第01讲 不等式及其性质（2大知识点+8大题型+分层练习）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

第01讲 不等式及其性质 目录 题型归纳 题型01 不等式的定义 3 题型02 用不等式表示数量关系 3 题型03 不等式的基本性质 3 题型04 利用不等式的性质探求字母的取值范围 5 题型05 利用特定的不等式性质探究大小 5 题型06 利用不等式解(集)的关系求字母的值 7 题型07 利用不等式的性质探求整式的范围 7 题型08易错点　除以字母系数时，未对字母的取值进行分类讨论而出错 8 分层练习 8 知识点1：不等式的概念 用不等号“>”“<”“≥”“≤”连接的式子,叫作不等式. 特别提醒：用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式. 注意：判断一个式子是否为不等式，关键是看所给式子是否含不等号； 不等号具有方向性，不等号两边的数(或式子) 不能随意交换. 2. 基本的表达形式： (1)常见的不等号： 符号 名称 实际意义 读法 举例 < 小于号 小于、不足 小于 3+2<6 > 大于号 大于、高出 大于 3+3>5 ≠ 不等于号 不相等 不等于 4 ≠ 5 (2)常见的不等式基本语言与符号表示： ① a 是正数表示为a ＞ 0，a 是负数表示为a ＜ 0； ② a，b 同号表示为ab ＞ 0，a，b 异号表示为ab ＜ 0. 知识点2：不等式的性质 不等式的性质1：对于任意给定的两个数a、b，在a>b、a<b、a=b三种情形中，有且只有一种情形成立. 不等式的性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.如果a＜b，b＜c，那么a＜c. 如同相等关系具有传递性，不等式性质2表明大于关系也具有传递性．同样地，“≥”“≤”与“<”也具有传递性. 不等式的性质3：不等式两边加（或减）同一个数，不等号的方向不变． 如果a＞b，那么a+m＞b+m,a-m＞b-m 不等式的性质4：不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变. 如果a＞b，那么am＞bm,＞ 不等式的性质5：不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变. 如果a＞b，m＜0，那么am＜bm,＜ 题型01 不等式的定义 1．在下列数学表达式中：，，，，，其中不等式有 个． 2．有下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有 个． 题型02用不等式表示数量关系 3．（23-24六年级下·上海松江·期中）用不等式表示“的倒数与2的差是非负数”： ． 4．若减去-（2x-3）所得的差是非负数，用不等式表示： ． 5．（23-24六年级下·上海松江·期中）建设一个长、宽分别是5米和4米的长方体的蓄水池，计划这个蓄水池至少能蓄水50立方米，如果设这个蓄水池的深度为米，那么列出的不等式为 ． 6．若一件商品的进价为500元，标价为750元，商店要求以利润率不低于的售价打折出售，问售货员最低打几折出售此商品，设打x折，用不等式表示题目中的不等关系． 题型03 不等式的基本性质 7．（23-24六年级下·上海松江·期中）已知，则下列四个不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24六年级下·上海崇明·期中）若，则下列不等式不一定成立的是（       ） A． B． C． D． 9．（23-24六年级下·上海宝山·期末）如果，那么、、之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 10．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）如果，那么下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24六年级下·上海松江·期末）如果，那么下列不等式不成立的是（　　） A． B． C． D． 12．我们定义表示不小于实数的最小整数，例如：．现给出下列结论： ①；②若，则；③若，则；④若，，则． 以上选项中，所有正确的序号是 ． 13．已知a＞b，用“＞”“＜”填空，并说明理由． (1)a+3________b+3． (2)a-4________b-4． (3)a_______b． (4)-2a________-2b． (5)3a-1________3b-1． (6)1-a________1-b． 14．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“”或“”的形式： (1) (2) 题型04 利用不等式的性质探求字母的取值范围 15．若，且，则m的取值范围是 ． 16．北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是 ． 17．已知，求的取值范围？ 题型05利用特定的不等式性质探究大小 18．若，则；若，则；若，则，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小． (1)试比较代数式与的值之间的大小关系； (2)已知代数式与相等，试用等式的性质比较的大小关系． (3)已知，试用等式的性质比较的大小关系． 19．请解决以下两个问题： (1)利用不等式的性质1比较与的大小； (2)利用不等式的性质2比较与的大小． 20．先阅读下面的解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：因为，① 所以，② 故．③ (1)上述解题过程中，从步骤_______开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 题型06 利用不等式解(集)的关系求字母的值 21．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 22.若a2﹣b﹣1＝0，且（a2﹣1）（b+2）＜a2b． （Ⅰ）求b的取值范围； （Ⅱ）若a4﹣2b﹣2＝0，求b的值． 题型07 利用不等式的性质探求整式的范围 23．王老伯在集市上先买回5只羊，平均每只a元，稍后又买回3只羊，平均每只b元，后来他以每只 的价格把羊全部卖掉了．如果a＜b，那么王老伯是赚钱了还是赔钱了？为什么？ 24．【阅读理解】：在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式的大小，只要作出差．若，则：若．则：若，则． 【解决问题】 （1）根据上面阅（1）根据上面阅读比较， ______（填或）； （2）已知，当时，比较与的大小，并说明理由； 【学以致用】 （3）为了安全方便，某自助加油站只提供两种自助加油方式：方式一：每次定额只加200元．方式二：每次定量只加20升．自助加油站规定每辆车只能选择其中一种自助加油方式，现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为元／升，第二次油价为元/升（）．那么哪种加油方式更合算呢？予以说明． 易错点　除以字母系数时，未对字母的取值进行分类讨论而出错 25．在数学课学习不等式及其性质时，小智向老师提出“不等式是不可能成立的，因为如果不等式两边同时除以就会出现的错误结论”的观点，老师肯定了小智的质疑精神，但是指出了他的观点是错误的，并向同学们说明了理由，老师的理由是 ． 一、单选题 1．（22-23六年级下·上海虹口·期中）如果，那么下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24六年级下·上海·期中）下列说法中不正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，，，那么 3．（23-24六年级下·上海闵行·期末）已知，那么下列各式中，一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24六年级下·上海·期末）如果，那么下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）如果，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）用不等式表示：的2倍减去的差是一个非负数 ． 7．（2023六年级下·上海·专题练习）如果，，那么a b（填“”“ ”“ ”）． 8.已知，则 （填“＞”或“＜”）． 9．用不等式表示：与b的一半的和是负数 ． 10．给出下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中属于不等式的是 ．（填序号） 11.如果，则 （填“”或“”或“”）． 12．（23-24六年级下·上海·期中）用不等式表示“的相反数减去3所得的差不小于”： ． 13．（23-24六年级下·上海普陀·期中）a的平方减去2的差不大于a与b的乘积，用不等式表示为 ． 三、解答题 14.判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)52； (7)． 15.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 16．若，且，求实数a的取值范围． 17.已知，请比较下列各式的大小，并说明理由． (1)与； (2)与． 18.解决下面问题： (1)已知，比较与的大小．（选择适当的不等号填空） 解：，且（已知） _______（不等式的基本性质3） _______（不等式的基本性质2） (2)若，比较与的大小，并说明理由． 19.用适当的符号表示下列关系： (1)x的与x的2倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米； (3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元； (4)明天下雨的可能性不小于； (5)小明的体重不比小刚轻． 20.已知：中，，，，是最小的合数，、满足等式：，点是的边上一动点，点从点开始沿着的边按顺序顺时针移动一周，回到点后停止，移动的路径为，移动的速度为每秒3个单位．如图所示． (1)的周长为_____． (2)请指出当点移动到哪条边上时，的值始终为定值，并求出这个定值． 21.阅读下列材料解决问题： 两个多位正整数，若它们各数位上的数字和相等，则称这两个多位数互为“调和数”．例如： 37与82，它们各数位上的数字和分别为，，∵，∴37与82互为“调和数”；又如：123与51，它们各数位上的数字和分别为，，∵，∴123与51互为“调和数”． （1）若两个三位数、（，且，，为整数）互为“调和数”，且这两个三位数之和是17的倍数，求这两个“调和数”； （2）若、是两个不相等的两位数，，，、互为“调和数”，且与之和是与之差的3倍，求证：． 22.阅读下列材料，并完成填空． 你能比较 和 的大小吗? 为了解决这个问题，先把问题一般化，比较 和 （ ，且 为整数）的大小．然后从分析 ，， 的简单情形入手，从中发现规律，经过归纳、猜想得出结论． （1）通过计算（可用计算器）比较下列（1）-（7）组两数的大小：（在横线上填上 " "" “或” "） （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ； （2）归纳第（1）问的结果，可以猜想出 和 的大小关系； （3）根据以上结论，可以得出 和 的大小关系． 23.【提出问题】已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围． 【分析问题】先根据已知条件用一个量如取y表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一个量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解． 【解决问题】解：∵x﹣y=2，∴x=y+2． 又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1． 又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0，…① 同理得1＜x＜2…② 由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2． ∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2． 【尝试应用】已知x﹣y=﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y的取值范围． 24.在“爱心传递”活动中，某校学生积极捐款. 其中六年级的两个班级的捐款情况如下表： 班  级 人数 捐款总额（元） 人均捐款额（元） （1）班 （2）班 合计 80 900 11.25 小杰在统计时不小心污损了其中的部分数据，但他还记得以下信息： 信息一：六（2）班的捐款额比六（1）班多60元； 信息二：六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元； 请根据表格中留下的数据和以上信息，帮助小杰同学解决下列问题： (1)六（1）班和六（2）班的捐款总额各是多少元？ (2)六（2）班的学生数至少是多少人？ 25．（22-23六年级·上海·假期作业）五个不同的自然数分别是A、B、C、D、E，它们从小到大依次排列，它们的平均数是23，前四个数的平均数是21，后四个数的平均数是24，已知C是偶数，D是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 不等式及其性质 目录 题型归纳 题型01 不等式的定义 3 题型02 用不等式表示数量关系 4 题型03 不等式的基本性质 6 题型04 利用不等式的性质探求字母的取值范围 11 题型05 利用特定的不等式性质探究大小 13 题型06 利用不等式解(集)的关系求字母的值 16 题型07 利用不等式的性质探求整式的范围 17 题型08易错点　除以字母系数时，未对字母的取值进行分类讨论而出错 21 分层练习 21 知识点1：不等式的概念 用不等号“>”“<”“≥”“≤”连接的式子,叫作不等式. 特别提醒：用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式. 注意：判断一个式子是否为不等式，关键是看所给式子是否含不等号； 不等号具有方向性，不等号两边的数(或式子) 不能随意交换. 2. 基本的表达形式： (1)常见的不等号： 符号 名称 实际意义 读法 举例 < 小于号 小于、不足 小于 3+2<6 > 大于号 大于、高出 大于 3+3>5 ≠ 不等于号 不相等 不等于 4 ≠ 5 (2)常见的不等式基本语言与符号表示： ① a 是正数表示为a ＞ 0，a 是负数表示为a ＜ 0； ② a，b 同号表示为ab ＞ 0，a，b 异号表示为ab ＜ 0. 知识点2：不等式的性质 不等式的性质1：对于任意给定的两个数a、b，在a>b、a<b、a=b三种情形中，有且只有一种情形成立. 不等式的性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.如果a＜b，b＜c，那么a＜c. 如同相等关系具有传递性，不等式性质2表明大于关系也具有传递性．同样地，“≥”“≤”与“<”也具有传递性. 不等式的性质3：不等式两边加（或减）同一个数，不等号的方向不变． 如果a＞b，那么a+m＞b+m,a-m＞b-m 不等式的性质4：不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变. 如果a＞b，那么am＞bm,＞ 不等式的性质5：不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变. 如果a＞b，m＜0，那么am＜bm,＜ 题型01 不等式的定义 1．在下列数学表达式中：，，，，，其中不等式有 个． 【答案】2 【知识点】不等式的定义 【分析】运用不等式的定义进行判断． 【详解】解：是等式， 和是代数式，没有不等关系，所以不是不等式. 不等式有：，. 故答案为：2. 【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠． 2．有下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有 个． 【答案】3 【知识点】不等式的定义 【分析】找到用不等号连接的式子的个数即可． 【详解】解：①是用“＞”连接的式子，是不等式，符合题意； ②是用“≤”连接的式子，是不等式，符合题意； ③是等式，不是不等式，不符合题意； ④没有不等号，不是不等式，不符合题意； ⑤是用“＞”连接的式子，是不等式，符合题意； ∴不等式有①②⑤共3个， 故答案为：3． 【点睛】此题考查不等式的定义，用到的知识点为：用“＜，＞，≤，≥，≠”连接的式子叫做不等式． 题型02用不等式表示数量关系 3．（23-24六年级下·上海松江·期中）用不等式表示“的倒数与2的差是非负数”： ． 【答案】 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了列不等式，倒数，非负数的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义， 根据倒数的定义，和非负数的性质即可解答； 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 4．若减去-（2x-3）所得的差是非负数，用不等式表示： ． 【答案】/ 【知识点】列一元一次不等式 【分析】根据题意由减去-（2x-3）所得的差是非负数，即可列出不等式，解出不等式即可． 【详解】解：依题意得：-[-（2x-3）]≥0， 即+2x-3≥0． 故答案为：． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式以及整式的加减，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 5．（23-24六年级下·上海松江·期中）建设一个长、宽分别是5米和4米的长方体的蓄水池，计划这个蓄水池至少能蓄水50立方米，如果设这个蓄水池的深度为米，那么列出的不等式为 ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据蓄水池的体积至少为50立方米，可列一元一次不等式即可． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 6．若一件商品的进价为500元，标价为750元，商店要求以利润率不低于的售价打折出售，问售货员最低打几折出售此商品，设打x折，用不等式表示题目中的不等关系． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查列不等式； 利润率不低于，即是利润应大于或等于利润率的．根据不等量关系：售价进价，即可得到答案． 【详解】解：设应打x折， 根据题意，得． 题型03 不等式的基本性质 7．（23-24六年级下·上海松江·期中）已知，则下列四个不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、在不等式的两边同时乘，不等号方向不变，即，必须规定，故本选项符合题意． B、因为，所以，在不等式的两边同时除以，不等号方向不变，即，故本选项不符合题意． C、在不等式的两边同时乘以，不等号方向改变，即，故本选项不符合题意． D、在不等式的两边同时加上5，不等号方向不变，即，故本选项不符合题意． 故选：A． 8．（23-24六年级下·上海崇明·期中）若，则下列不等式不一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的性质．根据不等式的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，且，则，故本选项符合题意； 故选：D 9．（23-24六年级下·上海宝山·期末）如果，那么、、之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查不等式的性质，熟知不等式的性质：性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：C． 10．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）如果，那么下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的基本性质．解题的关键是掌握不等式的基本性质，（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、不等式两边都减去2，得，原变形正确，故此选项不符合题意； B、不等式两边都乘以，得，原变形错误，故此选项符合题意； C、不等式两边都减去,得，原变形正确，故此选项不符合题意； D、因为，所以，原变形正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 11．（23-24六年级下·上海松江·期末）如果，那么下列不等式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，，故此选项不符合题意； B、，，，故此选项不符合题意； C、，，故此选项不符合题意； D、，，故此选项符合题意； 故选：D． 12．我们定义表示不小于实数的最小整数，例如：．现给出下列结论： ①；②若，则；③若，则；④若，，则． 以上选项中，所有正确的序号是 ． 【答案】①③④ 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了新定义，不等式的性质 ，理解新定义得出不等式是解题的关键． 根据表示不少于实数必的最小整数，即可解答． 【详解】根据定义表示不少于实数的最小整数，可得①结论正确； 若，根据的意义，得，结论②错误； 若，则，结论③正确； 当，时，有，，，或6，结论④是正确． 综上所述：①③④正确． 故答案为：①③④． 13．已知a＞b，用“＞”“＜”填空，并说明理由． (1)a+3________b+3． (2)a-4________b-4． (3)a_______b． (4)-2a________-2b． (5)3a-1________3b-1． (6)1-a________1-b． 【答案】(1)＞ (2)＞ (3)＞ (4)＜ (5)＞ (6)＜ 【知识点】不等式的性质 【分析】根据不等式的性质解答即可． 【详解】（1）解：不等式的两边都加上了3，依据不等式的性质1，故答案是＞． （2）解：不等式的两边都减去了4，依据不等式的性质1，故答案是＞． （3）解：不等式的两边都乘以了，由于＞0，依据不等式的性质2，故答案是＞． （4）解：不等式的两边都乘以了-2，由于-2＜0，依据不等式的性质3，故答案是＜． （5）解：依据不等式的性质2，3a＞3b，不等式的两边都减去1，不等号的方向仍然不变，故答案是＞． （6）解：依据不等式的性质3，-a＜-b，不等式的两边都加上1，得1-a与1-b，依据不等式的性质1，故答案是＜． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，1.不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变;2.不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变;3.不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变． 14．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“”或“”的形式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，熟记相关结论即可求解． （1）在不等式两边同时减去即可； （2）在不等式两边同时除以即可； 【详解】（1）解：在不等式两边同时减去，不等号方向不变， 得： （2）解：在不等式两边同时除以，不等号方向改变， 得： 题型04 利用不等式的性质探求字母的取值范围 15．若，且，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质．原不等式两边同时乘以后不等号改变方向，则，则． 【详解】解：∵若，且， ∴， 则； 故答案为：． 16．北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查的是路程、速度、时间之间关系及用不等式表示范围，先求出要在内通过时的速度，再根据按照当前时速行驶能通过下一路口求出此时速度，即可解决． 【详解】解：， 当距离下一路口时，以速度通过需要的时间为：， 要在内通过， 小车的速度至少为， 因为导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口， 则小车当前行驶速度的取值范围是． 17．已知，求的取值范围？ 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】由，可得，再根据，可得，再根据不等式的性质解答即可． 【详解】解：， ， 又， ， 由，得， ， ， ； 由，得， ， ， ， 综上所述，， ， ． 【点睛】本题考查了不等式的性质，根据题意得出是解答本题的关键． 题型05利用特定的不等式性质探究大小 18．若，则；若，则；若，则，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小． (1)试比较代数式与的值之间的大小关系； (2)已知代数式与相等，试用等式的性质比较的大小关系． (3)已知，试用等式的性质比较的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】等式的性质、不等式的性质 【分析】（1）把两个多项式作差比较大小即可； （2）等式两边同时减去即可得到，由此即可得到结论； （3）等式的性质两边同时乘以6可得，，由此可得结论． 【详解】（1）解： ∵不论为何值，都有 ∴ （2）解：∵， ∴等式两边同时减去，得， 整理得， ∴． （3）解：∵， 根据等式的性质两边同时乘以6可得， 整理得， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等式的性质和不等式的性质，正确理解题意是解题的关键． 19．请解决以下两个问题： (1)利用不等式的性质1比较与的大小； (2)利用不等式的性质2比较与的大小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】不等式的性质 【详解】（1）当时，，即； 当时，，即． （2）因为，所以当时，； 当时，． 20．先阅读下面的解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：因为，① 所以，② 故．③ (1)上述解题过程中，从步骤_______开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【知识点】不等式的性质 【分析】此题主要考查了不等式的解法，熟知不等式的性质是解题的关键． （1）由题意，不等式两边乘以负数，不等式号改变，故②错误； （2）根据不等式的性质，不等式两边同乘以一个负号，不等号方向要发生改变，来求解． 【详解】（1）由题意得②错误， 根据不等式两边乘以负数，不等式号改变即可判断； 故答案为：②； （2）因为， 所以， 故． 题型06 利用不等式解(集)的关系求字母的值 21．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】不等式的解集 【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键． 根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即． 【详解】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 故答案为：． 22.若a2﹣b﹣1＝0，且（a2﹣1）（b+2）＜a2b． （Ⅰ）求b的取值范围； （Ⅱ）若a4﹣2b﹣2＝0，求b的值． 【答案】（Ⅰ）b的取值范围为-1≤b＜0；（Ⅱ）b的值为﹣1． 【知识点】不等式的解集 【分析】（Ⅰ）根据多项式乘以多项式化简不等式，再整体代入即可得结论； （Ⅱ）首先进行提公数2，然后再整体代换b+1即可求得结论． 【详解】解：（Ⅰ）∵a2﹣b﹣1＝0， ∴a2﹣b＝1，a2＝b+1， （a2﹣1）（b+2）＜a2b． a2b+2a2﹣b﹣2＜a2b a2+a2﹣b﹣2＜0， a2+1﹣2＜0， a2＜1， ∴0≤b+1＜1， ∴-1≤b＜0． 答：b的取值范围为-1≤b＜0． （Ⅱ）a4﹣2b﹣2＝0，a4﹣2（b+1）＝0， ∵a2＝b+1， ∴a4﹣2a2＝0， 解得a2＝0或a2＝2， ∵a2＜1， ∴a2＝0， ∴b+1＝0， ∴b＝﹣1． 答：b的值为﹣1． 【点睛】本题考查了提公因式的应用，解决本题的关键是整体代入思想的运用． 题型07 利用不等式的性质探求整式的范围 23．王老伯在集市上先买回5只羊，平均每只a元，稍后又买回3只羊，平均每只b元，后来他以每只 的价格把羊全部卖掉了．如果a＜b，那么王老伯是赚钱了还是赔钱了？为什么？ 【答案】王老伯赚钱了. 【知识点】不等式的性质 【分析】分别求得8只羊的总进价以及总售价，利用不等式的性质比较即可． 【详解】王老伯赚钱了.理由如下： 因为先买回5只羊，平均每只a元，稍后又买回3只羊，平均每只b元， 所以王老伯买羊共花费（5a＋3b）元. 而卖羊共收入×8＝（4a＋4b）元. 因为a＜b， 所以a＋（4a＋3b）＜b＋（4a＋3b）， 即5a＋3b＜4a＋4b，故王老伯赚钱了. 【点睛】计算盈亏应比较总进价和总售价，得到8只羊的总进价和总售价是解决本题的关键；用到的知识点为：在不等式的两边都加上同一个式子，不等号的方向不变． 24．【阅读理解】：在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式的大小，只要作出差．若，则：若．则：若，则． 【解决问题】 （1）根据上面阅（1）根据上面阅读比较， ______（填或）； （2）已知，当时，比较与的大小，并说明理由； 【学以致用】 （3）为了安全方便，某自助加油站只提供两种自助加油方式：方式一：每次定额只加200元．方式二：每次定量只加20升．自助加油站规定每辆车只能选择其中一种自助加油方式，现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为元／升，第二次油价为元/升（）．那么哪种加油方式更合算呢？予以说明． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）当时，方式二加油更划算；当时，方式一加油更划算 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质并灵活运用是解此题的关键． （1）计算，由此即可得出答案； （2）计算，并根据作出判断即可； （3）计算两种方式加油的平均油价为：，再计算出，，分两种情况：当时，当时，分别进行计算即可． 【详解】解：（1） ， ， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ； （3）由题意可得： 两种方式加油的平均油价为：， ，， 当时，，，此时，， ，此时方式二加油更划算； 当时，，，此时，， ，此时方式一加油更划算； 综上所述，当时，方式二加油更划算；当时，方式一加油更划算． 易错点　除以字母系数时，未对字母的取值进行分类讨论而出错 25．在数学课学习不等式及其性质时，小智向老师提出“不等式是不可能成立的，因为如果不等式两边同时除以就会出现的错误结论”的观点，老师肯定了小智的质疑精神，但是指出了他的观点是错误的，并向同学们说明了理由，老师的理由是 ． 【答案】当时， 【知识点】不等式的性质 【分析】根据不等式的性质进行解答即可． 【详解】解：这种说法不对的理由如下： 当时，； 当时，由得． 故答案为：当时，． 【点睛】本题考查了不等式的性质：不等式两边加上（或减去）同一个数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变． 一、单选题 1．（22-23六年级下·上海虹口·期中）如果，那么下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、如果，那么，故本选项正确，不符合题意； B、如果，那么，故本选项正确，不符合题意； C、如果，那么，故本选项错误，符合题意； D、如果，那么，故本选项正确，不符合题意； 故选C． 2．（23-24六年级下·上海·期中）下列说法中不正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，，，那么 【答案】B 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式两边同时乘上或除以一个正数，不等式符号不变，不等式两边同时加上或减去一个数，不等式的符号不变；若不等式两边同时乘上或除以一个负数，不等式符号改变，据此即可作答． 【详解】解：A、如果，说明，那么，该选项是正确的；故不符合题意； B、如果，当，那么是错误的，该选项是错误的，故符合题意； C、如果，则，那么，该选项是正确的；故不符合题意； D、如果，，，那么，该选项是正确的；故不符合题意； 故选：B 3．（23-24六年级下·上海闵行·期末）已知，那么下列各式中，一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，掌握“利用不等式的基本性质判断不等式的变形是否正确”是解本题的关键． 不等式性质1：在不等式的两边都加上或减去同一个数，不等号的方向不变，性质2：在不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，性质3：在不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A．∵，∴，原变形错误，故该选项不符合题意； B．当时，不成立，原变形错误，故该选项不符合题意； C．∵，无法判断与的大小，故该选项不符合题意； D．∵，∴ ，原变形正确，故该选项符合题意； 故选：D． 4．（23-24六年级下·上海·期末）如果，那么下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：A. 由可得，成立， B.当，时，不能得到，原式子不成立； C.由，，不能得到，原式子不成立； D.由，，不能得到，原式子不成立； 故选A． 5．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）如果，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质、绝对值的意义 【分析】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的意义，熟知不等式的性质是解题的关键： 不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，根据不等式的性质逐项判断即可得出答案． 【详解】取，，则， ，， ，故选项A不成立． ，但未说明a的符号，当 时，不等式 ，故选项B不一定成立． 将不等式 两边同时乘以 得到，然后两边同时加 5，得．故选项C一定成立． 当， 时，，故选项D不一定成立． 故选：C． 二、填空题 6．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）用不等式表示：的2倍减去的差是一个非负数 ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式．根据“的2倍”即，再减去，结合差是非负数，即大于等于零，得出答案． 【详解】解：由题意可得：． 故答案为：． 7．（2023六年级下·上海·专题练习）如果，，那么a b（填“”“ ”“ ”）． 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质．根据不等式的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8.已知，则 （填“＞”或“＜”）． 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质．利用不等式的基本性质求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 9．用不等式表示：与b的一半的和是负数 ． 【答案】 【知识点】不等式的定义 【分析】直接根据题意列不等式即可． 【详解】a与b的一半的和是负数用不等式可以表示为． 【点睛】本题考查的是列不等式；解答本题的关键是读懂题意，找出量与量之间的关系，正确列出不等式． 10．给出下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中属于不等式的是 ．（填序号） 【答案】②③④⑥ 【知识点】不等式的定义 【分析】根据不等式的定义判断即可． 【详解】解：①a（b+c）=ab+ac是等式； ②-2＜0是用不等号连接的式子，故是不等式； ③x≠5是用不等号连接的式子，故是不等式； ④2a＞b+1是用不等号连接的式子，故是不等式； ⑤x2-2xy+y2是代数式； ⑥2x-3＞6是用不等号连接的式子，故是不等式， 故答案为：②③④⑥． 【点睛】本题考查的是不等式的定义，即用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． 11.如果，则 （填“”或“”或“”）． 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质分析判断即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，理解并掌握不等式的基本性质是解题关键． 12．（23-24六年级下·上海·期中）用不等式表示“的相反数减去3所得的差不小于”： ． 【答案】/ 【知识点】列一元一次不等式、不等式的定义 【分析】本题考查了列不等式，解题关键是明确题目中的数量关系，正确列出不等式．根据题目中的不等量关系列出不等式即可． 【详解】解：x的相反数减去3的差不小于5用不等式表示为：， 故答案为：． 13．（23-24六年级下·上海普陀·期中）a的平方减去2的差不大于a与b的乘积，用不等式表示为 ． 【答案】 【知识点】不等式的定义 【分析】根据题意，选择正确的不等号，列出不等式即可，本题考查了不等式的应用，熟练掌握不等式的应用是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 故答案为：． 三、解答题 14.判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)52； (7)． 【答案】(1)既不是等式也不是不等式 (2)是不等式 (3)是等式 (4)是不等式 (5)是等式 (6)既不是等式也不是不等式 (7)是不等式 【知识点】不等式的定义 【分析】本题主要考查不等式的定义，掌握等式和不等式的定义是解题的关键．根据所学知识，可知：含有等号的式子叫做等式，用不等号连接的式子叫做不等式，根据上述定义，找出用等号和不等号连接的式子即可找出等式和不等式，进而找出既不是等式也不是不等式的式子． 【详解】（1）解：既不是等式也不是不等式； （2）解：是不等式； （3）解：是等式； （4）解：是不等式； （5）解：是等式； （6）解：52既不是等式也不是不等式 （7）解：是不等式． 15.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】不等式的性质 【分析】（1）根据不等式的性质1解答即可； （2）先根据不等式的性质1，再根据不等式的性质2解答； （3）先根据不等式的性质1，再根据不等式的性质3解答； （4）根据不等式的性质3解答即可； 【详解】（1）解：， 两边加上得：， 解得：； （2）解：， 两边加上得：，即， 两边除以得：； （3）解：， 两边减去得：，即， 两边除以得：； （4）解：， 两边除以得：． 【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 16．若，且，求实数a的取值范围． 【答案】实数a的取值范围为 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查不等式的基本性质，由，且，结合不等式的基本性质可知，即可求解．理解并掌握不等式的基本性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得． 答：实数a的取值范围为． 17.已知，请比较下列各式的大小，并说明理由． (1)与； (2)与． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，熟知①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． （1）根据不等式的基本性质解答即可． （2）根据不等式的基本性质解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 18.解决下面问题： (1)已知，比较与的大小．（选择适当的不等号填空） 解：，且（已知） _______（不等式的基本性质3） _______（不等式的基本性质2） (2)若，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)＜，＜； (2)见解析． 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质：①不等式的传递性：若，，则，②把不等式的两边都加(或减去)同一个数，不等号仍然成立；③不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号仍然成立；不等式两边都乘(或除以)同一个负数，必须改变不等号方向，所得不等式成立． （1）根据不等式的性质解答即可； （2）根据不等式的性质解答即可． 【详解】（1）解：，且（已知） （不等式的基本性质3） （不等式的基本性质2） 故答案为：＜，＜； （2）解：，且（已知） （不等式的基本性质3） （不等式的基本性质2）． 19.用适当的符号表示下列关系： (1)x的与x的2倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米； (3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元； (4)明天下雨的可能性不小于； (5)小明的体重不比小刚轻． 【答案】(1) (2)设炮弹的杀伤半径为r，则应有 (3)设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有 (4)用P表示明天下雨的可能性，则有 (5)设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有 【知识点】不等式的定义 【分析】（1）非正数用“”表示； （2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”来表示； （3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示； （5）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重．用“≥”表示． 【详解】（1）； （2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有； （3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有； （4）用P表示明天下雨的可能性，则有； （5）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有． 【点睛】本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠． 20.已知：中，，，，是最小的合数，、满足等式：，点是的边上一动点，点从点开始沿着的边按顺序顺时针移动一周，回到点后停止，移动的路径为，移动的速度为每秒3个单位．如图所示． (1)的周长为_____． (2)请指出当点移动到哪条边上时，的值始终为定值，并求出这个定值． 【答案】(1)15 (2)点移动到边上时，定值为 【知识点】素数与合数、不等式的性质、绝对值非负性 【分析】本题考查偶次方的非负性以及绝对值的非负性、合数的定义及不等式的性质，本题讨论出的取值范围化简绝对值是解题的关键． （1）根据是最小的合数，、满足等式：，找到、、的值即可计算的周长； （2）当点移动到边上时，，再去绝对值化简即可求值． 【详解】（1）解：∵是最小的合数， ， ∵， ，， 三角形的周长． 故答案为： （2）当点移动到边上时，， ∴和的符号有变化， ∴的值不是定值， 当点移动到边上时，， ∴，，， ∴， 这个定值为． 当点移动到边上时，， ∴的符号有变化， ∴的值不是定值， 综上所述：点移动到边上时，定值为 21.阅读下列材料解决问题： 两个多位正整数，若它们各数位上的数字和相等，则称这两个多位数互为“调和数”．例如： 37与82，它们各数位上的数字和分别为，，∵，∴37与82互为“调和数”；又如：123与51，它们各数位上的数字和分别为，，∵，∴123与51互为“调和数”． （1）若两个三位数、（，且，，为整数）互为“调和数”，且这两个三位数之和是17的倍数，求这两个“调和数”； （2）若、是两个不相等的两位数，，，、互为“调和数”，且与之和是与之差的3倍，求证：． 【答案】（1）243，216或343，235；（2）见解析 【知识点】不等式的解集、数的整除 【分析】（1）先利用“调和数”得出c＝a−b＋5，再求出 利用两个三位数之和是17的倍数，得出a＋8b＋7＝17或34或51或68或85，最后利用0≤b≤a≤9，0≤c≤9且a，b，c为整数，讨论即可得出结论； （2）先利用“调和数”，得出x＋y＝m＋n①，再用A与B之和是B与A之差的3倍，得出10m＋n＝20x＋2y②，即可得出，最后利用1≤m≤9，0≤n≤9，讨论即可得出结论． 【详解】解：（1）∵两个三位数、互为“调和数”， ∴c＝a−b＋5， ∴，为17的倍数， ∵0≤b≤a≤9，∴7≤a＋8b＋7≤88， ∴a＋8b＋7＝17或34或51或68或85 ∴或或或或， ∴或或或或， ∵0≤b≤a≤9， ∴或， ∴或， ∴或， 即：这两个“调和数”为：243，216或343，235； （2），，、互为“调和数”， ∴x＋y＝m＋n①， ∵A与B之和是B与A之差的3倍， ∴10m＋n＝20x＋2y②， 由①②知，， ∵ m，n是两位数的十位数字和个位数字， ∴1≤m≤9，1≤n≤9， ∴1≤8m−n≤72， ∵x是两位数的十位数字， ∴1≤x≤9， ∴， ∴，且8m−n是18的倍数， ∴8m−n＝18或36或54或72， ∴或或或， ∵1≤m≤9，0≤n≤9， ∴或或或， ∴， ∴ x+y＝m+n， ∴ y＝﹣x+9． 【点睛】此题主要考查了整除问题，新定义，解不等式，分类讨论的数学思想，判断出a＋8b＋7＝17或34或51或68或85是解（1）的关键，判断出8m−n＝18或36或54或72是解（2）的关键． 22.阅读下列材料，并完成填空． 你能比较 和 的大小吗? 为了解决这个问题，先把问题一般化，比较 和 （ ，且 为整数）的大小．然后从分析 ，， 的简单情形入手，从中发现规律，经过归纳、猜想得出结论． （1）通过计算（可用计算器）比较下列（1）-（7）组两数的大小：（在横线上填上 " "" “或” "） （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ； （2）归纳第（1）问的结果，可以猜想出 和 的大小关系； （3）根据以上结论，可以得出 和 的大小关系． 【答案】（1）；；；；；； ;（2）当 或 时，；当 时，．（3）   ． 【知识点】不等式的定义、观察与实验 【分析】（1）计算器计算即可, （2）根据上一问总结规律即可, （3）根据上一问总结规律即可, 【详解】（1）   ；；；；；； （2）  当 或 时，； 当 时，． （3）   ． 【点睛】本题考查了有理数的乘方,有理数的大小比较,有一定难度,从计算结果中总结规律是解题关键. 23.【提出问题】已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围． 【分析问题】先根据已知条件用一个量如取y表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一个量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解． 【解决问题】解：∵x﹣y=2，∴x=y+2． 又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1． 又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0，…① 同理得1＜x＜2…② 由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2． ∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2． 【尝试应用】已知x﹣y=﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y的取值范围． 【答案】−1<x+y<1. 【知识点】不等式的性质 【详解】试题分析:先根据已知条件用一个量y表示另一个量x，即x=y−3;然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一个量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解． 解：∵x−y=−3， ∴x=y−3. 又∵x<−1， ∴y−3<−1， ∴y<2. 又∵y>1， ∴1<y<2，…① 同理得−2<x<−1…② 由①+②得1−2<y+x<2−1. ∴x+y的取值范围是−1<x+y<1. 点睛：本题考查了不等式的性质,用y表示x，根据不等式的性质得出关于y的取值范围,再用x表示y，根据不等式的性质得出关于x的取值范围是解题的关键. 24.在“爱心传递”活动中，某校学生积极捐款. 其中六年级的两个班级的捐款情况如下表： 班  级 人数 捐款总额（元） 人均捐款额（元） （1）班 （2）班 合计 80 900 11.25 小杰在统计时不小心污损了其中的部分数据，但他还记得以下信息： 信息一：六（2）班的捐款额比六（1）班多60元； 信息二：六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元； 请根据表格中留下的数据和以上信息，帮助小杰同学解决下列问题： (1)六（1）班和六（2）班的捐款总额各是多少元？ (2)六（2）班的学生数至少是多少人？ 【答案】(1)六（1）班的捐款额为420元，六（2）班的捐款额为480元 (2)38人 【知识点】不等式的定义、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设六（1）班的捐款额为元，从而可得六（2）班的捐款额为元，再根据合计总捐款额为900元建立方程，解方程即可得； （2）先求出六（1）班学生数最多不超过42人，再根据合计的学生总人数即可得出答案． 【详解】（1）解：设六（1）班的捐款额为元，则六（2）班的捐款额为元， 由题意得：， 解得， 则， 答：六（1）班的捐款额为420元，六（2）班的捐款额为480元； （2）解：因为六（1）班学生平均每人捐款的金额不小于10元， 所以六（1）班学生数最多不超过（人）， 所以六（2）班学生数至少是（人）， 答：六（2）班的学生数至少是38人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、不等式的应用，正确建立方程和理解不等式的概念是解题关键． 25．（22-23六年级·上海·假期作业）五个不同的自然数分别是A、B、C、D、E，它们从小到大依次排列，它们的平均数是23，前四个数的平均数是21，后四个数的平均数是24，已知C是偶数，D是多少？ 【答案】23 【知识点】不等式的性质 【分析】平均数问题与不定方程，先求出A和E，从而得到，再根据这些自然数的大小关系推出，再根据C是偶数，得到，从而对D分类讨论得解． 【详解】依题意得： ． 因为>21，所以D应大于21． 而，，故． 所以 又由于，故 因此， 又已知C是偶数， 因此，此时D至少为23． 若，此时则． 若，则，不符合题意． 故． 【点睛】本题考查平均数问题与不定方程，根据题意推出是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$