2025年中考数学复习讲义 专题11 平面直角坐标系

专题11 平面直角坐标系 【考点梳理】 1.有序数对 平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的. 2.平面直角坐标系中点的特点： ①四个象限点的坐标符号特征： Ⅰ( )Ⅱ( )Ⅲ ( ) Ⅳ( ) ②坐标轴上的点的特征：x轴上的点______为0，y轴上的点______为0；坐标轴上的点不属于任何象限. ③象限角平分线上的点的特征： 若点 P(m， n)在第一、三象限的角平分线上，则m=n，即横、纵坐标相等； 若点 P(m， n)在第二、四象限的角平分线上，则m+n=0，即横、纵坐标互为相反数. ④平行于坐标轴的点的特征： 平行于x轴的直线上的所有点的______坐标相同； 平行于y轴的直线上的所有点的______坐标相同. 3.在平面直角坐标系中，已知点P(a，b)，则 (1)点 P 到 x 轴的距离为|b|； (2)点 P 到 y 轴的距离为|a|； (3)点 P 到原点 O 的距离为 PO. 4.对称点的坐标特征： (1)点 P(m， n) 关于x轴的对称点为 P1 (m，-n)，即 ___坐标不变，_______坐标互为相反数； (2)点 P(m， n) 关于y轴的对称点为 P2 (-m， n)，即___坐标不变，______坐标互为相反数； (3)点 P(m， n) 关于原点的对称点为 P3 (-m，-n)，即____、______坐标都互为相反数. 5.平面内两点间的距离 ①当两点平行于X轴(或在x轴上)，则两点间距离为两横坐标之差的绝对值； ②当两点平行于y轴(或在y轴上)，则两点间距离为两点纵坐标之差的绝对值. ③平面任意两点P1(x1，，y1).P2(x2，y2)，则P1P2两点间距离为____________________________. 6.图形(点)的旋转与坐标变化 (1)点P(x， y)绕坐标原点顺时针旋转90°，其坐标变为P'(y，-x)；逆时针旋转90°，其坐标变为P'(-y，x). (2)点P(x，y)绕坐标原点旋转180°，其坐标变为P'(-x，-y). 7.图形(点)的平移与坐标变化 点P(x，y) (1)向右平移a个单位，其坐标变为P'(x+a，y)； (2)向左平移a个单位，其坐标变为P'(x-a，y)； (3)向上平移b个单位，其坐标变为P'(x，y+b)； (4)向下平移b个单位，其坐标变为P'(x，y-b). 【考点扫描】 考点一 坐标确定位置 通过坐标(有序实数对)确定一个物体的位置，关键点是找准原点，也就是(0，0)，弄清题干中规定的正方向、单位长度，结合所求物体到原点的水平距离和竖直距离来表示物体的位置. 例1 (2023台州)如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为(-2，2)，则“炮”所在位置的坐标为(　　) A.(3，1) B.(1，3) C.(4，1) D.(3，2) 考点二 点与象限 例2 (2023丽水)平面直角坐标系中，点P(-1，m2+1)位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 跟踪练习： 1.(2024甘南州)若点P(3m+1，2-m)在x轴上，则点P的坐标是______. 考点三 对称点的特征 关于x轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数； 关于y轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数； 关于原点对称，则横、纵坐标分别互为相反数. 简单记为“关于谁谁不变，关于原点都改变”. 例3 (2022遵义)在平面直角坐标系中，点A(a，1)与点 B(-2，b)关于原点成中心对称，则a+b的值为( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 跟踪练习： 2.(2023宿迁)在平面直角坐标系中，点P(2，3)关于x轴对称的点的坐标是 . 3.(2023临沂)某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示.若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为(-6，2)，则点B的坐标为(　　) A.(6，2) B.(-6，-2) C.(2，6) D.(2，-6) 考点四 图形的平移性质 ①平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动； ②连接各组对应点的线段平行(或在同一直线上)且相等. 例4 (2022临沂)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B的坐标分别是A(0，2)，B(2，-1)，平移△ABC得到△A'B'C'，若点A的对应点A'的坐标为(-1，0)，则点B的对应点B'的坐标是________. 跟踪练习： 4.(2024雅安)在平面直角坐标系中，将点P(1，-1)向右平移2个单位长度后，得到的点P关于x轴的对称点的坐标是( ) A.(1，1) B.(3，1) C.(3，-1) D.(1，-1) 5.(2021临沂)在平面直角坐标系中，ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A、B的坐标分别是(-1，1)、(2，1)，将ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则顶点C的对应点C1的坐标是_______. 考点五 图形的旋转性质 ①对应点到旋转中心的距离相等； ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； ③旋转前、后的图形全等； ④图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度和方向决定. 例5图 跟踪练习6题图 例5 (2024湖北)平面坐标系xoy中，点A的坐标为(-4，6)，将线段OA绕点O顺时针旋转90o，则点A的对应点A’的坐标为( ) A.(4，6) B.(6，4) C.(4，-6) D.(-6，-4) 跟踪练习： 6.(2024潍坊)如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为(0，4)，点B，C均在x轴上.将△ABC绕顶点A逆时针旋转30o得到△AB’C’，则点C’的坐标为 . 【直击中考】 1.(2024贵州)为培养青少年的科学态度和科学思维，某校 创建了“科技创新”社团.小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为(-2，0)，(0，0)，则“技”所在的象限为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 第1题 第2题 2.(2024广西)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原 点，点P的坐标为(2，1)，则点Q的坐标为( ) A.(3，0) B.(0，2) C.(3，2) D.(1，2) 3.(2024广元)如果单项式-x2my3与单项式2x4y2-n的和仍是一个 单项式，则在平面直角坐标系中点(m，n)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(2024滨州) 若点 P(1-2a，a)在第二象限，那么 a 的取值范围是( ) A.a> B.a< C.0<a< D.0≤a< 5.(2024凉山)若点P(a，-3)关于原点对称的点是P'(2，b)，则a+b 的值是( ) A.1 B.-1 C.-5 D.5 6.(2024资阳)在平面直角坐标系中，将点(-2，1)向上平移1个单位长度后，得到的点的坐标为( ) A.(-2，0) B.(-2，2) C.(-3，1) D.(-1，1) 7.(2024通辽)剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的其中一条坐标轴重合，则点A(-4，2)关于对称轴对称的点的坐标为( ) A.(-4，-2) B.(4，-2) C.(4，2) D.(-2，-4) 第7题 第8题 第9题 8.(2024自贡)如图，在平面直角坐标系中，D(4，-2)，将 Rt△OCD 绕点0按逆时针方向旋转 90°得到△OAB，则点B的坐标为( ) A.(2，4) B.(4，2) C.(-4.-2) D.(-2，4) 9.(2024吉林)在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-4，0)，点C的坐标为(0，2).以OA、OC 为邻边作矩形OABC.若将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°，得到矩形OA'B'C'，则点 B'的坐标为( ) A.(-4，-2) B.(-4，2) C.(2，4) D.(4，2) 10.(2024包头)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O(0，0)，A(1，2)，B(3，3)，C(5，0)，则四边形OABC的面积为( ) A.14 B.11 C.10 D.9 第10题图 第11题图 第14题图 11.(2024青海)如图，一次函数y=2x-3的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是( ) A.(-，0) B.(，0) C.(0，3) D.(0，-3) 12.(2024宿迁)点P(a2+1，-3)在第____象限. 13.(2024江西)在平面直角坐标系中，将点A(1，1)向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为______. 14.(2024四川)如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器 测得在点A，B，C处有目标出现.按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为(1，90o)，(2，240o)，则点C的位置可以表示为 . 15.(2023青岛)如图，将线段AB先向左平移，使点B与原点O重合，再将所得线段绕原点旋转180°得到线段A′B′，则点A的对应点A′的坐标是( ) A.(2，-3) B.(-2，3) C.(3，-2) D.(-3，2) 第15题图 第16题图 16.(2023潍坊)如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为(-2，0)，∠AOC=60°.将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，其中点B′的坐标为( ) A.(-2，-1) B.(-2，1) C.(-，1) D.(-，-1) 17.(2024安徽)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点(网格线的交点)A、B、C、D的坐标分别为(7，8)、(2，8)、(10，4)、(5，4). (1)以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1; (2)直接写出以B、C、B1、C为顶点的四边形的面积; (3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AE平分∠BAC，写出点E的坐标. 18.(2024济宁)如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1，3)，B(3，4)，C(1，4). (1)将△ABC向下平移2个单位长度得△4¡B1C1.画出平移后的图形，并直接写出点B1的坐标: (2)将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°得△A2B1C2，画出旋转后的图形，并求点C1运动到点C2所经过的路径长， 答案解析： 【考点扫描】 例1【答案】A 【分析】直接利用“車”位于点(-2，2)，得出原点的位置，进而得出答案． 【解答】解：如图所示：“炮”所在位置的坐标为：(3，1)． 故选：A． 例2【答案】B 【分析】依据m2+1＞0，即可得出点P(-1，m2+1)在第二象限． 【解答】解：∵m2+1＞0， ∴点P(-1，m2+1)在第二象限． 故选：B． 跟踪练习： 1.【答案】(7,0) 【解答】点P(3m+1,2-m)在x轴上， ∴2-m=0，解得m=2， 把m=2代入3m+1，得3m+1=3x2+1=7， ∴P(7,0)， 故答案为:(7,0). 例3【解析】∵点A(a，1)与点B(-2，b)关于原点成中心对称， ∴a=2，b=-1，∴a+b=1， 故选：C． 跟踪练习： 2.【答案】(2,-3) 【分析】根据关于x轴的对称点的坐标计算即可； 【解答】根据关于x轴的对称点的特征，横坐标不变，纵坐标变为相反数可得：点P(2,3)关于轴对称的点的坐标是(2,-3)； 故答案是(2,-3)． 3.【答案】A 【分析】根据关于轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，进行求解即可． 【解答】解：由题意，得：点B的坐标为(6,2)； 故选：A． 例4【答案】(1，-3). 【分析】由A点的平移判断出B点的平移最后得出坐标即可． 【解答】解：由题意知，点A从(0，2)平移至(-1，0)，可看作是△ABC先向下平移2个单位，再向左平移1个单位(或者先向左平移1个单位，再向下平移2个单位)， 即B点(2，-1)，平移后的对应点为B'(1，-3)， 故答案为：(1，-3)． 跟踪练习： 4.【答案】(3，1) 【解答】解：根据平移规律，点P(1,-1)向右平移2个单位长度后，得到的点P1(3,-1)， P关于x轴的对称点坐标是(3,1)， 故选:B。 5.【答案】(4，-1) 【分析】根据平行四边形的性质得到点C坐标，再根据平移的性质得到C1坐标． 【解答】解：在平行四边形ABCD中， ∵对称中心是坐标原点，A(-1，1)，B(2，1)， ∴C(1，-1)， 将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度， ∴C1(4，-1)， 故答案为：(4，-1)． 例5【答案】B 【解答】过A作AC⊥y轴于点C，过A作A'B⊥x轴于点B，则AC=4，CO=6,∠ACO=∠A'BO=90° ∴∠A+∠AOC=∠AOC+∠CAA'=90°, ∴∠A=∠COA', ∵AO=A'O, ∴△AOC≌△AOB(AAS), ∴A'B=AC=4,OB=0C=6, ∴A'(6,4), 故选:B. 跟踪练习： 6.【答案】(4,4-) 【解答】作C'F⊥AO，交y轴于点F， 由题可得:OA=4， ∵△ABC是等边三角形，AO⊥BC， ∴AO是∠BAC的角平分线， ∴∠OAC=30°, ∴OC=AC, 在Rt△AOC中，AO²+OC²=AC²， 即16+(AC)2=AC2, 解得AC= ∴A’C=AC= OF=AO-AF=4-AC'cos60°=4- FC"=AC'sin60°==4. ∴C’(4,4-), 故答案为:(4,4-). 【直击中考】 1.【答案】A 【解答】解：如图建立直角坐标系，则“技”在第一象限， 故选：A． 2.【答案】C 【解答】解：点Q的坐标为(3，2)． 故选：C． 3.【答案】D 【分析】根据两个单项式的和仍是一个单项式，可求出m，n的值，进而得出点(m，n)所在象限． 【解答】解：因为单项式-x2my3与单项式2x4y2-n的和仍是一个单项式， 所以2m=4，2-n=3， 解得m=2，n=-1， 所以点(2，-1)所在的象限为第四象限． 故选：D． 4.【答案】A 【解答】∵点P(1-2a,a)在第二象限， ∴1-2a<0，a>0 解得:a>; 故选:A. 5.【答案】A 【解答】∵点P(a,-3)关于原点对称的点是P'(2,b), ∴a=-2,b=3,∴a+b=-2+3=1。 答案A 6.【答案】B 【解答】解:将点(-2，1)向上平移1个单位后，得到的点的坐标为(-2，2). 故答案为B 7.【答案】C 【解答】由所给图形可知，此图形关于y轴对称， 所以点A(-4,2)关于对称轴对称的点的坐标为(4,2). 故选:C. 8.【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了坐标与图形性质. 先根据点D的坐标可确定OC=4，CD=2，再根据旋转的性质得OA=0C=4，AB=CD=2，然后根据第二象限点的坐标特征确定B点的坐标. 【解答】∵D(4,-2)， ∴0C=4，CD=2， ∵Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°，得到△OAB， ∴OA=0C=4，AB=CD=2, ∴B点坐标为(-2,4). 故选:D. 9.【答案】C 【解答】∵点A的坐标为(-4,0)，点C的坐标为(0,2)， ∴OA=4,OC=2, ∵四边形ABCO是矩形， ∴BC=OA=4， ∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'B'C', ∴0C'=0C=2，B'C'=BC=4, ∴点B'的坐标为(2,4). 故选:C. 10.【答案】D 【解答】过A点作AE⊥x轴于E，作BF⊥x轴于F，如图， ∵O(0,0)，A(1,2)，B(3,3)，C(5,0)， ∴OE=1，AE=2，BF=3，CF=2，EF=2, ∴四边形OABC的面积=S△AOE+S△BCF+S梯形ABFE ==9 故选:D. 11.【答案】A 【解答】对于一次函数y=2x-3，令y=0，可得x= ∴A(,0), ∴点A关于y轴的对称点的坐标为(，0) 故选:A. 12.【答案】四． 【解答】解：∵a2+1≥1，-3＜0， ∴点P(a2+1，-3)在第四象限． 故答案为：四． 13.【答案】C(3,4) 【解答】将点A(1,1)向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B,则点B的坐标为(1十2,1+3),即B(3,4). 14.【答案】(3,30o). 【解答】∵点A，B的位置可以分别表示为(1,90o)，(2,240o)， ∴点C的位置可以表示为(3,30o)， 故答案为:(3,30o). 15.【答案】A 【解答】解：如图， 由题意可知，点A(0，3)，B(2，0)， 由平移的性质得：A''(-2，3)，点B'(0，0)， 由旋转的性质得：点A'与A''关于原点对称， ∴A′(2，-3)， 故选：A． 16.【答案】A 【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E， ∴∠BEA=90°， ∵点A的坐标为(-2，0)， ∴OA=2， ∵四边形OABC是菱形， ∴AB=OA=2，AB∥OC， ∴∠EAB=∠AOC=60°， ∴∠ABE=30°， ∴AE=AB==1 由勾股定理得BE==， ∴OE=AE+OA=1+2=3， ∴点B的坐标是(-3,)， 将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′， ∴点B′的坐标为(-2，-1)， 故选：A． 17.【解答】(1)如图，画出△A1B1C1; (2)以B，C1，B1，C为顶点的四边形的面积 =108-2-2=40; (3)如图，点E即为所求(答案不唯一)，点E的坐标(6,6). 18.【解答】(1)如图,△A1B1C1即为所求. 由图可得,点B1的坐标为(3,2). (2)如图,△A₂B1C₂即为所求. 点C1运动到点C₂所经过的路径长为. 学科网（北京）股份有限公司 $$