专题17.2 勾股定理（专项练习）（基础练）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题17.2 勾股定理（专项练习）（基础练） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级上·贵州·期末）下列各组数中，不是勾股数的是（  ） A．5，8，12 B．30，40，50 C．9，40，41 D．6，8，10 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，到原点的距离为5的点是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）海面上有A、B、C三个灯塔，已知灯塔B位于灯塔A的北偏西方向，与灯塔A的距离为5千米；灯塔C位于灯塔A的北偏东方向，与灯塔A的距离为3千米，那么灯塔B与灯塔C的距离为（   ） A．3千米 B．4千米 C．5千米 D．千米 4．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，，，，，点在线段上，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则为长度的（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个推断：①；②；③；④．其中正确的推断是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 7．（24-25八年级上·福建福州·期末）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·贵州黔西·阶段练习）如图所示，两个完全一样的含有的三角板按照图示摆好，，点和重合在一起，和在同一条线上，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．（22-23七年级上·广西柳州·开学考试）在等腰梯形中，平行于，，是直角，，则等于（　　） A．84 B．80 C．75 D．64 10．（23-24八年级下·北京东城·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了“赵爽弦图”，流传至今．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，设每个直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，给出下面三个结论： ①；  ②；  ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，数轴上点表示的实数是 ． 12．（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，则边上的高线长为 ． 13．（12-13八年级上·江西景德镇·单元测试）如图所示，已知在中，，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则的值等于 ． 14．（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则 ． 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，，，，，则的长度为 ． 16．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在做小球摆动实验时，嘉嘉发现当小球（看作一个点）静止时，位于点处，当小球摆动到点时，小球与静止位置时的高度差，与静止位置时的水平距离，则摆线的长度是 ． 17．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，是等边三角形，是的中点，动点在边的中线上．若，则的最小值为 ． 18．（24-25九年级上·湖南永州·开学考试）如图1，D是中边上的任一点（与点A、B不重合），连结．若，则称是的“智慧线”．如图2，已知，，，若边上存在点D，使是的“智慧线”，则的长为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级上·辽宁辽阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个网格的小正方形边长为1） （1）写出三个顶点的坐标，并求出的长； （2）画出使和关于轴对称． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）满足的三个正整数，称为勾股数． （1）请把下列三组勾股数补充完整：①______，8，10；②9，______，15；③9，40，______． （2）小明发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成，那么另外两个数可以写成，，如，，，请你帮小明证明这三个数，，是勾股数组． （3）如果28，96，100是满足上述小明发现的规律的勾股数组，则______． 21．（本小题满分10分）（22-23八年级下·黑龙江绥化·期中）为了弘扬“社会主义核心价值观”，政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端距广告牌立柱距离为3米，从点测得广告牌顶端点和底端点的距离分别是5米和米．   （1）求公益广告牌的高度； （2）求的度数． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，． （1）求证：． （2）当时，求证是等边三角形． 23．（本小题满分10分）（23-24八年级上·江苏无锡·期中）在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G． （1）求证：； （2）试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 24．（本小题满分12分）（24-25九年级上·山东·期末）【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度． 【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具． 【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是，，，且，，，在同一水平面上．经过多次测量，得到如下数据：，，，． 【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）． （1）求，两点间的距离； （2）求该条待建环山路的长度（结果保留）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D C C A D C A D 1．A 【分析】该题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．注意：（1）三个数必须是正整数．（2）一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．（3）记住常用的勾股数再做题可以提高速度． 欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方． 解：A，，不是勾股数，此选项符合题意； B，，是勾股数，此选项不符合题意； C，，是勾股数，此选项不符合题意； D，，是勾股数，此选项不符合题意； 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点到原点的距离和勾股定理，根据勾股定理即可得到结论． 解：A.到原点的距离为，不符合题意； B.到原点的距离为，不符合题意； C.到原点的距离为，符合题意； D.到原点的距离为，不符合题意； 故选：C． 3．D 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意，画出图形，易得，李哟经勾股定理求出的长即可． 解：由题意，画图如下： 则：，， ∴， 故灯塔B与灯塔C的距离为千米； 故选D． 4．C 【分析】由直角三角形的两个锐角互余和平角的定义可得，进而可证得，于是可得，根据勾股定理可求得，然后利用三角形的面积公式即可得出答案． 解：， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， 的面积， 故选：． 【点拨】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及勾股定理是解题的关键． 5．C 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质可得，设，表示出，然后在，利用勾股定理建立方程求解即可． 解：由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴的长是． 故选：C． 6．A 【分析】本题利用了勾股定理、面积分割法等知识．根据大正方形的面积和勾股定理可判断①正确；根据四个三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积可判断②③正确；根据①③可知即可判断④不正确． 解：①大正方形的面积是，则其边长是7，利用勾股定理可得，故①正确； ②小正方形面积为，则其边长是2， 因为是四个全等三角形，所以有，即，故②正确； ③根据图形可得四个三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积，即，化简得，故③正确； ④因为，所以，故④不正确． 综上，①②③正确． 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了考查了勾股定理的应用；设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得 尺，利用勾股定理可得方程，即可求解． 解：设秋千的绳索长为尺，则尺 由题意可知：尺，尺，则尺，则尺， 在中，由勾股定理可得：， 则可列方程为：． 故选：D． 8．C 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是根据勾股定理求出，根据直角三角形性质求出，再根据勾股定理求出结果即可． 解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴根据勾股定理得：． 故选：C． 9．A 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握两直角边的平方的和等于斜边的平方是解题的关键．连接，过点A作于点F，过点B作于点G，分别在直角和直角表示出，最后在直角中求解即可． 解：如图，连接，过点A作于点F，过点B作于点G，则， ∴， 在直角中，， 在直角中，， 又∵，， ∴， 故选：A． 10．D 【分析】本题主要考查了勾股定理，因式分解的应用．根据三角形的三边关系得： ，故①正确；再由，可得，故②正确；根据，可得，故③正确，即可． 解：由三角形的三边关系得： ，故①正确； ∵， ， 即，故②正确； 由勾股定理得：， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴，故③正确； 故选：D． 11．/ 【分析】此题主要考查了实数与数轴、勾股定理等知识直接利用勾股定理得出三角形斜边长即可得出点对应的实数． 解：由图形可得：到的距离为 ∴数轴上点表示的实数是； 故答案为：． 12．/ 【分析】本题考查勾股定理、三角形的面积公式，先根据网格特点和勾股定理求得，进而利用三角形的等面积求解即可． 解：根据网格特点，，， 由得：， 故答案为：． 13． 【分析】此题考查勾股定理的应用，根据图形得到，，根据勾股定理推出即可求解. 解：由题意，得，， 所以， 故答案为：. 14． 【分析】、分别是两个直角三角形的斜边。 在中，， 在中，， 进而求解． 解：在中和中，，， 故答案为：40． 【点拨】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 15． 【分析】本题考查了等腰三角形的判断和性质，勾股定理的逆定理，三角形的内角和，三角形外角，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理得出，继而得到，是等腰三角形，得到，由，得到，即可得到答案． 解：如图， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了勾股定理，掌握直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解题关键．设摆线的长度是，根据勾股定理列方程求解即可． 解：设摆线的长度是，则， 在中，， ， 解得：，即摆线的长度是， 故答案为：． 17． 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，同时也利用了勾股定理进行计算，解题的关键是利用轴对称的性质确定满足条件的点． 如图，利用等边三角形的性质和轴对称的性质可以得到满足条件的点，然后利用勾股定理即可求解． 解：如图， 是等边三角形，动点在边的中线上， 、关于对称，， 连接交于即可满足的最小， 是的中点， ，， ∴， 的最小值， 故答案为：． 18．或 【分析】本题考查了勾股定理的应用，过点C 作于点E，在上找一点D，连接，使，根据勾股定理求出，再分情况计算即可解决． 解：过点C 作于点E，在上找一点D，连接，使，如图2所示， 在中，， ， ， 设， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 当时，， 在中，， ； 当时，，如图3所示， 在中，， ， 故答案为：或． 19．（1），，；；（2）见分析 【分析】本题主要考查作图-关于x轴对称的图形，勾股定理. （1）根据的位置直接写出三个顶点的坐标，利用勾股定理求得的长即可； （2）根据关于轴对称的特点，画出的图形即可. 解：（1）解：由图形得，，； ； （2）解：如图所示， ； 20．（1）6，12，41；（2）见详解；（3）7 【分析】本题考查勾股数的定义，以及整式的运算，完全平方公式，理解题意，准确结合材料定义进行分析是解题关键． （1）根据勾股数的定义求解即可； （2）根据勾股数的定义，分别计算各整式的平方，然后判断等式是否成立即可； （3）先对原三个数约去公因数化简，然后拆分化简后的偶数，根据化简后剩余的两个数依次确定出m，n的值即可求解． 解：（1）解：①设空缺的数为x， 则有三种情况：，，， 解得：，， ∵x要为正整数， ∴仅有满足题意， 同理，对于②③，可求得空缺的数为：12，41， 故答案为：6，12，41； （2）证明：， ， ， 显然，， 即：， ∴，，是勾股数组； （3）解：28，96，100约去公因数4，得到7，24，25， 其中，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：7． 21．（1）公益广告牌的高度的长度为；（2） 【分析】（1）利用勾股定理分别求出的长即可得到答案； （2）根据（1）所求可得，则是等腰直角三角形，即可得到． 解：（1）解：由题意得： 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴（米）， 答：公益广告牌的高度的长度为； （2）解：∵在直角三角形中，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【点拨】本题主要考查了勾股定理的实际应用，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用勾股定理求出的长是解题的关键． 22．（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、勾股定理、等边三角形的判定等： （1）根据全等三角形的判定即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，再利用勾股定理求出，利用等边三角形的判定即可证明． 解：（1）因为在和中， ，，． 所以 （2）因为，所以， 所以，所以， 所以，所以为等边三角形，所以． 23．（1）见分析；（2），理由见分析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形综合问题以及勾股定理，证是解题关键． （1）证得，结合、可得，即可求证； （2）由得，结合，得，根据勾股定理即可求解. 解：（1）证明：∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 24．（1）；（2） 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握这些定理与性质，并可以通过正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，过点作，垂足为点．由，，得出，，在中，，即可求出和， 即可求解； （2）连接，先求出，再在中利用勾股定理求出，利用圆周长的一半即可求的长，即可解决． 解：（1）解：如图，连接，过点作，垂足为点． ∵， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 答：，两点之间的距离为； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴的长， 答：待建环山路的长度为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$