2025年中考数学复习讲义 专题7 规律探究及新定义题

专题7 规律探究及新定义题 【考点扫描】 规律探究问题的特点：问题的结论不是直接给出的，而是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察、分析、推理、探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。这类问题体现了“特殊与一般”的数学思想，解答时往往体现“探索、归纳、猜想”的思维特点，对分析问题、解决问题的能力具有较高的要求. 规律探究问题根据问题背景的不同，主要分为数式规律图形规律和点的坐标规律探究。这类题的解题策略是由特例观察、分析、归纳一般规律，然后利用规律解决问题。基本思维过程是“特殊—一般—特殊”. 【考点扫描】 考点一 数字变化规律问题 一般从特殊情形出发，通过观察分析数式之间的内在联系，归纳出数式之间的规律，并用含序数(1，2，3，4，…，n)的代数式表示出来. 如果已知序数，求规律中的数，直接代入求出即可；如果已知规律中的数，求序数，则通过列方程的思想来解决问题. 例1 (2023临沂)观察下列式子： 1×3+1=22；2×4+1=32；3×5+1=42；… 按照上述规律，　 　=n2 跟踪练习： 1.(2024江西)观察a，a2，a3，a4，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 . 2. (2024德州)观察下列等式： S1= S2=+ S3=++ … 则S10的值为_________. 3.(2024眉山)已知a1=x+1(x≠0且x≠-1)，a2=，a3=，…，an=，则a2024的值为 . 考点二 图形变化规律问题 应先观察图形的变化趋势，然后从简单的图形入手进行分析，运用从特殊到一般的探究方法，分析归纳出图形中的变化规律，并用含n的代数式表示，即可求解. 从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键. 例2 (2016临沂)用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是(　　) A.2n+1 B.n2-1 C.n2+2n D.5n-2 【解析】 ∵第1个图形中，小正方形的个数是：22-1=3； 第2个图形中，小正方形的个数是：32-1=8； 第3个图形中，小正方形的个数是：42-1=15； … ∴第n个图 形中，小正方形的个数是： (n+1)2-1=n2+2n+1-1=n2+2n.故选：C. 跟踪练习： 4.(2024青海)如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第(7)个图案中有 个火柴棒. 5.(2024重庆)烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子.第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是( ) A.20 B.22 C.24 D.26 考点三 坐标系中的动点规律问题 动点问题多数情况下会与分类讨论的数学思想及方程、函数思想结合起来进行，解决的关键是动点问题“静态化”. 例3 (2023日照)数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1+2+3+4+…+100时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到1+2+3+4+…+100=.人们借助于这样的方法，得到1+2+3+4+…+100=(n是正整数).有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点A1(xi，yi)，其中i=1，2，3，…n，…，且xi，yi是整数.记an=xn+yn，如A1(0，0)，即a1=0，A2(1，0)，即a2=1，A3(1，-1)，即a3=0，…，以此类推.则下列结论正确的是(  ) A.a2023=40 B.a2024=43 C.=2n-6 D.=2n-4 解：第1圈有1个点，即A1(0，0)，这时a1=0； 第2圈有8个点，即A2到A9(1，1)； 第3圈有16个点，即A10到A25(2，2)，； 依次类推，第n圈，A2n-1(n-1，n-1)； 由规律可知：A2023是在第23圈上，且A2025(25，25)， 则A2023(20，22)即a2023=20+22=42， 故A选项不正确； A2024是在第23圈上，且A2024(21，22)， 即a2043=21+22=43，故B选项正确； 第n圈，A2n-1(n-1，n-1)，所以a2n-1=2n-2， 故C、D选项不正确； 故选B. 【点睛】解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比对，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决. 跟踪练习： 6.(2024绥化)如图，已知A1(1，-)，A2(3，-)，A3(4，0)，A4(6，0)，A5(7，)，A6(9，)，A7(10，0)，A8(11，-)…，依此规律，则点A2024的坐标为 . 考点四 新定义问题 例4 (2024广州)定义新运算：a⊗b=例如：-2⊗4=(-2)2-4=0，2⊗3=-2+3=1.若x⊗1=-，则x的值为 . 【点睛】解决此类问题的方法：(1)明白这是一种运算形式，它使用的是特殊运算符号，如*，▲，☆，⊗，■，◎等；(2)理解新定义运算的含义，严格按照计算顺序把它转化为一般的四则运算，然后进行计算；(3)新定义的运算中，有括号的，要先算括号里面的. 【直击中考】 1.(2024云南)按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，…，第n个代数式是( ) A.2xn B.(n-1)xn C.nxn+1 D.(n+1)xn 2.(2024牡丹江)如图是由一些同样大小的三角形按照一定规 律所组成的图形，第1个图有4个三角形.第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是( ) A.2022 B.2023 C.2024 D.2025 3.(2024重庆)用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个 图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是( ) A.20 B.21 C.23 D.26 4.(2024济宁)如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼 正方形.第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为( ) A.90 B.91 C.92 D.93 5.(2024武汉) 如图，小好同学用计算机软件绘制函数y=x3-3x2+3x-1的图象，发现它关于点(1，0)中心对称.若点A1(0.1，y1)，A2(0.2，y2)，A3(0.3，y3)，……，A19(1.9，y19)，A20(2，y20)都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加01.，则y1+y2+y3+…+y19+y20的值是(  ) A.-1 B.-0.729 C.0 D. 第5题图 第7题图 6.(2024宁夏)观察下列等式： 第1个：1×2-2=22×0； 第2个：4×3-3=32×1； 第3个：9×4-4=42×2； 第4个：16×5-5=52×3. … 按照以上规律，第n个等式为 . 7.(2023广元)在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》(1261年)一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为 　 　. 8.(2024泰安)如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”. 按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍. 9.(2024潍坊)将连续的正整数排成如图所示的数表，记a(I，j)为表中第i行第j列位置的数字，如a(1，2)=4，a(3，2)=8，a(5，4)=22，若a(m，n)=2024，则m=____，n=_____. 第9题图 第10题图 10.(2024广元)已知，直线l:y=x-与x轴相交于点A1，以OA1为边作等边三角形OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作x轴的平行线与直线l交于点A2，与y轴交于点C1，以C1A2为边作等边三角形C1A2B2(点B2在点B1的上方)，以同样的方式依次作等边三角形C2A3B3，等边三角形C3A4B4，则点A2024的横坐标为______. 11.(2024山东)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1;若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”.在平面直角坐标系x0y中，将点(x，y)中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数.例如，点(6，3)经过第1次运算得到点(3，10)，经过第2次运算得到点(10，5)，以此类推，则点(1，4)经过2024次运算后得到点_______ 12.(2024凉山州)阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点…，容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10. (1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为 ，前15行的点数之和为 ，那么，前n行的点数之和为 . (2)体验：三角点阵中前n行的点数之和 (填“能”或“不能”)为500. (3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型 要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，…，第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 答案解析： 【考点扫描】 跟踪练习： 1.【答案】a100． 【解答】解：根据题意可知，有一列按照一定规律排列的单项式：a，a2，a3，a4，…， ∴第100个式子为：a100， 故答案为：a100． 2.【答案】10.． 【解答】解：=1+1- =1+- =1+- ┈ ∴S1=1+1-+1=2- S2=1+1-+1+-=3- S3=1+1-+1+-+1+-=4- ┈ S10=11-=10. 3.【答案】- 【详解】∵a1=x+1 ∴a2= a3= a4= 由此可知，a1,a2,a3,┈,an,每三个式子为一个周期， 因为20243=674┈2 所以a2024=a2=- 4.【答案】15． 【解答】观察图形的变化可知： 摆第1个图案要用火柴棒的根数为：3； 摆第2个图案要用火柴棒的根数为：5=3+2=1+2×2； 摆第3个图案要用火柴棒的根数为：7=3+2+2=1+3×2； … 则摆第n个图案要用火柴棒的根数为：1+2n×1=2n+1； 故第7个图案要用火柴棒的根数为：2×7+1=15． 故答案为：15． 5.【答案】B 【解答】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为： 4=1×2+2； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为： 6=2×2+2； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为： 8=3×2+2； 第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为： 10=4×2+2； …， 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为(2n+2)个， 当n=10时，2n+2=22(个)， 即第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为22个． 故选：B． 6.【答案】(2891，-)． 【分析】观察所给图形及点的坐标，发现横纵坐标的变化规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 点A1的坐标为(1，-)， 点A2的坐标为(3，-)， 点A3的坐标为(4，0)， 点A4的坐标为(6，0)， 点A5的坐标为(7，)， 点A6的坐标为(9，)， 点A7的坐标为(10，0)， 点A8的坐标为(11，-)， 点A9的坐标为(13，-)， 点A10的坐标为(14，0)， 点A11的坐标为(16，0)， 点A12的坐标为(17，)， 点A13的坐标为(19，)， 点A14的坐标为(20，0)， …， 由此可见，每隔七个点，点An的横坐标增加10，且纵坐标按-，-,0循环出现， 又因为2024÷7=289余1， 所以1+289×10=2891， 则点A2024的坐标为(2891，-)． 故答案为：(2891，-)． 例4【答案】-或 【解析】∵a⊗b=且x⊗1=-， ∴当x≤0时，x2-1=-,解得x=-; 当x>0时,-x+1=-,解得x=-. ∴x的值是-或. 【直击中考】 1.【答案】D 【解答】解：∵按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，⋯， ∴第n个代数式为(n+1)xn， 故选：D． 2.【答案】B 【解答】解：第1个图案有4个三角形，即4=3×1+1， 第2个图案有7个三角形，即7=3×2+1， 第3个图案有10个三角形，即10=3×3+1， …， 按此规律摆下去，第n个图案有(3n+1)个三角形， 则第674个图案中三角形的个数为：3×674+1=2023(个)． 故选：B． 3.【答案】C 【解答】解：由所给图形可知， 第①个图案中，菱形的个数为：2=1×3-1； 第②个图案中，菱形的个数为：5=2×3-1； 第③个图案中，菱形的个数为：8=3×3-1； 第④个图案中，菱形的个数为：11=4×3-1； …， 所以第n个图案中，菱形的个数为(3n-1)个， 当n=8时， 3n-1=23(个)， 即第⑧个图案中，菱形的个数为23个． 故选：C． 4.【答案】B 【解答】解：由所给图形可知， 第一幅图中正方形的个数为：1=12； 第二幅图中正方形的个数为：5=12+22； 第三幅图中正方形的个数为：14=12+22+32； 第四幅图中正方形的个数为：30=12+22+32+42； …， 所以第n幅图中正方形的个数为：12+22+32+…+n2， 当n=6时， 12+22+32+…+62=91(个)， 即第六幅图中正方形的个数为91个． 故选：B． 5.【答案】D 【解答】解：法一：由题知， 点A10的坐标为(1，0)， 则y10=0． 因为函数图象关于点(1，0)中心对称， 所以y9+y11=y8+y12=…=y1+y19=0， 将x=2代入函数解析式得， y=23-3×22+3×2-1=1， 即y20=1， 所以y1+y2+y3+…+y19+y20的值为1． 法二：将x=0代入函数解析式得y=-1， 记此点为A0(0，-1)， 则y0=-1． 结合上述过程可知， y9+y11=y8+y12=…=y1+y19=y0+y20=0， 所以y0+y1+y2+…+y20=0， 则y1+y2+…+y20=y0+y1+y2+…+y20-y0=0-(-1)=1． 故选：D． 6.【答案】n2×(n+1)-(n+1)=(n+1)2×(n-1)． 【解答】解：第1个：1×2-2=22×0； 第2个：4×3-3=32×1； 第3个：9×4-4=42×2； 第4个：16×5-5=52×3． … 按照以上规律，第n个等式为n2×(n+1)-(n+1)=(n+1)2×(n-1)， 故答案为：n2×(n+1)-(n+1)=(n+1)2×(n-1)． 7.【答案】21 【解析】找规律发现(a+b)³的第三项系数为3=1+2; (a+b)4的第三项系数为6=1+2+3; (a+b)5的第三项系数为10=1+2+3+4; 所以(a+b)n的第三项系数为1+2+3+┈+(n-2)+(n-1)， 因为第八行为(a+b)7, ∴(a+b)7展开式的第三项的系数是1+2+3+┈+6=21, 第八行从左到右第三个数为为21. 故答案为:21. 8.【答案】12． 【解答】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：1=1，“●”的个数为：4=1×2+2； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：3=1+2，“●”的个数为：6=2×2+2； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：6=1+2+3，“●”的个数为：8=3×2+2； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：10=1+2+3+4，“●”的个数为：10=4×2+2； …， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：1+2+3+…+n=，“●”的个数为：2n+2； 由题知，=3(2n+2)， 解得n1=-1，n2=12， 又因为n为正整数， 所以n=12， 即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故答案为：12． 9.【答案】45；2． 【解答】解：由图中排布可知，当正整数为k2时， 若k为奇数，则k2在第k行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列； 若k为偶数，则k2在第1行，第k列，下一个数再下一列，上一个数在第2行； ∵a(m,n)=2024=2025-1=452-1∵， 而2025=452，在第45行，第1列， ∴2024在第45行，第2列， ∴m=45，n=2， 故答案为：45，2． 10.【答案】()2023 【解析】∵直线l:y=x-与x轴负半轴交于点A1， ∴点A1坐标为(1,0)， ∴OA1=1， 过B1，B₂作B1M⊥x轴交x轴于点M，B₂N⊥x轴交A1B于点D，交x轴于点N， ∵△A1B1O为等边三角形， ∴∠OB1M=30°， ∴MO=A10=, ∴B1M=== ∴B1(,) 当y=时，=x- 解得x= ∴A2C1=,A2(,), ∴C1D=A2C1= ∴B2D== ∴B2N= ∴当y=时,==x- 解得:x=, ∴A1() 而=()2, 同理可得:A4的横坐标为()3=. :点A2024的横坐标为()2023， 故答案为:()2023. 11.【答案】(2,1) 【解答】解：点(1，4)经过1次运算后得到点为(1×3+1，4÷2)，即为(4，2)， 经过2次运算后得到点为(4÷2，2÷1)，即为(2，1)， 经过3次运算后得到点为(2÷2，1×3+1)，即为(1，4)， ……， 发现规律：点(1，4)经过3次运算后还是(1，4)， ∵2024÷3=674⋯2， ∴点(1，4)经过2024次运算后得到点(2，1)， 故答案为：(2，1)． 12.【答案】(1)36，120，； (2)不能； (3)一共能摆20排． 【解答】解：(1)由题知， 三角点阵中前1行的点数之和为：1； 三角点阵中前2行的点数之和为：1+2； 三角点阵中前3行的点数之和为：1+2+3； 三角点阵中前4行的点数之和为：1+2+3+4； …， 所以三角点阵中前n行的点数之和为：1+2+3+…+n=． 当n=8时， =36， 即三角点阵中前8行的点数之和为36． 当n=15时， =120， 即三角点阵中前15行的点数之和为120． 故答案为：36，120，． (2)不能． 令=500得， 解得n=， 因为n为正整数， 所以三角点阵中前n行的点数之和不能为500． 故答案为：不能． (3)由题知， 前n排盆景的总数可表示为n(n+1)， 令n(n+1)=420得， 解得n1=-21，n2=20． 因为n为正整数， 所以n=20， 即一共能摆20排． 学科网（北京）股份有限公司 $$