精品解析：江苏省扬州市2024-2025学年高三上学期期末检测数学试卷

2024—2025学年第一学期期末检测 高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足为虚数单位），则（ ） A. 20 B. C. D. 3. 已知正六边形的边长为2，点为线段的中点，则的值为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 4. 已知均为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 根据物理知识椭圆有如下光学性质：从一个焦点发出的光线将汇聚到另一个焦点处．已知椭圆分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的任意一点，根据研究，我们知道直线、直线与在点处的切线所成的角相等．过作直线，垂足为，则面积的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 直线是图象的一条对称轴 C. 的图象可由函数的图象向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到 D. 若，则 10. 口袋中有个黑球和3个白球，这个球除颜色外完全相同，每次不放回地随机摸出一球，连摸两次．记事件表示“第一次摸得黑球”，事件表示“第二次摸得黑球”，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 存在，使得事件与事件独立 D. 存在，使得 11. 已知所有顶点在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体，在这两个平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高．如图，某拟柱体的上底面的面积为，下底面的面积为，高为．该拟柱体共有6个侧面，分别为平面、平面、平面、平面、平面、平面分别是棱的中点，为六边形内一点，且六边形的面积为．则下列说法中正确的有（ ） A. 三棱锥的体积是三棱锥体积的3倍 B. 四棱锥的体积是三棱锥体积的4倍 C. 挖去四棱锥与六棱锥后，该拟柱体剩余部分体积为 D. 该拟柱体的体积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则______． 13. 已知数列的前项和为，，，则______． 14. 在中，已知角所对的边分别，的面积，，，则的周长为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15 已知函数． （1）过原点作曲线的切线，求该切线的方程； （2）设，求的最小值． 16. 如图，在直三棱柱中，，二面角为直二面角．点为棱的中点，棱与平面相交于点． （1）求证：为棱的中点； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 17. 已知给定两个集合，从两个集合中各随机取出两个元素合并成一个集合． （1）若，求集合中恰有三个元素的概率； （2）若，设集合中元素的个数为，求随机变量的分布列与期望． 18. 对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆，它离心率是其伴随双曲线的离心率的倍． （1）求双曲线的方程； （2）过和的右焦点分别作两条平行直线，直线与交于两点，直线与的右支交于两点，且在轴上方． （ⅰ）若的面积为，求直线的方程； （ⅱ）试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 19. 对于一个数列，定义，其中． （1）若，求的值； （2）若，且对任意的，都有． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）是否存在正整数，使得？若存在，求出值，并确定满足的等量关系；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期期末检测 高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出焦参数，根据焦点的位置确定准线方程． 【详解】由题意焦点在轴正半轴，，，所以准线方程为． 故选：C． 2. 已知复数满足为虚数单位），则（ ） A. 20 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件，结合复数的运算法则求的代数形式，再由模的公式求结论. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B. 3. 已知正六边形的边长为2，点为线段的中点，则的值为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量向量积的计算公式计算求解即可. 【详解】因为正六边形的边长为2，点为线段的中点， 所以，，， 所以， 故选：C 4. 已知均为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据，即可根据基本不等式求解. 详解】由可得， 故， 由于故，当且仅当，即时取等号， 故，故的最小值为3， 故选：C 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法结合三角函数的二倍角公式求解即可. 【详解】令则 故选：A. 6. 已知，则大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数性质证明，，，由此半径大小. 【详解】因为函数为增函数，， 所以， 所以，故， 因为函数为增函数，， 所以，故， 所以， 因为函数为增函数，， 所以， 故，即， 所以. 故选：D. 7. 已知函数若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的单调性，求出，分和两种情况即可求解. 【详解】当时，，易得单调递减， 当时，， 因，所以单调递增， 因为，所以， 所以，当时， ，因为在单调递减， 所以，所以， 令，， 令，则，， 因为，所以函数在处取得最小值， 所以，当时，对成立， 当时，， 所以，所以， 因为最大值为，所以， 所以. 故选：A. 8. 根据物理知识椭圆有如下光学性质：从一个焦点发出的光线将汇聚到另一个焦点处．已知椭圆分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的任意一点，根据研究，我们知道直线、直线与在点处的切线所成的角相等．过作直线，垂足为，则面积的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直以及角相等，结合椭圆定义可得，进而得，即可利用三角形面积公式，结合三角函数的最值求解. 详解】由题知，椭圆半焦距，延长，相交于， 由于,又，故， 结合，垂足为，故, , 故, , 故当时，的面积最大为2 ， 故选：B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 直线是图象的一条对称轴 C. 的图象可由函数的图象向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的图象先确定，即可求解A，代入验证求解B，根据函数图象的平移伸缩变换可求解C，根据正弦函数的性质,解方程可求解D. 【详解】由图可知：,,故， 因此，代入可得故由于，故，A正确， 因此， 对于B, ，故不是的对称轴，B错误， 对于C，函数的图象向左平移个单位长度，得到， 再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到， 故C正确， 对于D，若，则 或者， 即或者，故D错误， 故选：AC 10. 口袋中有个黑球和3个白球，这个球除颜色外完全相同，每次不放回地随机摸出一球，连摸两次．记事件表示“第一次摸得黑球”，事件表示“第二次摸得黑球”，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 存在，使得事件与事件独立 D. 存在，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式求解概率，即可根据条件概率的计算公式以及相互独立的性质，结合选项即可逐一求解. 【详解】由题意可知，故A正确， 对于B，由于,且，故，B正确， 对于C,由于而， 不存在，满足，故事件与事件不相互独立，C错误， 对于D，由于， 若，则，解得， 故存在，使得，D正确， 故选：ABD 11. 已知所有顶点在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体，在这两个平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高．如图，某拟柱体的上底面的面积为，下底面的面积为，高为．该拟柱体共有6个侧面，分别为平面、平面、平面、平面、平面、平面分别是棱的中点，为六边形内一点，且六边形的面积为．则下列说法中正确的有（ ） A. 三棱锥的体积是三棱锥体积的3倍 B. 四棱锥的体积是三棱锥体积的4倍 C. 挖去四棱锥与六棱锥后，该拟柱体剩余部分的体积为 D. 该拟柱体的体积为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据相似以及等体积法可知，，因此可知其他侧面也是相同情况，即可结合选项逐一求解. 【详解】由题意可知且，故，故， 又,故三棱锥的体积是三棱锥体积的4倍，A错误， 对于B，由于互相平行，且， 故，其中为的高， 而, 故四棱锥的体积是三棱锥体积的4倍 由于，故四棱锥的体积是三棱锥体积的4倍，B正确， 对于C，由AB可知：，， 因此可知其他侧面也是相同情况，故与各个侧面得到的棱锥体积之和为 ， 由于到平面的距离均为， 故与各个侧面得到的棱锥体积之和为， 因此挖去四棱锥与六棱锥后， 该拟柱体剩余部分的体积为,C错误， 对于D，拟柱体为，D正确， 故选：BD 【点睛】关键点点睛：利用相似以及等体积法可得，. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】由于随机变量服从正态分布，，故， 故， 故答案为： 13. 已知数列的前项和为，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，代入化简可得，即可得为等差数列，即可利用等差数列的通项求解. 【详解】由可得， 故， 故为等差数列，且公差为2，首项为， 故，故， 故答案为： 14. 在中，已知角所对的边分别，的面积，，，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合三角形面积公式和正弦定理可得，结合两角和余弦公式求，再结合余弦定理及三角形面积公式求，由此可求的周长. 【详解】因为的面积，， 所以， 所以，又， 所以，又， ， 所以， 又，所以， 由余弦定理可得， 由，，可得， 所以， 所以， 所以， 所以的周长为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）过原点作曲线的切线，求该切线的方程； （2）设，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据斜率可求解，即可根据点斜式求解直线方程， （2）求导，根据导函数的正负即可求解. 【小问1详解】 设切点为，由得， 所以所求切线的斜率为，即， 所以，即，故切点为， 所以所求切线的斜率为，切线方程为，即， 故所求切线的方程为． 【小问2详解】 由条件知，． 所以， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以． 16. 如图，在直三棱柱中，，二面角为直二面角．点为棱的中点，棱与平面相交于点． （1）求证：为棱的中点； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质可得，即可求证， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角求解，或者利用线面角的几何法，得为直线与平面所成的角，利用三角形的边角关系求解. 【小问1详解】 证明：因为直三棱柱，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以． 又为的中点，所以为的中点． 【小问2详解】 方法一：由直三棱柱得平面， 又平面，所以，， 所以即为二面角的平面角． 又二面角为直二面角，所以． 如图，以点为原点，分别以，为轴建立空间直角坐标系． 设，则，， 所以，，． 设为平面的法向量，则即 不妨取，则是平面的一个法向量， 所以． 设直线与平面所成角为，所以， 解之得，即． 方法二：在平面内，过点作，垂足为，连接， 由直三棱柱得平面，又平面， 所以，， 所以即为二面角的平面角． 又二面角为直二面角，所以，即， 又，，平面，所以平面． 又平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角． 设，因为，， 所以，所以， 解之得，即． 17. 已知给定两个集合，从两个集合中各随机取出两个元素合并成一个集合． （1）若，求集合中恰有三个元素概率； （2）若，设集合中元素的个数为，求随机变量的分布列与期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望为. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求解， （2）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，进而可求解期望. 【小问1详解】 集合C恰有三个元素，即从集合A中取出的两个元素，与集合B中取出的两个元素， 恰有一个是相同的，另一个是不同的，所以其概率为：． 【小问2详解】 X可取值为2，3，4．，，． 所以X的概率分布列为： X 2 3 4 P X期望为． 18. 对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆，它的离心率是其伴随双曲线的离心率的倍． （1）求双曲线的方程； （2）过和的右焦点分别作两条平行直线，直线与交于两点，直线与的右支交于两点，且在轴上方． （ⅰ）若的面积为，求直线的方程； （ⅱ）试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）：或．（ⅱ）T在定直线上． 【解析】 【分析】（1）根据离心率公式即可求解， （2）联立直线与曲线方程，得韦达定理，根据三角形的面积公式即可求解得解（ⅰ），对于（ⅱ），根据求根公式可得方程的根，猜测T所在的直线方程即为，然后利用，代入斜率公式化简验证猜想即可求解，或者利用思路2，联立两直线方程可得，代入两根化简可得求解，或者利用设点法，根据斜率公式或者向量共线的坐标关系，化简求解. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率是双曲线离心率的倍， 所以，解之得． 所以椭圆伴随双曲线的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）由题可知，， 因为直线，所以设直线：，：． 设，，，． 由得（*）， 则 因为，所以P到直线的距离等于到直线的距离， 所以， 又，所以，即， 即，则， 所以或（舍），所以， 经检验此时直线与的右支有两个交点， 故：或． （ⅱ）方法一：设线法 由（ⅰ）中的方程（*），可得， 因为，所以． 由得（**）， 因为与右支交于P、Q两点，所以 由方程（**），可得， 因为，所以． 思路1：由图形的对称性可知直线FP与直线的交点T在垂直于x轴的直线上，当MN、PQ均垂直于x轴时，，此时T在直线上，故猜测T所在的直线方程即为． 又，，若T在直线上，则，也即． 下面，证明． 路径①：因为， 又，所以， 又，所以， 所以， 则，所以，所以T在线段的中垂线上， 故T在定直线上． 路径②：因为， 而 ， 则，所以，所以T在线段的中垂线上，故T在定直线上． 思路2：因为： ， 由得， 所以，解之得．故T在定直线上． 方法二：设点法 思路1：由图形的对称性可知直线FP与直线的交点T在垂直于x轴的直线上，当MN、PQ均垂直于x轴时，，此时T在直线上，故猜测T所在的直线方程即为． 当时，此时轴，轴，，矩形对角线的交点T在线段的中垂线上． 当时，只要证明，即只要证明． 由直线可得，即， 所以只要证，即只要证， 又点在椭圆上，点在双曲线上，所以则， 所以，即， 关于整理得， 即， 则，所以或． 下面证明不符合要求． 因为，所以，所以或 而当时，；当时，． 所以不符合要求，故． 综上所述，T在定直线上． 思路2：由（ⅰ）知，，， 由直线可得，设， 则，即则 因为点M在椭圆上，点P在双曲线上， 所以 两式相加得， 则， 又，所以，即， 令，则， 故T在定直线上． 【点睛】圆锥曲线中定值问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定值，再证明该定值与变量无关. 19. 对于一个数列，定义，其中． （1）若，求的值； （2）若，且对任意的，都有． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）是否存在正整数，使得？若存在，求出的值，并确定满足的等量关系；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4； （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在正整数，． 【解析】 【分析】（1）根据题中条件与数列的递推关系，即可求解； （2）（ⅰ）根据题中条件与等比数列的定义，即可求得数列的通项公式； （ⅱ）根据题中条件，结合（ⅰ）所得的通项公式，整理可得，又，可得，进而解得． 【小问1详解】 因为，所以， 即，因此数列是公差为2的等差数列， 所以． 【小问2详解】 （ⅰ）因为，所以， 分别令及，得 由①得，③ ③－②得，④ ①－④得，即， 又，所以，从而， 所以是以4为首项，4为公比的等比数列，所以． （ⅱ）假设存在正整数k，使得， 即，即， 于是，整理得， 即， 又，所以，， 所以，解得． 所以存在正整数，使得 此时m，n满足的等量关系为． 【点睛】方法点睛：本题主要考查求数列通项的方法，常见的求数列通项的方法有： （1）归纳法；（2）公式法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）构造法；（6）取倒数法；（7）与的关系等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$