山东省济南市天桥区2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年山东省济南市天桥区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．中国空间站犹如一颗美丽的流星，飞过有着4500多年历史的金字塔上空，使中国现代文明和埃及古代文明完成了一次跨时空的对话。字航员在空间站利用对地望远镜看到的金字塔的图形为（ ） A． B． C． D． 2．如图，直线，直线和被所截，则的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图，∽，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 4．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A． B． C．2 D．3 5．下列说法中，正确的是（ ） A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B．菱形的对角线互相垂直且平分 C．菱形的对角线相等且互相平分 D．对角线互相平分的四边形是矩形 6．雾霾天气越来越破坏环境和危害人民的身体健康，某市2022年全年雾霾天气是36天，为了改善环境，减少雾霾天气，该市计划到2024年全年雾霾天气降到25天，这两年雾霾天气的平均下降率相同，若设每年的下降率为，根据题意，所列方程为（ ） A． B． C． D． 7．“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用署期从三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ） A． B． C． D． 8．验光师检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了（ ） A．150 B．200 C．250 D．300 9．如图，在中，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 10．如图，已知点在反比例函数上，点在轴上，使得，点在线段上，且满足，连并延长交轴于点，若的面积为6，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11．已知，那么___________． 12．如果方程有两个相等的实数根，那么的值是___________． 13．为了鼓励学生培养创新思维，某校为1000名学生各准备了一件创新作品盲盒，小星为了估计汽车模型盲盒的个数，对30位同学的盲盒统计，发现有9位同学抽中小汽车模型，由此可估计小汽车模型的总数为___________件． 14．如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点，连接、，与相交于点．给出下列结论：①；②；③，④．其中正确的为___________．（填序号） 三、解答题：本题共11小题，共94分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题4分） 如图是某风力发电机示意图，其相同的三个叶片均匀分布，每个叶片长30m，即m．水平地面上的点在旋转中心的正下方70m，即m．当风力发电机叶片外端点离地面的高度最大时，若垂直于地面的木棒与影长的比为，则此刻风力发电机的影长为___________m． 16．（本小题7分） 用适当的方法解方程： （1）； （2） 17．（本小题7分） 如图，在中，为上一点，． （1）求证：∽； （2）若，求的长． 18．（本小题7分） 已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点，于点．求证：． 19．（本小题8分） 如图，已知是坐标原点，两点的坐标分别为、． （1）以点为位似中心，在轴左侧将放大为原来的两倍，画出； （2）点的对应点的坐标是___________；的面积是___________； （3）在上有一点，按（1）的方式得到的对应点坐标是___________． 20．（本小题8分） 已知，如图在中，，cm，cm，点由点出发沿方向向终点点匀速移动，速度为1cm/s，点由点出发沿方向向终点点匀速移动，速度为2cm/s．如果动点同时从出发，当或到达终点时运动停止．几秒后，以为顶点的三角形与相似？ 21．（本小题9分） 如图，学校为美化环境，在靠墙的一侧设计了一块矩形花圃，其中，墙长18m，花圃三边外围用篱笆围起，共用篱笆32m．设的长为m． （1）则的长为____________m，的长为____________m，（用含的代数式表示） （2）若花圃的面积为120m2，求花圃一边的长； （3）花圃的面积能达到130m2吗？说明理由． 22．（本小题10分） 心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）． （1）分别求出线段和曲线的函数解析式； （2）开始学习后第5分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？为什么？ （3）为贯彻“品质课堂”的教育理念，以立德树人为根本任务，以“减负增效提质”为目标，立足打造“教 有品、学有质、评有效”的品质课堂，某节数学课的学习主要可分为三个环节：即“整体感知，明确目标—探究思考，归纳新知—辨别应用，巩固新知”，其中重点环节“探究思考，归纳新知”这一过程要求至少需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40．请问这样的要求能否实现？如果能，请给出此环节时间安排的具体方案；如果不能，请说明理由． 23．（本小题10分） 每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月3号，嘉祥某校区采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答： （1）接受测评的学生共有____________人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为____________；并补全条形统计图； （2）若校区共有学生3200人，请估计该校区学生对消防安全知识达到“良”及“良”级以上程度的人数； （3）测评成绩前三名的学生恰好是1个女生和2个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加区级消防安全知识竞赛，求出抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率． 24．（本小题12分） 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求此反比例函数的表达式及点的坐标； （2）在轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． （3）为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点、，使是以为底的等腰直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 25．（本小题12分） 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图（1），已知和均为等腰直角三角形，点分别在线段上，且． 图（1） 图（2） 图（3） 备用图 （1）观察猜想 小华将绕点逆时针旋转，连接，如图（2），当的延长线恰好经过点时： ①的值为_____________； ②的度数为_____________度． （2）类比探究 如图（3），小芳在小华的基础上继续旋转，连接，设的延长线交于点，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由； （3）拓展延伸 若，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长． 答 案 1．A 2．B 3．C 4．A 5．B 6．B 7．B 8．B 9．C 10．C 11． 12． 13．300 14．①②④ 15．200 【解析】解：当在的延长线时，风力发电机叶片外端点离地面的高度最大，最大高度（米）， 设此刻风力发电机的影长为米， 由题意得：，即：，解得：，经检验：3是原方程的根， ∴此刻风力发电机的影长为200米，故答案为：200． 当在的延长线时，风力发电机叶片外端点离地面的高度最大，最大高度米，然后设此刻风力发电机的影长为x米，根据题意可：，最后进行计算即可解答． 本题考查了相似三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 16．解：（1） ， ∴或，∴； （2），，，即，∴， ∴． 【解析】（1）先移项，使方程的右边为零，再利用因式分解法求解； （2）利用配方法求解即可． 本题考查了一元二次方程的解法。解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 17．（1）证明：∵，∴∽； （2）解：设，∵∽，∴，∴，解得，即． 【解析】（1）根据两组角对应相等证明∽； （2）根据（1）的结论推出，把有关线段的值代入计算即可本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质，正确推出比例线段是解题关键． 18．证明：方法一：四边形是矩形，∴， ∵于点，于点．∴， ∵， 在与中，，∴≌（AAS），∴． 方法二：∵，∴， ∵四边形是矩形，∴，∴． 【解析】方法一：根据全等三角形的判定和性质以及矩形的性质解答即可． 方法二：由题意得，利用面积公式可得出结论． 此题考查全等三角形的判定与性质，矩形的性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答． 19． 【解析】解：（1）如图，即为所求； （2）点的对应点的坐标是， 的面积； 故答案为：，10； （3）在上有一点，按（1）的方式得到的对应点坐标是． 故答案为：． （1）利用位似变换的性质分别作出的对应点即可； （2）根据点的位置写出坐标，利用分割法求出三角形面积； （3）利用位似变换的性质求解． 本题考查作图-位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型． 20．【答案】解：设秒后，以为顶点的三角形与相似；则cm，cm， ∵，∴分两种情况： ①时，即，解得：； ②当时，即，解得：； 综上所述：秒或秒时，以为顶点的三角形与相似． 【解析】设秒后，以为顶点的三角形与相似；则cm，cm，分两种情况：①当时；②当时；分别解方程即可得出结果． BC本题考查了相似三角形的判定方法、解方程；熟练掌握相似三角形的判定方法，分两种情况进行讨论是解决问题的关键． 21． 【解析】解：（1）的长为米，的长为米， 故答案为：； （2）∵，∴，由题意知，解得（舍去），， ∴花圃一边的长为10m． （3），，， ∴花圃的面积不能达到130m2，不能围成． （1）根据的长为m，则的长为m； （2）根据花圃的面积为120m2，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合墙长18m，即可确定的长； （3）花圃的面积不能达到130m2，设的长为m，则的长为m，根据花圃的面积为130m2，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，即花圃的面积能达到130m2． 本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当时，方程没有实数根”． 22．解：（1）由图象知，， 设线段所在的直线的解析式为：， 把代入得：，解得：，∴线段解析式为：． 设、所在双曲线的解析式为：，把代入得：，解得：， ∴曲线的解析式为：； （2）把代入，得：，把代入，得：， ∵，∴第35分钟时学生的注意力更集中； （3）这样的要求能实现．理由如下： 把代入得：，解得：； 把代入，得：，解得：， ∴学习时的注意力指标数不低于40的时间为：， ∵，∴这样的要求能实现． 【解析】（1）从图象上看，表示的函数为一次函数，是平行于轴的线段，为双曲线的一部分，设出解析式，代入数值可以解答； （2）把自变量的值5和35代入相对应的函数解析式，求出对应的函数值，比较即可得出结论； （3）要求学习时的注意力指标数不低于40，取，求出相对应的自变量的值，进而求出注意力指标数不低于40的时间，与30相比较，得出答案． 23． 60， 【解析】解：（1）接受测评的学生共有（人）， 扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为， 等级为“良”的人数为（人）， 故答案为：160，； 补全图形如下： （2）估计该校学生对安全知识达到“良”及“良”级以上程度的人数有：（人）； （3）画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的有4种情况， ∴抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率是． （1）根据等级为“中”的人数除以所占百分比可得总人数，即可解决问题； （2）用总人数乘以“良”及“良”以上程度的人数所占比例即可； （3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 24．解：（1）将代入得：，解得：，所以，， 将代入得：，即反比例函数的表达式为：， 联立，解得：， 所以，； （2）作点关于轴的对称点， 连接交轴于点，此时的周长最小， 则的最小值； （3）存在，理由：设 当点在点的右侧时，如图： 过点作轴于点，交过点和轴的平行线于点， ∵是以为底的等腰直角三角形， 则，∴，∴， ∵，∴≌（AAS），∴， 即且，解得：，即点； 当在点左侧时，同理可得， ∴或． 【解析】（1）用待定系数法即可求解； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的周长最小，即可求解； （3）证明≌（AAS），得到，即可求解；当在点左侧时，同理可解． 本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰三角形的性质、三角形全等、最值问题等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 25． 【解析】解：（1）如图（2）中，设交于点． ∵，都是等腰直角三角形，∴， ∴，∴∽，∴， ∵，∴， 故答案为； （2）如图（3）中，设交于点． ∵，都是等腰直角三角形，∴， ∴，∴∽，∴， ∵，∴，∴； （3）如图（4）-1中，当于时， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴． 如图（4）-2中，当时，延长交于． 同法可得，∴， 综上所述，的长为或． （1）如图（2）中，设交于点．证明∽，推出，再证明，可得结论； （2）如图（3）中，设交于点．证明∽，可得结论； （3）分两种情形：如图（4）-1中，当于时，如图（4）-2中，当时，延长交于．分别求出，可得结论． 本题考查了相似形综合应用，掌握等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$