精品解析： 河南省平顶山郏县2024～2025学年九年级上学期数学期中测试卷

2024-2025学年上学期期中学情检测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，按答题卡上注意事项的要求把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置． 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 若a：b＝2：3，则下列各式中正确的式子是（　　） A. 2a＝3b B. 3a＝2b C. D. 3. 下列各式中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 对角线相等的矩形是正方形 5. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形ABCD中，周长为12，面积为8，E、F、G、H分别是边上的中点，则四边形EFGH的周长为（ ） A. 4 B. 2 C. 4 D. 2 8. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔（宽）几步．”设阔为步，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 凸透镜成像的原理如图所示，．若缩小的实像是物体的，则物体到焦点的距离与焦点到凸透镜的中心线的距离之比为（焦点和关于点对称）（ ） A. B. C. 3 D. 10. 如图①②，在矩形中，，对角线相交于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象②所示，则边的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 关于的方程是一元二次方程，那么的取值范围是_______． 12. 如图,小张和小刘身高相同,在灯光下,小张的影子比小刘的影子长,这说明小张比小刘距离灯光_____. 13. 已知菱形ABCD的周长为20，一条对角线AC长为8，另一条对角线BD长为_______ 14. 如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中的小兔子），小雅想知道该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形将该图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域内掷点，通过大量重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.6左右，由此她估计此不规则图案的面积大约为________． 15. 如图，在矩形中，，E是的中点，连接，P是边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在上的点处，当是直角三角形时，_________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1） （2） （3） 17. 图中的小方格都是边长为1的正方形，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点O； （2）求与的相似比； （3）以点O为位似中心，再画一个，使它与的相似比等于． 18. 已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0． （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？ 19. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气，”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表： 课外阅读时间x（min） 等级 人数 D 3 C B 8 A 4 结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的______；统计图中B组对应扇形的圆心角为______度； （2）阅读时间在范围内的数据的众数是______min；根据调查结果，请你估计全校600名同学课外阅读时间不少于40min的人数有______人； （3）A等级学生中只有一名女生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获和体会的报告，用列举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率． 20. 学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米． （1）求大楼的高度为多少米（垂直地面）？ （2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼上点G的高度米，标杆应该向大楼方向移动多少米？ 21. 如图，四边形ABCD中，ADBC，AB＝AD＝CDBC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE． （1）求证：四边形ABED为菱形； （2）连接BD，当CE＝5时，求BD的长． 22. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了个，求这两周的平均增长率． 23. 小明和小刚走进教室，跟随李老师探究“矩形折叠中的相似三角形”问题．请你一同作答：如图，已知在矩形中，，，点E为边上一点（不与点A、点B重合），先将矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H． （1）观察发现 写出图1中一个与相似的三角形： ． （2）迁移探究 当与的交点H恰好是的中点时，如图2．求阴影部分的面积． （3）拓展应用 当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期期中学情检测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，按答题卡上注意事项的要求把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置． 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从上面看，一个正方形里面有一个圆且是实线． 故选C． 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 2. 若a：b＝2：3，则下列各式中正确的式子是（　　） A. 2a＝3b B. 3a＝2b C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案． 【详解】解：A、2a＝3b⇒a：b＝3：2，故选项不符合题意； B、3a＝2b⇒a：b＝2：3，故选项符合题意； C、⇒b：a＝2：3，故选项不符合题意； D、⇒a：b＝4：3，故选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查比例化积问题，掌握比例的性质是解题关键． 3. 下列各式中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题关键． 根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、符合一元二次方程的定义，故本选项正确； B、是二元二次方程，故本选项错误； C、是分式方程，故本选项错误； D、是二元二次方程，故本选项错误； 故选A． 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 对角线相等的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形、矩形、正方形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键． 根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：由菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A选项说法正确，不符合题意； 由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故B选项说法正确，不符合题意； 对角线互线垂直的矩形，同时又是菱形， 对角线互线垂直的矩形是正方，故C选项说法正确，不符合题意； 由矩形的性质可知，矩形的对角线相等， 对角线相等的矩形不一定是正方形，故D选项说法错误，符合题意； 故选D． 5. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟记相关判定定理即可求解． 【详解】解：∵与中，， A. ，∴能判定； B. ，∴不能判定； C. ，∴，∴能判定； D. ，∴能判定． 故选：B． 6. 豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数．根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可． 【详解】解：把3张卡片分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种， ∴两次抽取的卡片图案相同的概率为． 故选∶D． 7. 如图，在矩形ABCD中，周长为12，面积为8，E、F、G、H分别是边上的中点，则四边形EFGH的周长为（ ） A. 4 B. 2 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】连接BC，根据题意列出方程，解方程分别求出BC、AB，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：连接BC， 设BC的长为x ， ∵矩形ABCD的周长为12， ∴AB的长为（6-x）， 由题意得：x（6-x）=8， 解得：x1=2，x2=4， 则6-x=4或2， ∴BC=4，AB=2， 由勾股定理得：， ∵点E，F分别是AB、BC的中点， ∴EF=AC=， 同理可得：FG=GH=HE=， ∴四边形EFGH的周长=4． 故选：A． 【点睛】本题考查的是中点四边形的知识，掌握一元二次方程的解法、三角形中位线定理、矩形的性质是解题的关键． 8. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔（宽）几步．”设阔为步，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设阔为步，则长为步，根据长方形的面积公式即可列出方程． 【详解】解：设阔为步，则长为步， 可列方程为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系，列出方程． 9. 凸透镜成像的原理如图所示，．若缩小的实像是物体的，则物体到焦点的距离与焦点到凸透镜的中心线的距离之比为（焦点和关于点对称）（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，先证明四边形是矩形，得到，再利用相似三角形的性质解决问题即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， 缩小的实像是物体的， ， ， 焦点和关于点对称， ， ， 故选：A． 10. 如图①②，在矩形中，，对角线相交于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象②所示，则边的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，函数图象，一元二次方程根与系数的关系等： 观察函数图象可得，，然后根据矩形的性质可得，从而得到，进而得到的长为方程的根，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴的长为方程的根， 解得：， ∵，即， ∴， 即边的长为4． 故选：B 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 关于的方程是一元二次方程，那么的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念及一般形式：即可求出答案. 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴二次项系数, 解得； 故答案为. 【点睛】本题考查一元二次方程的概念，比较简单，做题时熟记二次项系数不能等于0即可. 12. 如图,小张和小刘身高相同,在灯光下,小张的影子比小刘的影子长,这说明小张比小刘距离灯光_____. 【答案】远 【解析】 【分析】根据中心投影的特点，结合题意，可得小张离路灯较远． 【详解】中心投影的特点是：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长． 所以小张离路灯较远， 故答案为远 【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 13. 已知菱形ABCD的周长为20，一条对角线AC长为8，另一条对角线BD长为_______ 【答案】6 【解析】 【分析】根据菱形的周长可以得出菱形的边长，根据菱形的对角线互相垂直平分，已知AB、AO根据勾股定理即可求得BO的值，进而求出对角线BD的长． 【详解】如下图 ∵菱形的周长为20， ∴AB=5， ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴AO=AC=4， ∴BO= ∴BD=2BO=6 故BD的长为6． 【点睛】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质、菱形的各边长都相等的性质，勾股定理在直角三角形中的运用．本题中运用勾股定理求出BO的值从而求出BD的值是解答本题的关键． 14. 如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中的小兔子），小雅想知道该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形将该图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域内掷点，通过大量重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.6左右，由此她估计此不规则图案的面积大约为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率的方法是解题的关键． 用频率和概率之间的关系解答即可． 【详解】解：∵点落在图案部分的频率稳定在0.6左右, ∴此不规则图案的面积大约为 故答案为： ． 15. 如图，在矩形中，，E是的中点，连接，P是边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在上的点处，当是直角三角形时，_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查矩形的折叠问题、勾股定理、相似三角形的判定和性质，由折叠知，设，则，当是直角三角形时，分和两种情况，可证与相似，利用对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：在矩形中，， ，， E是的中点， ， ， 由折叠知， 矩形中，， ． 设，则， 是直角三角形时，分两种情况： 当时， ，， ， ，即， 解得， ； 当时， ，， ， ，即， 解得， ； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1） （2） （3） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）把原方程变形为，解方程即可； （2）先移项，再用公式法解方程即可； （3）把原方程变形为，再解方程即可． 【小问1详解】 解： 或 ，； 【小问2详解】 解： ∵ ∴ ∴，； 【小问3详解】 解： 或 ，． 17. 图中的小方格都是边长为1的正方形，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点O； （2）求与的相似比； （3）以点O为位似中心，再画一个，使它与的相似比等于． 【答案】（1）作图见解答过程 （2） （3）作图见解答过程 【解析】 【分析】本题考查位似图形的意义及作图能力．画位似图形的一般步骤为：（1）确定位似中心；（2）分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；（3）根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． （1）位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线、的交点就是位似中心； （2）与的位似比等于与的比，也等于与在水平线上的投影比，即位似比为； （3）要画，先确定点的位置，因为与的位似比等于，因此，所以．再过点画交于，过点画交于． 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求； 【小问2详解】 解：与的位似比等于； 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求． 18. 已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0． （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？ 【答案】 （1）证明：∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0， ∴该方程总有实数根； （2）k＝或2． 【解析】 【分析】（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解关于k的方程即可． 【详解】（1）略 （2） ∴x1＝2k﹣1，x2＝2， ∵a、b、c为等腰三角形的三边， ∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3， ∴k＝或2． 【点睛】本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键. 19. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气，”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表： 课外阅读时间x（min） 等级 人数 D 3 C B 8 A 4 结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的______；统计图中B组对应扇形的圆心角为______度； （2）阅读时间在范围内的数据的众数是______min；根据调查结果，请你估计全校600名同学课外阅读时间不少于40min的人数有______人； （3）A等级学生中只有一名女生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获和体会的报告，用列举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由调查的学生人数乘以C组所占的比例得出a的值，再由乘以B组所占的比例即可； （2）由众数的定义得出众数，再用样本估计总体列式计算即可； （3）画树状图，共有12种等可能的情况，其中恰好选择一名男生和一名女生的情况有6种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知：， 统计图中B组对应扇形的圆心角为：， 故答案为：，； 【小问2详解】 阅读时间在范围内的数据的众数是， ， 全校600名同学课外阅读时间不少于40min的人数有人， 故答案为：，； 【小问3详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中恰好选择一名男生和一名女生的情况有6种， 恰好选择一名男生和一名女生的概率为． 【点睛】本题考查了树状图法求概率以及频数分布表和扇形统计图等知识，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验． 20. 学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米． （1）求大楼的高度为多少米（垂直地面）？ （2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼上点G的高度米，标杆应该向大楼方向移动多少米？ 【答案】（1）（米） （2）0.5米 【解析】 【分析】本题考查测高，涉及矩形判定与性质、三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握测高的题型及解法，灵活运用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键 （1）过点作于点，交于点，如图所示，利用三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案； （2）过点作于点交于点，如图所示，设米，利用三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点作于点，交于点，如图所示： 则四边形，四边形都是矩形， ∴米，米，米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 解：过点作于点交于点，如图所示： 设米， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴标杆AB应该向教学楼方向移动0.5米． 21. 如图，四边形ABCD中，ADBC，AB＝AD＝CDBC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE． （1）求证：四边形ABED为菱形； （2）连接BD，当CE＝5时，求BD的长． 【答案】 （1）证明：如图所示，连接BD， 由题意可知，AE是BD的垂直平分线， ∴AB=AD，BE=DE，BO=OD， ∵AD∥BC， ∴∠OAD=∠OEB，∠ODA=∠OBE， 在△OAD和△OEB中， ， ∴△OAD≌△OEB（AAS）， ∴AD=BE， ∴AD=AB=BE=ED， ∴四边形ABCD是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）连接BD，根据，AE是BD的垂直平分线，得到AB=AD，BE=DE，BO=OD，只需要证明△OAD≌△OEB，即可得到答案； （2）根据（1）可以证明三角形DEC是等边三角形，从而可以证明∠BDC=90°，再利用三角函数求解即可得到答案. 【详解】解：（1）略 （2）由（1）得AD=AB=BE=ED， ∴∠DBE=∠EDB， ∵， ∴， ∴， ∴三角形DEC是等边三角形， ∴∠C=∠DEC=∠CDE=60°， ∵∠BDE+∠EBD=∠DEC， ∴∠BDE=30°， ∴∠BDC=90° ∴ 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，特殊角的三角函数，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 22. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了个，求这两周的平均增长率． 【答案】（1）售价应定为每个元． （2）这两周的平均增长率为． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，再利用总利润为元，再建立方程解题即可； （2）由（1）得：当售价为每个元时，销量为个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设售价应定为每个元，则 ， 整理得：， 解得：，； ∵更大优惠让利消费者， ∴不符合题意， ∴商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为每个元． 【小问2详解】 解：由（1）得：当售价为每个元时，销量为（个）， 设这两周的平均增长率为，则 ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴这两周的平均增长率为． 23. 小明和小刚走进教室，跟随李老师探究“矩形折叠中的相似三角形”问题．请你一同作答：如图，已知在矩形中，，，点E为边上一点（不与点A、点B重合），先将矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H． （1）观察发现 写出图1中一个与相似的三角形： ． （2）迁移探究 当与的交点H恰好是的中点时，如图2．求阴影部分的面积． （3）拓展应用 当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，求的长． 【答案】（1）或（写出一个即可） （2）阴影部分的面积是 （3）的长为或 【解析】 【分析】本题考查相似三角形综合应用，涉及矩形性质及应用，翻折变换，含特殊角的直角三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理及性质定理． （1）由，，可得，故，从而； （2）点H是的中点，，，，再证，求出，根据三角形面积公式得阴影部分的面积即可； （3）分两种情况：①设的中点为K，的中点为T，直线为矩形的对称轴，当F在上时，求出，设，则， 再证明，即可求解；②设的中点为N，的中点为M，直线为矩形的对称轴，当F在直线上时，求得，得，，，故，根据，即可解答． 【小问1详解】 ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或（写出一个即可）； 【小问2详解】 ∵点H是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是； 【小问3详解】 ①设的中点为K，的中点为T，直线为矩形的对称轴，当F在上时，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得； ∴； ②设的中点为N，的中点为M，直线为矩形的对称轴，当F在直线上时，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得； 综上所述，当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $