精品解析：湖南省岳阳市岳阳县岳阳经济技术开发区长岭中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024年下学期联考九年级试卷数学 温馨提示： 1．本试卷共三道大题，26道小题，满分120分，考试时量120分钟； 2．本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区域内． 一．选择题（共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，若，则的长是（ ） A. 1.5 B. 6 C. 9 D. 12 4. 对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A. 图象经过点 B. 图象位于第一、三象限 C. y随x的增大而增大 D. 当时， 5. 如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，那么x满足的方程是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数（k为常数，，）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接．若的面积为，则k的值（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，正确的是（ ） A. 两个等腰三角形一定相似 B. 两个等腰梯形一定相似 C. 两个菱形一定相似 D. 两个正方形一定相似 8. 黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点 是线段 的黄金分割点，，若，那么 的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形 中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ） A. 平分 B. C. D. 10. 已知x，y为实数，且满足，记的最大值为M，最小值为m，则（ ）． A. B. C. D. 二．填空题（共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 如果（都不等于零），那么_____． 12. 一元二次方程化为一般形式是___． 13. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值是_____________． 14. 若方程是关于 的一元二次方程，则 的值为___． 15. 如图，，，其中___． 16. 已知点，都在反比例函数的图象上，则___________（填“>”、“<”或“=”）． 17. 若关于 的方程的一个根是 ，则代数式的值为__________． 18. 如图，在矩形 中，点E在 上，，于点F，若，则______． 三．解答题（共8题，共66分） 19. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 20. 如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C为线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，求AB的长度． 21. 已知关于 的一元二次方程． （1）求证：无论 取任何实数，方程总有实数根； （2）若一元二次方程的两根为，，且满足，求 的值． 22. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）． （1）求出这个函数的解析式； （2）当气球体积为时，气球内的气压是多少千帕？ （3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了完全起见，气球的体积应不小于______． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数的图象交于，两点，一次函数 的图象与 轴交于点 ． （1）求一次函数的解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集； （3）点 是 轴上一点，且的面积等于9，求点P的坐标． 24. “阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． （1）求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？ 25. 图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）． （1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）； 探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论． （2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）； 请问：经过多少时间，△PQR与△ABC重叠部分的面积恰好等于？ （3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设∠AC C′＝α（30°＜α＜90，图4）； 探究：在图4中，线段C′N•E′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C′N•E′M的值，如果有变化，请你说明理由． 26. 在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图象，两个函数图象交于两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现 的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究 的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题： （1）设点P的横坐标为x， 的长度为y，则y与x之间的函数关系式为　　　（）； （2）为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象： ①列表：表中　　　； ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象， 的最大值为　　　． （3）①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长； ②如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．求四边形 面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期联考九年级试卷数学 温馨提示： 1．本试卷共三道大题，26道小题，满分120分，考试时量120分钟； 2．本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区域内． 一．选择题（共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是反比例函数的定义，正确掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义进行逐一分析即可． 【详解】解：A选项是正比例函数，故A选项是错误的； B选项满足反比例函数的定义，故B选项是正确的； C选项是正比例函数，故C选项是错误的； D选项为y是的反比例函数，而不是y是 x的反比例函数，故D选项是错误的； 故选：B． 2. 用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程中的x2+x用y进行替换，就可以得到y2+y=6，移项即可得解． 【详解】把x2+x整体代换为y， y2+y=6， 即y2+y−6=0. 故选:A. 【点睛】考查换元法解一元二次方程，换元法就是把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，实行等量代换. 3. 如图，，若，则的长是（ ） A. 1.5 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据平行线分线段成比例定理作答即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， ，， ， ， ， 故选：C． 4. 对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A. 图象经过点 B. 图象位于第一、三象限 C. y随x的增大而增大 D. 当 时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：反比例函数， A、当时，，图象经过点，故选项A不符合题意； B、∵，故该函数图象位于第一、三象限，故选项B符合题意； C、在每个象限内， 随的增大而减小，故选项C不符合题意； D、∵当时， ，时，， ∴当 时，，故选项D不符合题意； 故选：B． 5. 如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，那么x满足的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为（8-2x）cm，宽为（5-2x)cm，然后根据底面积是，即可列出方程． 【详解】解：设剪去的正方形边长为xcm， 依题意得（8-2x）（5-2x）=18， 故选：B． 【点晴】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要读懂题意，正确理解题意，利用题目的数量关系列出方程． 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数（k为常数，，）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接．若的面积为，则k的值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了的几何意义．用表示的面积是本题的解题关键． 【详解】解：的面积为， 所以． 故选：A． 7. 下列命题中，正确的是（ ） A. 两个等腰三角形一定相似 B. 两个等腰梯形一定相似 C. 两个菱形一定相似 D. 两个正方形一定相似 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似图形的判定，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、两个顶角或底角相等的等腰三角形一定相似，故本选项不符合题意； B、两个等腰梯形的形状不唯一，则两个等腰梯形不一定相似，故本选项不符合题意； C、两个菱形的形状不唯一，则两个菱形不一定相似，故本选项不符合题意； D、两个正方形一定相似，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题主要考查相似图形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键． 8. 黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段 的黄金分割点，，若，那么的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的有关计算，根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可得到答案． 【详解】解： 点是线段 的黄金分割点， ， ， ， 故选：C． 9. 如图，在四边形 中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定条件，已知，判断两个三角形是否相似，需满足两角对应相等或两边成比例且夹角相等，据此逐一分析各选项即可． 【详解】解：在和中，， 如果，需满足的条件有：①或是的平分线；②， ∴不能判定和相似的是C， 故选：C． 10. 已知x，y为实数，且满足，记的最大值为M，最小值为m，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先将u转化为，然后再根据进行配方，确定xy的范围，从而求出u的范围，得到M，m的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ， 当且仅当， 即，， 或，时，等号成立， ∴的最小值为， ∴最小值为：， 即， ∵ ， 当且仅当时， 即，， 或，时等号成立， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 即， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了代数式的最值问题，关键是将u转化为，再确定的范围． 二．填空题（共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 如果（都不等于零），那么_____． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】∵， ∴设，（ ）， ∴， 故答案为：． 12. 一元二次方程化为一般形式是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的一般式，进行整理式子，即可作答． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值是_____________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 将图象上点的坐标代入函数表达式即可求出k的值． 【详解】解： 反比例函数的图象经过点， ， ， 故答案为：6． 14. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的次数最高次是 次的整式方程，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：1． 15. 如图，，，其中___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似比等于面积比的平方，得出，结合即可作答． 【详解】解：∵，且 ∴， ∵ ∴， 故答案为： ． 16. 已知点，都在反比例函数的图象上，则___________（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数的函数值大小，解题的关键在于根据反比例比例系数的符合判断出反比例函数结果的象限． 根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为，， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限， ∵点，都在反比例函数的图象上，， ∴， 故答案为： ． 17. 若关于的方程的一个根是，则代数式的值为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，由题意得出，推出，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 18. 如图，在矩形 中，点E在 上，，于点F，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，熟练的证明是解本题的关键．本题先设，则，证明，利用，再建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵矩形 ， ∴，，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：，（负根舍去）经检验符合题意； ∴； 故答案为：． 三．解答题（共8题，共66分） 19. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）运用直接开平方法解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ∴， ，． 20. 如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C为线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，求AB的长度． 【答案】4. 【解析】 【分析】根据等角的余角相等，易得到∠A=∠ECD，再根据三角形相似的判定定理得到Rt△ABC∽Rt△CDE，得到=，通过计算即可得到AB的长． 【详解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴∠B=∠D=90°， 又∵AC⊥CE， ∴∠A=∠ECD， ∴Rt△ABC∽Rt△CDE， ∴=， 而ED=1，BD=4，C为线段BD的中点，BC=CD=2， ∴AB=2×2=4． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：有两个角对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边的比相等；也考查了等角的余角相等． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）若一元二次方程的两根为，，且满足，求的值． 【答案】（1） 证明： △ ； 又， ， 无论取任何实数，方程总有实数根； （2）5或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当 ，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根,还考查了一元二次方程根与系数关系． （1）利用根的判别式求出关于的代数式，整理成非负数的形式即可判定； （2）根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把，转换为，然后利用前面的等式即可得到关于的方程，解方程即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， ， 整理得， 解得：， 故的值为5或． 22. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）． （1）求出这个函数的解析式； （2）当气球体积为时，气球内的气压是多少千帕？ （3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了完全起见，气球的体积应不小于______． 【答案】（1）函数的解析式为 （2）气球内的气压是120千帕 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确建立函数关系式并会运用函数关系式是解题的关键． （1）直接运用待定系数法即可解答； （2）将代入（1）中的函数式求p即可； （3）将代入（1）中的函数式求V即可解答． 【小问1详解】 解：设这个函数的解析式，则有：， 解得：， ∴这个函数的解析式； 【小问2详解】 解：当时，千帕， 答：气球内的气压是120千帕． 【小问3详解】 解：根据题意，当时，为安全范围， ∴， 解得，， 故为了安全起见，气球的体积应不小于． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数的图象交于，两点，一次函数 的图象与 轴交于点． （1）求一次函数的解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集； （3）点是轴上一点，且的面积等于9，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的几何应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出，则，；再运用待定系数法求一次函数的解析式，即可作答． （2）运用数形结合思想，因为一次函数 与反比例函数的图象交于，两点，则不等式的解集为：或，即可作答． （3）设，结合，列式，解得，即可作答． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴，， 解得， ∴，； 把的坐标代入 ， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：观察图象， ∴不等式的解集为：或． 【小问3详解】 解：依题意，设， ∵， ∴， 解得， ∴或． 24. “阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． （1）求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？ 【答案】（1）该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为 （2）销售单价应定位元 【解析】 【分析】（1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x，利用该基地2022年年底“阳光玫瑰”的种植面积=该基地2020年年底“阳光玫瑰”的种植面积乘上（该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率）的平方，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，利用总利润=每千克的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得： ∵“阳光玫瑰”的售价为20元，使消费者尽可能获得实惠 ∴销售单价应定位元． 25. 图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）． （1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）； 探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论． （2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）； 请问：经过多少时间，△PQR与△ABC重叠部分的面积恰好等于？ （3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设∠AC C′＝α（30°＜α＜90，图4）； 探究：在图4中，线段C′N•E′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C′N•E′M的值，如果有变化，请你说明理由． 【答案】(1)见解析;(2) 1秒;(3)见解析. 【解析】 【分析】（1）由△ABC与△DCE是等边三角形，利用SAS易证得△BCE≌△ACD，即可得BE=AD； （2）首先设经过x秒重叠部分的面积是，在△CQT中，求得QT=QC=x，RT=3-x，根据三角形面积公式可得方程×32-（3-x）2=，解此方程即可求得答案； （3）首先证得∠MCE′=∠CNC′，又由∠E′=∠C′，根据有两角对应相等的三角形相似证得△E′MC∽△C′CN，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【详解】（1）BE＝AD 证明：∵△ABC与△DCE是等边三角形， ∴∠ACB＝∠DCE＝60°，CA＝CB，CE＝CD， ∴∠BCE＝∠ACD， ∴△BCE≌△ACD， ∴BE＝AD； （2）设经过x秒重叠部分的面积是， 如图在△CQT中， ∵∠TCQ＝30°，∠RQP＝60°， ∴∠QTC＝30°， ∴∠QTC＝∠TCQ， ∴QT＝QC＝x， ∴RT＝3﹣x， ∵∠RTS+∠R＝90°， ∴∠RST＝90°， 由已知得×32-（3-x）2=， ∴x1＝1，x2＝5， ∵0≤x≤3， ∴x＝1， 答：经过1秒重叠部分的面积是； （3）C′N•E′M的值不变． 证明：∵∠ACB＝60°， ∴∠MCE′+∠NCC′＝120°， ∵∠CNC′+∠NCC′＝120°， ∴∠MCE′＝∠CNC′， ∵∠E′＝∠C′， ∴△E′MC∽△C′CN， ∴， ∴C′N•E′M＝C′C•E′C＝． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及一元二次方程的求解方法等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用． 26. 在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图象，两个函数图象交于两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现 的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究 的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题： （1）设点P的横坐标为x， 的长度为y，则y与x之间的函数关系式为　　　（）； （2）为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象： ①列表：表中　　　； ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象， 的最大值为　　　． （3）①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长； ②如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．求四边形 面积的最小值． 【答案】（1） （2）①；②见解析；③ ，图见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，点P的横坐标为x，PQ的长度为y，可得根据 的长等于纵坐标之差求解即可； （2）①根据表格数据分别将代入即可求得的值；②根据表格数据描点即可；③根据函数图象直接求解即可 （3）由题意可知，，代入得：，即，根据的结论求得最大值，进而求得对角线的长度； ②先求出点，点坐标，设点，可求, 由四边形 面积列式，即可求解. 【小问1详解】 点P的横坐标为x，PQ的长度为y，可得 ； 故答案为： 【小问2详解】 ①当时， 故答案为：； ②如图所示， ③观察函数图象， 当 时， 有最大值为 ，故答案为: 4； 【小问3详解】 ①根据题意可得代入 中，可以得到， 即 ， 由可知函数在时, 取得最大值为 ， ∴当时,,即取得最大值， ， ∴在取得最大值时，矩形的对角线长为 ②∵直线与坐标轴分别交于点, ∴点, 点， 设点， ∴,点， ， ∵四边形 面积 由得,当 时,有最大值为 ，即有最小值， ∴四边形 面积的最小值为. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，画函数图象，根据函数图象获取信息，矩形的性质，数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $