精品解析：山东省聊城市茌平区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024−−−2025学年第一学期期中考试 九年级数学试题 时间：120分钟分值：120分 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、单项选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分） 1. 在中，已知，，，那么边的长是（ ） A. 6 B. C. D. 2. 如图，，则下列各式不能说明的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中正确的有（ ） 位似图形都相似；两个等腰三角形一定相似；两个相似多边形的面积比为，则周长的比为；若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长，那么这两个三角形一定相似． A. B. C. D. 4. 放在正方形网格纸的位置如图，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知经过点E、B、C、O，且、、，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，用一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ） A. π cm B. 2π cm C. 3π cm D. 5π cm 7. 下列叙述正确的有（　　） ①圆内接四边形对角相等；②圆的切线垂直于圆的半径；③正多边形中心角的度数等于这个正多边形一个外角的度数；④过圆外一点所画的圆的两条切线长相等；⑤边长为6的正三角形，其边心距为2． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图为一圆形纸片，为圆周上三点，其中为直径，以为折线将纸片向右折叠，纸片盖住部分的，且弧交于点，如图所示，若的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，请你计算，电线杆AB的高为（　 ） A. 5米 B. 6米 C. 8米 D. 10米 10. 如图，在正方形中，E、F是对角线上两点，且，连接并延长，交于点M，连接并延长，交于点N，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本题共6个空，每空3分，共18分） 11. 某市开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为______米． 12. 如图，在中，正方形的两个顶点在上，另两个顶点分别在上边上的高是，则正方形的面积为______ ． 13. 在⊙O中，AB、CD是两条弦，AB＝6，CD＝8，且AB∥CD，⊙O的半径为5，则AB、CD之间的距离是____． 14. 如图，点是的内心，也是的外心．若，则________． 15. 如图，将三角形纸片的一角折叠，使点B落的AC边上的F处，折痕为DE．已知，BC=10，若以点E，F，C为顶点的三角形与相似，那么BE的长是______． 16. 如图，在四边形中，对角线，点在上，连接，，则边的长为_______________． 三．解答题（本题共8小题，共72分） 17. 计算： （1）． （2） 18. 如图在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，相似比是． （1）请画出； （2）请直接写出各顶点的坐标； （3）若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是 ． 19. 如图，在中，，，；求的长． 20. 如图，矩形中，E为上一点，于F，若，，，求长． 21. 在中，是直径，弦，垂足为点E，连结． （1）求证：． （2）若，求的长度． 22. 白云寺景区位于河南省新乡市辉县市西部三十公里太行山下，寺内外共六棵千年银杏树，为唐代所植，树冠如盖，锦延有上千平米，与古色古香的寺院相映成趣．千百年来这六棵银杏树，虽几经战火的劫难仍迥然纥立，默默守护着这座古守院，成为当地的一大景观和研究太行山植被的活化石．某校致学社团的同学们想要利用所学的知识测量某棵银杏树的高度，他们分成了三个小组并分别设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量银杏树的高度 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案示意图 说明 点、在点正西方向 是银杏树旁的房屋 是银杏树正西方向的指路牌，借助进行测量，使、、三点在一条直线上，点、在点的正西方向 测量数据 ， ， ． ， ． ， （1）第______小组的数据无法算出银杏树的高度； （2）请选择其中一个方案及其测量数据求出银杏树的高度．（结果精确到考考数据：，，） 23. 如图，已知是的直径，点C，D在上，且．点E是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点F．的平分线交射线于点H，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求长． 24. 如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M． （1）求证：△MFC∽△MCA； （2）求证△ACF∽△ABE； （3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−−−2025学年第一学期期中考试 九年级数学试题 时间：120分钟分值：120分 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、单项选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分） 1. 在中，已知，，，那么边的长是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，先利用正弦的定义得到 ，可计算出，然后根据勾股定理计算的长． 【详解】解：如图， 在中，，， ， ， ． 故选B． 2. 如图，，则下列各式不能说明的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形判定方法，相似三角形的判定定理有：三边对应成比例的两个三角形相似；两个角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．解决本题的关键是根据相似三角形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A选项：， ， ， 又， 根据两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似，可得：， 故A选项不符合题意； B选项：是中边和边与中边与边对应成比例，但是无法说明它们的夹角与相等， 无法说明， 故B选项符合题意； C选项：，， 根据两个角对应相等的两个三角形相似，可以说明成立， 故C选项不符合题意； D选项：，， 根据两个角对应相等的两个三角形相似，可以说明成立， 故D选项不符合题意． 故选：B． 3. 下列说法中正确的有（ ） 位似图形都相似；两个等腰三角形一定相似；两个相似多边形的面积比为，则周长的比为；若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长，那么这两个三角形一定相似． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质，根据相似三角形或相似多边形的定义以及性质即可作出判断，解题的关键是掌握相似三角形，相似多边形的定义和性质． 【详解】解：位似图形都相似，故正确； 两个等腰三角形不一定相似，故错误； 两个相似多边形的面积比为，则周长的比为，故错误； 若一个三角形三边分别比另一个三角形的三边长，那么这两个三角形不一定相似，故错误； 综上可知：正确， 故选：． 4. 放在正方形网格纸的位置如图，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，锐角三角函数定义； 连接，利用勾股定理分别计算出、、的长，然后根据勾股定理逆定理得出，再利用三角函数定义可得答案． 【详解】解：如图，连接， ，，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知经过点E、B、C、O，且、、，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，勾股定理，坐标与图形性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理是解本题的关键．连接，由，根据圆周角定理可得：是的直径，由，，，可得，，根据勾股定理可求，然后由圆周角定理可得，然后求出的值，即可得的值． 【详解】解：如图，连接， ， 是的直径， ，， ，， 由勾股定理得：， ， ． 故选：B 6. 如图，用一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ） A. π cm B. 2π cm C. 3π cm D. 5π cm 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据定滑轮的性质得到重物上升的即为转过的弧长， 利用弧长公式得：l==3πcm， 则重物上升了3πcm， 故选C 7. 下列叙述正确的有（　　） ①圆内接四边形对角相等；②圆的切线垂直于圆的半径；③正多边形中心角的度数等于这个正多边形一个外角的度数；④过圆外一点所画的圆的两条切线长相等；⑤边长为6的正三角形，其边心距为2． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆内接四边形的性质可判断①；根据圆的切线性质可判断②④；根据正多边形性质可判断③；根据正三角形边长为6，连接OB、OC；先求出中心角∠BOC，根据等腰三角形性质，求出∠BOD＝×120°＝60°，利用锐角三角函数可求OD＝×6×即可． 【详解】解：①圆内接四边形对角互补但不一定相等，故①不符合题意； ②圆的切线垂直于过切点的半径，故②不符合题意； ③正n多边形中心角的度数等于，这个正多边形的外角和为360°，一个外角的度数等于正确，故③符合题意； ④过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，正确，故④符合题意； ⑤如图，△ABC为正三角形，点O为其中心； OD⊥BC于点D；连接OB、OC； ∵OB＝OC，∠BOC＝×360°＝120°， ∴BD＝BC＝3，∠BOD＝×120°＝60°， ∴tan∠BOD＝， ∴OD＝×6×， 即边长为6的正三角形的边心距为，故⑤不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查圆内接四边形性质，圆的切线性质，切线长性质，正多边形的中心角与外角，锐角三角函数，边心距，掌握圆内接四边形性质，圆的切线性质，切线长性质，正多边形的中心角与外角，锐角三角函数，边心距是解题关键． 8. 如图为一圆形纸片，为圆周上三点，其中为直径，以为折线将纸片向右折叠，纸片盖住部分的，且弧交于点，如图所示，若的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，折叠的性质，三角形的内角和定理，设折叠前在点，连接，由折叠的性质得到： ，，，又是圆的直径，则，由等腰三角形的性质得，从而求出，然后根据三角形的内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设折叠前在点，连接， 由折叠的性质得到： ，，， ∴， ∴， ∵是圆的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图所示，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，请你计算，电线杆AB的高为（　 ） A. 5米 B. 6米 C. 8米 D. 10米 【答案】C 【解析】 【分析】根据同一时刻，物体的实际高度和影长成正比例列出比例式即可解答． 【详解】解：如图，假设没有墙，电线杆AB的影子落在E处， ∵同一时刻，物体的实际高度和影长成正比例， ∴CD：DE=1：0.5=2：1， ∴AB：BE=2：1， ∵CD=2，BE=BD+DE， ∴BE=3+1=4， ∴AB：4=2：1， ∴AB=8，即电线杆AB的高为8米， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用、比例的性质，解答的关键是理解题意，将实际问题转化为相似三角形中，利用同一时刻，物体的实际高度和影长成正比例列出方程求解． 10. 如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，且，连接并延长，交于点M，连接并延长，交于点N，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定该与性质等知识，解题的关键是学会利用参数，设正方形的边长为，求出，． 设，首先证明，再利用相似三角形的性质求出，推出，，可得结论． 【详解】解：四边形是正方形， ∴设，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ，， ， 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本题共6个空，每空3分，共18分） 11. 某市开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为______米． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查坡度问题，以及勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识。利用坡度求得垂直高度，进而利用勾股定理可求得相邻两树间的坡面距离． 【详解】解：坡比，， ，即， 解得， （米）， 故答案为：4． 12. 如图，在中，正方形的两个顶点在上，另两个顶点分别在上边上的高是，则正方形的面积为______ ． 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点的应用问题，作辅助线，构造三角形相似是解题的关键．过点作垂直于于点交于点，则可证明，进而求出的长，即可解决问题． 【详解】解：过点作垂直于于点交于点，则， 四边形是正方形 设则 解得： 正方形的面积为， 故答案为：． 13. 在⊙O中，AB、CD是两条弦，AB＝6，CD＝8，且AB∥CD，⊙O的半径为5，则AB、CD之间的距离是____． 【答案】1或7##7或1 【解析】 【分析】由于弦AB、CD的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦A和CD在圆心同侧；②弦A和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①， 过点O作OF⊥AB，垂足为F，交CD于点E，连接OA，OC， ∵AB∥CD， ∴OE⊥CD， ∵AB=6，CD=8， ∴CE=4，AF=3， ∵OA=OC=5， ∴由勾股定理得：EO=，OF=， ∴EF=OFOE=1； ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②， 过点O作OE⊥CD于点E，反向延长OE交AB于点F，连接OA，OC， EF=OF+OE=7， 所以AB与CD之间的距离是1或7． 故答案为：1或7． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 14. 如图，点是的内心，也是的外心．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握内心与外心的区别．连接，，根据点是的内心，，可得，再根据点也是的外心，和圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，， 点是的内心，， ，是，的平分线， ，， ， 点也是的外心， ， 则的度数为． 故答案为： 15. 如图，将三角形纸片的一角折叠，使点B落的AC边上的F处，折痕为DE．已知，BC=10，若以点E，F，C为顶点的三角形与相似，那么BE的长是______． 【答案】或5 【解析】 【分析】根据折叠与相似三角形的性质，分当∠CEF=∠B和∠CEF=∠A时，两种情况进行讨论即可． 详解】设BE=x，则EC=10﹣x， ∵△DEF是△DEB折叠所得， ∴EF=BE=x， ①当∠CEF=∠B时， ∵△FEC∽△ABC， ∴,即， 解得x=； ②当∠CEF=∠A时， ∵△ECF∽△ABC， ∴，即， 解得x=5， 综上，BE=或5． 【点睛】本题主要考查折叠的性质，相似三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握其知识点． 16. 如图，在四边形中，对角线，点在上，连接，，则边的长为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作交于点F，由平行线的性质得，证明，得到的长度，根据，求得，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点A作交于点F， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是解题的关键． 三．解答题（本题共8小题，共72分） 17. 计算： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可； （2）根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，相似比是． （1）请画出； （2）请直接写出各顶点的坐标； （3）若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是 ． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形变换—位似，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键； （1）找到点A，B，C的对应点，即可求解； （2）直接根据（1）中图形解答即可； （3）根据位似图形的性质解答，即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：由图可得， 【小问3详解】 解：∵内部一点M的坐标为，在y轴右侧，且与位似，相似比是， ∴点M的对应点的坐标是． 故答案为： 19. 如图，在中，，，；求的长． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，过点C作于D，先解得到，再解得到，则由勾股定理得到． 【详解】解：如图所示，过点C作于D， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 20. 如图，矩形中，E为上一点，于F，若，，，求的长． 【答案】7.2 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质和判定，勾股定理，矩形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理．利用矩形的性质证明，得到，利用勾股定理得到，将相关数据代入中求解，即可解题． 【详解】解：， ． 四边形为矩形， ，， ． ． ， ，，， ． ． ． 21. 在中，是直径，弦，垂足为点E，连结． （1）求证：． （2）若，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理及推论，等边三角形的性质和判定；连接辅助线，从而运用圆周角定理及推论得到角之间的关系是解题的关键． （1）根据垂径定理得出，再根据圆周角定理即可求解； （2）连接，根据圆周角定理求出，证出等边三角形，即可求解； 【小问1详解】 证明：∵是直径，弦， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∵， ∴等边三角形， ∴． 22. 白云寺景区位于河南省新乡市辉县市西部三十公里的太行山下，寺内外共六棵千年银杏树，为唐代所植，树冠如盖，锦延有上千平米，与古色古香的寺院相映成趣．千百年来这六棵银杏树，虽几经战火的劫难仍迥然纥立，默默守护着这座古守院，成为当地的一大景观和研究太行山植被的活化石．某校致学社团的同学们想要利用所学的知识测量某棵银杏树的高度，他们分成了三个小组并分别设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量银杏树的高度 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案示意图 说明 点、在点的正西方向 是银杏树旁的房屋 是银杏树正西方向的指路牌，借助进行测量，使、、三点在一条直线上，点、在点的正西方向 测量数据 ， ， ． ， ． ， （1）第______小组的数据无法算出银杏树的高度； （2）请选择其中一个方案及其测量数据求出银杏树的高度．（结果精确到考考数据：，，） 【答案】（1）二； （2）银杏树的高度约为米，过程见解析． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是掌握正切，余弦，正弦的运用，解直角三角形的运用，即可． （1）根据测量数据，第一组和第三组均可以计算出银杏树的高度，第二组数据不够，不能计算出银杏树的高度，即可； （2）根据测量数据，利用解直角三角形的知识，计算出银杏树的高度，即可． 【小问1详解】 由测量数据可知，第一组和第三组均可以计算出银杏树的高度，第二组仅给， ，还需要测量出一条边的数据，才可以计算出银杏树的高度； 故答案：二． 【小问2详解】 ①选择第一小组 由题意：，， ∴， 设米， ∵， ∴米， ∵， ∴， ∴， 答：银杏树的高度约为米； ②选择第三小组 由题意：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设米， ∴米， ∴， ∴， 答：银杏树的高度约为米． 23. 如图，已知是的直径，点C，D在上，且．点E是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点F．的平分线交射线于点H，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据角平分线的定义得到是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，即可得到，然后根据角平分线的定义得到，然后得到即可证明切线； （2）设的半径为，根据，可以求出，然后根据，即可得到结果． 【小问1详解】 证明：连接， 则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：设的半径为，则， ∵，即， 解得， ∴，， 又∵ ∴， ∴，即，解得． 24. 如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M． （1）求证：△MFC∽△MCA； （2）求证△ACF∽△ABE； （3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得，进而根据对顶角的性质得，再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论； （2）根据正方形的性质得，再证明其夹角相等，便可证明； （3）由已知条件求得正方形的边长，进而由勾股定理求得的长度，再由，求得，进而求得正方形的对角线长，便可求得其边长． 【详解】解：（1）四边形是正方形，四边形是正方形， ， ， ， ， ； （2）四边形是正方形， ，， ， 同理可得， ， ， ， ； （3），， ， ， ， ，即， ， ， ， 即正方形的边长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是掌握相似模型及证明方法和正方形性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $