精品解析：陕西省西安市经开第一学校2024-—2025学年上学期九年级期中数学试题

2024-2025学年度第一学期期中学㥠调研 九年级数学试卷 一． 选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义“含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程”是解题的关键．根据一元二次方程的定义判定即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义可知：， 故一定是一元二次方程的是， 故选D． 2. 如图所示几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．从左边看得到的图形是左视图．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从几何体的左面看，是一个带着圆心的圆，右边的圆柱底面从左边看不到，是一个用虚线表示的圆．只有符合题意． 故选：C． 3. 如图，已知四边形是平行四边形，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是矩形 B. 若，则是菱形 C. 若，则是正方形 D. 若，则是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形，正方形和菱形的判定，熟知矩形，正方形和菱形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、由四边形是平行四边形结合，可得是菱形，不符合题意； B、由四边形是平行四边形结合，可得是矩形，不符合题意； C、由四边形是平行四边形结合，可得是菱形，不一定是正方形，不符合题意； D、由四边形是平行四边形结合，可得是矩形，符合题意； 故选：D． 4. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 图象必经过点 B. 它的图象分布在第一、三象限 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，反比例函数中的时位于第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，根据这个性质选择则可． 【详解】解：A、∵，图象必经过点，故本选项说法正确，不符合题意； B、∵，∴函数图象分布在第一、三象限，故本选项说法正确，不符合题意； C、∵，∴反比例函数图象位于第一、三象限；在每个象限内，随的增大而减小，故本选项说法正确，不符合题意； D、∵当时，，不能等于0，∴故本选项说法错误，符合题意； 故选：D． 5. 如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，DE//BC，EF//AB，且，那么等于（ ） A. 5∶8 B. 3∶8 C. 3∶5 D. 2∶5 【答案】A 【解析】 【分析】先由，求得的比，再由DE//BC，根据平行线分线段成比例定理，可得，然后由EF//AB，根据平行线分线段成比例定理，可得，则可求得答案． 【详解】解：， ， ∵DE//BC， ， ∵EF//AB， ． 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键． 6. 如图，在长为62m、宽为42m的长方形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为，设道路的宽为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平移，根据实际问题列一元二次方程，利用平移，黑色道路的面积为，剩下道路的面积为，利用草坪的面积为，即可列出方程． 【详解】解：设道路的宽为，如图， 黑色道路的面积为，剩下道路的面积为， 则， 变形得 ，， 故选：A． 7. 生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据符号信息．九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式．用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右 则 ∴点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， 据此可以估计黑色部分的面积为 故选：C． 8. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似， 故本选项符合题意； D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意． 故选：C． 9. 已知三点，，都在反比例函数的图像上，若，则下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 先求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数解析式为， ∵点都在反比例函数的图象上，， ∴， 故选：D． 10. 如图，在正方形中，，对角线上的有一动点P，以为边作正方形．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线上；②在P点运动过程中，可能为；③若E是的中点，连接，则的最小值为；④为等腰三角形时，的值为或．其中结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】由“”可证，可得，可证点B，点C，点F三点共线，故①正确；由三角形的外角可得不可能为135°，故②错误；由，可得，当时，有最小值为，即有最小值为，故③正确；由等腰三角形的性质可得的值为或，故④正确，即可求解． 【详解】解：连接，过点P作交于H，如图所示： ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B，点C，点F三点共线， ∴在P点运动过程中，F点始终在射线上，故①正确； 假设， ∵ ∴， 则点P与点C重合， 此时不存在，故②错误； 取的中点N，连接，如图所示： ∵点N是的中点，点E是中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点P是线段上一点， ∴当时，有最小值， ∵， ∴此时， ∴有最小值为，故③正确； ∵， ∴， 当点P是中点时，，则是等腰三角形， 当时，是等腰三角形， 此时， ∴为等腰三角形时，的值为或；故④正确； 综上分析可知，①③④正确， 故选：B． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二． 填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知方程的两根分别为，，则的值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，对于的两个根分别为，则． 利用根与系数的关系得到，的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵方程的两个根分别为，， ∴， ∴． 故答案为：1． 12. “黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的插比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点大致是的黄金分割点，如果的长为，那么的长约为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵点P大致是的黄金分割点，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，四边形是菱形，对角线与相交于，菱形的周长是，．则菱形的高的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．首先利用勾股定理求得菱形的对角线，然后由菱形的两个面积计算方法求得边上的高的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，菱形的周长是，， ∴，，，， ∴在中，， ∴ ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，平面直角坐标系中，矩形的边与函数图象交于E，F两点，且F是的中点，则四边形的面积等于_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题．由四边形是矩形，F是的中点，可设，则，又E点在抛物线上，则．可以用含m，n的式子表示出矩形，三角形和三角形的面积．F在反比例函数的图形上可得到的关系，再依据，列式即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，F是的中点， ∴可设，则，又E点在抛物线上，则， ∵F在抛物线上， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 15. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为，则点B的对应点的坐标为_______________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了求位似图形对应点坐标，求一次函数与坐标轴的交点坐标，先求出，得到，再由位似图形的性质得到，则，据此可得答案． 【详解】解；在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∵与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴， ∴， ∴点B的对应点的坐标为或， 故答案为：或． 16. 如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，目∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是__． 【答案】 【解析】 【分析】作DE⊥AB于E点，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而得出结论． 【详解】如图，作DE⊥AB于E点，连接BD ∵菱形ABCD中，∠ABC＝120° ∴∠DAB=60°，则△ABD为等边三角形 ∴∠MAE=30° ∴AM=2ME ∵MD=MB ∴MA+MB+MD=2ME+2MD=2DE 根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小 ∵菱形的边长为6 ∴AB=6，AE=3 ∴ ∴ ∴MA+MB+MD最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，将多条线段转化是解题关键． 三． 解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 解方程． （1）； （2）；（配方法） （3）；（因式分解法） （4）． 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【解析】 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，配方法解一元二次方程． （1）先确定a、b、c的值，再求出，然后根据求根公式解方程； （2）方程两边都加上6，再根据完全平方公式整理，然后开方得出答案； （3）先整理，再提出公因式，方程可解； （4）先整理，再提出公因式，方程可解． 【小问1详解】 解：， 可知，，， 则， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， 两边加上6，得，即， ∴或， ∴，； 【小问3详解】 解：， 整理，得， 提公因式，得， ∴或， ∴，； 【小问4详解】 解：， 整理，得，即， 因式分解得， ∴或， ∴，． 18. 如图，在中，．请用尺规作图法，在射线上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图所示，作，交于点D，点D即为所求，     ∵， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】作，交于点D，点D即为所求． 【详解】略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，作一个角等于已知角，掌握以上知识是解题的关键． 19. 如图，在中，，是的中点，过点作，使，连接，求证四边形是矩形． 【答案】 证明：，， 四边形是平行四边形， ，是的中点， ， ， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意得出四边形是平行四边形，结合等腰三角形的性质得出，即可得证． 【详解】略 20. 中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒． （1）设售价每盒下降元，则每天能售出____________盒（用含的代数式表示）； （2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到2550元； 【答案】（1） （2）当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润为2550元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式． （1）根据每盒月饼降价2元，商场每天就可以多售出5盒．列出代数式即可； （2）设月饼每盒售价下降元，则每天能售出盒，单件利润为元，列出方程，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒， ∴售价每盒下降x元，则每天能售出盒； 【小问2详解】 解：降价前，单件利润为：元， 降价后，单件利润为元，每天能售出盒， 则：， 整理得：， 解得：，， ∴每盒月饼的售价为：元或元； 答：当月饼每盒售价为元或元时，每天的销售利润为2550元． 21. 数学活动让数学学习更加有趣．在一次数学课上老师设计了一个“配色”游戏，如图所示的是两个可以自由转动的转盘，盘被分成面积相等的几个扇形，盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是． （1）转动盘，则指针指向蓝色扇形区域的概率为__________________； （2）若同时转动盘和盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色．（若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动）请通过列表或画树状图的方法，求出配成紫色的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，用树状图或列表法求概率． （1）先求出转盘红色部分圆心角， 即可得出一共3个蓝色部分，然后根据概率公式计算概率即可． （2）画出树状图，得出总出现的情况数，再得出出现蓝红的情况数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：转盘红色部分圆心角，相当于2个蓝色部分， ∴转动盘，则指针指向蓝色扇形区域的概率为：． 【小问2详解】 转盘红色部分圆心角，相当于2个蓝色部分 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况， 同时转动盘和盘，配成紫色的概率是 22. 如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． （1）求经过几秒，△PCQ的面积等于△ABC面积的？ （2）求经过几秒，△PCQ与△ABC相似？ 【答案】（1）经过2秒或3秒后，的面积等于面积的；（2）经过秒或秒，与相似． 【解析】 【分析】（1）设经过秒后，的面积等于面积的，用表示、、的长，再根据三角形的面积列式计算即可； （2）分两种情况分别计算，①设经过秒后，推，②设经过秒后，得，代入用表示的线段计算即可． 【详解】解：（1）设经过秒后，的面积等于面积的， 则，，，， ， 整理得， 解得，， ， 经过2秒或3秒后，的面积等于面积的． （2）①设经过秒后， ， ， 解得， ②设经过秒后， ， ， 解得； 经过秒或秒，与相似． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、一元二次方程应用，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解法及相似三角形的判定方法，分情况讨论也是解题关键． 23. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式， （2）求的面积、 （3）结合函数图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合吗，涉及待定系数法确定函数解析式、平面直角坐标系中求三角形面积、图象法解不等式等知识，熟练掌握一次函数及反比例函数图象与性质是解决问题的关键． （1）利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案； （2）在平面直角坐标系中，求出，数形结合，利用，代值求解即可得到答案； （3）不等式的解集是指一次函数图象在反比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，数形结合即可得到答案． 【小问1详解】 解：反比例函数过点， ，即； 将，代入，得， 点的坐标为， 将点，的坐标代入一次函数中，得，解得， ； 【小问2详解】 解：在直线中，当时，， 点的坐标为，即， ； 【小问3详解】 解：不等式的解集是指一次函数图象在反比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，且、， 或． 24. 每到三月就会让人想起那句：“西湖美景，三月天哪”，雷峰塔是杭州西湖的标志性景点，为了测出雷峰塔的高度，初三学生小白设计出了下面的测量方法：已知塔前有一米高的小树，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，之间有一个花圃无法测量，然后在处放置一个平面镜，沿后退．退到处恰好在平面中看到树顶的像，此时米，测量者眼睛到地面的距离为米，求出塔高． 【答案】塔高为米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，根据题意得到，利用相似三角形的性质得出，再证明，利用相似三角形的性质，即可得出． 【详解】解：由题知， ，， ， ， ， 米，米，米， ， 解得：米， ， ， ， ， ， 米， 米， ， 解得：米， 答：塔高为米． 25. 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）． （1）直接用含t的代数式分别表示：QB=________，PD=________． （2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度； （3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长． 【答案】（1）8-2t；； （2）不存在 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8， ∴AB=10 ∵PD∥BC， ∴△APD∽△ACB， ∴，即， ∴AD=t， ∴BD=AB﹣AD=10﹣t， ∵BQ∥DP， ∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形， 即8﹣2t=，解得：t=． 当t=时，PD=，BD=10﹣×=6， ∴DP≠BD， ∴▱PDBQ不能为菱形． 设点Q的速度为每秒v个单位长度， 则BQ=8﹣vt，PD=t，BD=10﹣t， 要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ， 当PD=BD时，即t=10﹣t，解得：t= 当PD=BQ，t=时，即=8﹣，解得：v= 当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ是菱形． （3）单位长度. 【解析】 【详解】解：（1）根据题意得：CQ=2t，PA=t， ∴QB=8﹣2t， ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC， ∴∠APD=90°， ∴tanA=， ∴PD=t． 故答案为（1）8﹣2t，t． （2） 略 （3）如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系． 依题意，可知0≤t≤4，当t=0时，点M1的坐标为（3，0），当t=4时点M2的坐标为（1，4）． 设直线M1M2的解析式为y=kx+b， ∴， 解得， ∴直线M1M2的解析式为y=﹣2x+6． ∵点Q（0，2t），P（6﹣t，0） ∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标（，t）． 把x=代入y=﹣2x+6得y=﹣2×+6=t， ∴点M3在直线M1M2上． 过点M2做M2N⊥x轴于点N，则M2N=4，M1N=2． ∴M1M2=2 ∴线段PQ中点M所经过的路径长为2单位长度． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及一次函数的应用．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中学㥠调研 九年级数学试卷 一． 选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知四边形是平行四边形，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是矩形 B. 若，则是菱形 C. 若，则是正方形 D. 若，则是矩形 4. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 图象必经过点 B. 它的图象分布在第一、三象限 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时， 5. 如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，DE//BC，EF//AB，且，那么等于（ ） A. 5∶8 B. 3∶8 C. 3∶5 D. 2∶5 6. 如图，在长为62m、宽为42m的长方形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为，设道路的宽为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 7. 生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据符号信息．九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 9. 已知三点，，都在反比例函数的图像上，若，则下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，对角线上的有一动点P，以为边作正方形．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线上；②在P点运动过程中，可能为；③若E是的中点，连接，则的最小值为；④为等腰三角形时，的值为或．其中结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①③ D. ②④ 二． 填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知方程的两根分别为，，则的值为_________． 12. “黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的插比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点大致是的黄金分割点，如果的长为，那么的长约为______． 13. 如图，四边形是菱形，对角线与相交于，菱形的周长是，．则菱形的高的长为______． 14. 如图，平面直角坐标系中，矩形的边与函数图象交于E，F两点，且F是的中点，则四边形的面积等于_______． 15. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为，则点B的对应点的坐标为_______________． 16. 如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，目∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是__． 三． 解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 解方程． （1）； （2）；（配方法） （3）；（因式分解法） （4）． 18. 如图，在中，．请用尺规作图法，在射线上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在中，，是的中点，过点作，使，连接，求证四边形是矩形． 20. 中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒． （1）设售价每盒下降元，则每天能售出____________盒（用含的代数式表示）； （2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到2550元； 21. 数学活动让数学学习更加有趣．在一次数学课上老师设计了一个“配色”游戏，如图所示的是两个可以自由转动的转盘，盘被分成面积相等的几个扇形，盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是． （1）转动盘，则指针指向蓝色扇形区域的概率为__________________； （2）若同时转动盘和盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色．（若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动）请通过列表或画树状图的方法，求出配成紫色的概率． 22. 如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． （1）求经过几秒，△PCQ的面积等于△ABC面积的？ （2）求经过几秒，△PCQ与△ABC相似？ 23. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式， （2）求的面积、 （3）结合函数图象直接写出不等式的解集． 24. 每到三月就会让人想起那句：“西湖美景，三月天哪”，雷峰塔是杭州西湖的标志性景点，为了测出雷峰塔的高度，初三学生小白设计出了下面的测量方法：已知塔前有一米高的小树，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，之间有一个花圃无法测量，然后在处放置一个平面镜，沿后退．退到处恰好在平面中看到树顶的像，此时米，测量者眼睛到地面的距离为米，求出塔高． 25. 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）． （1）直接用含t的代数式分别表示：QB=________，PD=________． （2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度； （3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $