精品解析：福建省宁德市2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试题

2024-2025学年福建省宁德市高二（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列1，，4，，的一个通项公式（ ） A. B. C. D. 2. 用0、1、2、3这四个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数共有（ ）个. A. 4 B. 10 C. 12 D. 24 3. 已知直线：，：，若，则实数a的值为（ ） A. 0 B. C. 0或 D. 1或2 4. 已知为等差数列的前n项和，若，则（ ） A. 42 B. 56 C. 60 D. 64 5. 若，则（ ） A. 10 B. C. 5 D. 6. 过点作倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的几何学家.他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.若长方形G的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（ ） A. 椭圆M的离心率为 B. 椭圆M的蒙日圆方程为 C. 若G为正方形，则G的边长为 D. 长方形G的面积的最大值为14 二、多选题：本题共4小题，共23分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 8. 已知直线l：，圆C：，则（ ） A. 直线l过定点 B. 圆上的点到l的距离最大值为 C. 当l与圆C相切时，直线l方程为 D. 当时，圆C上有三个点到l的距离为1 9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种 B. 如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 C. 如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 D. 如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 10. 数列的前n项和为，下列判断正确的是（ ） A. 若，则数列是等差数列 B. 若，则取最大值时或 C. 若，则 D. 若，，则数列是等比数列 11. 已知A为双曲线上位于第一象限内一点，过点A作x轴的垂线，垂足为M，点B与点A关于原点对称，点F为双曲线C的左焦点，则（ ） A. 若，则 B. 若，则的面积为2 C. D. 的最小值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量是直线l的一个法向量，则直线l的倾斜角为______. 13. 已知展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中含 项的系数为_______. 14. 已知圆O：，MN为圆O的动弦，且满足，C为弦MN的中点，两动点P，Q在直线l：上，且，当MN运动时，始终为锐角，则线段PQ中点的横坐标的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C经过三点 （1）求圆C的标准方程； （2）若过点的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程. 16. 已知数列的首项，且满足 求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式； 记，求数列的前项和为． 17. 已知点T分别与两点，连线的斜率的乘积为， （1）求点T的轨迹的方程； （2）已知直线与交于A，B两点，，求k的值. 18. 已知是等差数列，是正项等比数列，且，，， （1）求数列，的通项公式： （2）记 （i）求数列的前2n项和； （ii）记，求数列的前n项和 19. 已知抛物线C：，点在C上.按照如下方式依次构造点、3、：过点作斜率为的直线与C交于点令为关于x轴的对称点，记的坐标为 （1）求弦长； （2）证明：数列是等差数列，并求和； （3）记为的面积，求 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年福建省宁德市高二（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列1，，4，，的一个通项公式（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依次分析各项，寻找规律，求出结果. 【详解】数列1，，4，，中， ， ， ， ， ， ……， 故选：. 2. 用0、1、2、3这四个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数共有（ ）个. A. 4 B. 10 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理求解． 【详解】当个位数字为0时，偶数共有个， 当个位数字为2时，偶数共有个， 所以偶数共有个． 故选：B. 3. 已知直线：，：，若，则实数a的值为（ ） A. 0 B. C. 0或 D. 1或2 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解． 【详解】直线：，：，， 则，解得或 故选：C. 4. 已知为等差数列的前n项和，若，则（ ） A. 42 B. 56 C. 60 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合等差数列的性质及求和公式即可求解． 【详解】等差数列中，， 则 故选：C. 5. 若，则（ ） A. 10 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件得，结合二项式定理，即可求解． 【详解】由题意， ， 则. 故选：A. 6. 过点作倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】法一：由椭圆的性质，结合直线的参数方程求解即可．法二：由直线与椭圆相交，利用纵坐标与倾斜角来计算长度，也可得到线段之积与纵坐标关系，然后利用韦达定理求解. 【详解】 法一：设直线的参数方程为，其中t为参数， 代入椭圆方程可得：， 则， 则 故选：A. 法二：设直线方程为，与椭圆联立方程组，消去得： ，整理得：， 设交点则有 则 故选：A. 7. 加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的几何学家.他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.若长方形G的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（ ） A. 椭圆M的离心率为 B. 椭圆M的蒙日圆方程为 C. 若G为正方形，则G的边长为 D. 长方形G的面积的最大值为14 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆的性质，结合矩形的面积公式及基本不等式的应用求解． 【详解】已知椭圆，则，，， 结合题意得，该椭圆的“蒙日圆”的半径为， 对于A，椭圆M的离心率为，正确； 对于B，椭圆M的蒙日圆方程为，正确； 对于C，若G为正方形，设G的边长为m，则，即，正确； 对于D，G的长为m，宽为n，则，则， 当且仅当时取等号，即长方形G的面积的最大值为28，错误． 故选：D 二、多选题：本题共4小题，共23分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 8. 已知直线l：，圆C：，则（ ） A. 直线l过定点 B. 圆上的点到l的距离最大值为 C. 当l与圆C相切时，直线l方程为 D. 当时，圆C上有三个点到l的距离为1 【答案】BC 【解析】 【分析】将l的方程化为，可知l经过直线与的交点，从而判断出A项的正误；求出圆心C到直线l距离的最大值，进而算出圆上的点到直线l距离的最大值，由此判断出B项的正误；根据切线的性质、点到直线的距离公式，算出直线l与圆C相切时的斜率k值，进而判断出C项的正误；当时，圆心C恰好在直线l上，结合圆的半径，判断出D项的正误． 【详解】对于A，直线l：可化为， 所以直线l经过直线与直线的交点，故A项不正确； 对于B，圆C：的圆心为，半径 根据直线l经过定点，可知点C到直线l的最大距离为 因此，圆C上的点到l的距离最大值为，故B项正确； 对于C，当l与圆C相切时，圆心C到直线l的距离， 即，解得，可得直线l的方程为，即，故C项正确； 对于D，当时，直线l方程为，此时圆心C恰好在直线l上， 根据圆的半径，可知圆C上仅有两个点到l的距离等于1，故D项不正确． 故选：BC. 9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种 B. 如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 C. 如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 D. 如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 【答案】ACD 【解析】 【分析】由倍缩法即可判断A，由插空法即可判断B，由特殊元素优先法即可判断C，由捆绑法即可判断D. 【详解】对于A，由于甲乙丙按从左到右的顺序固定了，故有种方法，故A正确； 对于B，甲乙不相邻，先把其他人排成一排有种方法，有个空，然后将甲乙插空有种方法，故共有种，故B错误； 对于C，甲，乙都不排两端，则先从中间个位置选择两个将甲，乙安排好，有种方法，其他人安排到剩下的个位置，有种方法，所以共有种方法，故C正确. 对于D，甲，乙必须相邻，将甲，乙捆绑到一起有种方法，看成一个大元素然后与其他人排成一排有种方法，故共有种，故D正确； 故选：ACD 10. 数列的前n项和为，下列判断正确的是（ ） A. 若，则数列是等差数列 B. 若，则取最大值时或 C. 若，则 D. 若，，则数列是等比数列 【答案】BC 【解析】 【分析】由数列前n项和与通项的关系求出数列的前3项，由等差数列的定义可判断A，由数列的函数特性可判断B，由累加法可判断C，由等比数列的定义可判断D. 【详解】对于A，若，则， ，， 所以数列不是等差数列，故A错误； 对于B，若，又n为正整数， 故当或时，取最大值，故B正确； 对于C，若， 则 ，故C正确； 对于D，若，当时，有， 两式相减，有， 变形可得， 当时，有， 故数列不是等比数列，故D错误． 故选：BC. 11. 已知A为双曲线上位于第一象限内一点，过点A作x轴的垂线，垂足为M，点B与点A关于原点对称，点F为双曲线C的左焦点，则（ ） A. 若，则 B. 若，则的面积为2 C. D. 的最小值为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，可得四边形为矩形，进而可判断选项A；结合双曲线的定义、勾股定理和三角形面积公式即可判断选项B；在中，得到的表达式，结合渐近线方程即可判断选项C；易知，当且仅当时，取到最小值，最小值为4，此时可判断选项D. 【详解】 设双曲线右焦点为，根据双曲线是中心对称图形可知四边形为平行四边形， 因为双曲线C的方程为，所以，，， 对于选项A：因为，所以， 即四边形为矩形，则，故选项A正确； 对于选项B：由双曲线定义可知：，又， 若，此时四边形为矩形， 则，所以， 即，解得，所以， 则，故选项B错误； 对于选项C：在中，， 易知双曲线的渐近线方程为，所以， 此时，即，故选项C正确； 对于选项D：因为， 当且仅当时，取到最小值，最小值为4，故选项D正确． 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量是直线l的一个法向量，则直线l的倾斜角为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据法向量的定义，以及直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解． 【详解】因为向量是直线l的一个法向量， 所以直线l的斜率，设直线l的倾斜角为， 则，又， 所以直线l的倾斜角. 故答案为：. 13. 已知展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中含 项的系数为_______. 【答案】240 【解析】 【分析】根据二项式系数之和可得，结合展开式的通项运算求解即可. 【详解】由题意可知：，解得， 则的展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式中项的系数为. 故答案为：240. 14. 已知圆O：，MN为圆O的动弦，且满足，C为弦MN的中点，两动点P，Q在直线l：上，且，当MN运动时，始终为锐角，则线段PQ中点的横坐标的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，即可得点C的轨迹方程，设PQ的中点E的坐标，由恒为锐角，可得以O为圆心，以1为半径的圆与以E为圆心，1为半径的圆外离，从而可得，解得a的范围即可． 【详解】由题意，圆O：的圆心为，半径，C为弦MN的中点， 因为，可得， 所以点C在以为圆心，1为半径的圆上， 又由两动点P，Q在直线l：上，且， 设PQ的中点，因为当M，N在圆O上运动时，恒为锐角， 所以以O为圆心，以1为半径的圆与以E为圆心，1为半径的圆外离， 则，解得或， 所以线段PQ中点的横坐标的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C经过三点 （1）求圆C的标准方程； （2）若过点的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程，将三点的坐标代入可得参数的值，即求出圆的方程，化简为标准方程即可； （2）由弦长公式可得圆心C到直线的距离d，分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，设直线的方程，由点到直线的距离公式，可得参数的值，即求出直线的方程． 【小问1详解】 设圆C的方程为：， 将代入圆的方程得， 解得，，， 所以圆的方程为：， 即圆C的标准方程为：. 【小问2详解】 由（1）可得圆心，半径， 设圆心C到直线l的距离为d，由题意可得， 可得，即， 当直线l的斜率不存在时，则过点的直线， 此时圆心C到直线的距离为，符合题意； 当直线l的斜率存在时， 设过点的直线l的方程为，即， 则圆心C到直线l的距离，解得， 即直线l的方程为，即 综上所述，直线的方程为：或 16. 已知数列的首项，且满足 求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式； 记，求数列的前项和为． 【答案】 （1）由，得， 又， 为等差数列，首项为1，公差为2， ， ． （2） 【解析】 【分析】由，得，由此可判断为等差数列，可求，进而得到;求出，利用错位相减法可求． 【详解】略 ， ， ， 得， ， ． 【点睛】该题考查等差数列的性质、数列求和等知识，考查学生的运算求解能力、转化能力，错位相减法是数列求和的重要方法，要熟练．数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等． 17. 已知点T分别与两点，连线的斜率的乘积为， （1）求点T的轨迹的方程； （2）已知直线与交于A，B两点，，求k的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，代入斜率公式求解即可； （2）设出直线l的方程，将直线方程与轨迹方程联立，利用韦达定理求出线段AB的中点坐标，将，转化成直线PD与直线AB垂直，代入斜率公式求解即可． 【小问1详解】 设， 因为，，所以，， 由，得，整理得， 则点T的轨迹的方程为. 【小问2详解】 设直线l的方程为，，， 联立，消去y并整理得， 此时， 由韦达定理得， 所以， 此时AB中点， 因为，所以直线PD与直线AB垂直， 所以，即， 解得， 则 . 18. 已知是等差数列，是正项等比数列，且，，， （1）求数列，的通项公式： （2）记 （i）求数列的前2n项和； （ii）记，求数列的前n项和 【答案】（1）， （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式，解方程求得公差和公比，进而得到所求； （2）（i）利用并项求和法，结合等差数列的求和公式计算即可； （ii）由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，可得所求． 【小问1详解】 由题意，是等差数列，设公差为d， 是正项等比数列，设公比为q，， 由，，，， 可得，， 解得， 则，. 【小问2详解】 （i）由（1）可得，， 则， 则数列的前2n项和； （ii）， 则数列的前n项和 19. 已知抛物线C：，点在C上.按照如下方式依次构造点、3、：过点作斜率为的直线与C交于点令为关于x轴的对称点，记的坐标为 （1）求弦长； （2）证明：数列是等差数列，并求和； （3）记为的面积，求 【答案】（1） （2）设过点且斜率为的直线为， 与抛物线的方程，联立可得， 由韦达定理可得，即， 则数列是首项和公差均为1的等差数列， 可得，； （3） 【解析】 【分析】（1）代入求得p和抛物线的方程，由直线的方程与抛物线的方程联立，求得，得到，由两点的距离公式，可得所求； （2）求得过点且斜率为的直线方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和等差数列的定义和通项公式，可得所求； （3）由（2）可得，同理可得，，由两点的距离公式和点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，可得所求值． 【小问1详解】 由点在抛物线C：上，可得，解得， 则抛物线的方程为，可得直线的方程为， 由，解得，即，可得， 则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可得，同理可得，， ，， ， 直线的方程为，即， 设点到直线的距离为d， 则， 所以. 【点睛】关键点点睛：设出过点且斜率为的直线为，与抛物线方程联立后，结合韦达定理可得，从而利用等差数列的定义证明即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $