2025年中考数学复习讲义 专题9分式方程

专题9分式方程 专题9 分式方程 【考点梳理】 1.分式方程:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据. 2.分式方程的解法 (1)解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母. (2)解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根. 易错提醒：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记写验根步骤. 3.增根 在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根 叫做方程的增根.由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根. 温馨提示：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根.若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解. 4.分式方程的应用 分式方程的应用主要涉及工程问题，工作量问题，行程问题等. 每个问题中涉及到三个量的关系，如： 工作时间=，时间=等. 【考点扫描】 考点一 解分式方程 ①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根. 例1 (2023西藏)解方程： 解：原方程两边同乘(x+1)(x-1)， 去分母得：x(x-1)-(x+1)(x-1)=3(x+1)， 去括号得：x2-x-x2+1=3x+3， 移项，合并同类项得：-4x=2， 系数化为1得：x=-， 检验：将x=-代入(x+1)(x-1)得： ×(-)=-≠0， 故原分式方程的解为：x=-. 【点睛】解分式方程， 去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子(如果是一个多项式)作为一个整体加上括号.同时应注意分式方程必须检验. 例2 (2024齐齐哈尔)如果关于x的分式方程=0的解是负数，那么实数m的取值范围是( ) A.m＜1且m≠0 B.m＜1 C.m＞1 D.m＜1且m≠-1 解：方程两侧同乘x(x+1)得，x+1-mx=0， ∴x=， ∵解为负数，且分母不为0 ∴＜0，且+1≠0， 即m＜1，且m≠0. 故选：A. 跟踪练习： 1.(2023大连)解方程去分母，两边同乘(x-1)后的式子为(　　) A.1+3=3x(1-x) B.1+3(x-1)=-3x C.x-1+3=-3x D.1+3(x-1)=3x 2.(2024遂宁)分式方程的解为正数，则m的取值范围( ) A.m>-3 B.m>-3且m≠-2 C.m<3 D.m<3且m≠-2 3.解下列分式方程： (1) (2024广州) (2)(2024陕西)=1 . 考点二 分式方程的应用 分式方程应用题的检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行. 例3 (2024青岛)为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型.已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的. (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠.若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 解：(1)设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为(x-35)元， 由题意得，， 解得x-125， 检验，当x=125时，x(x-35)≠0， ∴x=125是原方程的解，且符合题意， ∴x-35=90， 答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为90元； (2)设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型(120-m)个， 由题意得，m≥(120-m)，解得m≥40， y=1250.8m+90(120-m)=10m+10080， ∵10>0，∴y随m增大而增大， ∴当m=40时，y有最小值，最小值为1040+10080=10480， 此时有120-m=80， 答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少. 跟踪练习： 4.(2024新疆)某校九年级学生去距学校20km的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，5min后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达.已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为x km/h，根据题意可列方程( ) A. B. C. D. 5.(2024威海)某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16000千瓦·时.后购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电9600千瓦·时.一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦·时.求一盏A型节能灯每年的用电量. 【直击中考】 1.(2024济宁)解分式方程1-=-时，去分母变形正确的是( ) A.2-6x+2=-5 B.6x-2-2=-5 C.2-6x-1=-5 D.6x-2+1=5 2.(2024广东)方程的解是( ) A.x=-3 B.x=-9 C.x=3 D.x=9 3.(2024泸州)分式方程-3=的解是( ) A.x=- B.x=-1 C.x= D.x=3 4.(2024黑龙江)已知关于x的分式方程-2=无解，则k的值为( ) A.k=2或k=-1 B.k=-2 C.k=2或k=1 D.k=-1 5.(2024山东)为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为( ) A.200 B.300 C.400 D.500 6.(2024达州)甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成.求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件，可列方程为( ) A.=30 B.=30 C. D.= 7.(2024广元)我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”，现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株.设B种绿植单价是x元，则可列方程是( ) A.-50= B.-50= C.+50= D.+50= 8.(2024临夏州)端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售.细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，所得方程正确的是( ) A.-=10 B.-=10 C.-=10 D.-=1 9.(2024绥化)一艘货轮在静水中的航速为40km/h ，它以该航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以该航速沿江逆流航行80km 所用时间相等，则江水的流速为( ) A.5km/h B.6km/h C.7km/h D.8km/h 10.(2024浙江)若=1，则x= . 11.(2024武汉)分式方程=的解是 . 12.(2024北京)方程=0的解为 . 13.(2024牡丹江)若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 . 14.(2024达州)若关于x的方程=1无解，则k的值为 . 15.(2024东营)水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的.小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是24.5元.已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3m3.设该市去年居民用水价格为x元/m3，则可列分式方程为 . 16.(2023浙江)小丁和小迪分别解方程=1过程如下： 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程. 17.解方程： (1)(2024包头) (2)(2024福建) 18.(2024泰安)随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品 有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人.甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？ 答案解析： 【考点扫描】 例1略 例2略 跟踪练习： 1.【答案】B 【分析】根据分式方程的解法，两侧同乘(x-1)化简分式方程即可． 【解答】解：分式方程的两侧同乘(x-1)得： 1-3(x-1)=-3x． 故选：B． 2.【答案】B 【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可． 【解答】解：去分母得：2=x-1-m， 解得：x=m+3， 由方程的解为正数，得到m+3＞0，且m+3≠1， 则m的范围为m＞-3且m≠-2． 故选：B． 3.(1)【解答】解： 方程两边同乘x(2x-5)得：x=3(2x-5)， 移项解得：x=1． 将x=1代入x(2x-5)≠0， ∴x=1是原分式方程的解． (2)解：方程两边都乘(x+1)(x-1)， 得2+x(x+1)=(x+1)(x-1)， 解得x=-3， 检验：当x=-3时，(x+1)(x-1)≠0， 所以分式方程的解是x=-3． 例3【答案】300人． 【分析】设这个学校九年级学生有x人，利用单价=总价÷数量，结合按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：设这个学校九年级学生有x人， 根据题意得：， 解得：x=300， 经检验，x=300是所列方程的解，且符合题意． 答：这个学校九年级学生有300人． 跟踪练习： 4.【答案】D 【解答】解：设甲车的速度为xkm/h，则乙车的速度为1.2xkm/h， 由题意得：， 即， 故选：D． 5.【答案】160千瓦·时 【详解】解：设一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时， 则一盏型节能灯每年的用电量为(2x-32)千瓦·时 解得x=96 经检验：x=96是原分式方程的解． 2x-32=160 答：一盏型节能灯每年的用电量为160千瓦·时. 【直击中考】 1.【答案】A 【详解】解：方程两边同乘2-6x，得 2-6x-(2-6x)， 整理可得：2-6x+2=-5 故选：A． 2.【答案】D 3.【答案】D 【解答】解：3， 去分母，得1-3(x-2)=-2， 整理，得-3x=-9， ∴x=3． 经检验，x=3是原方程的解． 所以原方程的解为：x=3． 故选：D． 易错警示：解分式方程时,需要先化为整式方程，再求解,有可能产生增根，不能忽视验根的步骤. 4.【答案】A 【分析】先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，再根据分式方程无解时分式方程中的分母为0，列出关于k的分式方程，解分式方程即可． 【解答】解：， kx-2(x-3)=-3， kx-2x+6=-3 (k-2)x=-9， x， ∵关于x的分式方程无解， ∴x-3=0，解得：x=3，3， ∴3k-6=-9或k-2=0， 解得：k=-1或2， 故选：A． 5.【答案】B 【详解】解：设改造后每天生产的产品件数为，则改造前每天生产的产品件数为(x-100)， 根据题意，得：， 解得：x=300， 经检验x=300是分式方程的解，且符合题意， 答：改造后每天生产的产品件数300． 故选：B． 6.【答案】D 【分析】根据题意可以得到相等关系：乙用的时间-甲用的时间，据此列出方程即可． 【解答】解：设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工1.2x个零件， 根据题意得． 故选：D． 7.【答案】C 【解答】解：∵A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，B种绿植单价是x元， ∴A种绿植单价是3x元． 根据题意得：50． 故选：C． 8.【答案】C 【解答】解：由题意可得， 10， 故选：C． 9.【答案】D 【分析】设江水的流速为xkm/h，则沿江顺流航行的速度为(40+x)km/h，沿江逆流航行的速度为(40-x)km/h，利用时间=路程÷速度，结合它以该航速沿江顺流航行120km所用时间与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：设江水的流速为xkm/h，则沿江顺流航行的速度为(40+x)km/h，沿江逆流航行的速度为(40-x)km/h， 根据题意得：， 解得：x=8， ∴江水的流速为8km/h． 故选：D． 10.【答案】3． 【分析】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：两边都乘以(x-1)，得 2=x-1， 解得x=3， 经检验x=3是原方程的解， 所以原方程的解为x=3． 故答案为：3． 11.【答案】x=-3． 【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：原方程去分母得：x2-x=x2-2x-3， 解得：x=-3， 检验：当x=-3时，(x-1)(x-3)≠0， 故原方程的解为x=-3， 故答案为：x=-3． 12.【答案】见试题解答内容 【分析】方程两边同乘x(2x+3)，将分式化为整式方程求解即可． 【解答】解： x+(2x+3)=0 3x+3=0 x=-1， 经检验，x=-1是原方程的解． 13.【答案】-1． 【分析】表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数m的值即可． 【解答】解：， 化简得：， 去分母得：x=3(x-1)+mx， 移项合并得：(2+m)x=3， 解得：， 由方程的解是正整数，得到x为正整数，即2+m=1或2+m=3， 解得：m=-1或m=1(舍去，会使得分式无意义)． 故答案为：-1． 14.【答案】2或-1． 【解答】解：方程去分母得：3-(kx-1)=x-2 解得：x， ①当x=2时分母为0，方程无解， 即2， ∴k=2时方程无解； ②当k+1=0即k=-1时，方程无解； 故答案为：2或-1． 15.【答案】3． 【分析】根据该市今年与去年居民用水价格间的关系，可得出该市今年居民用水价格为(1)x元/米3，利用数量=总价÷单价，结合小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3米3，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：∵该市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的，且该市去年居民用水价格为x元/米3， ∴该市今年居民用水价格为(1)x元/米3． 根据题意得：3． 故答案为：3． 16.【答案】×；×；正确步骤见解答过程． 【解答】解：小丁和小迪的解法都不正确，正确步骤如下：=1 两边同乘(x-2)，去分母得：x+x-3=x-2， 移项，合并同类项得：x=1， 检验：将x=1代入(x-2)中可得：1-2=-1≠0， 则x=1是分式方程的解， 故原分式方程的解是x=1． 17.(1)解：原方程两边都乘(x-4)，去分母得： x-2-2(x-4)=x, 去括号,得x-2-2x+8=x, 移项、合并同类项,得-2x=-6. 化系数为1,得x=3， 检验:当x=3时,x-4≠0， ∴x=3是原方程的解. (2)解：原方程两边都乘(x+2)(x-2)，去分母得：3(x-2)+(x+2)(x-2)=x(x+2)， 整理得：3x-10=2x， 解得：x=10， 检验：当x=10时，(x+2)(x-2)≠0， 故原方程的解为x=10． 18.【答案】甲组有20名工人，乙组有15名工人 【详解】解：解：设甲组有x名工人，则乙组有(35-x)名工人， 根据题意得：1.2， 解得：x=20， 经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意， ∴35-x=35-20=15． 答：甲组有20名工人，乙组有15名工人． 学科网（北京）股份有限公司 $$