精品解析：江苏省泰州中学2025届高三下学期模拟一数学试题

省泰中高三下学期数学模拟一试题 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知集合，，若，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. “”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知曲线与曲线在交点处有相同的切线，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 5. 已知圆锥的侧面积是底面积的3倍，体积是，则圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. 2 D. 3 6. 把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，不同的分发种数为（ ） A. 70 B. 99 C. 110 D. 165 7. 已知分别是双曲线：的左右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的各项均为正数，且.若的前项之积为，则满足的正整数的最大值为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分、3分或4分，有选错的得0分.） 9. 已知实数、满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ） A. 的准线方程为 B. 直线与相切 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的周长的最小值为11 11. 已知菱形的边长为2，，E，F，G分别为AD、AB、BC的中点，将沿着对角线AC折起至，连结，得到三棱锥.设二面角的大小为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当平面截三棱锥的截面为正方形时， C. 三棱锥的体积最大值为1 D. 当时，三棱锥的外接球的半径为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若实数，则_________． 13. 已知函数在区间上有且仅有个零点，则的最小正周期的最小值为__________. 14. 已知是自然对数的底数，若，则的取值范围是______． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，． （1）求角的大小； （2）若，求的周长． 16. 如图，在三棱柱中，，，，． （1）证明：平面平面． （2）求二面角的正弦值． 17. 已知数列满足，，，数列满足，，． （1）求数列和的通项公式； （2）设数列满足，数列的前n项和为，不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知椭圆的两个焦点为，且椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知为坐标原点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，且弦的中点为，直线的斜率为，求； （3）直线与椭圆有两个不同的交点，椭圆在点处的切线分别为与交于点，点在直线上.请你判断直线是否经过定点，并说明理由. 19. 已知函数. （1）若为奇函数，求此时在点处的切线方程； （2）设函数，且存在分别为的极大值点和极小值点. （i）求函数的极值； （ii）若，且，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 省泰中高三下学期数学模拟一试题 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知集合，，若，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的包含关系得不等式组，解不等式组即可． 【详解】由题意，因为，则. 故选：C． 2. “”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合复数的除法运算及纯虚数的概念求解. 【详解】复数， 当时，，复数，是纯虚数； 当复数为纯虚数时，有，解得. 则“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 故选：C 3. 已知曲线与曲线在交点处有相同的切线，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求出切线的斜率，从而可求解. 【详解】由题知曲线和曲线在交点处有相同的切线，即斜率相等， 所以对于曲线，求导得，所以在点处的切线斜率为， 对于曲线，求导得， 所以，得，故B正确. 故选：B. 4. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求得，利用基本不等式求得正确答案. 【详解】根据正态分布的知识得，则， ， 当且仅当，即时取等. 故选：D 5. 已知圆锥的侧面积是底面积的3倍，体积是，则圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由圆锥侧面积、底面积、体积公式及勾股定理建立关于方程组，消解即得. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 则，可得， 则， 由圆锥的体积为，则，可得． 故选：D． 6. 把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，不同的分发种数为（ ） A. 70 B. 99 C. 110 D. 165 【答案】D 【解析】 【分析】相同元素的分配问题用“隔板法”即可. 【详解】当8个相同的蓝球只分给其中1人时，有4种分法； 当8个相同的蓝球分给其中的2人时，先从4人里面选出2人，再将8个相同的蓝球排成一排，形成的7个空里面选出1个空插入1个“隔板”即可，此时有种分法； 当8个相同的蓝球分给其中的3人时，先从4人里面选出3人，再将8个相同的蓝球排成一排，形成的7个空里面选出2个空插入2个“隔板”即可，此时有种分法； 当8个相同的蓝球分给其中的4人时，每人至少一个，此时将8个相同的蓝球排成一排，形成的7个空里面选出3个空插入3个“隔板”即可，此时有种分法； 因此把8个相同的蓝球分发给甲、乙、丙、丁4人时，不同的分发种数有： 故选：D. 7. 已知分别是双曲线：的左右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长交于，利用角平分线的性质及双曲线的定义求得，再根据双曲线的参数关系及离心率公式求离心率. 【详解】延长交于，由是的角平分线， 则，，又是的中点， 所以，且， 由， 则， 所以. 故选：A 8. 已知数列的各项均为正数，且.若的前项之积为，则满足的正整数的最大值为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】首先对两边取对，求解出的公式，然后求解. 【详解】因为，两边取对，解得： 所以是以为首项，以2为公比的等比数列， ，， ， 令，即 根据等比数列的求和公式， 整理得； 又因为 所以正整数的最大值为10， 故选：C. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分、3分或4分，有选错的得0分.） 9. 已知实数、满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断AC选项；利用函数的单调性可判断B选项；利用函数的单调性可判断D选项. 【详解】因为实数、满足， 对于A选项，取，，则，A错； 对于B选项，对于函数，该函数的定义域为，， 当且仅当时，等号成立，所以函数在上为增函数， 因为，则，则，B对； 对于C选项，取，，则，C错； 对于D选项，对于函数，该函数的定义域为，， 当且仅当时，等号成立，所以，函数在上为增函数， 因为，则，即，D对. 故选：BD. 10. 已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ） A. 的准线方程为 B. 直线与相切 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的周长的最小值为11 【答案】BCD 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A，联立直线与抛物线方程，消元，由判断B，设点，表示出，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化求出的周长的最小值，即可判断D. 【详解】解：抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误； 由，即，解得，所以直线与相切，故B正确； 设点，所以， 所以，故C正确； 如图过点作准线，交于点，，， 所以， 当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确； 故选：BCD 11. 已知菱形的边长为2，，E，F，G分别为AD、AB、BC的中点，将沿着对角线AC折起至，连结，得到三棱锥.设二面角的大小为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当平面截三棱锥的截面为正方形时， C. 三棱锥的体积最大值为1 D. 当时，三棱锥的外接球的半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，利用线面垂直证线线垂直；对B，计算出的长度即可；对C，当为直角时体积最大；对D，先找到球心的位置，再进行计算. 【详解】对A，取AC中点H，则由，， 所以AC⊥，， 平面，， 所以AC⊥面，又平面， 所以AC⊥，A正确； 对B，取的中点I，易知EFGI为平行四边形(如下图)， 则截面为正方形时，EF=FG=1，由中位线，=2，又BH==， 所以∠不可能为，B错误； 对C，当面ABC时体积最大，最大为，C正确； 对D，过和的外心作所在面的垂线，则交点O即为外心， 又，所以，所以，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若实数，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再求出的值. 【详解】由题得， 所以. 故答案为： 13. 已知函数在区间上有且仅有个零点，则的最小正周期的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据求出的取值范围，再根据题意可得出关于的不等式，解出的取值范围，即可求得函数的最小正周期的最小值. 【详解】当时，则， 因为函数在区间上有且仅有个零点， 则，解得， 故当时，函数的最小正周期取最小值. 故答案为：. 14. 已知是自然对数的底数，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】令，易得函数是增函数，则有，则，构造函数，利用导数求出函数的最值即可得解. 【详解】令， 因为函数都是增函数， 所以函数是增函数， 又，， 所以且， 则， 令，则， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 又， 所以当时，，当时，， 所以， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：令，根据函数是增函数，得出是解决本题的关键. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，． （1）求角的大小； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据面积公式，正切公式，以及两角和的余弦公式求，并求，即可求解； （2）根据正弦定理，以及（1）的结果，求得，再结合余弦定理，即可求解. 【小问1详解】 由题意知：，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 由正弦定理得：， 由（1）知：，所以， 由余弦定理得： 即，所以， 所以的周长为． 16. 如图，在三棱柱中，，，，． （1）证明：平面平面． （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明如下： 取的中点O，连接，，． 四边形为平行四边形， 又因为，，所以为等边三角形， 所以，． 在中，，． 因为，所以． 因为，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，取的中点O，连接，，，可先证平面，再根据线面垂直证明面面垂直. （2）根据（1）的结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以O为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，． ，，． 设平面的法向量为，平面的法向量为． ，即，令，得． ，即，令，得． ，则， 故二面角的正弦值为． 17. 已知数列满足，，，数列满足，，． （1）求数列和的通项公式； （2）设数列满足，数列的前n项和为，不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】（1）将中的n换为n−1，两式相减，结合常数列分析可得，根据等比数列的定义和通项公式可得； （2）由数列的错位相减法求和，可得，再由不等式恒成立思想和数列的单调性求得最值，可得所求范围. 【小问1详解】 因为， 当时，，解得； 当时，可得， 作差得，即； 且，满足， 所以为常数列，即，则，， 由题意可知：数列是以首项为2，公比为2的等比数列，则， 【小问2详解】 由（1）可知：数列满足， 数列的前n项和， 则， 两式相减得， 所以， 不等式化为， 可知数列为递增数列，则有： 若n为偶数，，取，可得； 若n奇数，，取，可得； 综上所述：实数的取值范围是． 18. 已知椭圆的两个焦点为，且椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知为坐标原点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，且弦的中点为，直线的斜率为，求； （3）直线与椭圆有两个不同的交点，椭圆在点处的切线分别为与交于点，点在直线上.请你判断直线是否经过定点，并说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）直线恒过定点，理由： 设，先求椭圆在点处的切线的方程. 方法一：根据判别式求解 椭圆在点处的切线，设， 联立方程得，， ， ， ， . ，即. 同理可得，. ，可得T点的横坐标，即， 又，可得，， 由题意可知直线的斜率不为0，设. ，整理得， ，即. 又，则. ，即直线恒过定点. 方法二：导数的几何意义： . 当点在时，. ，则切线斜率， ， 即.当点在时，同理可得. ，同理可得，. ，可得T点的横坐标，即， 又，可得，， 由题意可知直线的斜率不为0，设. ，整理得， ，即. 又，则. ，即直线恒过定点. 【解析】 【分析】（1）根据离心率和焦点坐标，列出方程组，求出，得到椭圆方程； （2）方法一：利用点差法进行求解；方法二：设，直线，表达出，结合，从而得到； 方法三：设，直线，联立直线与椭圆方程，由韦达定理得到两根之和，从而，故，求出； （3）方法一：设，联立椭圆方程，由得到，由韦达定理得到，，故，得到，同理可得，，联立，求出，结合，求出，设，则，整理得，又，则，从而求出直线恒过定点. 方法二：点在时，求导，得到切线斜率，，求出，同理可得，联立，求出，结合，求出，设，则，整理得，又，则，从而求出直线恒过定点. 【小问1详解】 设椭圆的标准方程为：， ， 椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 方法一：点差法： 设，则①， 又在椭圆上，则，， 两式相减得：， 即：②， 由①②得，. 而. 方法二：椭圆方程代换： 设，直线， ①， ②， 又，即③， 由①②③得，； 方法三：联立方程： 设，直线， ①， 联立方程得，， ②， 由①②得，，则. 又， . 【小问3详解】 略 【点睛】知识点点睛：过圆上一点的切线方程为：， 过圆外一点的切点弦方程为：. 过椭圆上一点的切线方程为， 过双曲线上一点的切线方程为 19. 已知函数. （1）若为奇函数，求此时在点处的切线方程； （2）设函数，且存在分别为的极大值点和极小值点. （i）求函数的极值； （ii）若，且，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）时，极大值，极小值；时，极大值，极小值. （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义, 求出 的值, 然后利用导数求切线方程. （2）( i )对 进行求导, 将 既存在极大值, 又存在极小值转化成 必有两个不等的实数根, 利用导数得到 的单调性和极值, 进而即可求解; (ii) 对 进行求导, 利用导数分析 的极值, 将 恒成立转化成 , 构造函数, 利用导数分类讨论求解即可. 【小问1详解】 为奇函数，有，则，经检验知满足题意， 所以所以，， 所以在点处的切线方程为. 【小问2详解】 （i）， 因为函数既存在极大值，又存在极小值， 则必有两个不等的实根，则， 令可得或， 所以，解得且. 当时，.则有： 0 + 0 - 0 + 极大值 极小值 极大值，极小值 当时，.则有： 0 + 0 - 0 + 极大值 极小值 极大值，极小值. （ii）由，所以， 由题意可得对恒成立， 即 令，其中， 令，则 ①当，即时，在上是严格增函数， 所以，即，符合题意； ②当，即或时， 设方程的两根分别为且， 当时，则， 则在上是严格增函数， 所以，即，符合题意； 当时，则， 则，则当时，， 则在上单调递减，，即不合题意. 综上所述，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究曲线的切线、极值与最值等知识与方法，其中第 (2) 问的 (ii ) 小问, 关键是将 恒成立转化成 , 构造函数,利用导数分类讨论求解即可, 属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $