精品解析：北京市怀柔区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷

2023-2024学年北京市怀柔区高一（上）期末数学试卷 一、选择题：共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则a，b，c大小关系是（ ） A. a＜b＜c B. b＜c＜a C. c＜a＜b D. c＜b＜a 6. 下列区间中，一定存在函数零点的是（ ） A. B. C. D. 7. 甲乙两名同学5次数学测验成绩（百分制）如茎叶图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 甲同学的平均分比乙同学高 B. 甲同学的成绩比乙同学稳定 C. 甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差 D. 甲同学成绩的中位数和极差都比乙同学大 8. 设，，则p是q的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分不必要条件 9. 若函数为偶函数，且在内是增函数，又，则的解集是（） A. B. C. D. 10. 设A、B是非空集合，定义：．已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题：共5道小题，每小题5分，共25分． 11. 命题“，”的否定为_______． 12. 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周体育锻炼时间（单位：小时）的数据，整理得到频数分布表．从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周体育锻炼时间不少于12小时的概率是_______． 组号 分组 频数 1 6 2 8 3 17 4 22 5 25 6 12 7 6 8 3 9 1 合计 100 13. 计算：_______；_______． 14 从下列三个条件中： ①； ②，都有； ③，都有． 任选两个_______作为条件，写出一个同时满足这两个条件函数的解析式：_______． 15 设函数 ①若，则函数的零点个数有________个. ②若函数有最小值，则实数a的取值范围是________. 三、解答期：共6道小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数的定义域为集合，集合． （1）求集合； （2）当时，求； （3）若，求实数的取值范围． 17. 已知函数． （1）求与的值； （2）做出函数的图象，并写出函数的单调递增区间； （3）若函数有三个零点，求实数的取值范围． 18. 喜迎春节，某商场为吸引顾客举办购物抽奖活动，购买一定价值的商品可以获得一张奖券．甲在该商场消费后共获得2张奖券，抽奖时每次只能抽取一张，每张奖券中奖的概率都是（每次抽奖相互独立）． （1）求甲第一次没抽中，第二次抽中的概率； （2）求甲中奖的概率． 19. 某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系式为y=ax2+3000，且当年产量是100吨时，总成本为6000万元．平均成本=． （1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本； （2）若企业每吨产品的出厂价为90万元，当年利润不少于3000万元时，则该生产线年产量的最小值应为多少吨？（利润=销售额-成本） 20. 亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功亚运会的重要保障，为确保第19届亚运会在杭州顺利举行，2023年5月22日杭州亚运会赛会志愿者全球招募启动活动在浙大城市学院举行．为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了100名候选者的面试成绩，绘制成如图所示频率分布直方图． （1）求直方图中x值； （2）根据频率分布直方图估计样本数据的众数及中位数； （3）若在成绩为[80，90），[90，100]的两组人中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中任意抽取2人分别安排去乒乓球场馆和跳水场馆志愿服务，求去乒乓球场馆服务的志愿者成绩在[90，100]的概率． 21. 已知函数是定义在R上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在单调性并用定义加以证明； （3）设函数（m∈R），若对，都有成立，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年北京市怀柔区高一（上）期末数学试卷 一、选择题：共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解． 【详解】集合，集合， 则． 故选：C． 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【详解】解：函数， 则，解得且． 故选:D． 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案． 【详解】对于A，，是反比例函数，是奇函数又在区间上单调递减，不符合题意； 对于B，，是幂函数，既是奇函数又在区间上单调递增，符合题意； 对于C，，是偶函数，不是奇函数，不符合题意； 对于D，，其定义域为，既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意． 故选：B． 4. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由结合不等式性质判断ABD，由指数函数单调性判断C选项. 【详解】因为，由基本不等式可得，A正确； 当时，B显然错误， 因为在上单调递减，故，C错误； 由可得，D错误． 故选：A． 5. 已知，，，则a，b，c大小关系是（ ） A. a＜b＜c B. b＜c＜a C. c＜a＜b D. c＜b＜a 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合对数函数的单调性，即可求解． 【详解】， ， ， 综上所述，． 故选：D． 6. 下列区间中，一定存在函数零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断出函数的单调性，根据零点存在定理判断即可． 【详解】因为函数，， 又因为与在上均单调递增， 所以函数在上单调递增， 又因为，， 所以函数的唯一零点在区间内． 故选：B． 7. 甲乙两名同学5次数学测验成绩（百分制）如茎叶图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 甲同学的平均分比乙同学高 B. 甲同学的成绩比乙同学稳定 C. 甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差 D. 甲同学成绩的中位数和极差都比乙同学大 【答案】C 【解析】 【分析】从茎叶图中可以得到甲、乙两名同学的成绩数据，分别计算两者的平均数、方差、中位数和极差，从而可作出判断. 【详解】平均数：甲同学平均分为，乙同学平均分为， 因此甲同学平均分比乙同学低，选项A错误， 方差：甲同学方差为， 乙同学方差为， 因此甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差， 所以甲同学的成绩比乙同学不稳定，选项C正确，选项B错误， 中位数和极差：甲同学中位数为83，极差为19；乙同学中位数为88，极差为13， 因此，甲同学成绩的中位数比乙同学小，极差也比乙同学大，选项D错误． 故答案为：C． 8. 设，，则p是q的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出命题p，q的x的范围，再根据充分必要条件的定义即可判断求解． 【详解】命题p：由可得：； 命题q：由可得：， 因为⫌， 则p是q的必要不充分条件． 故选：B． 9. 若函数为偶函数，且在内是增函数，又，则的解集是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式． 【详解】因为函数为偶函数，且在内是增函数， 所以上单调递减， 则可化为或， 所以或， 所以或. 故选:D. 10. 设A、B是非空集合，定义：．已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用二次函数的值域、基本不等式分别求出集合A，B，然后结合集合的基本运算求得和，再根据已知定义即可求解． 【详解】因为，所以， 因为时，，当且仅当，即时取等号， 所以，，，则 故选：B． 【点睛】思路点睛：新定义问题求解 本题中给出新定义，则需要求出和，再根据定义求得答案，实际上考查了集合的基本运算. 二、填空题：共5道小题，每小题5分，共25分． 11. 命题“，”的否定为_______． 【答案】， 【解析】 【分析】命题的否定，任意改存在，将结论取反，即可求解． 【详解】“，”的否定为，. 故答案为：，. 12. 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周体育锻炼时间（单位：小时）的数据，整理得到频数分布表．从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周体育锻炼时间不少于12小时的概率是_______． 组号 分组 频数 1 6 2 8 3 17 4 22 5 25 6 12 7 6 8 3 9 1 合计 100 【答案】## 【解析】 【分析】根据频数分布表得到样本中学生一周课外阅读时间不少于12小时的频率，再由频率估计概率，得到答案. 【详解】根据频数分布表，可知100名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有（名） 所以样本中学生一周课外阅读时间不少于12小时的频率是， 用频率估计概率，可得从该校随机选取一名学生，其该周课外阅读时间不少于12小时的概率为. 故答案为：． 13. 计算：_______；_______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】结合指数、对数的运算法则，即可求解． 【详解】， . 故答案为：3；. 14. 从下列三个条件中： ①； ②，都有； ③，都有． 任选两个_______作为条件，写出一个同时满足这两个条件的函数的解析式：_______． 【答案】 ①. ①②（答案不唯一） ②. 【解析】 【分析】根据题意，分析3个条件对应的函数性质，结合常见函数的性质分析可得答案． 详解】根据题意， 若选择①②： 对于①，若，则为偶函数， 对于②，若，都有，则在上为减函数， 同时符合两个条件的函数可以为（答案不唯一）． 若选择①③： 对于①，若，则为偶函数， 对于③，若，所以， 同时符合两个条件的函数可以为（答案不唯一）． 若选择②③： 对于②，若，都有，则在上为减函数， 对于③，若，都有， 同时符合两个条件的函数可以为（答案不唯一）． 故答案为：①②，（答案不唯一）． ①③，（答案不唯一）． ②③，（答案不唯一）． 15. 设函数 ①若，则函数零点个数有________个. ②若函数有最小值，则实数a的取值范围是________. 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】①，由来求得零点的个数. ②，对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得的取值范围. 【详解】①，当时，， 由解得； 由，解得或. 综上所述，的零点个数有个. ②，当时，在区间上单调递增， 值域为，无最值. 当时，， 开口向上，对称轴为，， 当时，， 则，①， 的开口向上，对称轴为， ，则①不成立. 当时，， 则，解得. 综上所述，. 故答案为：； 三、解答期：共6道小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数的定义域为集合，集合． （1）求集合； （2）当时，求； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据根式的性质建立不等式即可求解； （2）代入的值求出集合，再根据并集，补集的定义即可求解； （3）由题意可得，然后根据子集的定义建立不等式即可求解． 【小问1详解】 由题意可得，解得， 则集合； 【小问2详解】 当时，， 则，故； 【小问3详解】 由题意可得，则， 即实数a的取值范围为． 17. 已知函数． （1）求与的值； （2）做出函数的图象，并写出函数的单调递增区间； （3）若函数有三个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）图象见解析，单调递增区间为， （3） 【解析】 【分析】（1）根据的解析式直接求解，代入和即可求解； （2）根据二次函数和对数函数的图象做出函数的图象，数形结合求出函数的单调递增区间； （3）若函数有三个零点，则函数与的图象有三个交点，数形结合求解. 【小问1详解】 ，，. 【小问2详解】 作出函数f（x）的图象，如图所示： 由图象可知，函数f（x）的单调递增区间为，. 【小问3详解】 若函数有三个零点，则函数与的图象有三个交点， 由图象可知，即实数a的取值范围为． 18. 喜迎春节，某商场为吸引顾客举办购物抽奖活动，购买一定价值的商品可以获得一张奖券．甲在该商场消费后共获得2张奖券，抽奖时每次只能抽取一张，每张奖券中奖的概率都是（每次抽奖相互独立）． （1）求甲第一次没抽中，第二次抽中的概率； （2）求甲中奖的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解； （2）利用间接法，结合对立事件和独立事件的概率公式求解． 【小问1详解】 设事件A表示“甲第一次没抽中，第二次抽中的概率”， 则. 【小问2详解】 设事件B表示“甲中奖”，则事件表示“甲没中奖”， 则， 所以 19. 某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系式为y=ax2+3000，且当年产量是100吨时，总成本为6000万元．平均成本=． （1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本； （2）若企业每吨产品的出厂价为90万元，当年利润不少于3000万元时，则该生产线年产量的最小值应为多少吨？（利润=销售额-成本） 【答案】（1）100吨， 60万元 （2）100吨 【解析】 【分析】（1）由题意可知，当x=100时，y=6000，由此可求出a的值，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知，年利润，令，求出x的取值范围即可． 【小问1详解】 当年产量是100吨时，总成本为6000万元， 所以，解得， 所以， 所以生产每吨产品的平均成本为， 当且仅当，即x=100， 所以当年产量为100吨时，生产每吨产品的平均成本最低，最低成本为60万元； 【小问2详解】 由题意可知，年利润， 令，得， 解得：， 所以该生产线年产量的最小值应为100吨． 20. 亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功亚运会的重要保障，为确保第19届亚运会在杭州顺利举行，2023年5月22日杭州亚运会赛会志愿者全球招募启动活动在浙大城市学院举行．为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了100名候选者的面试成绩，绘制成如图所示频率分布直方图． （1）求直方图中x的值； （2）根据频率分布直方图估计样本数据的众数及中位数； （3）若在成绩为[80，90），[90，100]的两组人中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中任意抽取2人分别安排去乒乓球场馆和跳水场馆志愿服务，求去乒乓球场馆服务的志愿者成绩在[90，100]的概率． 【答案】（1） （2）众数为，中位数为72.5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据总频率为1即可计算； （2）根据众数和中位数的求法即可求解； （3）将抽出五人编号，采用列举法即可求解. 【小问1详解】 根据题意知，面试成绩落在[50，60），[70，80），[80，90），[90，100]内的频率分别为0.12，0.40，0.16，0.04， 则落在[60，70）内的频率为1-0.12-0.40-0.16-0.04=0.28， 所以． 【小问2详解】 根据题意，可估计样本数据的众数为， 根据（1）得，面试成绩落在[50，70）内的频率是0.12+0.28=0.40， 落在[50，80）的频率是0.12+0.28+0.4=0.8， 故这组数据的中位数在[70，80）内，设为x，所以0.4+（x-70）×0.040=0.5， 则x=72.5，所以估计样本数据的中位数为72.5． 【小问3详解】 成绩为[80，90），[90，100]的两组人数比例为4：1， 由分层抽样等比性质知在[80，90）抽取4人为A，B，C，D，[90，100]抽取1人为a， 所以，任意抽出2人的情况为AB、AC，AD，Aa，BC，BD，Ba，CD，Ca，Da共10种情况，考虑分配到两个场馆共有20种情况， 去乒乓球场馆服务的志愿者成绩在[90，100]的情况（考虑顺序）为：Aa，Ba，Ca，Da， 则去乒乓球场馆服务的志愿者成绩在[90，100]的概率为． 21. 已知函数是定义在R上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在单调性并用定义加以证明； （3）设函数（m∈R），若对，都有成立，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由及求解，再检验即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）由题意可得成立，当时，，求出函数在上的最大值，代入求解即可． 【小问1详解】 由题意可得，解得， 此时，x∈R， 由于，满足为R上的奇函数， 所以； 【小问2详解】 函数在上单调递增，证明如下： 任取， 则， 因为， 所以即 所以， 即，所以， 所以函数在上单调递增； 【小问3详解】 由题意可得成立， 由（2）可知在上单调递增， 所以， 所以在上恒成立， 又因为，开口向上，对称轴， 所以当时， ； 所以当时，则有，解得； 当时，则有，解得，不满足，故舍去； 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $