湖南省长沙市第一中学2025届高三月考（六）数学试卷

长沙市一中2025届高三月考试卷（六） 数学参考答案 一、选择题（本大题 共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） I :: I :: I : I : I :: I : I : I : I : I l.C【解析】T— {yly—sin x}— [— 1,1], 则 SUT— [— 1,1]—T.故选 C. Z.A【解析】设 z— a+bi,则z— a bi, 故a bi—i• (a+bi)— b+ai, 即a——b, 选项中 只有A 选项符合． 故选 A. 3. B【解析】•:a= (1,m) ,b= (2, —1) ,a_lb, :.lXZ—m= o,:.m= Z. 故选B. 4. C 【解析】因为后7项成等比 数列，设公比为q, 且a4 —6,a9 — ag 192, 户斤以矿 ———32,所以q= Z,则a3= 3,a4 3(1— 2勹因为数列的前3项成等差数列，a2— Z,所以a1— 1,所以数列的前8项和为Ss — 1+2+ — 3+3XZ6— 3l — 2 = 192. 故选 c. 5.D 【解析】·:f(x)=正 —Zxsin a+l有零点，占方程 x2—Zxsin a+l= O有解， : • Ll = 4sin 2 a—4�0, 解得sin a=土1,:.cos Za= l—Zsin坛 ＝—1,则cos Za的取值集合为{—1}. 3 3 2 1 6.D 【解析】设A(l,1) ,B(Z,2) ,C(m,n), 则AB的中 点坐标为(— ,—z z) ,kAB = z— 1 = l, 所以线段AB中垂线的方程为y—立 ＝— 3 z x+— z ，即x+y — 3=0, 则点 C在直线 x+y—3= 0上，所以m+n—3= 0,即n= 3—m, 又因为DABC为正三角形，所以IAC I— IAB I,则(m l)2+(n 1)2— cz 1)2+cz 1)气 整理得(m—1)2+cz—m)2= 2,即Z m2—6m+3= 0, 解得m= ' 3土J3 z 3+点因为m>l,所以m= ' 则n= 3 — m= 3 — = 3+点3—岛 z z z . 7.D【解析】设H(O,h),·: F1 ,H是 线段MN的三等分 点心MC—Zc,—h) ,N(c,Zh), 分别代入椭圆方程得 2 + 4c2 忙 C 4h2 — — = l — — ， 2+ = l, 消去h得矿 =5 c2 =5(a2—4), 解得a=岳，a 4 a 4 根据定义可得MF1+MF2 = Za,NF1 +NF2 = Za, 则DF2MN的周长为4a=4万，故选 D. 8.D 【解析】由题意，x>O,y>O,f尸） — yf(x)— xy f (y). 令x= y= l,得JO)= J (f) = l·JO)— l•JO)= O; (1) 令x— 1,得f了 — yf(l) 1• f(y)— f(y)'即f匕） — f(x), 1 1 当x>l时，f(x)>O,当O<x<l时，则x >L所以1(了)＝ — f(x)>O,即f(x)<O; 1 令x= y气得f臼） = f(y)= yf(y勹—y2f(y)'得卢） ＝ （三）f(y)'即f正） = x+— J(x). 由卢） — (x三）J(x) ,x>O, 得f口） 2J(x)— (x+尸） J(x)' ( 』 1 1 其中 由x>O,可知x+ -;;- —z�z✓二二—Z= O,当且仅当x= l时等式成立， X 当x= l时，f(x)= O,即f(x2)= Zf(x); 当x>l时，f(x)>O,(x+上 Z f(x)>O, 即j(x2)>ZJ(x); 当O<x<l时，J(x)<O,(:+-.;:-�2)J(x)<O, 即f(x勹<ZJ(x),故A,C错误； 数学参考答案（一 中版） — 1 长沙市一中2025届高三月考试卷（六） 数 学 时量：120分钟 满分：150分 得分 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知数集S=(-1,1),集合T={yly=sinx},则SUT= A. B.S C.T D.R 2.若复数之满足之=i·,则x可以为 A.1-i B.1+i C.1+2i D.1-2i 蜘 3.已知向量a=(1,m),b=(2,一1)，若a⊥b,则实数m的值是 A.-2 B.2 载 C.-2 4.权，是中国传统度量衡器具，历史悠久，文化底蕴深厚，承载着中华民族 在政治、经济、文化方面的大量信息.“环权”类似于砝码（如下图），用于 测量物体质量.已知九枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9 潮 常 的数列{an},该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a2=2, a4=6,ag=192,则数列{an}的前8项和为 A.194 B.193 C.192 D.191 5.若函数f(x)=x2-2.rsin a十1有零点，则cos2a的取值集合为 A.{-1,1} B.{0 C.1 D.{-1} 6.已知正三角形的三个顶点坐标分别为(1,1)，(2,2)，(m,n),若m>1,则 n= 号 B 2 C3- 2 D.3- 2 数学试题（一中版）第1页（共8页） 7.如图，已知椭圆+ =1(a>2)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直 4 线交椭圆于M,N两点，交y轴于点H.若F,H是线段MN的三等分 点，则△F2MN的周长为 A.20 B.10 C.25 D.45 8.已知定义在(0，十∞)上的函数f(x)满足f()=yf(x)-xf(y),且当 x>1时，f(x)>0,则 A.f(x2)≥2f(x) B.f(x3)f(x)≥fP(x2) C.f(.x2)≤2f(x) D.f(x3)f(.x)≤fP(x2) 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项 中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选 错或不选得0分)》 9.已知函数f(x)=tan(2z十不)，则下列说法正确的是 A.f(x)的最小正周期为π Bf)的定义域为女≠晋+经A∈乙 C.f(x)的图象关于点（一，0对称 D.f(x)在区间（0，)上单调递增 数学试题（一中版）第2页（共8页） 10如图，双曲线C导-苦-1a>0,6>0)的左，右焦点分别为R,,过 右焦点F2且斜率为√3的直线l交双曲线C的右支于A,B两点，且 AF=7F2B,则 A双曲线C的离心率为号 B.△AF1F2与△BFF2的面积之比为7：1 C.△AFF2与△BF1F2的周长之比为7：2 D.△AF1F2与△BFF2的内切圆半径之比为3：1 11.如图，点P(a,b)是以(1,0)，(0,1)，（一1,0），(0，一1)为顶点的正方形 边上的动点，角0以Ox为始边，OP为终边，定义S(0)=a十6： C0)=1a千6则 A.S(0)+C(0)=1 B.s0+罗)=C() C.H9E(0,r),S(0≥号sing D.H0e(0,T),2S(0)>S(20) 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.二项式(2x十号)”的展开式中，x项的系数与项的系数之比为 13.已知函数f(x)=lg(x2-a.x十12)在区间[-1,3]上单调递减，则实数 a的取值范围是 14.已知正项等比数列{am}的公比不为1，若在{an}的前20项中随机抽取 4项，则这4项按原来的顺序仍然成等比数列的概率为 .(用 最简分数作答》 数学试题（一中版）第3页（共8页） 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤) 15.(本小题满分13分) 已知△ABC的面积为S,且AB·AC=S. (1)求tan2A的值： (2)若B=于，CB-CA=3,求△ABC的面积S. 数学试题（一中版）第4页（共8页） 16.(本小题满分15分) 如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱的底面直 径，PC是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，AB=AD,∠BAD =60. (1)记圆柱的体积为Y,四棱锥P-ABCD的体积为，求号： (2)设点F在线段AP上，PA=4PF,PC=4CE,求二面角F-CD-P 的余弦值. 数学试题（一中版）第5页（共8页） 17.(本小题满分15分) 已知P为抛物线E:y2=2x上的动点，Q为圆C:(x一a)2十y2=1(a> 1)上的动点，若线段|PQ的最小值为√3一1. (1)求a的值： (2)如图，若动点P在x轴上方，过点P作圆C的两条切线分别交抛物 线E于另外两点A,B,且满足|PA=PB引，求直线AB的方程. 8 数学试题（一中版）第6页（共8页） 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=e一x一m. (1)若f(x)与直线y=(e一1)x相切，求m的值； (2)若存在<x2<x<x4,使得|f(x)|=|f(x2)=|f(x3)|= f(). (i)求实数m的取值范围： (ii)证明：x1十x4<x2十x3: 数学试题（一中版）第7页（共8页） 19.(本小题满分17分) 在三维空间中，单位立方体的顶点坐标可用三维坐标(a1,a2,a3)表示， 其中a:∈{0,1}(1≤i≤3，i∈N).而在n维空间中(n≥2，n∈N),单位立 方体的顶点坐标可表示为n维坐标(a1,a2,a3,…,am),其中a:∈{0,1} (1≤i≤n,i∈N).在n维空间中，设点P(a1,a2,a3,…,am),Q(b1,b2 b,…,bn),定义n维向量OP=(a1,a2,a3,…,an),数量积OP.OQ= 2ab,0为坐标原点，即00,0，…，0). (1)在3维空间单位立方体中任取两个不同顶点P,Q,求OP·OQ=2 的概率； (2)在(n≥2)维单位立方体中任取两个不同顶点P,Q,记随机变量 X=OP OQ. (i)当n=20时，若P(X=k)最大，求k的值； (i)求X的分布列及期望值E(X). 数学试题（一中版）第8页（共8页）