6.2.3　图形的认识与测量——立体图形的表面积和体积（教学设计）-2024-2025学年六年级下册数学人教版

6.2.3　图形的认识与测量——立体图形的表面积和体积 教学目标 1.认识长方体、正方体、圆柱和圆锥，知道它们的特点。 2.复习长方体、正方体、圆柱、圆锥体积的计算公式，加深学生对立体图形的认识，使学生对所学的知识进一步系统化和概括化。 3.通过实际操作，经历对立体图形的认识，体验直观观察，实践操作等学习方法。培养学生的动手操作能力。 4.使学生在解决实际问题中，感受数学与生活的密切联系，加强数学知识与日常生活的联系，发展学生的空间观念，培养学生的创新精神。 教学 重难点 1.熟记相应公式以及分析、归纳各立体图形表面积和体积计算公式间的内在联系。 2.运用所学的知识解决生活中的实际问题。 教学准备 课件 目标落实 教师活动 学生活动 二次备课 回顾整理立体图形的相关知识，明确长方体、正方体、圆柱和圆锥等立体图形的特征，能从整体上把握这些图形的特征及其相互关系。 一、情境导入 立体图形的认识 （1）上面这些立体图形各有什么特点？ （2）长方体和正方体有什么相同点和不同点？ （3）圆柱与圆锥可以各由什么平面图形旋转而成？ （4）圆柱与圆锥之间有什么关系？ 教师板书： 名 称 图形 相同点 不同点 面 棱 顶点 面的特点 棱长 长 方 体 6 个 12 条 8 个 6个面一般都是长方形（也可能有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等，相对棱长相等 每组（有3组，分别叫长、宽、高）互相平行的4条棱相等 正 方 体 6 个 12 条 8 个 6个面都是相等的正方形 12条棱都相等 名称 图形 特征 圆柱 由三个面围成，上、下两底面是面积相等的圆。侧面是一个曲面，沿高展开是长方形或正方形。两个底面之间的距离叫作高，有无数条高。 圆锥 由2个面围成，底面是一个圆。侧面是一个曲面，展开后是扇形。顶点到底面圆心的距离叫作高，只有一条高。 一、发现问题 活动： 学生独立思考问题，小组内讨论交流，学生汇报。 预设1：长方体的特点是有12条棱，8个顶点，6个面。相对的两个面相等，相对的棱长度相等。 预设2：正方体的12条棱长度都相等，6个面的面积都相等，有8个顶点。 预设3：长方体和正方体的相同点是都有8个顶点，12条棱，6个面。不同点是正方体的12条棱的长度都相等，6个面的面积都相等。 预设4：圆柱是由长方形以长（或宽）为轴或正方形以边长为轴旋转而成的。圆柱的上、下两个底面是大小相等的圆，侧面是一个曲面，有无数条高。 预设5：圆锥是由直角三角形以直角边为轴旋转而成的。圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，只有一条高。 预设6：圆柱的体积是与其等底等高的圆锥的体积的3倍。 复习表面积计算的相关内容，进一步熟悉立体图形表面积的内容。 二、引导合作 1.复习表面积的计算。 （1）复习表面积的定义。 问题：什么是立体图形的表面积？ （2）复习长方体和正方体的表面积。 问题：长方体和正方体的表面积是哪些面的面积之和？表面积公式分别是什么？ （3）复习圆柱的表面积。 问题： ①圆柱的表面积是哪些面的面积之和？ ②圆柱的侧面沿高展开是什么形状？ ③侧面展开的长方形的长、宽与圆柱有什么关系？ ④圆柱的侧面积怎样计算？ 什么样的圆柱沿高展开的侧面是正方形？ 二、探究问题 1.活动一：复习表面积的定义。 小组合作，学生拿出立体图形的模型，一边用手摸，一边说出每个立体圆形的表面积包括哪几个部分的面积？ 预设：一个立体图形所有面的面积总和叫作它的表面积。 活动二：复习长方体和正方体的表面积。 预设：长方体的表面积就是上下、左右、前后六个面的面积总和，并且相对面的面积是相等的。 正方体的表面积就是六个相等面的面积总和。 长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 正方体的表面积=棱长×棱长×6 活动三：复习圆柱的表面积。 预设1：圆柱的表面积就是侧面积加上、下底面面积。 预设2：圆柱的侧面沿高展开是长方形。 预设3：侧面展开的长方形的长相当于圆柱的底面周长（或高），宽相当于圆柱的高（或底面周长）。 预设4：圆柱的侧面积=底面周长×高。 圆柱的底面周长和高相等时，沿高展开的侧面是正方形。正方形的边长相当于底面周长或高。 复习与立体图形体积的计算相关的内容，进一步熟悉立体图形的体积的内涵。 　⑤圆柱的表面积公式是什么？ （4）归纳表面积的计算方法。 S长=（a×b+a×h+b×h）×2 S正=6a2 S圆柱=2πrh+2πr2 2.立体图形体积的计算。 （1）下面我们一起复习有关长方体、正方体和圆柱、圆锥的体积计算。 它们的公式分别是什么？这些体积计算公式中哪一个是其他几个的基础？ 这几个立体图形的体积计算公式是怎么推导出来的？ 教师随着在每个立体图形后面板书相应的体积公式。 （课件演示推导过程） 　（2）要求学生用字母表示出立体图形的体积计算公式。 （3）归纳立体图形的体积公式。 比较一下正方体、长方体和圆柱的体积计算公式，它们有什么相同的地方？ 　预设5：圆柱的表面积=侧面积+2个底面面积。 活动四：归纳表面积的计算方法。 ①学生根据立体图形的表面积是围成立体图形所有面的面积，在教材上用字母表示出计算每个图形表面积的方法。 ②小组内归纳出的表面积计算方法，说一说是怎样想的？ 2.活动一： 学生围绕目标自主复习。小组交流讨论，学生整理汇报。 预设1：长方体的体积公式通过摆体积为1cm3的小正方体推导出，长方体的体积=长×宽×高，即V=a×b×h。 预设2：正方体是特殊的长方体，所以正方体的体积=棱长×棱长×棱长，即V=a3。 预设3：把圆柱体沿高切开分成若干等分。把切开的等分分成相等的两部分拼成一个近似的长方体。长方体与圆柱体的体积、底面积、高都分别相等。 因为长方体体积V=Sh，所以圆柱体体积V=Sh=πr2h。 预设4：利用实验的方法来探究圆锥体积的计算方法。圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥体积的3倍或圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的。 活动二：学生在教材例5中用字母表示出立体图形的体积计算公式。边写边思考这些体积公式是怎样推导出来的。 活动三：归纳立体图形的体积公式。 比较一下正方体、长方体和圆柱的体积计算公式，它们有什么相同的地方？ 预设1：像长方体、正方体和圆柱这三种立体图形，它们都有一个共同的特点，就是上下的两个底面都是一样的，体积都是底面积乘高，即V=Sh。 预设2：底面积和高都分别相等的圆柱、正方体、长方体，它们的体积一定相等。 会灵活运用立体图形的表面积和体积的计算方法解决实际问题。 三、辅导练习 1.基础练习 （1）一个正方体的棱长总和是48cm，它的表面积是（　　　）cm2，体积是（　　　）cm3。 （2）如图，以长方形AB边所在的直线为轴旋转一周，得到一个（　　　），它的体积是（　　　）。 2.变式练习 （1）建造一个长50m、宽30m、深2m的游泳池。 ①如果在池底和四周贴上边长为4dm的正方形瓷砖，那么至少需要多少块？ ②如果注入2700m3的水，那么水深多少米？ （2）一种儿童玩具——陀螺（如下图），上面是圆柱形，下面是圆锥形，经过测试，只有当圆柱底面直径为3cm，高为4cm，圆锥的高是圆柱高的时，这个陀螺才能旋转得又稳又快，这个陀螺的体积是多大？ 三、解决问题 1.基础练习 活动：小组内交流，再指名说一说。 预设： （1）96　64 （2）圆柱　45πcm2 2.变式练习 预设： （1）①先求五个面的面积 50×30+50×2×2+30×2×2=1820（m2） 4×4=16（dm2）　16dm2=0.16m2 ②1820÷0.16 （2）3.14×（3÷2）2×4+×3.14×（3÷2）2×4× =3.14×2.25×4+3.14×2.25 =28.26+7.065 =35.325（cm3） 答：这个陀螺的体积是35.325cm3。 3.提升练习 有一个长方形容器，里面装有水，测得水面高度为4.4cm（如图1），为了得到冰水，（冰水可用于水果保鲜），妈妈把一根圆柱形的冰柱垂直放入其中，水面升高至5.5cm，这时刚好有冰柱浸没在水中（如图2）。 （1）求冰柱的体积。（2）求该冰柱完全融化时容器内的水面高度。（已知：冰融化成水后体积会减少原来的）（单位：cm） 解题思路： （1）原来水柱只有4.4厘米，因为“水面上升到5.5厘米处”说明冰柱插入水中水面上升了（5.5-4.4）厘米，用底面积乘以上升的水的高度1.1厘米，就是冰柱的体积，再求整个冰柱的体积即可。 （2）根据“冰化成水”，体积减少原来的，是把冰的体积看作单位“1”，则水是原来冰柱的，再根据求一个数的几分之几是多少用乘法求出融化后水的体积，然后除以容器的底面积，即可求出全部融化后增加的高度，进而求出冰柱完全融化时容器内的水面高度；求出冰柱垂直放入长方体的容器中，使水的高度上升了：5.5-4.4=1.1（厘米），所以根据整个冰柱化成冰后的体积与上升的高度进行计算即可。 3.提升练习 （1）10×10×（5.5-4.4）÷ = 100×1.1×3=110×3=330（cm3） 答：冰柱的体积是330cm3。 （2）330×=300（cm3） 300÷（10×10）+4.4=7.4（cm） 答：该冰柱完全融化时容器内的水面高度是7.4厘米。 对本节课的相关知识和方法进行归纳汇总和巩固。 四、引导反思 通过这节课的学习，你对立体图形的表面积和体积有了哪些更深刻的认识和了解？ 想一想，说一说。 四、提升问题 预设：熟练掌握了各种立体图形的表面积和体积公式。 板书设计 立体图形的表面积和体积 立体图形 表面积计算公式 体积计算公式 S=2（ab+ah+bh） V=abh V=底面积×高 S=6a2 V=a3 S=2πr2+2πrh V=πr2h —— V=πr2h 学科网（北京）股份有限公司 $$