2025年中考数学复习讲义 专题8 一次方程

专题8 一次方程(组) 【考点梳理】 一、等式的性质 (1)等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式. (2)等式两边都乘以(或除以)同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式. 二、一元一次方程及其解法 1.一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程.它的一般形式为ax+b=0(a≠). 注意：x前面的系数不为0. 2.一元一次方程ax+b=0(a)的求解步骤 变形名称 具体做法 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成ax=-b的形式 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解为x=- 注意：移项必须变号.解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据. 三、二元一次方程(组)及解法 1.二元一次方程:含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组.方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为. 3.二元一次方程组的解法 基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程. (1)代入消元法；(2)加减消元法. 四、一次方程(组)常见的应用题型 1.销售打折问题：利润=售价-成本价； 利润率=×100％；售价=标价×折扣； 销售额=售价×数量. 2.工程问题：工作量=工作效率×工作时间. 先做的+后做的=完成量. 在题目中未给出工作总量时，可把工作总量看为单位1。 3.行程问题：路程=速度×时间. ①相遇问题：全路程=甲走的路程＋乙走的路程. ②追及问题(同地不同时出发)： 前者走的路程=追者走的路程. ③追及问题(同时不同地出发)： 前者走的路程＋两地间距离=追者走的路程. ④水中航行问题：顺水速度=静水速度＋水流速度； 逆水速度=静水速度-水流速度. 4.配套问题：这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系(比值) 5.分段计价问题、方案选择问题等等. 【考点扫描】 考点一 解一元一次方程 解一元一次方程的主要步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1. 例1 解方程6x＋90=15-10x＋70的步骤是： ①移项，得________________； ②合并同类项，得__________； ③系数化为1，得__________. 跟踪练习： 1.(2022滨州)在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：I，去分母得IR=U，那么其变形的依据是(　　) A.等式的性质1 B.等式的性质2 C.分式的性质 D.解方程中的移项 2.(2024新疆)解方程：2(x-1)-3=x. 3.(2024滨州)解方程： 考点二 一元一次方程的应用 列方程解实际应用题的一般步骤： (1)审：审清题意，分清题中的已知量、未知量； (2)设：恰当设出关键未知数； (3)列：找出适当等量关系，列方程； (4)解：解方程； (5)验：检验所解值是否正确或是否符合实际意义； (6)答：规范作答，注意单位名称. 例2 (2023临沂)大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月(30天)的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金.当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金. (1)这台M型平板电脑价值多少元？ (2)小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬(用含m的代数式表示)？ 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用问题，解题的关键是找准等量关系并准确表示。 跟踪练习： 4.(2024无锡)《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题(凫：野鸭)，大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天.如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过x天相遇，则下列方程正确的是( ) A.x+x=1 B.x-x=1 C.9x+7x=1 D.9x-7x=1 5.(2024广州)某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆.设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程为( ) A.1.2x+1100=35060 B.1.2x-1100=35060 C.1.2(x+1100)=35060 D.x-1100=35060×1.2 6.(2024广西)《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱.三年共得100钱.问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为( ) A.++=1 B.++=100 C.3x+4x+5x=1 D.3x+4x+5x=100 考点三 解二元一次方程组 二元一次方程组的两种解法： ①加减消元法；②代入消元法. 例3 (2021广东)解方程组 【解析】由②得：y=2-2x ③ 把③代入①得：x+2(2-2x)=-2，解得x=2 把x=2代入③得：y=-2 ∴原方程的解为 例4 (2021苏州)解方程组 解法1：①-②×3，得 5y=5， 解得：y=1， 把y=1代入①，得 x=-1， ∴原方程组的解为； 解法2：①×2-②，得 5x=-5， 解得：x=-1， 把x=-1代入①，得 y=1， ∴原方程组的解为； 跟踪练习： 6.(2022株洲)对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去y可以得到( ) A.x+2x-1=7 B.x+2x-2=7 C.x+x-1=7 D.x+2x+2=7 7.(2024乐山)解方程组：. 8.(2024苏州)解方程组：. 考点四 二元一次方程组的应用 由实际问题抽象出二元一次方程组的主要步骤： ①弄清题意；②找准题中的两个等量关系；③设出合适的未知数；④根据找到的等量关系列出两个方程并联立成二元一次方程组. 例5 (2024通辽)某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地.在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机.经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元. (1)求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元； (2)学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半.请你给出最节省费用的购买方案. 解：(1)设每台煎蛋器的价格是x元，每台三明治机的价格是y元，根据题意得：， 解得：. 答：每台煎蛋器的价格是65元，每台三明治机的价格是110元； (2)设购买m台煎蛋器，则购买(50-m)台三明治机， 根据题意得：50-m≥m， 解得：m≤. 设学校采购这两种机器所需总费用为w元，则w=65m+110(50-m)， 即w=-45m+5500， ∵-45＜0， ∴w随m的增大而减小， 又∵m为正整数， ∴当m=33时，w取得最小值，此时50-m=50-33=17， ∴最节省费用的购买方案为：购买33台煎蛋器，17台三明治机. 【点睛】考查二元一次方程，往往和不等式、一次函数的应用结合起来。解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式. 跟踪练习： 9.(2024日照)我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得(   )(注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺) A. B. C. D. 10.(2024成都)中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人 出半，盈四；人出少半，不足三.问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱.问人数，琎价各是多少？设人数为x，琎价为y，则可列方程组为( ) A. B. C. D. 【直击中考】 1.(2022青海)根据等式的性质，下列变形正确的是( ) A.若，则a=b B.若ac=bc，则a=b C.若a2=b2，则a=b D.若-=6，则x=-2 2.(2022黔西南)小明解方程-1=的步骤如下： 解：方程两边同乘6，得3(x+1)-1=2(x-2)① 去括号，得3x+3-1=2x-2② 移项，得3x-2x=-2-3+1③ 合并同类项，得x=-4④ 以上解题步骤中，开始出错的一步是( ) A.① B.② C.③ D.④ 3.(2024宿迁)我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺.绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为( ) A.x-4=x-1 B.x+4=x-1 C.x-4=x+1 D.x+4=x+1 4.(2024烟台)《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作.书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟.初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫.问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？( ) A.45尺 B.88尺 C.90尺 D.98尺 5.(2024福建)今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%，求去年第一季度社会消费品零售总额.若将去年第一季度社会消费品零售总额设为x亿元，则符合题意的方程是( ) A.(1+4.7%)x=120327 B.(1-4.7%)x=120327 C.=120327 D.=120327 6.(2024贵州)在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是 . 7.(2023衢州)小红在解方程+1时，第一步出现了错误： 解：2×7x=(4x-1)+1， … (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处. (2)写出你的解答过程. 8.(2024陕西)星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4h；若爸爸单独完成，需2h.当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3h，求这次小峰打扫了多长时间. 9.(2023无锡)下列4组数中，不是二元一次方程2x+y=4的解的是(　　) A. B. C. D. 10.(2024台湾)若二元一次联立方程式的解为，则a+b之值为何？( ) A.-28 B.-14 C.-4 D.14 11.(2024南充)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中.一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房.设有客房x间，客人y人，则可列方程组为( ) A. B. C. D. 12.(2024兰州)数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为( ) A. B. C. D. 13.(2024辽宁)我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有x只，兔有y只，根据题意可列方程组为( ) A. B. C. D. 14.(2024赤峰)用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板.现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为( ) A. B. C. D. 15.(2024湖北)《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值 金，可列方程为( ) A. B. C. D. 16.(2024泰安)我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？ 若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题意的二元一次方程组，根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为( ) A.甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 17.(2024黑龙江)国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动.班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励(两种奖品都买).其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案( ) A.5 B.4 C.3 D.2 18.(2024宿迁)若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 . 19.(2024广西)解方程组： 20.(2024浙江)解方程组：. . 21.(2024济南)近年来光伏建筑一体化广受关注.某社区拟修建A，B两种光伏车棚.已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元. (1)求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ (2)若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 答案解析： 【考点扫描】 例16x+10x=15+70-90；16x=-5；x=- 跟踪练习： 1.【答案】B 2.x=5 3.2(2x-1)=3(x+1) 4x-2=3x+3 4x-3x=3+2 x=5 例2【答案】(1)这台M型平板电脑的价值为2100元 (2)她应获得120m元的报酬 【分析】(1)设这台M型平板电脑的价值为元，根据题意，列出方程进行求解即可； (2)根据题意，列出代数式即可． 【小问1详解】 解：设这台M型平板电脑的价值为元，由题意，得：， 解得：x=2100； ∴这台M型平板电脑的价值为2100元； 【小问2详解】 解：由题意，得：m=120m； 答：她应获得120m元的报酬． 跟踪练习： 4.【答案】A 【解答】解：设经过x天相遇， 可列方程为：=1， 故选：A． 5.【答案】A 【解答】解：根据题意，得1.2x+1100=35060． 故选：A． 6.【答案】B 【解答】解：设出租的田有x亩，根据题意得， ×1=100， 整理得，=100． 故选：B． 例3略 例4略 跟踪练习： 6.B 7.【答案】． 【分析】利用加减消元法求解或代入消元法求解都比较简便． 【解答】解：， ①+②，得x+2x=9， ∴x=3． 将x=3代入①得：3+y=4， ∴y=1． ∴原方程组的解为． 故答案为：． 8.【答案】． 【分析】利用加减消元法求解即可． 【解答】解：①-②得：4y=4， 解得：y=1， 将y=1代入①得：2x+1=7， 解得：x=3， 所以原方程组的解是． 例5略 跟踪练习： 9.【答案】A 【解析]根据若用绳去量竿，则绳比竿长5尺;若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺列方程组得 故选A. 10.【答案】B 【解答】解：∵每人出钱，会多出4钱， ∴y=x-4； ∵每人出钱，会差3钱， ∴y=x+3． ∴根据题意可列方程组． 故选：B． 【直击中考】 1.【答案】A 【解答】解：A.若,则a=b，故A符合题意; B.若ac=bc(c≠0)，则a=b，故B不符合题意; C、若a²=b²，则a=±b，故C不符合题意; D、-x=6，则x=-18，故D不符合题意; 故选:A. 2.【答案】A 【解答】解：方程两边同乘6应为: 3(x+1)-6=2(x-2)， ∴出错的步骤为:①， 故选:A. 3.【答案】A 【解答】解：依题意得-4=x-1． 故选：A． 4.【答案】C 【解答】解：设每天减少x尺布， ∵第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工， ∴5-29x=1， 解得：x=， ∴5+(5-)+(5-2)+……+(5-28)+1 =5=90(尺)， 故选：C． 5.【答案】A 【解答】解：根据题意得：(1+4.7%)x=120327． 故选：A． 6.【答案】D 【解答】解：设快马追上慢马的天数是x天， 根据题意得：240x=150(x+12)， 解得：x=20， ∴快马追上慢马的天数是20天． 故选：D． 7.【解答】解：(1)如图： (2)去分母：2×7x=(4x-1)+6， 去括号：14x=4x-1+6， 移项：14x-4x=-1+6， 合并同类项：10x=5， 系数化1：x=． 17.(1)x=5 (2)6x-3(x-2)=6-2(2x-1) 6x-3x+6=6-4x+2 6x-3x+4x=6-6+2 7x=2 x= (3)2(2x-1)=3(x+1) 4x-2=3x+3 4x-3x=3+2 x=5 8.【答案】这次小峰打扫了2h． 【解答】解：设这次小峰打扫了xh，则爸爸打扫了(3-x)h， 根据题意得：+=1， 解得：x=2． 答：这次小峰打扫了2h． 9.【答案】D 【分析】二元一次方程2x+y=10的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解． 【解答】解：A.把x=1，y=2代入方程，左边=2+2=右边，所以是方程的解； B.把x=2，y=0代入方程，左边=右边=4，所以是方程的解； C.把x=0.5，y=3代入方程，左边=4=右边，所以是方程的解； D.把x=-2，y=4代入方程，左边=0≠右边，所以不是方程的解． 故选：D． 10.【答案】C 【解答】解：把代入得：， 把②代入①得：5a-3×(-3a)=28， 5a+9a=28， 14a=28， a=2， 把a=2代入②得：b=-6， ∴a+b=2+(-6)=-4， 故选：C． 11.【答案】D 【解答】解：∵如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住， ∴7x+7=y； ∵如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房， ∴9(x-1)=y． ∴根据题意得可列方程组． 故选：D． 12.【答案】A 【解答】解：由题意得：， 故选：A． 13.【答案】D 【解答】解：∵上有35个头， ∴x+y=35； ∵下有94条腿， ∴2x+4y=94． ∴根据题意可列方程组． 故选：D． 14.【答案】C 【解答】解：∵用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板，用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板，且现在需要58块C型钢板， ∴3x+5y=58； ∵用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板，用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板，且现在需要40块D型钢板， ∴4x+2y=40． ∴根据题意可列方程组． 故选：C． 15.【答案】A 【解答】解：根据题意得：． 故选：A． 16.【答案】D 【解答】解：根据列出的二元一次方程组，可得缺失的条件应为：甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱， 故选：D． 17.【答案】B 【解答】解：设购买笔记本x件，笔y支，根据题意得： 3x+2y=28， ∴y=14-x， 又∵x，y均为正整数， ∴或或或， ∴共有4种购买方案． 故选：B． 18.【答案】． 【解答】解：将方程组整理得， ∵关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴x-2=3，2y=-2， 解得：x=5，y=-1， 即关于x、y的方程组的解是， 故答案为：． 19.【答案】． 【分析】利用加减消元法求解即可． 【解答】解：， ①+②，得2x=4，解得x=2； ①-②，得4y=2，解得y=； ∴方程组的解为． 20.【答案】． 【解答】解：，， ①×3+②得：10x=5， 解得：x=， 把x=代入①得：2×-y=5， 解得：y=-4， 所以方程组的解是． 21.【答案】(1)修建一个A种光伏车棚需投资3万元，修建一个B种光伏车棚需投资2万元； (2)修建A种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元． 【解答】解：(1)设修建一个A种光伏车棚需投资x万元，修建一个B种光伏车棚需投资y万元， 根据题意得：，， 解得：，． 答：修建一个A种光伏车棚需投资3万元，修建一个B种光伏车棚需投资2万元； (2)设修建A种光伏车棚m个，则修建B种光伏车棚(20-m)个， 根据题意得：m≥2(20-m)， 解得：m≥． 设修建A，B两种光伏车棚共投资w万元，则w=3m+2(20-m)， 即w=m+40， ∵1＞0， ∴w随m的增大而增大， 又∵m≥，且m为正整数， ∴当m=14时，w取得最小值，最小值为14+40=54． 答：修建A种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元． 学科网（北京）股份有限公司 $$