2025年中考数学一轮复习讲义 专题10 不等式

专题10 不等式(组) 【考点梳理】 一、不等式的概念、性质及解集表示 1.不等式 一般地，用符号“＜”(或“≤”)、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. 2.不等式的基本性质 性质1不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.若a>b，则. 性质2不等式两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.若a>b，c>0，则ac>bc或. 性质3不等式两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.若a>b，c>0，则ac<bc或. 3.不等式的解集的表示法 ①用不等式表示； ②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解. 二、一元一次不等式及其解法 1.一元一次不等式 不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式. 2.解一元一次不等式的一般步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1(注意不等号方向是否改变). 三、一元一次不等式组 几种常见的不等式组的解集 设a<b，a，b是常数，关于x的不等式组的解集的四种情况如下表所示(没有等号时，在数轴上用空心圆点表示)： 不等式组 (a<b) 数轴表示 解集 口诀 x≥b 同大取大 x≤a 同小取小 a≤x≤b 大小、小大中间找 无解 大大、小小取不了 四、列不等式(组)解决实际问题 列不等式(组)解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等.列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接. 【考点扫描】 考点一 不等式的定义及性质 例1 (2023德阳)如果a>b，那么下列运算正确的是(　　) A.a-3＜b-3 B.a+3＜b+3 C.3a＜3b D. 【点睛】不等式两边同乘以或除以一个相同的负数，不等号要改变方向，在运用中，往往会因为忘记改变不等号方向而导致错误. 例2 (2023临沂)在实数a，b，c中，若a+b=0，b-c>c-a>0，则下列结论：①|a|>|b|，②a>0，③b＜0，④c＜0，正确的个数有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 跟踪练习： 1.(2024上海)如果x>y，那么下列正确的是( ) A.x+5≤y+5 B.x-5＜y-5 C.5x>5y D.-5x>-5y 2.(2024长春)不等关系在生活中广泛存在.如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度.图中两人的对话体现的数学原理是( ) A.若a>b，则a+c>b+c B.若a>b，b>c，则a>c C.若a>b，c>0，则ac>bc D.若a>b，c>0，则 考点二 一元一次不等式的解集及数轴表示 进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以(或除以)的数的正负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论. 例3(2023宜昌)解不等式>x-1，下列在数轴上表示的解集正确的是(　　) A. B. C. D. 例4 (2022宜昌)解不等式：+1，并在数轴上表示解集. 解：去分母，得：2(x-1)≥3(x-3)+6， 去括号，得：2x-2≥3x-9+6， 移项，得：2x-3x≥-9+6+2， 合并同类项，得：-x≥-1， 系数化为1，得：x≤1. 跟踪练习： 3.(2024陕西)不等式2(x-1)≥6的解集是( ) A.x≤2 B.x≥2 C.x≤4 D.x≥4 4.(2024湖北)不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 5.(2023临沂)解不等式5-2x＜，并在数轴上表示解集. 考点三 一元一次不等式组的解集及数轴表示 不等式解集的确定有两种方法： (1)数轴法：在数轴上把各个不等式解集表示出来，寻找公共部分并用不等式表示出来； (2)口诀法：“大大取大小小取小，大小小大中间找，大大小小取不了.” 例5 (2023武汉)解不等式组请按下列步骤完成解答. (1)解不等式①，得_____________； (2)解不等式②，得_____________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集是_____________. 【点睛】在数轴上表示不等式的解集，要注意>，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“>”要用空心圆点表示.重合部分就是不等式组的解集. 跟踪练习： 6.(2024赤峰)解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是( ) A.B. C. D. 7.(2024青岛)解不等式组：. 8.(2023潍坊)利用数轴，确定不等式组的解集. 考点四 一元一次不等式(组)的整数解问题 此类问题的实质是解不等式(组)，通过不等式(组)的解集，然后写出符合题意的整数解即可. 例6 (2023凉山州)不等式组的所有整数解的和是 　 　. 解：解不等式①得：x>-， 解不等式②得x≤4， ∴不等式组的解集为-＜x≤4， 由x为整数，可取-2，-1，0，1，2，3，4， 则所有整数解的和为7， 故答案为：7. 跟踪练习： 9.(2024盐城)求不等式≥x-1的正整数解. 10.(2024济南)解不等式组：，并写出它的所有整数解. 考点五 求参数的值或取值范围 求解此类题目的难点是根据不等式(组)的解的情况得到关于参数的等式或不等式，然后求解即可. 例7 (2023遂宁)若关于x的不等式组的解集为x>3，则a的取值范围是(　　) A.a>3 B.a＜3 C.a≥3 D.a≤3 例8 (2022济宁)若关于x的不等式组仅有3个整数解，则a的取值范围是( ) A.-4≤a<-2 B.-3＜a≤-2 C.-3≤a≤-2 D.-3≤a＜-2 解：解不等式x-a>0，得：x>a， 解不等式7-2x>5，得：x<1， 则不等式组的解集为a<x<1， ∵不等式组只有3个整数解， ∴不等式组的整数解为-2、-1、0，则-3≤a＜-2， 故答案为：D. 点睛：已知解集(整数解)求字母的取值或取值范围的一般思路：先把题目中除了未知数以外的字母当做常数看待，解不等式组，然后再根据题目中对结果的限制条件得到有关字母的式子，求解即可. 跟踪练习： 11.(2024黑龙江)关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 . 12.(2023黄石)若实数a使关于x的不等式组的解集为-1＜x＜4，则实数a的取值范围为 　 　. 考点六 一元一次不等式(组)的应用 例10 (2023广东)某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打　　折. 解：设这种商品可以按x折销售， 则售价为5×0.1x，那么利润为5×0.1x-4， 所以相应的关系式为5×0.1x-4≥4×10%， 解得：x≥8.8. 答：该商品最多可以打8.8折，故答案为：8.8. 例11 (2024德州)某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋.五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等. (1)两种棋的单价分别是多少？ (2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍.问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？ 【点评】本题考查分式方程、一次函数及一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值. 跟踪练习： 13.(2024泸州)某商场购进A、B两种商品，已知购进3件A种商品比购进4件B种商品费用多60元;购进5件A种商品和2件 B种商品的总费用为620元. (1)求A、B两种商品每件进价各为多少元. (2)该商场计划购进A、B两种商品共60件，且购进B种商品的件数不少于A种商品件数的2倍.若A种商品按每件150元的价格销售，B种商品按每件80元的价格销售，为满足销售完A、B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A种商品的件数最多为多少? 【直击中考】 1.(2024广州)若a＜b，则( ) A.a+3>b+3 B.a-2>b-2 C.-a＜-b D.2a＜2b 2.(2024苏州)若a>b-1，则下列结论一定正确的是( ) A.a+1＜b B.a-1＜b C.a>b D.a+1>b 3.(2024河北)下列数中，能使不等式5x-1<6成立的x的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.(2024宁夏)已知|3-a|=a-3，则a的取值范围在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 5.(2024滨州)若点P(1-2a，a)在第二象限，那么a的取值范围是( ) A.a> B. a< C.0<a< D.0≤a< 6.(2024浙江)不等式组的解集在数轴上表示为( ) A. B. C. D. 7.(2024河南)下列不等式中，与-x>1组成的不等式组无解的是( ) A.x>2 B.x＜0 C.x＜-2 D.x>-3 8.(2024包头)若2m-1，m，4-m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则m的取值范围是( ) A.m<2 B.m<1 C.1<m<2 D.1<m< 9.(2024南充)若关于x的不等式组的解集为x＜3，则m的取值范围是( ) A.m>2 B.m≥2 C.m＜2 D.m≤2 10.(2024山东)根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为180cm； ②1班学生的最低身高小于150cm； ③2班学生的最高身高大于或等于170cm. 上述结论中，所有正确结论的序号是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 11.(2024广西)不等式7x+5＜5x+1的解集为 . 12.(2024烟台)关于x的不等式m-≤1-x有正数解，m的值可以是 (写出一个即可). 13.(2024山东)写出满足不等式组的一个整数解 . 14.(2024天津)解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答. (1)解不等式①，得 　 　； (2)解不等式②，得 　 　； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集为 　 　. 15.(2023宁夏)解不等式组 . 下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务： 解：由①得： 4-2(2x-1)>3x-1…第1步 4-4x+2>3x-1…第2步 -4x-3x>-1-4-2 -7x>-7…第3步 x>1…第4步 任务一：该同学的解答过程第　 　步出现了错误，错误原因是 　 　； 不等式①的正确解集是 　 　； 任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集. 16.解下列不等式(组)，并把它的解集在数轴上表示出来. (1)(2024眉山)解不等式：≤. (2)(2024青岛). (3)(2023菏泽). 17.(2024淄博)解不等式组：，并写出它的所有整数解的和. 18.(2024东营)随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车.新能源公交车有A型和B型两种车型，若购买A型公交车3辆，B型公交车1辆，共需260万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需360万元. (1)求购买A型和B型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)经调研，某条线路上的A型和B型新能源公交车每辆年均载客量分别为70万人次和100万人次.公司准备购买10辆A型、B型两种新能源公交车，总费用不超过650万元.为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值. 答案解析： 【考点扫描】 例1【答案】D 【分析】不等式的基本性质：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，由此即可判断． 【解答】解：A、若a＞b，则a-3＞b-3，故A不符合题意； B、若a＞b，则a+3＞b+3，故B不符合题意； C、若a＞b，则3a＞3b，故C不符合题意； D、若a＞b，则，正确，故D符合题意． 故选：D． 例2【答案】B 【解析】∵a+b=0∴a=-b ∴|a|=|b|∴①错误 ∵b-c>c-a>0:.b>c ∵a+b=0∴a=-b∴a<-c ∴a>c∴a>0,b<0,c<0 ∴②错误，③④正确 故选B 跟踪练习： 1.【答案】C 【解答】解：如果x＞y，两边同时加上5得x+5＞y+5，则A不符合题意； 如果x＞y，两边同时减去5得x-5＞y-5，则B不符合题意； 如果x＞y，两边同时乘5得5x＞5y，则C符合题意； 如果x＞y，两边同时乘-5得-5x＜-5y，则D不符合题意； 故选：C． 2.【答案】A 【解答】解：由题意得，a＞b， ∴a+c＞b+c， ∴图中两人的对话体现的数学原理是若a＞b，则a+c＞b+c． 故选：A． 例3【答案】D 【解答】解：＞x-1， 去分母得：1+4x＞3(x-1)， 去括号得：1+4x＞3x-3， 移项，合并同类项得：x＞-4， 那么在数轴上表示其解集如图所示： ， 故选：D． 例4略 跟踪练习： 3.【答案】D 【解答】解：去括号得，2x-2≥6， 移项得，2x≥6+2， 合并同类项得，2x≥8， 系数化为1得，x≥4． 故选：D． 4.【答案】A 【解答】解：∵x+1≥2，∴x≥1， 在数轴上表示为： ． 故选：A． 5.【答案】x＞3，解集在数轴上表示见解答； 【解答】解：5-2x＜， 2(5-2x)＜1-x， 10-4x＜1-x， -4x+x＜1-10， -3x＜-9， x＞3， 该不等式的解集在数轴上表示如图所示： 例5【答案】(Ⅰ)x＜3； (Ⅱ)x≥-1； (Ⅲ)见解答； (1V)-1≤x＜3． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：， (Ⅰ)解不等式①，得x＜3； 故答案为：x＜3； (Ⅱ)解不等式②，得x≥-1； 故答案为：x≥-1； (Ⅲ)把不等式①和不等式②的解集在数轴上表示出来如下： (Ⅳ)原不等式组的解集是-1≤x＜3． 故答案为：-1≤x＜3． 跟踪练习： 6.【答案】C 【解答】解：， 解不等式①，得：x＜2， 解不等式②，得：x≥-3， 将两个不等式的解集表示在数轴上如下： 故选：C． 7.【答案】-3＜x≤3． 【解答】解：， 解①得：x>-3； 解②得：x≤3 故不等式组的解集为：-3＜x≤3． 8.【解答】解：， 解不等式①得：x≥-2， 解不等式②得：x＜3， 在数轴上表示不等式①②的解集如图所示： ∴原不等式组的解集为：-2≤x＜3． 例6【答案】7． 【分析】求出不等式组的解集，确定出整数解，求出之和即可． 【解答】解：， 解不等式①得：x＞-， 解不等式②得x≤4， ∴不等式组的解集为-＜x≤4， 由x为整数，可取-2，-1，0，1，2，3，4， 则所有整数解的和为7， 故答案为：7． 跟踪练习： 9.【答案】1，2． 【分析】根据解一元一次不等式的步骤对所给不等式进行求解，并写出正整数解即可． 【解答】解：， 1+x≥3x-3， x-3x≥-3-1， -2x≥-4， x≤2． 所以此不等式的正整数解为：1，2． 10.【答案】解集是-1＜x＜4， 整数解为0，1，2，3． 【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，再写出该不等式组的所有整数解即可． 【解答】解：解不等式①，得x＞-1， 解不等式②，得x＜4， 原不等式组的解集是-1＜x＜4， ∴整数解为0，1，2，3． 例7【答案】D 【分析】用含a的式子表示出不等式的解，结合条件进行求解即可． 【解答】解：， 解不等式①得：x＞3， 解不等式②得：x＞a， ∵不等式组的解集是x＞3， ∴a≤3． 故选：D． 例8略 跟踪练习： 11.【答案】-≤a＜0． 【解答】解：解不等式4-2x≥0，得：x≤2， 解不等式x-a＞0，得：x＞2a, ∵不等式组恰有3个整数解， ∴-1≤2a＜0， 即-≤a＜0． 故答案为：-≤a＜0． 12.【答案】a≤-1． 【分析】求出不等式组的解，根据其解集求出a的取值范围即可． 【解答】解：解不等式组，得． ∵它的解集为-1＜x＜4， ∴a≤-1． 故答案为：a≤-1． 例10略 例11解：(1)设象棋的单价为x元，则五子棋的单价为(x-8)元，由题意可得: 解得x=48， 经检验，x=48是原分式方程的根， ∴x-8=40， 答:象棋的单价为48元，五子棋的单价为40元; (2)设购买五子棋a副，则购买象棋(30-a)副，总费用w元， 由题意可得:w=40a+48(30-a)=-8a+1440， ∴w随a的增大而减小， ∵购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍， ∴a≤3(30-a)， 解得a≤22.5， ∴当a=22时，w取得最小值， 此时w=1264，30-a=8， 答:当购买五子棋22副，象棋8副时费用最低，最低费用为1264元. 跟踪练习： 13.【答案】(1)甲旅游团有58人，乙旅游团有44人； (2)当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省． 【解答】解：(1)设A商品的进价是x元/件，B商品的进价是y元/件，根据题意得: 解得: 答:A商品的进价是100元/件，B商品的进价是60元/件; (2)设购进m件A商品，则购进(60-m)件B商品，根据题意得: 解得:19≤m≤20， ∴m的最大值为20. 答:购进A商品的件数最多为20件. 【直击中考】 1.【答案】D 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：若a＜b，两边同时加上3得a+3＜b+3，则A不符合题意； 若a＜b，两边同时减去2得a-2＜b-2，则B不符合题意； 若a＜b，两边同时乘-1得-a＞-b，则C不符合题意； 若a＜b，两边同时乘2得2a＜2b，则D符合题意； 故选：D． 2.【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质逐项判定即可． 【解答】解：若a＞b-1，不等式两边加1可得a+1＞b，故A不合题意，D符合题意， 根据a＞b-1，得不到a-1＜b，a＞b，故B、C不符合题意． 故选：D． 3.【答案】A 【分析】先求解不等式，再确定满足不等式的选项． 【解答】解：解不等式5x-1＜6， 得x＜． 故选：A． 4.【答案】x＜-4． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：， 解不等式①得，x＜-4， 解不等式②得，x， 所以不等式组的解集为x＜-4． 5.【答案】A 【解答】解：∵点P(1-2a，a)在第二象限， ∴， 解得：a＞； 故选：A． 6.【答案】A 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：x≥1， 解不等式②得：x＜4， ∴原不等式组的解集为：1≤x＜4， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：A． 7.【答案】A 【分析】根据不等式组的解集的确定方法逐项判断即可． 【解答】解：∵-x＞1， ∴x＜-1； A、，无解，故此选项符合题意； B、的解集是x＜-1，故此选项不符合题意； C、的解集是x＜-2，故此选项不符合题意； D、的解集是-3＜x＜-1，故此选项不符合题意； 故选：A． 8.【答案】B 【分析】根据题意列出不等式组进行计算求解即可． 【解答】解：由题意可得2m-1＜m＜4-m， 即， 解得：m＜1， 故选：B． 9.【答案】B 【分析】求出第二个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到即可确定m的范围． 【解答】解：解不等式2x-1＜5，得：x＜3， ∵关于x的不等式组的解集为x＜3， ∴m+1≥3， ∴m≥2． 故选：B． 10.【答案】C 【解答】解：设1班同学的最高身高为xcm,最低身高为ycm,2班同学的最高身高为acm,最低身高为bcm, 根据1班班长的对话，得x≤180，x+a=350， ∴x=350-a, ∴350-a≤180， 解得a≥170， 故③正确； 1班学生的身高不超过180cm,最高未必是180cm,故无法判断①； 根据2班班长的对话，得b＞140，y+b=290， ∴b=290-y, ∴290-y＞140， ∴y＜150， 故②正确， 故选：C． 11.【答案】x＜-2． 【分析】先移项、再合并同类项，系数为1即可求解． 【解答】解：7x+5＜5x+1， 7x-5x＜1-5， 2x＜-4， x＜-2． 故答案为：x＜-2． 12.【答案】0(答案不唯一)． 【解答】解：原不等式整理得：x≤1-m， 解得：x≤2-2m， ∵原不等式有正数解， ∴2-2m＞0， 解得：m＜1， 则m的值可以是0， 故答案为：0(答案不唯一)． 13.【答案】-1(答案不唯一) 【解析】由①,得x≥-1, 由②,得x<3, ∴不等式组的解集为-1≤x<3， ∴不等式组的一个整数解为-1. 14.【答案】x≤1，x≥-3，-3≤x≤1，数轴见解析过程． 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式进行求解即可． 【解答】解：解不等式①得，x≤1． 解不等式②得，x≥-3． 将不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示， 所以原不等式组的解集为：-3≤x≤1． 故答案为：x≤1，x≥-3，-3≤x≤1． 15.【答案】任务一：4，不等式的基本性质3应用错误，x＜1； 任务二：-1≤x＜1． 【分析】任务一：根据解不等式的基本步骤解答即可； 任务二：先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可． 【解答】解：任务一：4，不等式的基本性质3应用错误，x＜1； 任务二：-3x+x≤4-2， -2x≤2， x≥-1， ∴该不等式组的解集为-1≤x＜1． 16.(1)【答案】【答案】x≤2，数轴见解答． 【解答】解：-1≤， 2(x+1)-6≤3(2-x)， 2x+2-6≤6-3x， 2x+3x≤6+6-2， 5x≤10， x≤2， 其解集在数轴上表示如下： ． (2)【答案】-3＜x≤3． 【解答】解：， 解①得：x≤3； 解②得：x>-3， 故不等式组的解集为：-3＜x≤3． (3)【答案】x≤． 【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集． 【解答】解：， 解不等式①，得：x＜2.5， 解不等式②，得：x≤， ∴该不等式组的解集是x≤． 17.[答案]-4<x<1，-6 [详解]|解: 解不等式①得:x<1; 解不等式②得:x>-4. 原不等式组的解集-4<x<1, 不等式组所有整数解的和为-3-2-1-0=-6. 18.【答案】(1)购买每辆A型新能源公交车需60万元，每辆B型新能源公交车需80万元； (2)当购买8辆A型新能源公交车，2辆B型新能源公交车时，年均载客总量最大，最大值为760万人次． 【解答】解：(1)设购买每辆A型新能源公交车需x万元，每辆B型新能源公交车需y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：购买每辆A型新能源公交车需60万元，每辆B型新能源公交车需80万元0； (2)设购买m辆A型新能源公交车，则购买(10-m)辆B型新能源公交车， 根据题意得：60m+80(10-m)≤650， 解得：m≥， 设该线路的年均载客总量为w万人次，则w=70m+100(10-m)， 即w=-30m+1000， ∵-30＜0， ∴w随m的增大而减小， 又∵m≥，且m为正整数， ∴当m=8时，w取得最大值，最大值为-30×8+1000=760，此时10-m=10-8=2． 答：当购买8辆A型新能源公交车，2辆B型新能源公交车时，年均载客总量最大，最大值为760万人次． 学科网（北京）股份有限公司 $$