由（1）得， ∴原方程组为， ，得， 把代入③，得， ∴， 解得原方程组的正确解为：， 20．若两个角的差的绝对值等于，则称这两个角互为“垂角”．例如： ，，，则与互为“垂角”（本题中所有角都是指大于且小于的角）．    (1)已知一个角比它的“垂角”的少，求这个角的度数； (2)如图所示，，，是否存在射线，使得与互为“垂角”？若存在，直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据“垂角”定义和给定的关系列方程组解答即可； （2）分两种情况，利用“垂角”定义，再根据图形和已知条件中与和的关系列方程组解答即可． 【详解】（1）设这个角为，它的垂角为， 根据题意，得， 解得：， 故这个角的度数为； （2）的度数为：或或， 理由如下：分两种情况： 在的内部时，   ， 解得或， ∴或； ②在外部时，   ， 解得或， ∴或（舍去）， 故的度数为：或或． 【点睛】题目主要考查角的计算及二元一次方程组的应用，理解题意，作出图形，根据图形列出方程组是解题关键． 21．某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲、乙两种货车运货情况如表： 第一次 第二次 甲种货车（辆） 2 5 乙种货车（辆） 3 6 累计运货（吨） 13 28 (1)甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？ (2)若某货主共有20吨货物，计划租用该公司的货车，正好（每辆货车都满载）把这批货物运完，请你写出所有租车方案 (3)王先生要租用该公司的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费时甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？ 【答案】(1)甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物 (2)共有4种租车方案，方案1：租用10辆甲种货车；方案2：租用7辆甲种货车，2辆乙种货车；方案3：租用4辆甲种货车，4辆乙种货车；方案4：租用1辆甲种货车，6辆乙种货车 (3)甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点， （1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物，根据第一、二次两种货车运货情况表，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用a辆甲种货车，b辆乙种货车，根据货物的总重量为20吨且每辆货车都满载，即可得出关于的二元一次方程，结合均为非负整数，即可得出各租车方案； （3）设甲种货车每辆需运费m元，租用甲种货车n辆，则乙种货车每辆需运费元，租用乙种货车辆，根据总费用＝每辆车所需费用×租用该种车的辆数，即可得出关于的方程组，解之即可得出结论； 熟练掌握（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出方程组．是解决此题的关键． 【详解】（1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物， 依题意，得：， 解得：， 答：甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物． （2）设租用a辆甲种货车，b辆乙种货车， 依题意，得：， ∴． ∵a，b均为非负整数， ∴b为偶数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴共有4种租车方案，方案1：租用10辆甲种货车；方案2：租用7辆甲种货车，2辆乙种货车；方案3：租用4辆甲种货车，4辆乙种货车；方案4：租用1辆甲种货车，6辆乙种货车． （3）设甲种货车每辆需运费m元，租用甲种货车n辆，则乙种货车每辆需运费元，租用乙种货车辆， 依题意，得：， 解得：， ∴． 答：甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元． 22．如图，某高速路有一段区间测速，限速．现有一辆大货车经过测速区，以测速区起始线为轴，以高速路路边的围栏为轴，建立平面直角坐标系如图，为区间测速货车行驶的笔直路线（轴）．． (1)该货车通过测速区间的时间为分钟（车身长忽略不计），该货车行驶的平均速度为 千米/小时，是否超速 （填“是”或“否”）； (2)在测速区起始线且距车头米的点处有一个固定激光测速仪，激光射线与 交于点； 在点 处设置可转动的另一台测速仪， 射出的激光线追踪货车头点，当车头刚好在测速区起始线时． ①求射线 所在直线的函数表达式， ②射线、射线的交点坐标； (3)若车头刚好在测速区起始线时开始计时，请直接写出激光射线与射线有交点的时长． 【答案】(1)，否； (2)①；②； (3)． 【分析】（）根据速度路程时间即可求出货车行驶的平均速度，进而根据限速即可判断是否超速； （）①利用待定系数法即可求解；②利用待定系数法求出射线的函数表达式，再联立两函数表达式得到方程组，解方程组即可求解； （）当时，激光射线与射线没有交点，设此时，射线所在直线的函数表达式为，利用待定系数法可得，把代入得，据此即可求出激光射线与射线有交点的时长； 本题考查了一次函数的应用，根据题意求出一次函数函数表达式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，该货车行驶的平均速度为， ∵限速， ∴该货车没有超速， 故答案为：，否； （2）解：①设射线所在直线的函数表达式为，把代入得， ， ∴， ∴； ②设射线的函数表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴， 由，解得， ∴射线、射线的交点坐标为； （3）解：当时，激光射线与射线没有交点，设此时，射线所在直线的函数表达式为，把代入得， ， ∴， ∴， 把代入得，， 解得， ∵， ∴， ∴激光射线与射线有交点的时长为． 23．今年11月份，某商场用22200元购进长虹取暖器和格力取暖器共400台，已知长虹取暖器每台进价为50元，售价为70元，格力取暖器每台进价为60元，售价为90元． 甲生产厂家：格力取暖器出厂价为每台60元，折扣数如下表所示： 一次性购买的数量 不超过150台的部分 超过150台的部分 折扣数 打九折 打八五折 乙生产厂家：格力取暖器出厂价为每台50元，当出厂总金额达一定数量后还可按下表返现金． 出厂总金额 不超过7000元 超过7000元，但不超过10000元 超过10000元 返现金金额 0元 直接返现200元 先返现出厂总金额的2%，再返现296元 (1)求11月份两种取暖器各购进多少台？ (2)在将11月份购买的两种取暖器从厂家运往商场的过程中，长虹取暖器出现的损坏（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而格力取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利35%，已知格力取暖器在原售价基础上提高5%，问长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？ (3)今年重庆的天气比往年寒冷了许多，进入12月份，格力取暖器的需求量增大，商场在筹备“双十二”促销活动时，决定去甲、乙两个生产厂家都只购进格力取暖器，甲、乙生产厂家给出了不同的优惠措施：（如表格）已知该商场在甲生产厂家购买格力取暖器共支付8610元，在乙生产厂家购买格力取暖器共支付9700元，若将在两个生产厂家购买格力取暖器的总量改由在乙生产厂家一次性购买，则商场可节约多少元？ 【答案】(1)长虹取暖器购进台，格力取暖器购进台 (2)元 (3)节约元或元 【分析】（1）长虹取暖器和格力取暖器的总量是，两种日光灯的总价是，可得方程组，即可得解； （2）设长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多m元根据题意可得：长虹取暖器销售额格力取暖器销售额总销售额，根据等量关系列出等式即可； （3）通过已知条件计算出乙生产厂家一次性购买的总支出，然后，在甲乙两家购买总支出-乙生产厂家一次性购买的总支出节约金额，注意分类讨论，在乙厂家支付的元的原价是否小于元． 【详解】（1）解：设长虹取暖器购进x台，则格力取暖器购进y台． 由题意得：， 解得： 答：长虹取暖器购进台，格力取暖器购进台． （2）设长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多m元， 由题意得： 解得：， 答：长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多元． （3）当购买甲厂家台，共支付． 设在甲厂家购买了z台，则． 解得：． 若在乙厂家支付的元的原价小于元， 则可节约元． 若在乙厂家支付的元的原价大于元， 则可节约元． 答：商场可节约元或元． 【点睛】本题主要是考查二元一次方程组的应用，在应用中结合实际情况考虑物品的损耗和最终利润问题，切记：单价数量总价，(售价进价数量利润，利用公式解决问题． 试卷第6页，共22页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$