第7章 随机变量及其分布 章末优化提升-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教A版2019）

?高中数学·选择性必修 第三册 章末优化提升 网络构建 随机变量及其分布 条件概率 加法公式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 离散型随机变量 分布列 两点分布 超几何分布 二项分布 均值 方差 应用 连续型随机变量 正态分布 正态密度曲线 3σ原则 一考点聚焦 考点一 条件概率 条件概率是学习相互独立事件的前提和 基础，计算条件概率时，必须搞清要求的条件 概率是在什么条件下发生的概率.一般地，计 算条件概率常有两种方法 (1)P(BIA)=P(A). (2)P(B|A)=n(A) 在古典概型中，n(AB)指事件A与事件 B 同时发生的基本事件个数；n(A)是指事件 A 发生的基本事件个数. [例1] 从混有 5张假钞的 20 张百元钞票 中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机 上检验发现是假钞，求两张都是假钞的 概率. [解] 若A表示“抽到的两张都是假钞”,B表 示“抽到的两张中至少有一张是假钞”,则所求 概率为P(A|B). ∵PAB)=P4)=,P(B)=seC, ∴P(A|B)=PB)=c+Cc-8=元 跟踪训练 1.已知男人中有5??色盲，女人中有0.25?? 色盲，从100个男人和100个女人中任选一人. (1)求此人患色盲的概率； (2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率. (以上各问结果写成最简分式形式) 考点二 全概率公式 1.全概率公式：一般地，设 A?,A?,⋯,A,是一 组两两互斥的事件，A?UA?U⋯UA,=2, 且 P(A)>0,i=1,2,⋯,n,则对任意的事件 B≤Ω,有P(B)=2P(A,)P(B|A?). 2.解决全概率公式的问题，首先把所求概率的 事件分解为若干个互斥事件的和，然后利用 全概率公式计算. 74 第七章 随机变量及其分布 [例2](辽宁沈阳高二月考)甲文具盒内有 2 支蓝色笔和 3支黑色笔，乙文具盒内也有 2 支蓝色笔和3支黑色笔.现从甲文具盒中任 取两支放入乙文具盒，然后从乙文具盒中任 取两支，求最后取出的两支笔都为黑色笔的 概率. [解] 记事件 A,为从甲文具盒中取出放入 乙文具盒中的黑色笔数为i,i=0,1,2. 记事件 B为最后取出的两支笔都为黑色笔， P(A)=-1,P(A)=CcC=3,则 P(A?)=S=3 而P(BIAo)=-,P(BIA.)=8=?, P(BIA?)=G=1 因此P(B)=2P(A,)P(B|A,)=10×1+ 3×2+3×19=7 跟踪训练 2.某人到武汉参加会议，他乘火车、轮船、汽车 或飞机去的概率分别为 0.2,0.1,0.3 和 0.4,如果他乘火车、轮船、汽车前去，迟到的 43,2和- ,乘飞机不会迟到.求概率分别为 他开会迟到的概率. 考点三 离散型随机变量的均值与方差 角度一 均值与方差的计算 [例3] 甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷 3次，记正面朝上的次数为X;乙用这枚硬币 掷 2次，记正面朝上的次数为Y. (1)分别求X和Y的均值； (2)规定：若X>Y,则甲获胜；若X<Y,则乙 获胜，分别求出甲和乙获胜的概率. [解](1)依题意 X～B(3,0.5),Y～B(2, 0.5),所以 E(X)=3×0.5=1.5,E(Y)=2×0.5=1. (2)P(X=0)=C:(2)3=g,P(X=1)= c:(2)=3,P(X=2)=C2(言)=3, P(X=3)=c:(2)=g,P(Y=0)=c?(1) =4, P(Y=1)=c?(2)=2,P(Y=2)=c:(1) =4. 甲获胜有以下情况：X=1,Y=0;X=2,Y= 0,1;X=3,Y=0,1,2. 则甲获胜的概率为P?=3×4+3× (4+2)+g×(4+2+4)=2. 乙获胜有以下情况：Y=1,X=0;Y=2,X= 0,1. P?=2×g+4×则乙获胜的概率为 (g+g)=36 角度二 均值与方差的实际应用 [例4] 某学生在解答数学考试题中有两种方 案：方案一，按题号顺序解答；方案二，先做 解答题，后做选择题、填空题，且分别按题号 顺序依次解答.根据以往经验，若能顺利地 解答某题，就增强了解答题目的信心，提高 后面答题正确率的10???解答受挫，就增 加了心理负担，降低了后面答题正确率的 30为了科学地决策，他采用了一个特例 模型：在某次考试中有6 道题，他答对每道 题的概率分布和题目的分值如下表： 75 ?高中数学·选择性必修 第三册 题号 1 2 3 4 5 6 概率 0.95 0.9 0.85 0.8 0.5 0.2 分值 5 5 5 5 12 14 (1)在方案一中，求他答对第2题的概率； (2)在方案一中，求他答对第3题的概率； (3)请你帮助他作出科学的决策. [解] (1)若第1 题答对，则他答对第 2 题 的概率为 0.95×0.9×(1+10?0.940 5. 若第 1 题受挫，则他答对第 2 题的概率为 (1-0.95)×0.9×(1-30?0.031 5. ∴他答对第 2 题的概率为0.940 5+0.031 5 =0.972. (2)若第 2 题答对，则他答对第 3 题的概率 为0.972×0.85×(1+10?0.908 82. 若第 2 题受挫，则他答对第3题的概率为 (1—0.972)×0.85×(1—30?0.016 66. ∴他答对第 3题的概率为0.908 82+0.016 66 =0.925 48. (3)同理可得到他在方案一中答对各题概率 分布如下： 题号 1 2 3 4 5 6 概率0.950.972 0.856 154 0.521 231 0.181 6980.925 48 ∴他得分的数学期望是 5×0.95+5×0.972+5×0.925 48+5× 0.856 154+12×0.521 231+14×0.181 698 =27.316 714. 他在方案二中答对各题的概率分布如下： 题号 5 6 1 2 3 4 概率0.5 0.18 0.733 4 0.894 024 0.898 968 0.847 67 ∴他得分的数学期望是 12×0.5+14×0.18+5×0.733 4+5× 0.894 024+5×0.898 968+5×0.847 67= 25.390 31. 故他应该采用方案一答题，才是科学的. □跟踪训练 3.(新课标全国Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶 段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体 规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投 篮 3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比 赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进 入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员 投篮 3次，每次投篮投中得5分，未投中得 0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总 和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每 次投中的概率为 p,乙每次投中的概率为q, 各次投中与否相互独立. (1)若 p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比 赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于 5分 的概率. (2)假设0<p<q, ①为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分 的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛? ②为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期 望最大，应该由谁参加第一阶段比赛? 考点四 正态分布 [例5] 在某次大型考试中，某班同学的成绩服 从正态分布 N(80,52),现已知该班同学中成绩 在80～85分的同学有17人.试计算该班同学 中成绩在90分以上的同学有多少人? [解]∵成绩服从正态分布N(80,52), ∴μ=80,σ=5,μ—σ=75,μ+σ=85. 于是成绩在(75,85)内的同学占全班同学的 68.26%. 这样成绩在(80,85)内的同学占全班同学的 34.13%. 设该班有x名同学，则x×34.13?7. 解得x≈50. 又μ-2g=80—10=70,μ+2g=80+10=90. ∴成绩在(70,90)内的同学占全班同学的 95.44%. ∴成绩在(80,90)内的同学占全班同学的 47.72%. ∴成绩在90分以上的同学占全班同学的 2.28%. 即有50×2.28??1(人). 因此成绩在90分以上的仅有1人. 76 第七章 随机变量及其分布 跟踪训练 4.灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为 X(单位： 小时),已知 X～N(1 000,302),要使灯泡的 平均寿命为1 000 小时的概率为99.73%, 问灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上? ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 4 6 1s 13 6 13P ∴.E(X)=0×6+1×1+2×3+3×1+4× 36=9. 跟踪训练 考点五 方程思想的应用 [例6] 一个袋子内装有若干个黑球、3个白 球、2个红球(所有的球除颜色外其他均相 同),从中一次性任取2个球，每取得一个黑 球得0分，每取得一个白球得1分，每取得 一个红球得2分，用随机变量 X表示取 2个 1!g球的总得分，已知得0分的概率为 (1)求袋子中黑球的个数； (2)求X的分布列与均值. [解](1)设袋中黑球的个数为 n(n≥2),由 条件知，当取得 2个黑球时得0分，概率为 P(X=0)=c=, 化简得 n2—3n—4=0, 解得 n=4或 n=—1(舍去), 即袋子中有4个黑球. (2)X的所有可能取值为0,1,2,3,4, ∴P(X=0)=6, P(X=1)=CiC=3, P(X=2)=C+C?C=36, P(X=3)=GC=1, P(X=4)=8-36, 5.甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号 召，决定各购置一辆纯电动汽车.经了解目 前市场上销售的主流纯电动汽车，按续航里 程数 R(单位：千米)可分为三类车型，A:80 ≤R<150,B:150≤R<250,C:R≥250.甲 从 A,B,C三类车型中挑选一款，乙从 B,C 两类车型中挑选一款，甲、乙二人选择各类 车型的概率如下表： 车型 A B C 人 亏甲 p q 4 314乙 13已知甲、乙都选C类车型的概率为 (1)求p,q的值； (2)求甲、乙选择不同车型的概率； (3)某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴 标准如下表： 车型 A B C 补贴金额(万元/辆) 3 4 5 记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X 万元，求X的分布列. 提示、请完成《素能提升训练》章末检测卷二 77 p=2(1-e-)中，记函数f?(x)=2(1-函数模型 e=),f?(x)单调递增，令f?(x)=4,,解得x=1n 2,则 团队B可以求出θ的最大似然估计，且0?=1n2是θ的 最大似然估计. 题型七 13.解(1)记“小球落入4号容器”为事件A,若要小球落 入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层 向左，∴理论上，小球落入 4 号容器的概率P(A) =c:(1)*=4. (2)落入4号容器的小球个数X的可能取值为0,1,2, 3,∴P(X=0)=C?×(1-4)=67,P(X=1)=C1× 4×(1-4)2=647,P(X=2)=C3×(4)3× (1-4)=64,P(X=3)=C×(4)=64,∴X的分 布列为 X 0 1 2 3 26 26 66P ∴E(X)=0×34+1×64+2×64+3×64=4. 14.解(1)记小球落入第 7层第 6个空隙处的事件为M, 小球落入第 7层第 6个空隙处，需要6次碰撞中有1 次向左5次向右，∴这个小球落入第7层第 6个空隙 处的概率P(M)=C:(2)(1)=3 (2)①由已知得X的可能取值为1,2,3,4,5,6,7. P(X =1)=P(X=7)=c:(1) =64,P(X=2)=P(X= 6)=C:(2)=3,P(X=3)=P(X=5)=c:(1) =65,P(X=4)=Ca(2)=16,∴X的分布列为 X 1 2 3 4 5 6 7 16 33 16 64 1656 32P ②∵5=|20-5X|,∴ξ的可能取值为0,5,10,15.P(5 =0)=P(X=4)=6,P(G=5)=P(X=3)+P(X= 5)=35,P(ξ=10)=P(X=2)+P(X=6)=8,P(s= 15)=P(X=1)+P(X=7)=3,∴E(5)=0×56+5 ×32+10×6+15×32=76<8,∴小明同学能盈利。 章末优化提升 [考点聚集] 考点———跟踪训练 1.解 设“任选一人是男人”为事件 A,“任选一人是女人” 为事件 B,“任选一人是色盲”为事件C. (1)此人患色盲的概率P(C)=P(AC)+P(BC)=P(A) P(C|A)+P(B)·P(C|B)=200×15+200×05=80 (2)由(1)得P(AC)=200’5,又因为P(C)=800, PAlO-K--所以 考点二———跟踪训练 2.解 用 B表示事件某人开会迟到，用 A?,A?,A,,A?表示某 人乘火车、轮船、汽车或飞机去的事件，由全概率公式可得 P(B)=2P(A)P(B|A?)=0.2×1+0.1×2+0.3× 4+0.4×0=0.15. 即他开会迟到的概率是0.15. 考点三——跟踪训练 3.解(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一 阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， ∴比赛成绩不少于5分的概率P=(1-0.6)(1-0.5?) =0.686. (2)①若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比 赛成绩为15分的概率为P甲=[1-(1-p)3]q3. 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩 为15分的概率为Pz=[1-(1-q)3]p3. ∵0<p<q, ∴Pφ-Pz=q3-(q-pq)3—p3+(p— pq)3 =(q-p)(q2+pq+p2)+(p-q)·[(p-pq)2+(q- pq)2+(p—pq)(q-pq)] =(p-q)(3p2q2-3p2q-3pq2) =3pq(p-q)(pq-p-q)=3pq(p-q)[(1-p)(1-q) —1]>0, ∴Pa>P乙，应该由甲参加第一阶段比赛. ②若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能 取值为0,5,10,15, P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)?]·(1-q)3, P(X=5)=[1-(1-p)3]C1q·(1-q)2, P(X=10)=[1-(1-p)3]·C2q2(1-q), P(X=15)=[1-(1-p)3]·q3, ∴E(X)=15[1-(1-p)3]q=15(p3-3p2+3p)·q. 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所有可能取值 为0,5,10,15, 同理 E(Y)=15(q3-3q2+3q)·p, ∴E(X)-E(Y)=15[pq(p+q)(p-q)-3pq(p-q)] =15(p-q)pq(p+q-3). 因为0<p<q,则 p-q<0,p+q-3<1+1-3<0, 所以 E(X)一E(Y)>0,即 E(X)>E(Y), ∴应该由甲参加第一阶段比赛. 考点四——跟踪训练 4.解 因为X~N(1 000,302),所以μ=1 000,σ=30. 所以 P(1 000-3×30<X≤1 000+3×30)=P(910< X≤1 090)=99.73%. 所以灯泡的最低寿命应控制在910小时以上. 考点五———跟踪训练-.5.解(1)由题意可得 28 (2)设M=“甲、乙选择不同车型”,分甲选车型A,甲选车型 B、乙选车型C,甲选车型C、乙选车型 B三种情况，故 P(M)=亏+3×4+号×4=3. 3.所以甲、乙选择不同车型的概率是 (3)X的所有可能取值为7,8,9,10. P(X=7)=亏×4=20, P(X=8)=5×4+3×4=4, P(X=9)=5×4+号×4=5, P(X=10)=5×4=1o. 所以X的分布列为 X 7 8 9 10 18 4 5 316P 第八章 成对数据的统计分析 8.1 成对数据的统计相关性 8.1.1 变量的相关关系 【自主学习探新知】 试一试 1.ACD A显然正确，B是函数关系，C,D正确。 2.C 由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与 0正相关. 3.B 对于 A,散点落在某条曲线上，两个变量具有函数关 系；对于 B,散点落在某条直线附近，这两个变量具有线 性相关关系；对于C,散点落在某条曲线附近，这两个变 量具有非线性相关关系；对于 D,散点杂乱无章，无规律 可言，这两个变量之间无相关关系。 4.解析 给出两个变量的统计数据，总可以作出相应的散 点图，但不一定能分析出两个变量的关系，更不一定符 合线性相关，故不一定能用一条直线近似地表示两者的 关系，故①,②不正确，③正确。两个变量不一定有函数 关系，即不一定能用确定的表达式表示两者的关系，故 ④不正确。 答案 ③ 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] D 当两个变量之间具有确定的关系时，两个变 量之间是函数关系，而不是相关关系，故 A错误；球的 体积与该球的半径之间是函数关系，故 B错误；农作物 的产量与施化肥量之间的关系是相关关系，是非确定性 关系，故C错误；一个学生的数学成绩与物理成绩之间 的关系是相关关系，是非确定性关系，故D正确。选D. [跟踪训练] 1.解析 ①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系； ②广告费支出与销售额之间的关系不是严格的函数关 系，但是具有相关性，因而是相关关系；③人的身高并不 能确定体重，但一般来说“身高者，体也重”,我们说身高 与体重这两个变量具有相关关系.因此填②③. 答案 ②③ 探究二 [例2] [解](1)以x轴表示树木的树龄，y轴表示树木 的体积，可得相应的散点图如图所示： 体积y 7554321 0L 9 树龄781 2 3 4 5 6 (2)散点图发现木材体积随着树龄的增加而呈增加的趋 势，且散点落在一条直线附近，所以木材的体积与树龄 成线性相关关系. [变式训练] 1.解 近似拟合直线如图所示： yt体积 meg⋯⋯⋯⋯50 树龄91 824 2.解 木材的价值与树龄之间的关系如表所示： 树龄 2 3 4 5 6 7 8 体积 30 34 40 60 55 62 70 价值 2400 2720 3200 4.800 4400 4960 5.600 以x轴表示树木的树龄，y轴表示树木的价值，可得相 应的散点图如图所示： y价值 6.400 5600 4800 4.000 3.200 2400 1.600 800 0- 21 [跟踪训练] 2.解 以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，得相应 的散点图如图所示。 y/分 70 60 50 0L 由散点图可知，各点分布在一条直线附近，故两者之间 具有线性相关关系。 探究三 [例3] [解](1)散点图如下： 水稻产量 500 400 300 200 100 施化肥量0L 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 (2)从图中可以发现，当施化肥量由小到大变化时，水稻 产量也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的 附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系， 但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加 而增加，不会一直随施化肥量的增加而增加。 [跟踪训练] 3.BCD 由左图知气压随海拔高度的增加而减小，由右图 29