精品解析： 湖北省荆州市监利市 2024—2025学年上学期九年级期中学业水平监测 数 学 试 题

监利市2024—2025学年度上学期九年级期中学业水平监测 数学试题 （本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题要求） 1. 中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念逐项分析即可中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】A.不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B.是中心对称图形，故该选项符合题意； C.不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D.不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键． 2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下图代表“大雪”，此图绕着它的旋转中心，按下列角度旋转，能与其自身重合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查旋转对称图形，根据正六边形是旋转对称图形，绕着它的旋转中心旋转后能与其自身重合． 【详解】解：∵正六边形是旋转对称图形，绕着它的旋转中心旋转后能与其自身重合． 故选：B． 3. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故选：． 4. 如图，内接于，是的直径，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，直角三角形的两锐角互余等知识，根据是的直径，则，得到，根据圆周角定理得到，于是得到结论． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5. 关于二次函数的性质，下列说法错误的是（ ） A. 该函数图象的开口向上 B. 该函数图象的对称轴是 C. 该函数的最小值为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质和图象上点的坐标特征进行解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，二次函数有最小值， 当时，随的增大而增大， 故A，B，C选项说法正确，不符合题意， D选项说法错误，符合题意． 故选：D． 6. 用配方法解方程时，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先把方程变形为，再方程的两边同加上9，利用完全平方公式变形即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 7. 若，是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 8. 如图，以原点为圆心的圆交轴于点，两点，交轴的正半轴于点，为第一象限内上的一点，若，则的度数是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，难度适中．根据圆周角定理求出，根据等腰三角形性质求出，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：连接， ，， ， ， ， ， 故选：B． 9. 掷实心球是多地高中阶段学校招生体育考试选考项目．如图是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．该男生在此项考试中的成绩是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据待定系数法求出函数解析式，令，即，然后解方程并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线顶点为， 设函数表达式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴关于的函数表达式为：； 令，即， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， 故选：． 10. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间．则下列结论：①；②；③一元二次方程有两个不相等的实数根：④．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①②④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据所给函数图象可判断①，利用抛物线的对称轴为直线，即,则可对②进行判断；由于抛物线与直线有一个公共点，则抛物线与直线没有公共点，于是可对③进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点和之间，则当时，，，于是可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口方向向下，且与y轴正半轴相交， ∴抛物线与轴有两个交点， ∴，故①正确； ∵顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为，即， ∴，故②正确； ∵抛物线与直线有一个公共点， ∴抛物线与直线没有公共点， ∴一元二次方程没有实数根，所以③错误． ∵抛物线与x轴的一个交点在点和之间，而抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点和之间． ∴当时，，即．故④正确； 所以，正确的结论是①②④， 故选：C 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 抛物线的顶点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由抛线解析式的顶点式，即可找出抛物线的顶点坐标． 【详解】抛物线的解析式为, 抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的性质找出二次函数图象的顶点坐标是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，若点与关于原点对称，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换．根据“若两点关于原点对称，则这两点的横纵坐标均互为相反数”，即可求解． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：1 13. 如图，是的半径，弦于点，连接，若的长为，的长为，则的半径长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理和勾股定理，由垂智能机定理得，设的半径长为，由勾股定理得，解得． 【详解】解：设的半径长为，则， ∵， ∴， 在中， ∴， 解得． 故答案为：5． 14. 在本届全市青少年校园足球比赛中，每两支足球队之间都要进行一次主场比赛和一次客场比赛，共有30场比赛，则参加本届足球比赛的足球队共有________支． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，每个队与其他队都要进行主、客场比赛，即每两个队之间要进行两场比赛，设有x个足球队，比赛场次共有场，再根据共有30场比赛来列出方程，从而求解． 【详解】解：设有x个足球队参加， 根据题意得：， 整理得， ∴， 解得：，（舍去）； ∴共有6个足球队参加比赛． 故答案为：6． 15. 在矩形中，，点在上，点在平面内，，，连按，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，将线段绕点顺时针旋转得，得，将线段绕点顺时针旋转得，得，证明，得判断要使最大，则三点共线时最大，最大值为，根据勾股定理可求出即可得出结论 【详解】解：∵在平面内，且， ∴在以为圆心，3为半径的圆上，如图， 将线段绕点顺时针旋转得， ∴， 将线段绕点顺时针旋转得， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴在点为圆心，3为半径的圆上， 要使最大，则三点共线时最大，最大值为； ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）， （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程解法是解题的关键． （1）根据解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答； （2）根据解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答； 【小问1详解】 解：， ，，， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， 因式分解，得， 或， ， 17. 已知函数是关于的二次函数． （1）求的值； （2）当为何值时，抛物线有最高点？并求出最高点的坐标． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的定义、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据二次函数的定义可以求得m的值； （2）根据（1）中m的值可以解答本题． 【小问1详解】 解：函数是关于的二次函数， ，且， 解得，； 【小问2详解】 解：抛物线有最高点， ， ， 当时，抛物线有最高点， 二次函数的解析式为， 当时，取最大值为2， 最高点的坐标为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）画出关于原点成中心对称的； （2）画出绕原点顺时针旋转后得到的． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求. 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质． （1）根据中心对称性质即可画出关于原点O成中心对称的； （2）根据旋转的性质即可画出绕点O逆时针旋转90°所得到的． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握它们的性质是解本题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出的范围即可； （2）利用根与系数的关系得出，，代入计算即可求出的值． 【小问1详解】 解：根据题意得， ， 解得，所以的取值范围是； 【小问2详解】 解：根据题意得，，， 所以， 解得，， 又， 所以． 20. 如图，抛物线与直线相交于和， （1）求和的值，及抛物线的解析式： （2）结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1），， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，理解函数与方程、不等式之间的关系是解题的关键． （1）根据抛物线和直线都经过点，利用待定系数法可以求得抛物线和一次函数的解析式； （2）不等式，表示抛物线图象在直线上方，结合图象，直接写出解集即可； 【小问1详解】 将代入得， ， 解得， ， 将代入得， ， 将和分别代入得 ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 由图可知：当或时抛物线在直线上方， 所以不等式的解集为或． 21. 如图，是的直径，，是同侧圆上的两点，半径交于点，． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， 是直径， ， ， ， ， ， ，， ∴， ； （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，平行线的性质以及勾股定理等知识： （1）连接，由垂径定理得，得出，可得结论； （2）由勾股定理可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 设的半径为，则， 在中，，即， 解得或（舍）， 答：的半径为2 22. 阳光玫瑰葡萄果肉鲜脆多汁，口感极佳，是一种比较畅销的水果，某水果店以元千克的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于元千克，试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周销售量（千克）与销售单价（元千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价（元千克） 销售量（千克） （1）求与之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利元？ （3）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）； （2）当销售单价定为元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利元； （3）当销售单价定为元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】（）设与之间的函数关系式为，将，和，分别代入即可求解； （）根据题意得， 然后解方程并检验即可； （）由题意得， 根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 将，和，分别代入， 得， 解得， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得， 解得，（舍）， 答：当销售单价定为元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利元； 【小问3详解】 解：由题意得， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，最大为， 答：当销售单价定为元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大，最大利润是元． 23. 【问题情境】活动课上，同学们以等边三角形为背景开展旋转探究活动，数学小组经过研究发现“等边三角形在旋转过程中，对应边所在直线的夹角与旋转角存在一定的数量关系”（注：平面内两直线的夹角是指两直线相交形成的小于或等于的角）．如图1，将等边绕点逆时针旋转得到，则线段与线段的夹角．如图2，将等边绕点逆时针旋转得到，则线段与线段所在直线的夹角． 【特例分析】 （1）如图1，若将等边绕点逆时针旋转得到，则线段与线段所在直线的夹角度数为 度；如图2，若将等边绕点逆时针旋转得到，则线段与线段所在直线的夹角度数为 度； 【类比分析】 （2）如图3，若将等边绕点逆时针旋转得到，连接交于，求与的数量关系； 【延伸应用】 （3）如图4，已知是等边三角形，，分别在边和上截取和，使得，连接．将绕点逆时针旋转，连接，当和所在直线互相垂直时，请直接写出的长． 【答案】（1）30；50；（2）；（3）或 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定与性质； （1）图1中，根据旋转可得，再结合得到；图2中根据旋转可得，再结合四边形内角和得到，即可求出； （2）连接，先证明是等边三角形，再证明是菱形，得，，，再根据直角三角形和勾股定理得到，继而得到； （3）先证明是等边三角形，再分在上方和下方两种情况讨论，分别画出图形，根据和所在直线互相垂直，得到，再根据直角三角形的性质和勾股定理计算． 【详解】解：（1）如图， 设和交于点O， ∵等边绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴； 如图， ∵等边绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴在四边形中，， ∴， 故答案为：30，50； （2）如图，连接， ∵将等边绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴是菱形， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， ∴， 即； （3）∵是等边三角形，， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 当在上方时，如图，设直线交于，交于，过作交直线于， ∵和所在直线互相垂直， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当在下方时，如图，设直线交于，交于，过作交直线于， ∵和所在直线互相垂直， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 24. 如图，抛物线交轴于，两点在左边，交轴于点，点是第二象限内抛物线上任意一点，其横坐标为． （1）直接写出点，，的坐标； （2）如图1，连接，过点作直线轴，交于点D．当线段的长度最大时，求点的坐标； （3）如图，连接，，过点作直线，交轴于点．若平分线段，求直线的解析式． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把代入，即可求解点的坐标，把代入，即可求解点，的坐标； （2）设直线的解析式为，将代入得，即可求解直线的解析式，根据，坐标，应用二次函数性质即可求解； （3）根据题意求解直线的解析式，进而求出线段的中点坐标，将代入，即可求解； 【小问1详解】 解：在中，令得， 令得， 解得或， ； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 点在第二象限的抛物线上，点在直线上， ，，， ， 当时，最大， 此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为，将代入得， 解得， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为，将代入得， ， ， 直线的解析式为， ， 线段的中点坐标为， 平分线段， 线段的中点在直线上， 将代入得， 解得：，，（舍去） 直线的解析式为； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 监利市2024—2025学年度上学期九年级期中学业水平监测 数学试题 （本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题要求） 1. 中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下图代表“大雪”，此图绕着它的旋转中心，按下列角度旋转，能与其自身重合的是（ ） A. B. C. D. 3. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，内接于，是的直径，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 关于二次函数的性质，下列说法错误的是（ ） A. 该函数图象的开口向上 B. 该函数图象的对称轴是 C. 该函数的最小值为 D. 当时，随的增大而减小 6. 用配方法解方程时，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若，是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，以原点为圆心的圆交轴于点，两点，交轴的正半轴于点，为第一象限内上的一点，若，则的度数是（） A. B. C. D. 9. 掷实心球是多地高中阶段学校招生体育考试选考项目．如图是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．该男生在此项考试中的成绩是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间．则下列结论：①；②；③一元二次方程有两个不相等的实数根：④．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①②④ D. ③④ 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 抛物线的顶点坐标为___________． 12. 在平面直角坐标系中，若点与关于原点对称，则________． 13. 如图，是的半径，弦于点，连接，若的长为，的长为，则的半径长为________． 14. 在本届全市青少年校园足球比赛中，每两支足球队之间都要进行一次主场比赛和一次客场比赛，共有30场比赛，则参加本届足球比赛的足球队共有________支． 15. 在矩形中，，点在上，点在平面内，，，连按，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最大值为________． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）， （2）． 17. 已知函数是关于的二次函数． （1）求的值； （2）当为何值时，抛物线有最高点？并求出最高点的坐标． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）画出关于原点成中心对称的； （2）画出绕原点顺时针旋转后得到的． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 20. 如图，抛物线与直线相交于和， （1）求和的值，及抛物线的解析式： （2）结合图象直接写出不等式的解集． 21. 如图，是的直径，，是同侧圆上的两点，半径交于点，． （1）求证：； （2）若，求的半径． 22. 阳光玫瑰葡萄果肉鲜脆多汁，口感极佳，是一种比较畅销的水果，某水果店以元千克的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于元千克，试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周销售量（千克）与销售单价（元千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价（元千克） 销售量（千克） （1）求与之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利元？ （3）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 23. 【问题情境】活动课上，同学们以等边三角形为背景开展旋转探究活动，数学小组经过研究发现“等边三角形在旋转过程中，对应边所在直线的夹角与旋转角存在一定的数量关系”（注：平面内两直线的夹角是指两直线相交形成的小于或等于的角）．如图1，将等边绕点逆时针旋转得到，则线段与线段的夹角．如图2，将等边绕点逆时针旋转得到，则线段与线段所在直线的夹角． 【特例分析】 （1）如图1，若将等边绕点逆时针旋转得到，则线段与线段所在直线的夹角度数为 度；如图2，若将等边绕点逆时针旋转得到，则线段与线段所在直线的夹角度数为 度； 【类比分析】 （2）如图3，若将等边绕点逆时针旋转得到，连接交于，求与的数量关系； 【延伸应用】 （3）如图4，已知是等边三角形，，分别在边和上截取和，使得，连接．将绕点逆时针旋转，连接，当和所在直线互相垂直时，请直接写出的长． 24. 如图，抛物线交轴于，两点在左边，交轴于点，点是第二象限内抛物线上任意一点，其横坐标为． （1）直接写出点，，的坐标； （2）如图1，连接，过点作直线轴，交于点D．当线段的长度最大时，求点的坐标； （3）如图，连接，，过点作直线，交轴于点．若平分线段，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $