精品解析：江西省九江市民办晨光中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

九江市民办晨光中学2024-2025上学期期中考试 初三数学试卷 （命题人：万欣怡 审题人：朱云 总分：120分 时间：120分钟） 一、单选题（本题6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A． ，是分式方程，不是一元二次方程；故该选项不符合题意； B． ，含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C． ，化简后为：，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D． ，是一元二次方程，故该选项符合题意； 故选D． 2. 在中，斜边的长为10，则斜边上的中线长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：斜边上的中线长为． 故选：C 3. 关于的一元二次方程有实数根，则满足（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，由方程有实数根可知根的判别式，结合二次项的系数非零，得到，且，求解即可，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， ∴且， 故选：C． 4. 若是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根据两根之和等于，两根之积等于计算即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， 故选：． 5. 新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（　　　） A. 20 B. 22 C. 24 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】先求出每轮传染的人数，再根据“经过两轮传染后共有625个人患了新冠”建立方程，解方程即可得． 【详解】由题意，第一轮会有人被传染， 第二轮会有人被传染， 则， 解得或（不符题意，舍去）， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键． 6. 如图，在平行四边形中，，，，点H，G分别是上的动点，连接．E，F分别为的中点，则的最小值是（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作，根据中位线定理可推出，进一步可得当时，有最小值，此时的值也最小．据此即可求解． 【详解】解：作，如图： ∵E，F分别为的中点 ∴ 故：当时，有最小值，此时的值也最小 ∴的最小值是 , ∴的最小值是 故选：C 【点睛】本题考查了中位线定理、平行四边形的性质、解直角三角形等．掌握相关结论即可． 二、填空题（本题6小题，每小题3分，共18分） 7. 一元二次方程的常数项是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程，a叫作二次项系数，b叫作一次项系数，c叫作常数项，据此即可求解． 【详解】解：一元二次方程的常数项是， 故答案为：． 8. 菱形的两条对角线长分别是为和，则其面积为______． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查菱形的面积公式，根据菱形的面积公式代值求解即可得到答案，熟记菱形的面积公式是解决问题的关键． 【详解】解：∵菱形的两条对角线分别是和， ∴这个菱形的面积是， 故答案为：36． 9. 已知四条线段6，3，，4是成比例线段，则的值为________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【详解】解：四条线段6，3，，4是成比例线段， ， 即， 解得． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了比例线段，解决本题的关键是掌握比例线段的定义． 10. 已知，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据，则，然后把代入即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的方程的解是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，根据新定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，，，点E是边上的一个动点，将沿折叠，得到，连接，，若为等腰三角形，则的长为______． 【答案】或或39 【解析】 【分析】根据题意，分三种情形考虑：①当时，②当时，③如图当点在直线的上方，时，分别求解即可． 【详解】解：①当时， 如图，过点作于M，交于N， ∵四边形是矩形， ∴，，， 又∵， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，，， ∵将沿折叠，得到连接， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即； ②当时， ∵， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ③如图当点在直线的上方，时， ∵的最小值， ∴， 同法可知， ∴， 设，则， 在中，则有， 解得， ∴ 综上所述，满足条件的BE的值为或或39． 故答案为：或或39 【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、（本题5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）因式分解法解一元二次方程即可； （2）因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ∴，． 14. 已知，且，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，求代数式的值． 设，，（），代入即可得到关于k的方程，求解即可得到a，b，c的值，进而解答． 【详解】解：∵， ∴设，，（）， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴． 15. 疫情防控期间，学校组织师生进行全员核酸检测．学校共设置了A，B，C三个检测通道，所有师生可随机选择其中的一条通道检测，某天早晨，甲，乙两名同学进行核酸检测．求： （1）甲同学在A通道进行检测的概率是_____________； （2）请用“画树状图”或“列表”的方法，求甲，乙两位同学分别从不同的通道检测的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有9种等可能结果，其中两人从不同的通道检测的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：学校共设置了A，B，C三个检测通道，所有师生可随机选择其中的一条通道检测， 甲同学在A通道进行检测的概率：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 甲、乙两位同学核酸检测通道一共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学分别从不同的通道检测的结果有6种， 甲，乙两位同学分别从不同的通道检测的概率是：． 答：甲，乙两位同学分别从不同的通道检测的概率是． 【点睛】此题考查了用树状图或列表的方法求概率，熟练掌握画树状图或列表的方法求概率是解答此题的关键． 16. 如图，在中，CD是斜边AB上的高． 求证：． 【答案】 证明：如图， ∵在中，CD是斜边AB上的高 ∴ ∵是公共角 ∴． 【解析】 【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明． 17. 如图，已知菱形．请按要求在图中仅用无刻度的直尺画图． （1）在图1中，点E是的中点，画出线段的中点M； （2）在图2中，，垂足为E，过点C画出边上的高． 【答案】（1） 点M即为所求： ． （2） 即为所求： ． 【解析】 【分析】（1）如图，连接，则，的交点为三条中线的交点，连接并延长交于即可； （2）如图，连接交于，连接并延长交于，连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是三角形的中线的性质，菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，矩形的判定与性质，熟练的利用基本几何图形的性质进行作图是解本题的关键． 四、（本题小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即求解即可； （2）由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】（1）由题意可得： 解得： 即实数m的取值范围是． （2）由可得： ∵； ∴ 解得：或 ∵ ∴ 即的值为-2． 【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当时，方程有实数根；（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键． 19. 如图所示，，为的中点，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是作辅助线，构造平行线． 过点E作，交于点G，根据平行线分线段成成比例定理，可得，，设，求得，从而可得的值． 【详解】解：过点E作，交于点G，如图， ∵为的中点，且， ∴，， ∵ ， 设，则， ∴，则， ∴， ∴， 即的值为． 20. 如图，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，与平行？ （2）面积能否等于？请说明理由． 【答案】（1）秒 （2） 解：不能，理由如下： 设P，Q分别从A，B同时出发，运动t秒，则， 若面积能等于， ∴， 整理得：， ∵， ∴方程没有实数根， ∴面积不能等于． 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，一元二次方程根与判别式的关系，三角形的面积，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． （1）设x秒后，与平行，根据平行线分线段成比例可得，列方程求解即可； （2）设P，Q分别从A，B同时出发，运动t秒，则，根据三角形的面积公式列出关于的方程，再根据一元二次方程根的判别式的关系，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设x秒后，与平行， ∴， 根据题意得：， ∴， 解得：， ∴当P，Q分别从A，B同时出发，秒后，与平行． 【小问2详解】 略 五、（本题2小题，每小题9分，共18分） 21. 为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 学生答题成绩条形统计图 学生答题成绩扇形统计图 根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取多少人？条形统计图中的m值为多少？ （2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数； （3）该校有1400名学生，估计该校学生答题成绩为A等级和C等级共有多少人； （4）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丙的概率． 【答案】（1）这次抽样调查共抽取50人， （2）补全条形统计图如图所示；C等所在扇形圆心角的度数 （3）该校学生答题成绩为A等级和C等级共有648人 （4）抽出的两名学生恰好是甲和丙的概率为 【解析】 【分析】本题主要考查条形及扇形统计图，通过树状图或列表法求概率，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键． （1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数，用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百分比，即可求出m的值； （2）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；先求出成绩为C等级的人数所占百分比，再用360度乘以成绩为C等级的人数所占百分比即可求出C等级所在扇形圆心角的度数； （3）用全校人数乘以成绩为A等级和C等级人数所占百分比，即可求解； （4）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， ， 故答案为：50，7； 【小问2详解】 解：成绩为C等级人数所占百分比：， ∴C等级所在扇形圆心角的度数：， 成绩为A等级的人数：（人）， 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校学生答题成绩为A等级和C等级共有648人； 【小问4详解】 解：根据题意，列出表格如下： 第一名第二名 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 由表可知，一共有12种情况，抽出的两名学生恰好是甲和丙的有2种情况， ∴抽出的两名学生恰好是甲和丙的概率． 22. 某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨． （1）求4月份再生纸的产量； （2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值； （3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？ 【答案】（1）4月份再生纸的产量为500吨 （2）的值20 （3）6月份每吨再生纸的利润是1500元 【解析】 【分析】（1）设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，然后根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，列出方程求解即可； （2）根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可； （3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可； 【小问1详解】 解：设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：4月份再生纸的产量为500吨； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：或（不合题意，舍去） ∴， ∴的值20； 【小问3详解】 解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨， ∴ 答：6月份每吨再生纸的利润是1500元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键． 六、（本题12分） 23. 已知，如图，在正方形中，点分别是边上的动点． （1）如图1，若，垂足为，求证：； （2）如图2，点是边上一点，且，垂足为． ①判断与是否相等？并说明理由； ②如图3，若垂直平分，交对角线交于点，写出线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中，， ， ； （2） ①；理由如下： 作于，如图2所示： 则，， ， ， ， ， 在和中，， ， ； ②；理由如下： 连接、，过作于，交于，如图3所示： 则，，， 则， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， 垂直平分， ，， 在和中，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由①得：， ， ． 【解析】 【分析】（1）由证明，即可得出结论； （2）①作于，则，，由证明，即可得出结论； ②连接、，过作于，交于，则，，，则，证明是等腰直角三角形，得出，证出，由线段垂直平分线的性质得出，，由证明得出，证出，得出是等腰直角三角形，得出，证出是等腰直角三角形，得出，由①得：，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江市民办晨光中学2024-2025上学期期中考试 初三数学试卷 （命题人：万欣怡 审题人：朱云 总分：120分 时间：120分钟） 一、单选题（本题6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 2. 在中，斜边的长为10，则斜边上的中线长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 3. 关于的一元二次方程有实数根，则满足（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 4. 若是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 5. 新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（　　　） A. 20 B. 22 C. 24 D. 25 6. 如图，在平行四边形中，，，，点H，G分别是上的动点，连接．E，F分别为的中点，则的最小值是（　　） A. 2 B. C. D. 二、填空题（本题6小题，每小题3分，共18分） 7. 一元二次方程的常数项是__________． 8. 菱形的两条对角线长分别是为和，则其面积为______． 9. 已知四条线段6，3，，4是成比例线段，则的值为________． 10. 已知，若，则______． 11. 对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的方程的解是______________． 12. 如图，在矩形中，，，点E是边上的一个动点，将沿折叠，得到，连接，，若为等腰三角形，则的长为______． 三、（本题5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2） 14. 已知，且，求的值． 15. 疫情防控期间，学校组织师生进行全员核酸检测．学校共设置了A，B，C三个检测通道，所有师生可随机选择其中的一条通道检测，某天早晨，甲，乙两名同学进行核酸检测．求： （1）甲同学在A通道进行检测的概率是_____________； （2）请用“画树状图”或“列表”的方法，求甲，乙两位同学分别从不同的通道检测的概率． 16. 如图，在中，CD是斜边AB上的高． 求证：． 17. 如图，已知菱形．请按要求在图中仅用无刻度的直尺画图． （1）在图1中，点E是的中点，画出线段的中点M； （2）在图2中，，垂足为E，过点C画出边上的高． 四、（本题小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 19. 如图所示，，为的中点，求的值． 20. 如图，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，与平行？ （2）面积能否等于？请说明理由． 五、（本题2小题，每小题9分，共18分） 21. 为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 学生答题成绩条形统计图 学生答题成绩扇形统计图 根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取多少人？条形统计图中的m值为多少？ （2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数； （3）该校有1400名学生，估计该校学生答题成绩为A等级和C等级共有多少人； （4）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丙的概率． 22. 某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨． （1）求4月份再生纸的产量； （2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值； （3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？ 六、（本题12分） 23. 已知，如图，在正方形中，点分别是边上的动点． （1）如图1，若，垂足为，求证：； （2）如图2，点是边上一点，且，垂足为． ①判断与是否相等？并说明理由； ②如图3，若垂直平分，交对角线交于点，写出线段之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $