精品解析：湖北省“高中名校联盟·圆创教育”2025届高三第三次联合测评数学试题

湖北省“高中名校联盟·圆创教育”2025届高三第三次联合测评数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前n项和为若，，则为（ ） A. 88 B. 77 C. 66 D. 55 4. 已知，，则值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的导函数为，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在测量降雨量的实践活动中，某小组利用现有仪器，将一个玻璃漏斗固定在一个较大的锥形瓶上，漏斗的下端伸进锥形瓶内，下雨时将其置于室外收集雨水．如图所示，已知锥形瓶的底部直径为，瓶口直径为，玻璃漏斗口直径为，收集完毕后测得水面距瓶底，水面直径，则平地降雨量大约为（ ）注：平地降雨量等于收集到的雨水体积与收集雨水玻璃漏斗口的面积之比 A B. C. D. 7. 已知一个等比数列的前项，前项，前项的和分别为，，，则下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 过抛物线上的一点作切线，设与轴相交于点为的焦点，直线交于另一点，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若样本数据，，，的平均数为，则数据，，，，的平均数为 B. 若随机变量，且，则 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，设，则 10. 已知点为所在平面内一点，则（ ） A. 若，则 B. 若，且，则为等边三角形 C. 若，，则 D. 若，且，则的面积是面积的 11. 已知函数，则（ ） A B. 在区间上单调递增 C. 若在区间上恰有一个极值点，则取值范围是 D. 若在区间内没有零点，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为__________． 13. 设点，分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，设与的内切圆半径分别为、，则的值为__________． 14. 已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，D为BC边上的点． （1）若，求角A的平分线AD的长； （2）求BC边上中线AD长的最小值． 16. 如图，AC是的直径，PA垂直于所在的平面，B，D是圆周上不同于A，C的两点． （1）求证：平面平面 （2）若，，直线CD与平面PBC所成的角的正弦值为，求 17. 已知函数，其中 （1）当时，求曲线的对称中心； （2）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围． 18. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，.椭圆的上、下顶点分别记为，右顶点为. （1）求的方程； （2）过上顶点作直线与延长线交于，与椭圆交于，点关于轴的对称点为.延长交的延长线于，过作x轴的平行线交的延长线于点Q，连接、. ①记直线与直线的斜率分别为，，求的值； ②证明：. 19. 记集合，，，对于，，，定义. （1），且，记随机变量，求 （2）若集合，对于，且，都有，请写出一个集合，使得集合中的元素个数最多，并说明理由； （3）若集合，对于，且，都有，求证：集合中至多有个元素． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北省“高中名校联盟·圆创教育”2025届高三第三次联合测评数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算法则，得到，再利用共轭复数的定义，即可求解. 【详解】因为， 所以， 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集、补集的运算即可求解； 【详解】解：因为集合， 所以或， 又， . 故选：C 3. 已知等差数列的前n项和为若，，则为（ ） A. 88 B. 77 C. 66 D. 55 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式及等差数列的性质即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得：， 则由等差数列前项和公式可得： 故选：B. 4. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用平方关系，即可求解. 【详解】由，， 可得 ， 故选：B. 5. 已知函数的导函数为，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由导数的四则运算及赋值即可求解. 详解】解：， 则， 故选：A 6. 在测量降雨量的实践活动中，某小组利用现有仪器，将一个玻璃漏斗固定在一个较大的锥形瓶上，漏斗的下端伸进锥形瓶内，下雨时将其置于室外收集雨水．如图所示，已知锥形瓶的底部直径为，瓶口直径为，玻璃漏斗口直径为，收集完毕后测得水面距瓶底，水面直径，则平地降雨量大约为（ ）注：平地降雨量等于收集到的雨水体积与收集雨水玻璃漏斗口的面积之比 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用圆台的体积公式，求出收集到的雨水体积，再求出收集雨水的玻璃漏斗口面积，即可求解. 【详解】设收集到的雨水体积为，收集雨水的面积为， 则， ， 故平地降雨量为， 故选：D. 7. 已知一个等比数列的前项，前项，前项的和分别为，，，则下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】ABC通过反例即可判断，D通过等比数列求和公式可判断. 【详解】解：前三个选项举反例，令，等比数列为1，2，4，则，， 对于A，，故A错误； 对于B，，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，， ，故D正确． 故选：D 8. 过抛物线上的一点作切线，设与轴相交于点为的焦点，直线交于另一点，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据条件得到，从而得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的最小值，即可求解. 【详解】设，由抛物线的对称性，不妨设，设直线， 由，消得， 因直线与抛物线相切，得到，得到， 故直线的方程为， 令，得点M的坐标为，设直线的方程为， 联立，得，所以有，于是， 则， 令，则， 当时，，得到在区间单调递减；当时，，得到在区间上单调递增， 故， 所以的最小值为 故选：C. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于，设，根据条件得到 ，再构造函数，求出的最值，即可求解. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若样本数据，，，的平均数为，则数据，，，，的平均数为 B. 若随机变量，且，则 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，设，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据平均数计算公式判断A，根据正态分布曲线的性质判断B，根据二项分布均值和方差的计算公式和方差的性质判断CD. 【详解】若样本数据，，，的平均数为，则， 所以数据，，，，平均数为，A正确； 若随机变量，则正态分布曲线关于直线对称， 因为，所以，B正确； 若随机变量，则 ，C错误； 若随机变量， ， 又，则 ，D错误． 故选：AB 10. 已知点为所在平面内一点，则（ ） A. 若，则 B. 若，且，则为等边三角形 C. 若，，则 D. 若，且，则的面积是面积的 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用向量的线性质运算，可得，即可求解；对于B，利用数量积的定义及数量积的运算，可得，从而得到，再利用可得，即可求解；对于C，根据条件可得，，进而有M为的垂心，即可求解；对于D，根据条件，可得，令，从而可得Q点在直线BC上，再利用比值，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以， 所以，故选项A错误， 对于选项B，因为， 所以，又，在区间上单调递减，则， 又，则，所以为等边三角形，故选项B正确， 对于选项C，若，，则，， 故点M为的垂心，所以，则，故选项C正确， 对选项D，由于  ，而  ，所以  ，其中  ， 不妨设  ，则Q点在直线BC上， 由于  与  同底，而高线之比等于 MQ 与 AQ 的比，即比值为， 所以  的面积是  面积的 ，故选项D正确， 故选：BCD. 11. 已知函数，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 若在区间上恰有一个极值点，则的取值范围是 D. 若在区间内没有零点，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由二倍角公式及辅助角公式可判断，对于B，由，确定的范围即可判断，对于C，通过，确定的范围，再结合恰有一个极值点得到即可判断，对于D，先确定的范围，再由和两类讨论即可. 【详解】解：  ，A正确； 因为，所以， 所以在区间上单调递增，B正确； 因为，所以， 因为在区间上恰有一个极值点， 所以， 所以，C错误；   ， 函数在区间 内没有零点，   ， 则  ， 则  ，取  ，     ；  ， 则  ， 解得：  ，取  ，  ； 综上可知：  的取值范围是 ，D正确． 故选:ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】因为的展开式的通项为， 令，得的系数为 ， 故答案为： 13. 设点，分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，设与的内切圆半径分别为、，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】设圆与三边分别切于点，根据圆的切线性质、双曲线的定义得，进而确定、，且，利用相似比求. 【详解】由，得，则， 设圆与三边分别切于点，如图： 由圆的切线的性质可得， 由双曲线的定义可知，即， 设，则，得，所以，则， 同理，设圆与切于点P，则，故， 因为圆心、都在的角平分线上， 所以点、、三点共线，则，可得. 故答案为： 14. 已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作出图象，令，得，再对分类讨论，数形结合，利用二次函数根的分布问题及复合函数根的问题，即可求解. 【详解】作出图象，如图所示， 令，则原方程即为， 记方程两根为，，可知，， ①当时，， 当时，，此时方程恰有两个不同的实数根，满足题意； 当时，，此时方程仅有一个实数根，不满足题意； ②当时，或，此时，不妨设， 当时，， 则方程有三个不同的实数根，方程有一个实数根，不满足题意； 当时，， 此时方程和各有一个实数根，且两根不相等，满足题意； 综上可知，实数k的取值范围为， 故答案为：. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于作出的图象，令，得，先讨论的根，再结合图象，数形结合，即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，D为BC边上的点． （1）若，求角A的平分线AD的长； （2）求BC边上中线AD长的最小值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用余弦定理可得，再由及已知列方程求； （2）根据线段的关系及向量加减、数乘的几何意义有，整理并应用基本不等式求最小值. 【小问1详解】 因为，，， 所以，所以， 由，且是角A的平分线， 所以，所以. 【小问2详解】 因为D是BC的中点，所以， 两式平方，并代换得 ，当且仅当时取等号， 所以AD长的最小值为. 16. 如图，AC是的直径，PA垂直于所在的平面，B，D是圆周上不同于A，C的两点． （1）求证：平面平面 （2）若，，直线CD与平面PBC所成的角的正弦值为，求 【答案】（1）证明见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）利用题目给的几何关系先证明平面在证明平面平面 （2）先结合第一小问建立空间直角坐标系，然后利用待定系数法结合直线CD与平面PBC所成的角的正弦值为建立关于线段长度的方程，然后再利用 ，得到关于线段长度的另外一个方程，进行求解即可. 【小问1详解】 证明：平面ABCD，平面ABCD，， 又是直径AC所对的圆周角，， ，平面PAD，平面 平面PCD，平面平面 【小问2详解】 如图，建立空间直角坐标系， 由，，，得， 则， 设， 得，， 设平面PBC的一个法向量为， 则，取， 得， 因为直线CD与平面PBC所成的角的正弦值为， 所以， 得， 得， 由， 得， 当时，代入式得， ， 即， 得，此时， 则，故， 当时，代入式得， ， 即，得或， 当时，此时， 当时，得，则， 故， 经检验，当时，C，D重合，不符题意 综上知，AD的长为 17. 已知函数，其中 （1）当时，求曲线的对称中心； （2）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数的定义域，就可以初步判断对称中心的横坐标，再利用对称性恒等式进行求解，就可得对称中心的纵坐标，从而可得对称中心； （2）由函数的单调递减转化为导函数值恒小于或等于0，再利用二次不等式在区间内恒成立，转化为端点值成立即可求解. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 其定义域关于对称， 则 ， 所以函数的对称中心是. 【小问2详解】 由， 因为，所以，所以的定义域为， 则， 由题可得在区间上恒成立， 则在区间上恒成立， 则， 解得， 故实数a的取值范围为： 18. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，.椭圆的上、下顶点分别记为，右顶点为. （1）求的方程； （2）过上顶点作直线与的延长线交于，与椭圆交于，点关于轴的对称点为.延长交的延长线于，过作x轴的平行线交的延长线于点Q，连接、. ①记直线与直线的斜率分别为，，求的值； ②证明：. 【答案】（1） （2）① ；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）（i）设直线方程，联立相应直线与椭圆的方程，直接求出的坐标，即可求解；（ii）根据条件，利用（i）中结果，可得到四边形为平行四边形，即可求解. 【小问1详解】 由已知，并且，所以，于， 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 如图所示，由已知直线的斜率存在并且其斜率k满足条件， 设其方程为， 由，解得或舍去， 所以点的坐标为，从而点的坐标为， 于是直线的斜率，的方程为 又直线的方程为：，由，得， 由，得， 因为直线的方程为：，的方程为， 由，得， （i）因为直线的斜率，直线的斜率， 所以； （ii）由（i）知，，所以，，所以四边形为平行四边形，因此 19. 记集合，，，对于，，，定义. （1），且，记随机变量，求 （2）若集合，对于，且，都有，请写出一个集合，使得集合中的元素个数最多，并说明理由； （3）若集合，对于，且，都有，求证：集合中至多有个元素． 【答案】（1） （2），中一共有个元素，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据集合的定义列举出中的元素，根据古典概型的概率公式求解即可； （2）利用反证法，假设中除了外还有个元素，利用集合元素的互异性可知这些元素中至少含有个“1”，则一定存在两个元素之中的某一个分量同时为1，与题设矛盾即可证明； （3）对于，令，则由可知若，则，即可证明结论. 【小问1详解】 由题意可， 中的元素有，，，，，，，，共8个， 从8个元素中任选两个元素有种， 其中向量和剩下7个向量的数量积均为0，有7种情况； ，，这3个向量中任选两个，它们的数量积均为0，有3种情况； ，，这3个向量分别和，，的数量积为0，有3种情况， 则满足的情况共有种， 所以. 【小问2详解】 ，中一共有个元素，此时中元素个数是最多的. 理由如下： 假设中除了外还有个元素， 则根据集合中元素的互异性这些元素中至少含有个“1”， 所以一定存在两个元素，， ， 这两个向量之中的某一个分量同时为1， 即存在，使得，此时，与题设矛盾， 故集合中至多有个元素． 【小问3详解】 对于，令， 定义与是一组“互补向量”， 若，则，且， 所以对于集合，若，则， 因为若且，则， 与已知对于，且，都有，矛盾， 而中元素个数为个，与成对出现， 所以集合中的元素个数至多为个，即. 下面给出一种的取法： 在每一组“互补向量”中，我们始终取“1”的个数较多的那个向量作为集合中的元素，这样就能保证对于，且，都有， 证明如下： ①若，，则每一组“互补向量”里被选出来的向量都至少含有个“1”， 可知中任意两个向量里都至少有一个相同位置含有“1”，符合题意． ②若，，按照前面的选法，选出的“1”的个数大于的向量与其他组被选出的向量的数量积都大于0，所以我们只需要考虑那些恰好含有个“1”的“互补向量”组． 事实上，每一个恰好含有个“1”的向量只与自身的“互补向量”的数量积为0，而与其他的含有个“1”的向量的数量积均大于 所以对于由两个恰好含有个“1”的向量构成的“互补向量”组，我们就从这两个向量中任选一个作为集合中的元素，这样的选法仍是选出了个向量作为中的元素． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查集合的新定义、集合的表示、元素与集合的关系，对于新定义问题要充分理解定义，并把定义进行转化为已知的知识点或结论，方便解题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$