精品解析：福建省福州第三十二中学2024-2025学年上学期九年级10月月考数学试卷

福州第三十二中学2024-2025学年第一学期初三数学适应性练习（一） （满分150分，完卷时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次函数的图象经过点，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 将方程的形式，指出分别是（ ） A. 1和3 B. -1和3 C. 1和4 D. -1和4 4. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 对于的图象下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为y轴 C. 当时，y随x增大而减小 D. 有最小值是5 6. 已知一元二次方程的两根为、，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 某小区内的一家快递驿站第一天共收到225件快递，第三天共收到324件快递，设该快递驿站收件量的日平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数表达式为其图象如图所示，若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球达到最高度的是( ) A. 第2.5 秒 B. 第3秒 C. 第3.5 秒 D. 第4秒 9. 二次函数的图象如右图所示，那么一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线．关于下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两个根为，，其中正确的结论有（ ） A. ①③④ B. ②④⑤ C. ①②⑤ D. ②③⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每空4分，共24分．将答案填入答题卡的相应位置） 11. 使函数有意义的的取值范围是______． 12. 方程的根为_______________． 13. 如果二次函数（为常数）的图象上有两点和，那么______（填“”、“”或“”）． 14. 若是方程的一个根，则的值为_____________． 15. 已知二次函数与x轴有交点，则m的取值范围是______． 16. 点，是抛物线上的两点，若，总有，则a的取值范围是______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤，在答题卡的相应位置作答） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知二次函数的解析式为，一次函数的解析式为，求一次函数和二次函数的交点坐标． 19. 已知二次函数． （1）完成下表，并在方格纸中画该函数的图象； x … 0 1 2 3 … y … 0 … （2）根据图象，完成下列填空： ①当时，y随x的增大而______；（填“增大”或“减小”） ②当时，x的取值范围是______． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：不论a取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根． 21. 如图，在菱形中，过点作于点，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 22. 如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和． （1）求两个函数的解析式； （2）求的面积． 23. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是200件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元． （1）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2160元？ （2）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 24. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 25. 已知点在二次函数的图象上． （1）求关于的函数关系式； （2）求的最大值； （3）设直线（为常数且）与抛物线交于点A，，与抛物线（为常数）交于点，．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州第三十二中学2024-2025学年第一学期初三数学适应性练习（一） （满分150分，完卷时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的识别，只含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为2的整式方程，是一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，不符合题意； B、当时，不是一元二次方程，不符合题意； C、是分式方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选D． 2. 若二次函数的图象经过点，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据待定系数法，可得函数解析式． 【详解】解：把代入可得，，解得 故选：B． 3. 将方程的形式，指出分别是（ ） A. 1和3 B. -1和3 C. 1和4 D. -1和4 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数． 【详解】移项得x2-2x=3， 配方得x2-2x+1=4， 即（x-1）2=4， ∴m=1，n=4． 故选C． 【点睛】用配方法解一元二次方程的步骤： （1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可． （2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方． 4. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据平移的规律“左加右减，上加下减”进行求解即可得答案． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是， 故选：C． 5. 对于的图象下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为y轴 C. 当时，y随x增大而减小 D. 有最小值是5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数的最值，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中说法是否正确，从而可以判断哪个选项符合题意，明确题意，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：对于， A. 顶点坐标为，原说法错误，故此选项不符合题意； B. 对称轴为直线，原说法错误，故此选项不符合题意； C. 当时，y随x增大而减小，原说法正确，故此选项符合题意； D. 当时，函数值有最大值是，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 已知一元二次方程的两根为、，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握关于的一元二次方程的根与系数关系：，是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的两根为，， ，， ， 故选：B． 7. 某小区内的一家快递驿站第一天共收到225件快递，第三天共收到324件快递，设该快递驿站收件量的日平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用第三天的快递数第一天收到的快递数（该快递站收件平均增长率），可列出关于x的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：设该快递驿站收件量的日平均增长率为x， 根据题意有， 故选：B． 8. 竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数表达式为其图象如图所示，若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球达到最高度的是( ) A. 第2.5 秒 B. 第3秒 C. 第3.5 秒 D. 第4秒 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据题中已知条件求出函数 的对称轴，四个选项中的时间越接近4小球就越高． 【详解】解：若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等， 小球达到最高度的是秒， 故选：D． 9. 二次函数的图象如右图所示，那么一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可先根据二次函数的图象判断a、b的符号，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误． 【详解】解：由二次函数图象，得出a＞0，，b＜0， A、由一次函数图象，得a＜0，b＞0，故A错误； B、由一次函数图象，得a＞0，b＞0，故B错误； C、由一次函数图象，得a＜0，b＜0，故C错误； D、由一次函数图象，得a＞0，b＜0，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等. 10. 如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线．关于下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两个根为，，其中正确的结论有（ ） A. ①③④ B. ②④⑤ C. ①②⑤ D. ②③⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系及抛物线与x轴的交点，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．根据所给函数图象，得出a，b的正负，再结合抛物线的对称性与增减性、二次函数与一元二次方程之间的关系对所给结论依次进行判断即可． 【详解】解：由所给函数图象可知，，， 所以．故①错误． 因为抛物线与x轴有两个不同的交点， 所以方程有两个不相等的实数根， 所以．故②正确． 由函数图象可知， 当时，函数值大于零， 所以．故③错误． 因为抛物线的对称轴为直线， 所以，， 则．故④正确． 由函数图象可知，抛物线与x轴的交点坐标为和， 所以方程的两个根为，．故⑤正确． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每空4分，共24分．将答案填入答题卡的相应位置） 11. 使函数有意义的的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式的被开方数是非负数，据此列出关于x的不等式，解不等式即可． 【详解】解：根据题意，得： ， 解得：． 故答案为：． 12. 方程的根为_______________． 【答案】， 【解析】 【分析】用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或 ∴，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法求解一元二次方程是解题的关键． 13. 如果二次函数（为常数）的图象上有两点和，那么______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据对称性找到点关于对称轴的对称点，结合性质求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 函数的对称轴为：， 点关于的对称点为：， ∵，， ∴， 故答案为：． 14. 若是方程的一个根，则的值为_____________． 【答案】2024 【解析】 【分析】由题意知，即，再将整理并将整体代入计算求解即可． 【详解】解：由题意知：，即， ∴ ． 故答案为：2024． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解及代数式的求值的知识，解题的关键在于理解一元二次方程的解的定义． 15. 已知二次函数与x轴有交点，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题，利用根的判别式得出不等式是解答的关键．先根据二次函数图象与x轴有交点得到相应方程有实数根，进而利用根的判别式得到关于m的不等式，然后解不等式即可． 【详解】解：∵二次函数与x轴有交点， ∴方程有实数根， ∴， 解得且， 故答案为：且． 16. 点，是抛物线上的两点，若，总有，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，关键是对二次函数系数a进行讨论． 先根据解析式求出抛物线对称轴为直线，然后根据函数的性质分和进行讨论即可． 【详解】解：， ∴抛物线对称轴为， ①当时，抛物线开口向下， 当时，y随x的增大而减小， 若，总有， 则， ∴； ②当时，抛物线开口向上， 当时，y随x的增大而减小， 若，总有， 则，即， 与矛盾． ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤，在答题卡的相应位置作答） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）用直接开平方法解方程即可； （2）用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ∴，． 18. 已知二次函数的解析式为，一次函数的解析式为，求一次函数和二次函数的交点坐标． 【答案】和 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，理解二次函数和一次函数的交点特征是解题关键．两个解析式联立方程组，解方程组即可求得其交点坐标． 【详解】解：联立方程组得， 解得，， ∴一次函数和二次函数的交点坐标为和． 19. 已知二次函数． （1）完成下表，并在方格纸中画该函数的图象； x … 0 1 2 3 … y … 0 … （2）根据图象，完成下列填空： ①当时，y随x的增大而______；（填“增大”或“减小”） ②当时，x的取值范围是______． 【答案】（1），0 （2）①增大；②或 【解析】 【分析】（1）把和代入求出y的值，再在平面直角坐标系中描出各点，最后用平滑的曲线连接即可； （2）根据图象即可解答． 【小问1详解】 解：把代入得：， 把代入得：， 故答案为：，0， 该函数的图象如图所示： 【小问2详解】 解：由图可知： ①当时，y随x的增大而增大， 故答案为：增大； ②当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的函数值，画二次函数的图象，以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：不论a取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根． 【答案】（1） 证明： ，， ， ， ， 不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2），该方程的另一个根 【解析】 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，以及一元二次方程的求解，熟记相关结论是解题关键． （1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． （2）将代入方程即可求得，据此即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程得：， 解得， 将代入方程，整理可得：， 即， 解得或， 该方程的另一个根． 21. 如图，在菱形中，过点作于点，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：在菱形中，， ， ， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键． （1）由，可得，即，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形； （2）根据矩形的性质和菱形的性质，以及勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ， ， ， ， 解得， ． 22. 如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和． （1）求两个函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）3 【解析】 【分析】（1）首先把点代入二次函数得出，再把点代入二次函数解析式得出，进一步把、代入一次函数求得一次函数即可； （2）利用一次函数求得点坐标，把的面积分为与的面积和即可． 【小问1详解】 解：把点代入二次函数得，， 二次函数的解析式； 点代入二次函数解析式得， 把点，代入一次函数得 ， 解得， 故一次函数的解析式． 【小问2详解】 一次函数的解析式中，令，得， ∴一次函数与轴交于点， ∴． 【点睛】此题考查待定系数法求求一次函数、二次函数解析式，三角形的面积，正确利用函数图象上的点解决问题． 23. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是200件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元． （1）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2160元？ （2）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 【答案】（1）每件玩具的售价定为38或32元时，月销售利润恰为2160元 （2）每件玩具的售价定为35元时可使月销售利润最大，最大的月利润是2250元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的应用． （1）设每件玩具的售价定为x元，根据“月销售利润恰为2160元”列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设每件玩具的售价定为x元，月销售利润为y元，根据题意，列出二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设每件玩具的售价定为x元时，月销售利润恰为2160元， 根据题意，得， 整理，得， 解得， ∵每件玩具售价不能高于40元， 答：每件玩具的售价定为38或32元时，月销售利润恰为2160元； 【小问2详解】 解：设每件玩具的售价定为x元，月销售利润为y元， 根据题意，得： ， ∵， ∴当时，y有最大值为2250， 答：每件玩具的售价定为35元时可使月销售利润最大，最大的月利润是2250元． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 【答案】 任务一：直角坐标系： ； 任务二：悬挂点的纵坐标的最小值是；； 任务三：有两种设计方案 方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼． ∵，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为， ∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则， 若顶点一侧挂3盏灯笼，则， ∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼． ∵挂满灯笼后成轴对称分布， ∴共可挂7盏灯笼． ∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是． 方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为， ∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则， 若顶点一侧挂4盏灯笼，则， ∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼． ∵挂满灯笼后成轴对称分布， ∴共可挂8盏灯笼． ∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是． 【解析】 【分析】任务一：根据题意，以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，待定系数法求解析式即可求解； 任务二：根据题意，求得悬挂点的纵坐标，进而代入函数解析式即可求得横坐标的范围； 任务三：有两种设计方案，分情况讨论，方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，根据题意求得任意一种方案即可求解． 【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为，且经过点． 设该抛物线函数表达式为， 则， ∴， ∴该抛物线的函数表达式是． 任务二：∵水位再上涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长， ∴悬挂点的纵坐标， ∴悬挂点的纵坐标的最小值是． 当时，，解得或， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是． 任务三：略 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立坐标系，掌握二次函数的性质是解题的关键． 25. 已知点在二次函数的图象上． （1）求关于的函数关系式； （2）求的最大值； （3）设直线（为常数且）与抛物线交于点A，，与抛物线（为常数）交于点，．求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明：因为直线与抛物线交于点A，，与抛物线交于点， 故设、、、 把代入得：整理得：， 把代入得：＝ 所以，即． 【解析】 【分析】（1）将点代入二次函数解析式，解得n关于m的函数关系式， （2）根据二次函数的性质可求得的最大值， （3）设、、、，再把分别代入、，然后利用根与系数的关系表示出、，即可解答． 【小问1详解】 解：因为点在二次函数的图象上 所以 ， 所以 ； 【小问2详解】 解： ， ， 当时， 的最大值为：； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $