精品解析：广东省阳江市部分学校2024-2025学年高一上学期期末联考数学试题

2024-2025学年广东省阳江市高一（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 下列区间中，一定包含函数的零点的是（ ） A. B. C. D. 3. 小明同学在公园散步时，对公园的扇形石雕（图1）产生了浓厚的兴趣，并画出该扇形石雕的形状（图2），在扇形AOB中，，则扇形AOB的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. “是第四象限角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知幂函数在上单调递增，则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列各角中，与终边相同的有（ ） A B. C. D. 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 11. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 的最大值为 C. 是非奇非偶函数 D. 关于的方程有无数个实数解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______. 13. 已知，则的值是__________ 14. 已知是定义在上的偶函数，对任意的当时，都有且，则不等式的解集为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算： （2）若角的终边经过点，求 16. 已知函数满足 （1）求的解析式； （2）求不等式的解集. 17. 已知函数 （1）证明：是偶函数. （2）若，求在上的零点. 18. 已知函数，其图象与直线相邻两个交点之间的距离为. （1）若，求在上的最大值； （2）对任意的恒成立，求的取值范围. 19. 已知函数的定义域为．若且，则称是凹函数；若且，则称是凸函数． （1）已知函数． ①求解析式； ②判断是凹函数还是凸函数，根据凹函数，凸函数的定义证明你的结论． （2）讨论函数在定义域上的凹凸性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年广东省阳江市高一（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，结合交集的定义求结论. 【详解】集合， 故. 故选：C. 2. 下列区间中，一定包含函数的零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理求解即可． 【详解】因为的定义域为R，且连续， ， 所以函数的零点所在区间为 故选：C. 3. 小明同学在公园散步时，对公园的扇形石雕（图1）产生了浓厚的兴趣，并画出该扇形石雕的形状（图2），在扇形AOB中，，则扇形AOB的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形面积公式即可求解． 【详解】由已知可得扇形的圆心角，扇形半径， 则扇形面积为 故选：A. 4. 已知，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知根据不等式的乘法性质求出的范围，再同向相加即可得结论． 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：D. 5. “是第四象限角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合三角函数的定义检验充分必要性即可求解． 【详解】当是第四象限角时，，则一定成立，即充分性成立； 当时，与异号，此时第三或第四象限，即必要性不成立， 所以“是第四象限角”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6. 已知幂函数在上单调递增，则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由幂函数的定义与性质求解值，再由复合函数的单调性得答案． 【详解】由函数是幂函数，且在上单调递增， 得，解得： 函数， 由，解得或， 而函数在上单调递增，且函数是定义域内的增函数， 则函数的单调递增区间为 故选：B. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合指数函数，对数函数，正弦函数的单调性确定的范围，即可比较的大小． 【详解】因为函数为增函数， 又，所以， 所以， 函数为增函数，， 所以 ， 因为函数在上单调递增，， 所以， 所以， 所以，即 故选：D. 8. 大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 【答案】B 【解析】 【分析】设原来的游速为，则提速后的游速为，原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为，根据题意列方程组，能求出结果． 【详解】设原来的游速为，则提速后的游速为， 原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为， 则， 所以， ，故， 所以若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的倍． 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列各角中，与终边相同的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知结合终边相同角的关系检验各选项即可判断． 【详解】，即与终边相同，A正确； ，即与终边相同，B正确； ，即与终边不相同，C错误； ，即与终边相同，D正确． 故选：ABD. 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】举出反例检验选项A；结合对数函数单调性检验选项B；结合函数单调性检验选项C；结合基本不等式检验选项D. 【详解】当，时，，A显然错误； 因为，所以，B正确； 因为函数在单调递增， 所以函数在上单调递增， 当时，，即，C错误； 若，则， 当且仅当时取等号，显然等号无法取得，D正确． 故选：BD . 11. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 的最大值为 C. 是非奇非偶函数 D. 关于的方程有无数个实数解 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，计算可得，可判断A；利用辅助角公式可得，计算可知可得与不能同时取得最大值，可判断B；计算可得，可判断C；令，可得有无数个零点，可判断D. 【详解】 ，所以是的一个周期，故A正确； ， 由，可得， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，可得， 当时，，此时， 根据周期性可得与不能同时取得最大值， 所以的最大值小于，故B错误； ， 所以，所以是非奇非偶函数，故C正确； 由，可得， 所以，令， 由 ， 所以是以为周期的周期函数， 又，，所以有无数个零点， 从而可知关于的方程有无数个实数解，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______. 【答案】12 【解析】 【分析】将x的值代入函数解析式，即可求解. 【详解】函数， 则 故答案： 13. 已知，则的值是__________ 【答案】2 【解析】 【分析】利用两角和正切公式化简即得结果. 【详解】因为， 所以， 因此 点睛】本题考查两角和正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 14. 已知是定义在上的偶函数，对任意的当时，都有且，则不等式的解集为______. 【答案】或 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式． 【详解】因为对任意的当时，都有， 所以在上单调递增， 因为是定义在R上的偶函数， 根据偶函数的对称性可知，在上单调递减， 因为，所以， 由可得或， 即或， 解得或 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算： （2）若角的终边经过点，求 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质以及余弦函数的特殊值化简即可求解； （2）利用任意角的三角函数的定义以及对数的运算性质化简即可求解． 【详解】（1）原式； （2）由已知可得，则， 所以 16. 已知函数满足 （1）求的解析式； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将原函数变形得出，然后即可得出的解析式； （2）根据指数函数的单调性即可得解． 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 由得：， ， ，解得或， 原不等式的解集为：或 17. 已知函数 （1）证明：是偶函数. （2）若，求在上的零点. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，先分析函数的定义域，再分析、的关系，即可得答案； （2）根据题意，由求出的值，即可得的解析式，进而求函数的零点，即可得答案． 【小问1详解】 函数， 其定义域为，有， 则为偶函数； 【小问2详解】 若，即，解可得， 故， 若，即，解可得或舍， 又由，则， 即在上的零点为. 18. 已知函数，其图象与直线相邻两个交点之间的距离为. （1）若，求在上的最大值； （2）对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，可得，结合已知即可求解的值，从而可得解析式，由的取值范围，结合正弦型函数的性质即可求解最大值； （2）根据和的取值范围可得在上先增后减，由已知恒成立可得关于的不等式组，求解即可． 【小问1详解】 令，解得， 由已知得，解得， 所以， 当时，，因，所以， 又在上单调递增，所以 【小问2详解】 因为，所以 又，所以， 所以在上先增后减， 所以即 所以解得，故的取值范围为 19. 已知函数的定义域为．若且，则称是凹函数；若且，则称是凸函数． （1）已知函数． ①求的解析式； ②判断是凹函数还是凸函数，根据凹函数，凸函数的定义证明你的结论． （2）讨论函数在定义域上的凹凸性. 【答案】（1）①；②是凹函数，证明见解析 （2）时，函数在定义域上为凸函数；时，函数在定义域上为凹函数 【解析】 【分析】（1）①利用配凑法，求函数解析式； ②采用作差法，比较与的大小，证明其为凹函数； （2）利用作差法，分和得其凸凹性. 【小问1详解】 ①根据题意，， 所以； ②凹函数； ，且， 则 因为，所以， 所以，即， 故是凹函数. 【小问2详解】 ， 则 ， 因为， 所以， 所以当时，， 即，函数在定义域上为凸函数， 当时，， 即，函数在定义域上为凹函数. 【点睛】关键点点睛：利用作差法比较与的大小，从而得其凸凹性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$