精品解析：河南省安阳市文源高级中学2023-2024学年高二上学期月考（一）B卷数学试题

2023—2024学年（上）高二年级月考（一）B卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知复数，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数的运算法则，可得， 所以在复平面内对应的点的坐标为. 故选：A. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 0或2 B. 2 C. 0或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示和向量垂直的坐标表示计算即可. 【详解】向量，，则 由，所以，得或． 故选：C. 3. 如图，在平行六面体中，为的中点，若则（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】由空间向量的线性运算法则，可得： ， 因为，所以. 故选：B. 4. 已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 所以. 故选：D. 5. 已知直线的方向向量，直线的方向向量，若且，则的值是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量模长运算可求得，根据向量垂直关系可求得，进而得到结果. 【详解】，或， 当时，，，解得：，； 当时，，，解得：，； 综上所述：的值为或. 故选：D. 6. 设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 【答案】B 【解析】 【分析】A. 利用直线与平面的位置关系判断； B.利用线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理判断；C.利用直线与直线的位置关系判断；D.利用平面与平面的位置关系判断. 【详解】A. ，则或，故错误； B. 过直线a作平面，有，因为，所以， 又因为，所以，所以，故正确 C. ，则或a，b异面，故错误； D. ，则或相交，故错误； 故选：B 7. 若数据的平均数为10，则新数据的平均数为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数公式结合已知条件求解即可 【详解】因为数据的平均数为10，所以， 所以新数据的平均数为． 故选：B 8. 已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知，分别根据函数在区间上单调递增，在时，恒成立，列出不等关系，通过赋值，并结合的本身范围进行求解. 【详解】由已知，函数在上单调递增， 所以，解得：， 由于，所以，解得：① 又因为函数在上恒成立， 所以，解得：， 由于，所以，解得：② 又因为，当时，由①②可知：，解得； 当时，由①②可知：，解得. 所以的取值范围为. 故选：B. 【点睛】在处理正弦型、余弦型三角函数性质综合问题时，通常使用整体代换的方法，将整体范围满足组对应的单调性或者对应的条件关系，罗列出等式或不等式关系，帮助我们进行求解. 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知甲、乙、丙、丁四组（每组均含100个数据）数据的方差分别为6.7，8.9，3.6，5.5，关于这四组数据的波动性，下列判断正确的是（ ） A. 乙组数据的波动性最大 B. 丙组数据的波动性最大 C. 乙组数据的波动性最小 D. 丙组数据的波动性最小 【答案】AD 【解析】 【分析】根据方差的性质结合已知条件分析判断 【详解】数据的方差越大，数据的波动性越大；数据的方差越小，数据的波动性越小． 因为， 所以乙组数据的波动性最大，丙组数据的波动性最小． 故选：AD 10. 下列说法正确的有（ ）． A. 直线过定点 B. 过点且斜率为的直线的点斜式方程为 C. 斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为 D. 经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】求出直线过的定点判断A；写出直线的点斜式方程判断B；求出直线斜截式方程判断C；求出直线方程判断D作答. 【详解】对于A，直线恒过定点，A正确； 对于B，过点且斜率为的直线的点斜式方程为，B正确； 对于C，斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为，C错误； 对于D，经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线过原点时，方程为， 当该直线不过原点时，方程为，D错误. 故选：AB 11. 已知是定义域为R的奇函数，且为偶函数．当时，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用的奇偶性得到，代入即可求得，由此判断即可； 对于BC，利用的奇偶性与换元法得到，进而得到，从而利用赋值法即可得解； 对于D，由选项BC中的结论可推得是周期函数，进而推得，从而得以判断. 【详解】对于A，因为是定义域为R的奇函数，所以， 又因为当时，， 所以，解得， 所以，，故A错误； 对于B，因为为偶函数，所以， 令，则，所以， 令，则，故B正确； 对于C，因为，所以， 令，则，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以是的周期函数，则， 令，则由得， 故， 所以由的周期性可知，， 所以，故D错误. 故选：BC. 12. 三棱锥各顶点均在表面积为的球体表面上，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 线段长度的最小值为 D. 三棱锥体积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A, 计算出的外接圆半径，明确球心到平面ABC的距离，可求得； 对于B，要明确D的轨迹是与BC垂直的球内某截面圆，由此判断满足CD=2时的点D有两个点，其中有一个不满足； 对于C, 借助于图示，确定点D在D'位置时，线段长度才可取到最小值，由此计算即可； 对于D，由于的面积为定值，且D点在与垂直的截面圆上，只需当D点到平面ABC距离最大时, 三棱锥体积也最大，由此可以求先求得三棱锥的高的最大值，可求得结果； 【详解】因为 ,所以 ； 对于A,若，则平面 平面ABC,过BD的中点F作与平面BCD垂直的直线l,设球心为O,则∥平面ABC,作,垂足为H， ,则FH即为球心O到平面ABC的距离d,对于 ,设其外接圆半径为r,则 ，所以 ，因此CD=2HF=2，故A正确； 对于B，因为始终满足CB⊥CD，所以点D的轨迹是与BC垂直的球内某截面圆，如图示： 因为BC=2为定值，作D点所在截面圆O',取BC得中点M,连接OM,, ，因为OO'和BC同时满足垂直于D点所在截面圆，所以OM即为D点所在截面圆的半径，所以D点在以2为半径的圆上，C为定点，所以满足CD=2时的点D有两个点，作A点在截面圆的投影，垂足设为H，若CD⊥AB，则CD⊥平面BCHA，所以CD⊥CH，必定有一个符合CD=2的D点不满足，因此B选项错误; 对于C, 因为平面ABC(ABCH)与圆O'垂直，所以OO'与平面ABC平行，作 ，又因为 ，所以 平面ABC，因此为 外接圆的圆心，而△ABC外接圆半径r为2，又因为 ，所以AH=r+1=3，若求AD的最小值，在直角三角形ADH中，只需确定出DH的最小值即可，如图所示，点D在D'位置时，DH最小，AD也最小,即，由A的分析可知球心O到平面ABC的距离为1，即 ,则 ,而DH的最小值为 ,所以AD的最小值为 ，故C正确； 对于D，的面积为定值，且D点在与垂直的截面圆上，只需当D点到平面ABC距离最大时, 三棱锥体积也最大，又因为O'H⊥平面ABC，因此当D点位于HO'与截面圆的交点处时(如图示位置)即共线时,高即DH最大，最大值 ,故此时三棱锥体积的最大值为 ，故D正确， 故选：ACD 【点睛】本题难度较大，需要充分发挥空间想象力，利用示意图辅助解答，难点在于理清空间中的位置关系，明确数量关系，准确计算. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 在空间直角坐标系中，，若四边形为平行四边形，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形得出向量相等计算即可. 【详解】， 因为四边形为平行四边形，所以，所以， 故答案为：． 14. 已知两圆与交于两点，则直线的方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由两圆方程作差后求解 【详解】，， 两式作差得，化简得， 故答案为： 15. 已知，，，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方关系先求出、的值，再利用差角的余弦公式计算求解. 【详解】∵，，∴，， ∴， ， ∴ ． 故答案为：. 16. 已知函数，若从集合中随机选取一个元素，则函数恰有7个零点的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】由，得，由，得，画出的图象结合，且，分情况求解即可. 【详解】由，得，当时，的最小值为． 由，得，即， 因为，所以．而， 当时，方程的实数解的个数分别为3，3，2； 当时，方程的实数解的个数分别为3，2，2； 当时，方程，的实数解的个数均为2． 所以当时，函数恰有7个零点，故所求概率为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查分段函数的性质的应用，解题的关键是画出函数图象，结合图象求解即可，考查数形结合的思想，属于较难题. 四､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 三角形的三个顶点是. （1）求边上的高所在直线的方程. （2）求边的垂直平分线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两直线垂直求得边上的高所在直线的斜率，结合高线经过点，由点斜式方程即得； （2）利用两直线垂直求得边垂直平分线的斜率，结合的中点，由点斜式方程即得. 【小问1详解】 边所在的直线的斜率， 因为边上的高与垂直，所以边上的高所在直线的斜率为， 又边上的高经过点，所以边上的高所在的直线方程为，即. 【小问2详解】 由（1）得，边所在直线斜率，所以边垂直平分线的斜率为， 的中点坐标为，所以边的垂直平分线方程，即. 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）当时，求函数的最大值和最小值. 【答案】（1）；；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦型函数图象性质判断函数的周期及单调区间； （2）利用整体法求函数分最值. 【详解】解：（1）， 所以最小正周期， 由，得， 所以单调递增区间为：； （2）因为，所以， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时，又，此时， 综上可知：. 【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为或的形式，则最小正周期为，最大值为，最小值为；奇偶性的判断关键是解析式是否为或的形式． 19. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理和余弦定理来求解角的大小； （2）应用三角形的面积公式计算边的数量关系. 【小问1详解】 由可知， 由正弦定理，得， 即． 所以， 又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知． 所以， 又， 所以， 所以，即． 所以的周长为． 20. 如图，在四棱锥中，，，，，平面，分别为的中点． （1）证明：平面平面； （2）设与平面交于点，作出点（说明作法），并求的长． 【答案】（1） 因为平面平面，所以， 因为，所以， 且平面，平面， 所以平面，则， 又因为为的中点，所以． 且平面．平面． 又，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2）延长与并交于点，连接，则与的交点即点． 【解析】 【分析】（1）由线线垂直证明线面垂直，再证明面面垂直即可； （2）由线及面，先找到所在平面与平面的交线.已知公共点，只需延长延长与得另一公共点，连接，与的交点即为所求，再利用平面几何知识运算求解长度即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，延长与并交于点，连接，则与的交点即点． 过作交于， 因为，所以， 根据相似可得，则， 过作交于， 由（1）知平面，则，故， 根据相似可得， 因为， 则，所以． 21. 已知直线． （1）为何值时，点到直线的距离最大?并求出最大值； （2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1），距离最大值； （2）面积的最小值为12，直线l的方程为3x+2y+12=0. 【解析】 【分析】（1）由题设求得直线过定点，则与定点的连线的距离就是所求最大值，根据垂直关系及求参数m； （2）设直线为，并求出A，B坐标，应用三角形面积公式、基本不等式求最小值，并写出直线方程. 【小问1详解】 已知直线，整理得， 由，故直线过定点， 点到直线的距离最大，即与定点的连线的距离就是所求最大值， 所以为最大值． ∵， ∴的斜率为，得，解得； 【小问2详解】 若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点， 则设直线为，，则，， ． （当且仅当时，取“=”）， 故面积的最小值为12，此时直线l的方程为3x+2y+12=0. 22. 如图，已知为的直径，点、在上，，垂足为，交于，且． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1） 连接， ， ， ， 又是的直径， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． （2）8 【解析】 【分析】（1）连接，由已知条件推导出，，从而得到，由此能证明． （2）由已知条件推导出，，，从而得到，由（1）得，在中，由即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 是的直径， ， ， ，且为锐角， ， 由（1）得， ， 在中， ，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年（上）高二年级月考（一）B卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知复数，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 0或2 B. 2 C. 0或 D. 3. 如图，在平行六面体中，为的中点，若则（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线的方向向量，直线的方向向量，若且，则的值是（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 7. 若数据的平均数为10，则新数据的平均数为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 8. 已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知甲、乙、丙、丁四组（每组均含100个数据）数据的方差分别为6.7，8.9，3.6，5.5，关于这四组数据的波动性，下列判断正确的是（ ） A. 乙组数据的波动性最大 B. 丙组数据的波动性最大 C. 乙组数据的波动性最小 D. 丙组数据的波动性最小 10. 下列说法正确的有（ ）． A. 直线过定点 B. 过点且斜率为的直线的点斜式方程为 C. 斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为 D. 经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为 11. 已知是定义域为R的奇函数，且为偶函数．当时，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 三棱锥各顶点均在表面积为的球体表面上，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 线段长度的最小值为 D. 三棱锥体积的最大值为 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 在空间直角坐标系中，，若四边形为平行四边形，则________． 14. 已知两圆与交于两点，则直线的方程为___________. 15. 已知，，，，则的值为__________． 16. 已知函数，若从集合中随机选取一个元素，则函数恰有7个零点的概率是________． 四､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 三角形的三个顶点是. （1）求边上的高所在直线的方程. （2）求边的垂直平分线的方程. 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）当时，求函数的最大值和最小值. 19. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，求的周长． 20. 如图，在四棱锥中，，，，，平面，分别为的中点． （1）证明：平面平面； （2）设与平面交于点，作出点（说明作法），并求的长． 21. 已知直线． （1）为何值时，点到直线的距离最大?并求出最大值； （2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程． 22. 如图，已知为的直径，点、在上，，垂足为，交于，且． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $