热点3-2 三角函数图象与性质综合（10题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考通用）

热点3-2 三角函数图象与性质综合 三年考情分析 2025考向预测 在选择题与填空题中主要考查三角函数的定义、图象变换、单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值等基础知识．在解答题中常与三角恒等变换等知识综合考查，难度相对较高． 选择题和填空题仍然是主要考查形式，重点在于基础知识点的运用，如图象变换、周期性、对称性、单调性等，而解答题可能会结合实际问题或与其他数学知识（如导数、几何等）综合考查． 题型1 由三角函数部分图象确定参数 已知的部分图象求其解析式时，比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法： （1）由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标，则令（或），即可求出． （2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或“零点”）坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对，的符号或对的范围有要求，可用诱导公式变换使其符合要求． 1．（24-25高三上·贵州铜仁·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·黑龙江·月考）已知函数 从点 到点 的一段图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知函数，则图象对应的函数解析式可以为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·湖北武汉·期末）已知函数的图象如图，点在的图象上，过分别作轴的垂线，垂足分别为，若四边形为平行四边形，且面积为，则（    ）    A． B． C． D．1 题型2 与三角函数有关的识图问题 图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选” （1）求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）． （2）判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）． （3）找特殊值：①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；②对比各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）． （4）判断单调性：可取特殊值判断单调性． 1．（24-25高三行·江西·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·安徽合肥·模拟预测）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·天津·模拟预测）函数，则的部分图象大致形状是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·安徽六安·月考）已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数在区间内的图象是（    ） A． B． C． D． 题型3 三角函数的图象变换问题 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换： （1）A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换． （2）ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换． （3）φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换． 图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”． 【注意】（1）平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值； （2）余弦型、正切型函数的图象变换过程与正弦型函数的图象变换过程相同． 1．（24-25高三上·山东菏泽·月考）（多选）为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上所有的点（    ） A．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原米的，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 2．（24-25高三上·河北保定·期末）函数的图象向左平移个单位得到函数图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·山东德州·月考）已知函数与的图象分别向右平移个单位长度和个单位长度后，所得图象重合，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·四川成都·期中）已知函数 ，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象．若的图象与的图象关于 轴对称，则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型4 三角函数的单调性及应用 1、求三角函数单调区间的2种方法 （1）代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解． （2）图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域． 2、已知单调区间求参数范围的3种方法 （1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解． （2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解． （3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解． 1．（24-25高三上·山西长治·月考）已知函数，，则函数的单调递减区间为 ． 2．（24-25高三上·广东江门·月考）下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·黑龙江·模拟预测）函数图象如图所示，若函数在单调增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·北京石景山·期末）“”是“函数在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型5 三角函数的周期性及应用 函数的周期为． 函数的周期为求解． 1．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知函数，则的最小正周期为 . 2．（24-25高三上·河南郑州·模拟预测）若，是函数两个相邻的最值点，则等于（    ） A．2 B． C．1 D． 3．（24-25高三上·广西柳州·模拟预测）设函数，已知，，且的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·河北沧州·期中）（多选）已知下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 题型6 三角函数的奇偶性及应用 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有： （1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． （2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． （3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 1．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）下列函数中是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东泰安·模拟预测）已知函数，且是偶函数，则实数（    ） A． B． C． D．2 3．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）已知函数是偶函数，则的值为 4．（23-24高三下·全国·模拟预测）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 题型7 三角函数的对称性及应用 三角函数对称性问题的2种求解方法 1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点． 2、公式法： （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为． （2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为． （3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z 1．（24-25高三上·北京·月考）已知直线是函数图像的一条对称轴，则的值为（    ） A．3 B．4 C．2 D．1 2．（24-25高三上·福建福州·月考）已知函数图象的对称轴方程为，则（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高三上·河北唐山·月考）已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏南通·月考）“函数的图象关于点对称”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型8 与三角函数有关的最值问题 三角函数值域或最值的3种求法 1、直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出． 2、化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值) ． 3、换元法： （1）形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)． （2）形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 1．（24-25高三上·河北沧州·期末）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江西上饶·一模）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·山东·月考）设函数（）的导函数的最大值为2，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·河南南阳·一模）已知角为锐角，则的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D． 题型9 与三角函数有关的零点问题 1、性质+数形结合：通过研究三角函数的性质，结合图象分析零点． 2、分离参数+数形结合：将参数分离，转化为两个函数图象的交点问题． 3、方程+数形结合：将零点问题转化为方程的根的问题，借助图象求解． 4、利用导数研究零点：通过求导数确定函数的单调性和极值点，结合图象分析零点． 1．（24-25高三上·江西赣州·期末）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（24-25高三上·辽宁大连·期末）当时，曲线与曲线的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25高三上·浙江·模拟预测）函数在区间内的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知函数的图象关于对称．若方程在上恰有两个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型10 三角函数图象与性质综合应用 1、熟悉三角函数的周期性、奇偶性、单调性、对称性等基本性质，这是解题的基础． 2、通过绘制或分析三角函数的图象，直观理解函数的性质和变化规律，帮助快速定位问题的关键点． 3、利用三角恒等变换（如诱导公式、和差公式、倍角公式等）将复杂函数化简为基本形式，便于分析性质． 4、对于含参数的三角函数问题，通过讨论参数的取值范围，结合图象或性质，确定函数的特征． 1．（24-25高三上·河南周口·期末）已知函数. (1)化简函数的解析式； (2)求函数在区间上的值域； (3)设，，求的值. 2．（24-25高三上·江苏淮安·月考）已知函数的部分图象如图所示．将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度得到的图象． (1)求的解析式； (2)若对任意，，恒成立，求m的取值范围． 3．（24-25高三上·山东菏泽·月考）已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为，且函数图象过点． (1)若函数是偶函数，求的最小值； (2)令，记函数在上的零点从小到大依次为，求的值； 4．（24-25高三上·云南曲靖·月考）已知函数． (1)若在上为增函数，求的取值范围； (2)已知的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像且是的一个零点，若在上恰好有6个零点，求n的最大值； (3)已知函数，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求a的取值范围． （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高三上·海南三亚·期末）函数的最小正周期和最大值分别为（    ） A．，1 B．， C．， D．， 2．（24-25高三上·安徽六安·月考）函数图象的一条对称轴为直线，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·安徽宣城·期末）将曲线向左平移个单位长度后得到曲线，如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·安徽·月考）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A． B． C．1 D．0 5．（24-25高三上·湖南长沙·期末）若在区间上是增函数，则的最大值是（    ） A． B． C．1 D． 6．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）记为不超过的最大整数，则方程的实数解的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（24-25高三下·山东·开学考试）已知方程在区间上有两个不相等的实数根，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·湖北襄阳·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且，当时，，则（    ） A． B． C．254 D．2025 二、多选题 9．（24-25高三上·云南昆明·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域是 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．图象的对称中心为 10．（24-25高三下·福建·月考）已知为函数图象的一条对称轴，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．函数为偶函数 11．（24-25高三上·山东日照·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．在区间上单调递增 C．直线为的图象的一条对称轴 D．在区间上的值域为 三、填空题 12．（24-25高三上·天津武清·期中）若为偶函数，则实数 . 13．（24-25高三上·山海·期末）若函数的图象关于直线对称，则的值是 . 14．（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，函数）（其中，，）与坐标轴的三个交点P、Q、R满足，，为QR的中点，，则A的值为 ． 四、解答题 15．（24-25高三上·安徽六安·月考）已知函数的最小值为. (1)求的值； (2)求在上的单调递增区间； (3)若，求的值. 16．（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)若将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象. （i）求的解析式及值； （ii）求在上的值域. 17．（24-25高三上·河南·期中）已知函数，且图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为. (1)求的值及的单调递增区间； (2)将图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），再向上平移个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若函数在上存在零点，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点3-2 三角函数图象与性质综合 三年考情分析 2025考向预测 在选择题与填空题中主要考查三角函数的定义、图象变换、单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值等基础知识．在解答题中常与三角恒等变换等知识综合考查，难度相对较高． 选择题和填空题仍然是主要考查形式，重点在于基础知识点的运用，如图象变换、周期性、对称性、单调性等，而解答题可能会结合实际问题或与其他数学知识（如导数、几何等）综合考查． 题型1 由三角函数部分图象确定参数 已知的部分图象求其解析式时，比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法： （1）由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标，则令（或），即可求出． （2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或“零点”）坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对，的符号或对的范围有要求，可用诱导公式变换使其符合要求． 1．（24-25高三上·贵州铜仁·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D. 2．（24-25高三上·黑龙江·月考）已知函数 从点 到点 的一段图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设函数的最小正周期为，根据图象可知，，则，得， 于是，由，则， 即，结合可得.故选：D 3．（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知函数，则图象对应的函数解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】图象所对应函数的最小正周期为2， 设图象所对应的解析式为， 由可得，故，， 故， 则．故选：C 4．（24-25高三上·湖北武汉·期末）已知函数的图象如图，点在的图象上，过分别作轴的垂线，垂足分别为，若四边形为平行四边形，且面积为，则（    ）    A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】因为四边形为平行四边形，点，， 所以，所以， 因为平行四边形的面积为， 所以，所以， 结合对称性可得函数的周期为， 又，所以， 又点在的图象上，所以，所以， 结合图象可得，，所以，， 所以，所以故选：D. 题型2 与三角函数有关的识图问题 图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选” （1）求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）． （2）判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）． （3）找特殊值：①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；②对比各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）． （4）判断单调性：可取特殊值判断单调性． 1．（24-25高三行·江西·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数是定义域为 函数，是奇函数，所以排除B，C， 又函数在原点附近的零点为和1，可取大于0且接近于0的一个数， 如0.1，得，所以排除D．故选：A. 2．（24-25高三上·安徽合肥·模拟预测）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，解得，所以函数 的定义域为 ， 因为，所以函数为奇函数，排除C项； 设，显然该函数单调递增，故当时，， 则当时，，故， 当时，，故， 当时，，故故排除D项； 当时，，故故排除B项，故选：A. 3．（24-25高三上·天津·模拟预测）函数，则的部分图象大致形状是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为， ， 即函数为偶函数，排除BD； 当时，，排除C.故选：A. 4．（24-25高三上·安徽六安·月考）已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数在区间内的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，的图象与直线的相邻交点间的距离为， 所以的周期为，则， 所以， 由正弦函数和正切函数图象可知A正确.故选：A. 题型3 三角函数的图象变换问题 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换： （1）A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换． （2）ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换． （3）φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换． 图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”． 【注意】（1）平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值； （2）余弦型、正切型函数的图象变换过程与正弦型函数的图象变换过程相同． 1．（24-25高三上·山东菏泽·月考）（多选）为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上所有的点（    ） A．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原米的，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 【答案】AC 【解析】正弦曲线先向右平移个单位长度，得到函数的图象， 再将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到函数的图象，故A正确，B错误； 先将正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到函数的图象，再向右平移个单位长度， 得到函数的图象，故C正确，D错误．故选：AC. 2．（24-25高三上·河北保定·期末）函数的图象向左平移个单位得到函数图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由的图象向左平移个单位得到图像， 所以.故选：D 3．（24-25高三上·山东德州·月考）已知函数与的图象分别向右平移个单位长度和个单位长度后，所得图象重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，得， 所以或， 得或（不恒成立，舍去），故选：C 4．（24-25高三上·四川成都·期中）已知函数 ，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象．若的图象与的图象关于 轴对称，则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得， 所以， 因为的图象与的图象关于 轴对称， 所以，即， 所以或（不合题意）， 解得：，又因为，所以的最小值为.故选：B 题型4 三角函数的单调性及应用 1、求三角函数单调区间的2种方法 （1）代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解． （2）图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域． 2、已知单调区间求参数范围的3种方法 （1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解． （2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解． （3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解． 1．（24-25高三上·山西长治·月考）已知函数，，则函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【解析】时，， 结合余弦函数的性质，当和时， 函数单调递减，此时. 2．（24-25高三上·广东江门·月考）下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：由，可知不是其周期，（也可说明其不是周期函数）故错误； 对于B：，其最小正周期为，故错误； 对于C：满足，以为周期， 当时，，由正切函数的单调性可知 在区间上单调递减，故错误； 对于D，满足，以为周期， 当时，，由余弦函数的单调性可知， 在区间上单调递增，故正确；故选:D 3．（24-25高三上·黑龙江·模拟预测）函数图象如图所示，若函数在单调增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，∴， ∵的图象过点，∴. ∴，∴． 由，，得，， ∴函数的单调增区间为，． 若函数在单调增，则的取值范围是.故选：C. 4．（24-25高三上·北京石景山·期末）“”是“函数在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由题意，若， 则， 由，得， 此时函数单调递减，所以充分性成立； 若函数在上单调递减， 由，得， 则，所以，， 解得，即，所以必要性成立； 因此“”是“函数在上单调递减”的充分必要条件.故选：C. 题型5 三角函数的周期性及应用 函数的周期为． 函数的周期为求解． 1．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知函数，则的最小正周期为 . 【答案】2 【解析】代入正切型函数的最小正周期的公式：，得到最小正周期. 2．（24-25高三上·河南郑州·模拟预测）若，是函数两个相邻的最值点，则等于（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由，是函数两个相邻的最值点， ，所以，即.故选：A. 3．（24-25高三上·广西柳州·模拟预测）设函数，已知，，且的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设函数的最小正周期为， 因为函数，已知，，且的最小值为， 则，可得，故.故选：D. 4．（24-25高三上·河北沧州·期中）（多选）已知下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为，所以的最小正周期为，故A正确； 函数的最小正周期为，经过上下翻折后周期没有发生变化， 所以函数的最小正周期为，故B正确； 函数的最小正周期为，经过上下翻折后周期减半，变为， 所以函数的最小正周期为，故C错误； 函数的最小正周期为，经过上下翻折后周期没有发生变化， 所以函数的最小正周期为，故D正确.故答案为：ABD. 题型6 三角函数的奇偶性及应用 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有： （1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． （2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． （3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 1．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）下列函数中是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A，定义域为，定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，错误； B，定义域为，，所以函数是奇函数，错误； C，定义域为R，，所以函数是偶函数，正确； D，定义域为R，，所以函数不是偶函数，错误.故选：C 2．（24-25高三上·山东泰安·模拟预测）已知函数，且是偶函数，则实数（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】，其中， ， 为偶函数，故，解得， 则.故选：B 3．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）已知函数是偶函数，则的值为 【答案】 【解析】因为函数是偶函数， 所以，即， 所以. 4．（23-24高三下·全国·模拟预测）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若0在定义域内，由时，得，； 若0不在定义域内，由时，无意义，得． 综上，．故选：C． 题型7 三角函数的对称性及应用 三角函数对称性问题的2种求解方法 1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点． 2、公式法： （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为． （2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为． （3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z 1．（24-25高三上·北京·月考）已知直线是函数图像的一条对称轴，则的值为（    ） A．3 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【解析】依题意得， 所以，即， 又，所以.故选：C. 2．（24-25高三上·福建福州·月考）已知函数图象的对称轴方程为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】，其中． 由函数图象的对称轴方程为，得的最小正周期， 所以，所以． 由函数图象的对称轴方程为，得， 令，得，即，得， 所以，经验证满足题设，则．故选：A． 3．（24-25高三上·河北唐山·月考）已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数的图象关于点中心对称， 所以，即， 又，所以.故选：A. 4．（24-25高三上·江苏南通·月考）“函数的图象关于点对称”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当函数的图象关于点对称时，， 解得，不能得到. 当时，， 由得，，函数的对称中心为， 令得对称中心为. 综上得，“函数的图象关于点对称”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 题型8 与三角函数有关的最值问题 三角函数值域或最值的3种求法 1、直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出． 2、化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值) ． 3、换元法： （1）形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)． （2）形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 1．（24-25高三上·河北沧州·期末）函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 ，，， 由，则， 又，所以．故选：A． 2．（24-25高三上·江西上饶·一模）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 令，，此时函数变为. 对于二次函数，其对称轴为. 当时，. 当时，. 所以在上的值域是.故选：A. 3．（23-24高三上·山东·月考）设函数（）的导函数的最大值为2，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵的最大值为2，∴． ∴，，∴， ∴，即，的最小值为．故选：D. 4．（23-24高三下·河南南阳·一模）已知角为锐角，则的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】. 令，因为为锐角，所以. 令， 则，设， 所以，在时是单调递增函数. 又，所以当时，单调递减； 当时，单调递增，所以. 所以当时，的最小值为2.故选：A. 题型9 与三角函数有关的零点问题 1、性质+数形结合：通过研究三角函数的性质，结合图象分析零点． 2、分离参数+数形结合：将参数分离，转化为两个函数图象的交点问题． 3、方程+数形结合：将零点问题转化为方程的根的问题，借助图象求解． 4、利用导数研究零点：通过求导数确定函数的单调性和极值点，结合图象分析零点． 1．（24-25高三上·江西赣州·期末）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【解析】与在上的函数图象如图所示， 由图象可知，两个函数图象交点的个数为6个.故选：B. 2．（24-25高三上·辽宁大连·期末）当时，曲线与曲线的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】，中，， 令，即， 故或， 若，则，解得， 当时，， 当时，，不合要求， 当时，，其他值，均不合要求， 若，则，解得， 若当时，，当时，， 其他值，均不合要求， 综上，曲线与曲线的交点个数为2.故选：A 3．（24-25高三上·浙江·模拟预测）函数在区间内的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由，得，即， 令，函数在内的零点个数， 即函数在内的图象交点个数， 在同一坐标系内作出函数在内的图象，如图： 观察图象，得函数在内的图象交点个数为4， 所以函数在区间内的零点个数为4.故选：C 4．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知函数的图象关于对称．若方程在上恰有两个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象关于对称，可得，可得， 所以， 由可得或， 时，得，有一个根， 有一根．由正弦函数的性质知．故选:C． 题型10 三角函数图象与性质综合应用 1、熟悉三角函数的周期性、奇偶性、单调性、对称性等基本性质，这是解题的基础． 2、通过绘制或分析三角函数的图象，直观理解函数的性质和变化规律，帮助快速定位问题的关键点． 3、利用三角恒等变换（如诱导公式、和差公式、倍角公式等）将复杂函数化简为基本形式，便于分析性质． 4、对于含参数的三角函数问题，通过讨论参数的取值范围，结合图象或性质，确定函数的特征． 1．（24-25高三上·河南周口·期末）已知函数. (1)化简函数的解析式； (2)求函数在区间上的值域； (3)设，，求的值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1） . （2）当时，，则， 所以函数在区间上的值域为 . （3）因为，所以， ，，所以， 则. 2．（24-25高三上·江苏淮安·月考）已知函数的部分图象如图所示．将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度得到的图象． (1)求的解析式； (2)若对任意，，恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由图象可知，，所以，即， 又，所以， 得，即， 因为，所以，故， 由，可得， 所以. （2）由（1）得， 将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到， 再向左平移个单位长度得到， 由可得，对任意，恒成立， 所以只需， 当时，，故， 当时，，故， 所以. 3．（24-25高三上·山东菏泽·月考）已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为，且函数图象过点． (1)若函数是偶函数，求的最小值； (2)令，记函数在上的零点从小到大依次为，求的值； 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）图象的相邻的两条对称轴间的距离为, 的最小正周期为， ，， 又的图象过点． ，则， 因为函数是偶函数， ，． 的最小值． （2）由，可得， ， 设，由与图象可知在共有8个交点． 其中， ，， 同理， ． 4．（24-25高三上·云南曲靖·月考）已知函数． (1)若在上为增函数，求的取值范围； (2)已知的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像且是的一个零点，若在上恰好有6个零点，求n的最大值； (3)已知函数，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求a的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1）因在区间上单调递增， 令，则, 故在区间上单调递增， 故由题意知，则， 于是，解得，故的取值范围为. （2）由题意知， 因为是的一个零点，所以， 即，解得，或， 解得，，或，， 又，所以，所以， 若在上恰好有6个零点等价于与恰好有6个交点， 令，由，则， 即，与恰好有6个交点， 而从开始从左到右的解依次为, 所以，故n的最大值为. （3）由（2）知， 若对任意，存在，使得成立， 则的值域是值域的子集， 当时，，所以， 即， 当时，，所以， 即， 因为的值域是值域的子集，所以 所以实数a的取值范围为. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高三上·海南三亚·期末）函数的最小正周期和最大值分别为（    ） A．，1 B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】 ， 故的最小正周期为，最大值为.故选：C 2．（24-25高三上·安徽六安·月考）函数图象的一条对称轴为直线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，，其中， 由函数图象的一条对称轴为直线， 即有，即， 又，故，故.故选：C. 3．（24-25高三上·安徽宣城·期末）将曲线向左平移个单位长度后得到曲线，如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设，易知，可得，则， 由图知且， 则，故， 所以，， 又，故.故选：A 4．（24-25高三下·安徽·月考）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】B 【解析】由图知，则， 由，则，可得， 又，则，故， 由题意，故.故选：B 5．（24-25高三上·湖南长沙·期末）若在区间上是增函数，则的最大值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】解：， 当时，， 因为在区间上是增函数， 所以，则，所以， 则的最大值是，故选：A 6．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）记为不超过的最大整数，则方程的实数解的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】令， 则根的个数等价于图像交点的个数 ， 作出图象，易得两个函数图象有3个交点，所以，方程有3个根. 故选：B. 7．（24-25高三下·山东·开学考试）已知方程在区间上有两个不相等的实数根，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，故， 而方程在区间上有两个不相等的实数根， 且令，则在区间上有两个不相等的实数根， 故，，两个根为， 则与在区间上有两个不同的交点， 记两个交点横坐标为，由正弦函数性质得关于对称， 则，解得，而， 得到，即，故C正确.故选：C 8．（24-25高三上·湖北襄阳·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且，当时，，则（    ） A． B． C．254 D．2025 【答案】B 【解析】由是偶函数推出的性质， 因为是定义域为的偶函数， 所以，即， 对于任意都成立，那么. 用代替，可得，即. 又因为，则关于直线对称，所以. 由和可得， 再用代替，得到，即， 而，所以，进而，所以函数的周期是. 已知当时，. .. 因为的图象关于直线对称，所以，. . .，，. 则. 因为，其中是余数. 所以. ，故选：B. 二、多选题 9．（24-25高三上·云南昆明·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域是 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．图象的对称中心为 【答案】AC 【解析】自变量的取值应满足，解得， 所以的定义域是，故A正确； 的最小正周期为，故B错误； 由解得， 所以在区间上单调递减，故C正确； 由，解得， 所以图像的对称中心为，故D错误.故选：AC. 10．（24-25高三下·福建·月考）已知为函数图象的一条对称轴，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．函数为偶函数 【答案】AC 【解析】对于A，因为为函数图象的一条对称轴， 所以，故， 因为，所以令，得到，解得，得到， 而周期，则的最小正周期为，故A正确， 对于B，而， 即的图象不可能关于点对称，故B错误， 对于C，因为，所以，故，而令， 则原函数化为，， 由余弦函数性质得在上单调递减，得到在区间上单调递减，故C正确， 对于D，因为，所以， 令，即， 而，得到， 则函数不为偶函数，故D错误.故选：AC. 11．（24-25高三上·山东日照·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．在区间上单调递增 C．直线为的图象的一条对称轴 D．在区间上的值域为 【答案】ACD 【解析】由函数的部分图象知，，解得； 因为，所以，A正确； 由五点法作图结合图象可知，解得， 所以；时不是单调函数， 所以在区间不是单调函数，B不正确； 因为，所以直线为的图象的一条对称轴，C正确； 时所以， 所以在区间上的值域为，D正确，故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高三上·天津武清·期中）若为偶函数，则实数 . 【答案】0 【解析】由得： 由题意可知： 可得：恒成立，所以，故答案为：0 13．（24-25高三上·山海·期末）若函数的图象关于直线对称，则的值是 . 【答案】 【解析】因为 （其中）， 且函数图象关于直线对称， 所以， 整理得，解得. 14．（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，函数）（其中，，）与坐标轴的三个交点P、Q、R满足，，为QR的中点，，则A的值为 ． 【答案】 【解析】函数的图象过点，周期，则， 由，得，中点， 由，得为等腰直角三角形，，则， 而，即， 于是，而，解得，即， 则，由，得，又，解得， 由，得，所以. 四、解答题 15．（24-25高三上·安徽六安·月考）已知函数的最小值为. (1)求的值； (2)求在上的单调递增区间； (3)若，求的值. 【答案】(1)1；(2)；(3) 【解析】（1）由函数， 因为函数的最小值为，可得，解得. （2）由（1）知：， 因为，可得， 令和，解得和， 所以函数在上的单调递增区间为. （3）由（1）知，， 因为，可得，所以， 又因为，可得， 因为，可得，所以， 则 . 16．（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)若将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象. （i）求的解析式及值； （ii）求在上的值域. 【答案】(1)；(2)（i）；1；（ii）. 【解析】（1）由图可知，，，所以，. 将点代入得，. 又，所以， 所以. （2）（i）将的图象向左平移个单位长度， 得， 再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得， 所以， 所以； （ii）因为，所以，， 所以， 所以，所以， 故在上的值域为. 17．（24-25高三上·河南·期中）已知函数，且图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为. (1)求的值及的单调递增区间； (2)将图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），再向上平移个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若函数在上存在零点，求的取值范围. 【答案】(1)；单调递增区间为：；(2) 【解析】（1）由 ， 因为图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为， 所以其最小正周期为， 则， 令，解之得； （2）由题意可知将图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变）， 再向上平移个单位长度可得， 再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数， 当，所以， 令，则条件可化为在时有解， 易知在上单调递减，在上单调递增， 易知，则，解之得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$