江苏省无锡市江阴市2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年江苏省无锡市江阴市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的值是(    ) A. B. C. 1 D. 2.一元二次方程的解为(    ) A. B. C. ， D. 无解 3.如图，点A、B、C都在上，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 4.一组数据81，82，82，83，84的众数为(    ) A. 81 B. 82 C. 83 D. 84 5.如图，，直线a、b与、、分别相交于点A、B、C和点D、E、设，，，则EF的长为(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6.已知∽，AB：：3，的面积为1，则的面积为(    ) A. 1 B. 3 C. 9 D. 81 7.某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，已知两次降价的百分率相同，设平均每次降价的百分率为x，可列方程为(    ) A. B. C. D. 8.下列说法正确的是(    ) A. 三点确定一个圆 B. 相等的圆周角所对的弧相等 C. 各边都相等的多边形是正多边形 D. 三角形的内心到三角形三边的距离相等 9.已知二次函数的图象经过点，则下列结论错误的是(    ) A. 该图象的开口向下 B. 当时，y有最大值3 C. 该图象与x轴有两个交点 D. 当时，在y轴左侧，y随x的增大而增大 10.在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足，我们称点P和点Q互为等和点.下列结论： ①若点P坐标为，则点P的等和点Q在直线上； ②若点P坐标为，则无论a取何值，直线上有且只有一个点是点P的等和点； ③若点P、Q分别在函数、的图象上，点P和Q互为等和点，则点P的坐标为； ④若点P坐标为，则二次函数图象上总存在点P的等和点. 其中正确的为(    ) A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ①③ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.若，则______. 12.甲、乙两名运动员在某次打靶射击训练中，他们射击成绩的方差分别是：，，其中成绩较稳定的是______填“甲”或“乙” 13.已知圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积为          结果保留 14.请写出一个二次函数的表达式，使其图象关于y轴对称：______. 15.小球在如图所示的方砖上自由滚动，并随机停留在任何一块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是______. 16.如图，某校数学兴趣小组为了测量塔AB的高度，将无人机飞升至距水平地面米的C处，测得塔顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则该塔的高度是______米参考数据： 17.如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线交CD的延长线于点G，交边AD于点E，若，则DG的长为______. 18.如图，在中，直径，C是AB上一动点，作CB的垂直平分线，交于D、E两点，连接CD、当点C与点O重合时，______；在点 C的运动过程中，的最大值为______. 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题8分 计算：； 解方程： 20.本小题8分 已知关于x的一元二次方程 若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； 若方程有一个实数根为1，求该方程的另一个实数根. 21.本小题10分 如图，在四边形ABCD中，BD平分， 求证：∽； 若，，求BD的长. 22.本小题10分 近年来，国家对青少年近视问题越来越重视.某校为了解九年级学生的视力情况双眼的平均视力，计划采用抽样调查的方式来估计该校九年级800名学生的视力情况双眼的平均视力，制定以下两种抽样方案： ①从九年级的一个班级中随机抽取20名学生； ②从九年级全体学生中随机抽取20名学生. 你认为更合理的方案是______填“①”或“②”； 该校用合理的方案抽取了20名学生进行视力检查双眼的平均视力，检查结果如下： 整理上面的数据得到如下表格： 双眼的平均视力 人数 1 1 2 1 2 m 1 1 2 5 2 数据处理： 平均数 众数 中位数 b 请根据所给信息，解答下列问题： ______，______； 根据样本数据，估计该校九年级学生双眼的平均视力在及以上的学生人数. 23.本小题10分 小红和小明准备在寒假期间游览一个江阴本地的著名景点，备选景点有鹅鼻嘴公园记为、海澜飞马水城记为、华西村记为、徐霞客故居记为，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同. 小红选择去海澜飞马水城的概率为______； 若小红已去过鹅鼻嘴公园，准备在B、C、D中选一个地点游玩，若小明已去过徐霞客故居，准备在A、B、C中选一个地点游玩，请用树状图或列表的方法求小红和小明正好选择同一个景点的概率. 24.本小题10分 如图，中，请利用没有刻度的直尺和圆规，按下列要求作图并计算. 在AC边上作一点D，使点D到AB、BC两边所在的直线的距离相等，在AB边上作一点E，使；注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注； 在的条件下，若，，则DE的长为______. 25.本小题10分 如图，某饲养员想用长为29m的栅栏，并借助一段围墙围成一个矩形鸡场ABCD，在边BC上留一个宽为1m的门门不需要栅栏，已知围墙的长度为 当AB为多少米时，能围成一个面积为的鸡场？ 求鸡场能围成的最大面积. 26.本小题10分 如图，AB是的直径，C，D是上两点，CO平分，过点C作，垂足为 求证：CE是的切线； 已知，，求AD的长. 27.本小题10分 如图，菱形ABCD中，，，连接AC、BD，将绕点A逆时针旋转得到，边AE分别交BD、BC于P、M，边AF分别交BD、CD于Q、 设，，则______； 设，，求y关于x的函数表达式； 当以BP、PQ、DQ为三边长所构成的三角形是直角三角形时，直接写出BP的长. 28.本小题10分 平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点 若点A的坐标为，且二次函数图象关于直线对称，求二次函数的表达式； 在的条件下，该函数位于第一象限内的图象上是否存在点P，满足点P关于直线AC的对称点恰好落在x轴上？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 若二次函数位于x轴上方的图象上存在点D，满足过点D作轴，垂足为试说明：DE的长为定值. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解： 故选： 由的正弦值为，即可求得答案． 此题考查了特殊角的三角函数值．注意熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 2.【答案】C  【解析】解：， ， 或， ， 故选： 运用因式分解法把转化为，即可解得一元二次方程． 本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 3.【答案】B  【解析】解：， 故选： 直接利用圆周角定理解答即可． 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 4.【答案】B  【解析】解：出现的次数最多， 这组数据的众数为 故选： 根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数解答． 本题考查了众数，解题的关键是掌握众数的定义． 5.【答案】C  【解析】解：直线， ， ，，， ， 故选： 根据平行线分线段成比例定理解答即可． 本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：∽，AB：：3， 与面积的比为：1：9， 的面积为1， 的面积为9， 故选： 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 7.【答案】A  【解析】解：由题意，得： ， 故选： 设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的，那么第二次降价后的单价是原来的，根据售价由原来的每件25元降到每件16元，列出方程即可． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是根据题意找到相等关系，列出方程即可． 8.【答案】D  【解析】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故不符合题意； B、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故不符合题意； C、各边都相等且各角也都相等的多边形是正多边形，故不符合题意； D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，故符合题意； 故选： 分别利用确定圆的条件、三角形的内心的性质、圆周角定理、正多边形的定义分别判断后即可确定正确的选项． 本题考查了正多边形与圆，确定圆的条件、三角形的内切圆与内心，熟练掌握各知识点是解题的关键． 9.【答案】B  【解析】解：， 抛物线的开口向下．所以A选项不符合题意； 把代入得， ， ， ， 当时，y有最大值，所以B选项符合题意； ， 抛物线与x轴有两个交点，所以C选项不符合题意； 当时，，即抛物线的对称轴在y轴左侧， 在y轴左侧，y随x的增大而增大，所以D选项不符合题意． 故选： 利用二次函数的性质直接对A选项进行判断；把代入得，则抛物线解析式表示为，利用配方法得到，根据二次函数的性质得到当时，y有最大值，于是可对B选项进行判断；通过计算根的判别式的值得到，则利用根的判别式的意义可对 C选项进行判断；由于，则，所以抛物线的对称轴在y轴左侧，然后根据二次函数的性质可对D选项进行判断． 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 10.【答案】A  【解析】解：因为点P坐标为，且点Q和点P互为等和点， 所以， 即， 所以点Q在直线上． 故①正确． 令点P的等和点坐标为， 则， 所以， 即点P的等和点在直线上． 当时，直线的解析式为， 显然直线与直线平行， 所以点P的等和点此时一定不在直线上． 故②错误． 令点P坐标为，点Q坐标为， 因为点P与点Q互为等和点， 所以， 解得或， 所以点P坐标为或 故③错误． 令点P的等和点坐标为， 则， 即点P的等和点在直线上． 由得， ， 所以， 所以此方程一定有两个不相等的实数根， 即二次函数图象上总存在点P的等和点． 故④正确． 故选： 根据互为等和点的定义，结合一次函数、二次函数及反比例函数的图象与性质对所给结论依次进行判断即可． 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质，熟知反比例函数、一次函数及二次函数的图象与性质是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：， 故答案为 由，根据比例的性质得到 本题考查了比例的性质：若，则 12.【答案】甲  【解析】解：，， ， 射击成绩较稳定的是甲． 故答案为：甲． 根据方差的意义求解即可． 本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查圆锥的计算，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键. 根据圆锥的侧面积=底面周长母线长，即可得出答案. 【解答】 解：底面圆的半径为3cm，则底面周长，侧面面积 故答案为： 14.【答案】  【解析】解：图象的对称轴是y轴， 函数表达式答案不唯一， 故答案为：答案不唯一 根据形如或二次函数的性质直接写出即可． 本题考查了二次函数的性质，牢记形如的二次函数的性质是解答本题的关键． 15.【答案】  【解析】解：图中共有9块方砖，黑色的有5块， 它最终停留在黑色方砖上的概率是， 故答案为： 根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值解答即可． 本题考查的是几何概率，熟记概率公式是解题的关键． 16.【答案】43  【解析】解：延长BA交距水平地面米的水平线于点D，如图， 由题可知，米， 设米， ， 米， ， 米， 米， 故答案为： 延长BA交距水平地面米的水平线于点D，根据，求出米，即可求解． 本题主要考查解直角三角形的应用-仰角与俯角问题，理解题意，作出辅助线是解题关键． 17.【答案】3  【解析】解：设直线OG交BC于点F，如图所示： 四边形ABCD是矩形，，， ，，， ，， ， ， 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ， 在和中， ， ≌， ， 设，则， ， ∽， ， ， 解得：， 故答案为： 根据矩形的性质得，，，，进而得，证明和全等得，设，则，证明和相似，然后根据相似三角形的性质求出，进而可得DG的长． 此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，理解矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 18.【答案】2   【解析】解：当点C与点O重合时，设DE与BC交于点H，如图1所示： 的直径， ， 是CB的垂直平分线， ， 根据垂径定理得：， 在和中， ， ≌， ， 连接AD，设DE与BC交于点H，如图2所示： 设，则， ， ，， ，， ∽， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 当时，的值为最大，最大值为 故答案为： 当点C与点O重合时，则，根据线段垂直平分线定义得，根据垂径定理得，进而得和全等，根据全等三角形的性质得；连接AD，设，则，，，，证明和相似得，再由勾股定理得，则，由此即可得出的值． 此题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂径定理，线段的垂直平分线，理解垂径定理，线段的垂直平分线，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 19.【答案】解：原式 ； ， ，，， ， ， 即，  【解析】根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得； 利用公式法求解可得． 本题主要考查实数的运算，解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 20.【答案】解：由题意， ， ； 设另一个根为 则有， 该方程的另一个根为  【解析】根据，构建不等式求解； 利用两根之和求解即可． 本题考查根与系数关系，一元二次方程的解，根的判别式，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，， 21.【答案】证明：平分， ， ， ∽ 解：∽， ， ，， ， 或不符合题意，舍去， 的长是  【解析】由BD平分，得，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明∽； 由相似三角形的性质得，因为，，所以，则 此题重点考查相似三角形的判定与性质，推导出，进而证明∽是解题的关键． 22.【答案】②  2    【解析】解：抽样调查抽取的样本要具有代表性， 更合理的方案是②． 故答案为：②； ， 根据表格中的数据可知第10个和第11个数据分别为和， 中位数 故答案为：2，； 人， 答：估计该校九年级学生双眼的平均视力在及以上的学生人数为440人． 根据两种方案进行判断即可； 根据表中数据以及样本容量计算即可； 用800乘以样本中双眼的平均视力在及以上的学生人数所占的百分比即可． 本题考查了平均数、众数以及中位数，用样本估计总体，全面调查与抽样调查，解决本题的关键是掌握众数的计算方法． 23.【答案】  【解析】解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中小红选择去海澜飞马水城的结果有1种， 小红选择去海澜飞马水城的概率为 故答案为： 列表如下： A B C B C D 共有9种等可能的结果，其中小红和小明正好选择同一个景点的结果有：，，共2种， 小红和小明正好选择同一个景点的概率为 由题意知，共有4种等可能的结果，其中小红选择去海澜飞马水城的结果有1种，利用概率公式可得答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及小红和小明正好选择同一个景点的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 24.【答案】  【解析】解：如图所示：BD、DE即为所求； 过点A作于点F， ， ， ，， ， 由得：DB平分，， ，， ， ， ， ∽， ，即：， 解得：， 故答案为： 根据作角的平分线和作角等于已知角的基本作法作图； 根据相似三角形的性质列方程求解． 本题考查了复杂作图，掌握角平分线的性质、平行线的性质及相似三角形的性质是解题的关键． 25.【答案】解：设， 根据题意，得， 解得，， 围墙的长度为12m， ， 解得， ， 答：当AB为10米时，能围成一个面积为的鸡场； 设羊圈的面积为，则矩形ABCD的边， 根据题意，得， ， 当时，y有最大值，最大值为， 鸡场能围成的最大面积是  【解析】根据栅栏总长，再利用矩形面积公式即可求出； 根据题意求出鸡场的面积与矩形ABCD的边AB的二次函数关系，再根据二次函数的性质求解即可． 本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找到周长等量关系列出方程与矩形ABCD的边AB的二次函数关系是解决本题的关键． 26.【答案】证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 即， 是圆的半径， 是的切线； 解：是的直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∽， ， ， ，， ，， ∽， ， ， ，   【解析】根据“过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线”进行证明； 根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定和性质定理以及勾股定理是解题的关键． 27.【答案】4  【解析】解：菱形ABCD中，， ，， 、为等边三角形， ，， 将绕点A逆时针旋转得到， ， ， ≌， ， ，， ， 故答案为：4； 四边形ABCD是菱形，，， 可得，， ， ∽， ， ， 同理：∽， ， ， ， 整理可得：； 如图所示，将AP绕点A逆时针旋转120度得到AG，连接DG，QG，过点G作于H，设AC，BD交于O， 四边形ABCD是菱形， ，，，，， ，， ， 在中，， ， ， ， 由旋转的性质可得，，， ， ≌， ，， ，，， ≌， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当以BP、PQ、DQ为三边长所构成的三角形是直角三角形时，是直角三角形， ①如图所示，当时， 则， ，， 由可知，， ， 解得， ； ②如图所示，当时， 则， ， 由可知， ， 解得， ； 综上所述，或 先证明、为等边三角形，得到，，再证明≌，得到，据此根据线段的和差关系可得答案； 先证∽，得到，再证∽，得到，两式相加即可得到x和y的关系，进而即可得解； 作旋转，利用手拉手模型证≌和≌，得到，，当以BP、PQ、DQ为三边长所构成的三角形是直角三角形时，是直角三角形，据此分当时，当时，两种情况讨论求解即可． 本题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解答本题的关键是学会运用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 28.【答案】解：二次函数的图象与x轴点A、B，且二次函数图象关于直线对称， 点A、B关于直线对称， 点A的坐标为， ， 把和分别代入， 得， 解得：， 该二次函数的表达式为； 存在点P关于直线AC的对称点恰好落在x轴上，理由如下： 抛物线与y轴交于点C， ， 设直线AC的解析式为，把和代入， 得：， 解得：， 直线AC的解析式为， 如图，过点B作，过点作y轴的垂线交直线于点， 则，，， ≌， ，， ， 在和中， ， ≌， ， 沿直线AC翻折落在x轴上，即直线与抛物线的交点P关于直线AC的对称点恰好落在x轴上， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 联立得：， 解得：舍去，， 点P的坐标为； 抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C， ， 设，，当时，，即， 则，， 设，则，，，如图， ，轴， ， ， ， ∽， ， ， ， 整理可得：， ①， 点D在二次函数的图象上， ， ②， 将②代入①，得：， 解得：舍去或， 故为定值．  【解析】根据对称性求得，再运用待定系数法即可求得抛物线的解析式； 利用待定系数法可得直线AC的解析式为，过点B作，过点作y轴的垂线交直线于点，再证得≌，≌，得出，即直线与抛物线的交点P关于直线AC的对称点恰好落在x轴上，运用待定系数法可得直线的解析式为，联立方程组即可求得点P的坐标； 设，，根据根与系数关系可得：，，设，则，，，再证得∽，可得，即，推出①，再由点D在二次函数的图象上，可得②，将②代入①，得：，解得，即为定值． 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握待定系数法、相似三角形的判定和性质是解题关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$