精品解析：Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2025届高三第二次联考数学试题

Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2025届高三第二次联考 数学试题卷 命题：长兴中学 方志刚、陈王欢、谢伟忠 磨题：海宁高级中学 杜丽娟 嘉兴一中 吴献超 临安中学 郭立军 校稿：李慧华、吕金晶 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方. 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效. 4．考试结束后，只需上交答题卷. 第I卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以，故C正确. 故选：C 2. 若复数满足，则复平面内复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简复数，即可根据几何意义求解. 【详解】复数，对应点坐标为，位于第二象限． 故选：B 3. 已知向量与的夹角为，，，若，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直，即可利用数量积求解. 【详解】． 故选：A； 4. 若函数为奇函数，则实数（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】应用奇函数的定义结合指数运算及余弦函数的奇偶性或结合特殊角的三角函数值计算求参即可. 【详解】法一：令， 此时，满足题意． 法二：由函数是奇函数则，即得， 所以，即得，计算得． 故选：D. 5. 2024年9月16日，台风“贝碧嘉”登陆上海浦东，当地某机关单位组织甲，乙等4名志愿者参与三个受灾小区的抗台抢险工作.每个人只能去一个小区，并且每个小区都要有人去，则不同的分配方案共有（ ） A. 16种 B. 20种 C. 26种 D. 36种 【答案】D 【解析】 【分析】先让小区去选人，再全排列即可求得结果. 【详解】不同元素的分组分配问题，． 故选：D； 6. 已知双曲线的右焦点为，过且倾斜角为的直线交双曲线的两条渐近线于两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据渐近线的倾斜角可得，根据全等即可求解. 【详解】由已知，渐近线方程为，则两条渐近线倾斜角分别为和； 直线的倾斜角为，且经过右焦点，所以该直线与其中一条渐近线垂直． 令，易得，则. 故选：A； 7. 某校教工食堂为更好地服务教师，在教师微信群中发起“是否喜欢菜品”的点赞活动，参与活动的男、女教师总人数比例为，男教师点赞人数占（参与活动的）男教师总人数的，女教师点赞人数占（参与活动的）女教师总人数的，若从点赞教师中选择一人，则该教师为女教师的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用全概率公式及条件概率计算即可. 【详解】设事件“该教师为男教师”，事件“该教师为女教师”，事件“该教师为点赞教师”， 则， 又． 故选：C. 8. 定义在的增函数满足：，且.已知数列的前项和为，则使得成立的的最大值是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】应用已知条件分别构造抽象函数模型或应用赋值法计算得出再应用等比数列的求和公式计算可得. 【详解】法一：，可令，又，则， ， ． ． 法二： 由题； 令； 令； ，． ． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的相关性强 B. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 C. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 D. 由两个分类变量的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断相关，且犯错误的概率不超过0.1 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相关系数的概念判断A的真假；根据方差的性质判断B的真假；根据残差的性质判断C的真假；根据独立性检验的概念判断D的真假. 【详解】对于A选项，样本相关系数越接近1，相关性越强，故正确； B选项，一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，满足方差的性质，故正确； C选项，在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，故错误； D选项，，所以相关，故正确. 故选：ABD 10. 已知（ ） A. 当时，是的极大值点 B. 当时，的所有零点之和为0 C. 直线是的切线 D. 存在使在上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】求出导数，利用极值的定义判断A；求出零点判断B；求出切点判断C；取特值说明判断D. 【详解】函数定义域为R，求导得， 对于A，，当时，， 当时，，因此是的极小值点，A错误； 对于B，，存在三个零点，， 为方程的两根，则，所有零点之和为0，B正确； 对于C，由时，得，点在函数的图象上， 因此函数的图象在点处的切线为，C正确； 对于D，，而，则不存在使在上单调递增，D错误. 故选：BC 11. 数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（ ） A. 曲线由两条抛物线的一部分组成 B. 线段的长度与点到直线的距离相等 C. 若线段的长度为，则直线的斜率为 D. 若，则直线的斜率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，根据题干列出等式即可判断；对于选项B，利用抛物线的定义即可判断，对于选项C，利用焦半径公式列出等式即可判断，对于选项D，由焦半径，又因为可得，即可得到结果. 【详解】 对于A选项，设曲线上任意一点， 由定义可知，满足， 移项，平方可得：， 即，为两条抛物线，故A正确； 对于B选项，和直线分别为抛物线的焦点和准线，由抛物线定义可知，故B正确 对于C选项，设与轴夹角为同时为抛物线和椭圆的焦点，， ， 解得，则，故C错误. 对于D选项，易知为抛物线和的焦点， 前者，后者分别为两个抛物线的较短的焦半径，因此 ，由于， 则，因此，所以，故D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：抛物线的求解，一般利用定义和二级结论直接能够列出等式求解. 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知等比数列为递增数列，且的等差中项为，则公比为________． 【答案】5 【解析】 【分析】利用等差中项的性质建立方程，结合等比数列的性质化简方程，求解参数即可. 【详解】因为的等差中项为，所以， 则，由等比数列性质得， 得到，解得或， 由于为递增数列，故符合题意. 故答案为：5 13. 已知，且满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】应用同角三角函数关系结合两角差的余弦化简，应用角的范围或应用三角恒等变换结合角的范围得出，最后应用二倍角余弦公式计算. 【详解】法一：由，则， 因此， 又因为， 所以，所以， 则． 法二：由，则， 结合则， 则． 故答案为：. 14. 已知在四棱锥中，底面，且，动点E在侧面内以点P为圆心，1为半径的圆弧上，动点F在直线上，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先明确动点进行轨迹分析，再利用余弦定理进行距离转化，利用线面角的性质确定 的最小值，最后通过几何关系求出线面角的正弦值，即可得到 的最小值. 【详解】由题意，底面，，以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系. 根据已知条件， 所以，，，， 设，因为，，所以，则， 故， 直线的方向向量， . ， . 设平面的一个法向量，所以，即， 令，则平面的一个法向量可取. 直线和平面的夹角为，. 对于任意一个固定的点，在直线上运动，最短的就是点到直线的垂直距离， 故过点向直线作垂线，垂足为，此时求的最小值即可. 在中，因为，所以， 所以当最小，此时最小. 又面，与面所成角为，所以最小值为，由图可知最大不会超过. 已知，因此. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，且. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明. （2）由第（1）的结论建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法即可得到结论. 【小问1详解】 ， ，且， 又 面PBD 又是平行四边形 面PBD 【小问2详解】 设与BD交点为O， 则为中点，， 面面， 面 法一：建系：如图建系， ， ， 设平面的法向量为， 则， 设平面的法向量为， 则， 设二面角的平面角为 二面角的余弦值为． 法二：即求直接找角：作面PBD， 面，作，连即为所求角 二面角的余弦值为． 法三：等积法：角度转化+等体积公式 设二面角的平面角为 二面角的余弦值为． 16. 记的内角的对边分别为，已知，点与分别在直线的两侧，且． （1）求证：； （2）若，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理得出，再结合两角和差的正弦公式，最后结合角的范围即可证明； （2）应用正弦定理边角转化，再结合余弦定理计算即可. 【小问1详解】 ， ， ， ， ， ， ， 或， 或（舍去），． 【小问2详解】 在中，， ，， 在中， ，， 在中，由余弦定理得：， ，. 17. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用给定条件求出切点，结合导数的几何意义求出斜率，进而求出切线方程即可. （2）将函数单调性问题转化为导函数恒成立问题，再利用分离参数法求解参数范围即可. 【小问1详解】 当时，， ，则切点为， 切线方程是，即 【小问2详解】 ， ， 函数在区间上单调递减 在区间上恒成立， ，化简得， 而，则，得到恒成立， 令，即恒成立，即可， 而，令，， 而当时，，则在上单调递减， 故，得到在上单调递减， ，． 18. 已知抛物线，抛物线上一点在第一象限，按照如下方式依次构造点：过点作斜率为的直线交于，再过点作斜率为的直线交于点． （1）若点，且． （i）求抛物线的方程，并写出准线方程； （ii）求直线的斜率； （2）记为的面积，求的表达式（用表示）. 【答案】（1）（i）抛物线，准线；（ii）1 （2） 【解析】 【分析】（1）（i）由代入抛物线方程，求出，即可得解；（ii）依题意可得直线的方程为，联立直线与抛物线方程，即可得到，从而计算得出即可计算； （2）先设再联立得出 ，求出点，再由水平宽铅锤高算面积计算可得. 【小问1详解】 （i）在抛物线上，代入，求得， 所以抛物线，准线． （ii）设直线，联立直线与抛物线， 得， 由韦达定理可得， 由于， 则， 整理可得． 将代入可得， 当时，直线过，不符合题意，舍去， 因此，则直线的斜率为1． 【小问2详解】 设，令，则直线 联立直线与抛物线 可得 由韦达定理可知：， 则 则直线 联立 可得 由韦达定理：， 则 同理可得 法一： 1．叉乘法算面积 2．水平宽铅锤高算面积 线段的中点为， 则平行于轴，因此 法二： 此时有 因此，直线与直线平行 所以，为定值， 1．叉乘法算面积 2．水平宽铅锤高算面积 线段的中点为， 则平行于轴，因此 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是应用或转化计算面积. 19. 二进制是计算技术中广泛采用的一种数制，二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”.记十进制下的自然数在二进制下的表示为，则，其中，若，则称为“数”.记表示集合 中“数”的个数. （1）计算； （2）求； （3）求证：，有，并求出使得的取值唯一的所有. 【答案】（1）， （2） （3）证明：设表示所有的“数”组成的集合，因为在二进制表示下， 在的二进制表示的最右边的数字后面添加一个0，恰为在二进制下表示的数， 故与同时属于，或者同时不属于， 集合 比恰少了一个，多了两个数， 因此， 由，且对任意正整数，都存在正整数使得， 结合递推关系可知存在正整数使得. 当时，易知，故不符合题意. 当，时，假设恰有一个使得， 则， 当且仅当时成立， 由二进制表示知必有的形式， 故. 故使得只有唯一解的全体由正整数给出，且唯一解为. 【解析】 【分析】（1）根据二进制的表示，结合“Z20数”的定义即可求解； （2）根据“Z20数”的定义以及的定义，利用组合的定义即可求解； （3）根据以及（2）的结论可得，进而存在正整数使得，假设恰有一个使得，即可根据求解. 【小问1详解】 由题知，表示集合中“数”的个数，表示集合中“数”的个数， 由于，，故4不是“数”， 由于，，故5不是“数”， 由于，，故6不是“数”， 故； 由于，，故7是“数”， 由于，，故8不是“数”， 故. 【小问2详解】 因为表示集合中在二进制表示下恰有3个1的所有元素的个数. 因为中在二进制表示下恰有3个1的数都是从右起第位数字是1， 再在后面位中找两个位置放1，其余位置放0而得到的，故该集合中有个“数”. 又的二进制表示分别为 ，，，，， 其中只有的二进制表示中恰有3个1， 所以当，时，. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2025届高三第二次联考 数学试题卷 命题：长兴中学 方志刚、陈王欢、谢伟忠 磨题：海宁高级中学 杜丽娟 嘉兴一中 吴献超 临安中学 郭立军 校稿：李慧华、吕金晶 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方. 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效. 4．考试结束后，只需上交答题卷. 第I卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则复平面内复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量与的夹角为，，，若，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 若函数为奇函数，则实数（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 5. 2024年9月16日，台风“贝碧嘉”登陆上海浦东，当地某机关单位组织甲，乙等4名志愿者参与三个受灾小区的抗台抢险工作.每个人只能去一个小区，并且每个小区都要有人去，则不同的分配方案共有（ ） A. 16种 B. 20种 C. 26种 D. 36种 6. 已知双曲线的右焦点为，过且倾斜角为的直线交双曲线的两条渐近线于两点，则（ ） A. B. C. D. 7. 某校教工食堂为更好地服务教师，在教师微信群中发起“是否喜欢菜品”的点赞活动，参与活动的男、女教师总人数比例为，男教师点赞人数占（参与活动的）男教师总人数的，女教师点赞人数占（参与活动的）女教师总人数的，若从点赞教师中选择一人，则该教师为女教师的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在的增函数满足：，且.已知数列的前项和为，则使得成立的的最大值是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的相关性强 B. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 C. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 D. 由两个分类变量的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断相关，且犯错误的概率不超过0.1 10. 已知（ ） A. 当时，是的极大值点 B. 当时，的所有零点之和为0 C. 直线是的切线 D. 存在使在上单调递增 11. 数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（ ） A. 曲线由两条抛物线的一部分组成 B. 线段的长度与点到直线的距离相等 C. 若线段的长度为，则直线的斜率为 D. 若，则直线的斜率为 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知等比数列为递增数列，且的等差中项为，则公比为________． 13. 已知，且满足，则________． 14. 已知在四棱锥中，底面，且，动点E在侧面内以点P为圆心，1为半径的圆弧上，动点F在直线上，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，且. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 16. 记的内角的对边分别为，已知，点与分别在直线的两侧，且． （1）求证：； （2）若，求． 17. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围． 18. 已知抛物线，抛物线上一点在第一象限，按照如下方式依次构造点：过点作斜率为的直线交于，再过点作斜率为的直线交于点． （1）若点，且． （i）求抛物线的方程，并写出准线方程； （ii）求直线的斜率； （2）记为的面积，求的表达式（用表示）. 19. 二进制是计算技术中广泛采用的一种数制，二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”.记十进制下的自然数在二进制下的表示为，则，其中，若，则称为“数”.记表示集合 中“数”的个数. （1）计算； （2）求； （3）求证：，有，并求出使得的取值唯一的所有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $