2025年中考数学复习讲义 专题6 分式

专题6 分式 【考点梳理】 1.分式的定义 一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式. 【注意】①若B≠0，则有意义；②若B=0，则无意义； ③若A=0且B≠0，则0. 2.分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示为或，其中A，B，C均为整式. 3.约分及约分法则 (1)约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分. (2)约分法则 把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数.如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分. 【注意】约分的根据是分式的基本性质.约分的关键是找出分子和分母的公因式. 4.最简分式:分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式. 【注意】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式. 5.最简公分母:各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母. 确定最简公分母的方法： ①系数取各字母系数的_________________； ②凡是出现的字母或因式_______________； ③相同字母(或因式)取指数______________； ④分母中有多项式时，要先__________________. 6.通分:根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分. 【注意】通分的根据是分式的基本性质.通分的关键是确定几个分式的最简公分母. 7.分式的运算 (1)分式的加减法则: ①同分母的分式相加减：分母不变，分子相加减. 用式子表示为：. ②异分母的分式相加减：先通分，变为同分母的分 式，然后再加减. 用式子表示为：. (2)分式的乘法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. 用式子表示为：. (3)分式的除法法则： 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘. 用式子表示为：. (4)分式的乘方法则： 分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 用式子表示为：(n为正整数，b). (5)分式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减.有括号的，先算括号里的. 【考点扫描】 考点一 分式的有关概念 例1 (2019贵港)若分式的值为0，则x的值为( ) A. B.0 C.-1 D.1 【解析】分式值为0满足两个条件：x2-1=0，且x+1，易得x=1. 【点睛】 (1)有意义的条件是：分式中的分母不等于零，即B0. (2)无意义的条件是：分母为0. (3)分式值为0满足两个条件：分子为0，分母不为0. 跟踪练习： 1.(2024安徽)若分式有意义，则实数x的取值范围是 . 考点二 分式的基本性质 例2 分式中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为( ) A.扩大为原来2倍 B.缩小为原来的倍 C.不变 D.缩小为原来的倍 【点睛】本题考查了分式的基本概念和性质的相关知识.这类题目的易错点是：在没有充分理解题意的情况下简单地通过分式的基本性质得出分式值不变的结论. 对照分式的基本性质和本题的条件不难发现，本题不符合分式基本性质所描述的情况，不能直接利用其结论.因此，在解决这类问题时，要注意认真理解题意. 跟踪练习： 2.(2020河北)若ab，则下来分式化简正确的是( ) A. B. C. D. 考点三 分式的化简 约分与通分的区别与联系： 1.约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值； 2.约分是针对一个分式而言，约分可使分式变得简单； 3.通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分把异分母分式化为同分母分式. 例3 把分式，，的分母化为x2-y2后，各分式的分子之和是( ) A.x2＋y2＋2 B.x2＋y2-x＋y＋2 C.x2＋2xy−y2＋2 D.x2−2xy＋y2＋2 点睛：本题考查了最简公分母，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握. 跟踪练习： 3.(2024甘肃)计算：-=( ) A.2 B.2a-b C. D. 4.下列分式中，是最简分式的是( ) A. B. C. D. 5.(2024泰安)化简：(x-). 6.(2024东营)计算：(a+1-. 考点四 分式的化简与求值 例4 (2023东营)先化简，再求值： ÷(.化简后，从-2＜x＜3的范围内选择一个你喜欢的整数作为x的值代入求值. 解：原式= = =. 根据分式有意义的条件可知，x≠1，x≠0 ∴当x取-2<x<3范围内的整数时，只有x=2. ∴当x=2时，原式= 【点睛】分式的运算中应强化四个意识： (1)顺序意识：分式的混合运算，应先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.同级运算，应按照从左到右的顺序依次进行. (2)转化意识：分式的除法运算要转化成乘法运算，异分母的分式相加减要转化为同分母的分式相加减. (3)因式分解意识：若分子、分母中有多项式，应先分解因式. (4)约分意识：若分子、分母中有公因式，应先约分，最后的结果要化成最简分式或整式. 跟踪练习： 7.(2024乐山)先化简，再求值：-，其中x=3.小乐同学的计算过程如下： 解：--…① 正确解法： =-…② =…③ =…④ =…⑤ 当x=3时，原式=1. (1)小乐同学的解答过程中，第 步开始出现了错误； (2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程. 8.(2024潍坊)先化简，再求值：(a+1-，其中a=+2. 【直击中考】 1.(2023凉山)分式的值为0，则x的值是( ) A.0 B.-1 C.1 D.0或1 2.(2024天津)计算的结果等于( ) A.3 B.x C. D. 3.(2024雅安)已知=1(a+b≠0).则=( ) A. B.1 C.2 D.3 4.(2024济南)若分式的值为0，则x的值是 . 5.(2024烟台)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 . 6.(2024自贡)计算：-= . 7.(2024威海)计算：+= . 8.(2024大庆)已知a+=，则a2+的值是 . 9.(2024绥化)化简：÷(x-)= . 10.(2024滨州)欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹.设a，b，c为两两不同的数，称Pn=(n=0，1，2))为欧拉分式. (1)写出P0对应的表达式； (2)化简P1对应的表达式. 11.(2023临沂)下面是某同学计算-a-1的解题过程： 解：-a-1 正确解法： =- ① = ② = ③ ==1 ④ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程. 12.(2024山东)先化简，再求值：(1-，其中a=1 13.(2024淄博)化简分式，并求值(请从小宇和小丽的对话中确定a，b的值) 14.(2024青岛)先化简，再从-2，0，3中选 一个合适的数作为a的值代入求值. 15.(2024北京)已知a-b-1=0，求代数式的值. 16.(2024日照)先化简，再求值： ，其中x满足x2-2x-1=0 答案解析： 【考点扫描】 例1【答案】D 【解析】据题意得：，解得：x=1. 故选：D. 跟踪练习： 1.【答案】x≠4 【解答】解：由题意得：x-4≠0， 解得：x≠4， 故答案为：x≠4． 例2【答案】B 【解析】若x，y的值都扩大到原来的2倍，则为 ,即为原来的。 跟踪练习： 2.D 例3【答案】C 【解析】由平方差公式将x2−y2可化简为(x+y)(x−y)， 故将的分母化为x2−y2后可得， 将的分母化为x2−y2后可得， 所以分式的的分母化为x2−y2后，各分式的分子之和为 x(x+y)+y(x-y)+2，展开得x2+xy+xy−y2+2合并同类项，得x2+2xy−y2+2， 故选C. 跟踪练习： 3.A 4.D 5.解：原式= =. 6.解：原式= ===. 例4略 7.【答案】(1)③；(2)解答见解析． 【解答】解：(1)第③步开始出现了错误，分子应该是2x-x-2， 故答案为：③． (2)-- =-=== 当x=3时，原式=． 8.【答案】a-2，． 【解答】解：原式= ==a-2； 当a=时， 原式=+2-2=． 【直击中考】 1-3.AAC 4.1 5.x>1 6.1 7.解：原式=-=-(2+x)=-2-x 故答案为：-2-x. 8.解：∵(a+)2=a2+2=a2+2=5 ∴a2=5-2=3 9.解：原式== 10.【答案】(1)Pn==； (2)0． 【解答】解：(1)由题意可得， Pn= =； (2)由题意可得， P1= = = = = =0． 11.【答案】从第①步开始出错，过程见解析 【详解】解：从第①步开始出错，正确的解题过程如下： === 12.解：原式= = =a-3 将a=1代入，得： 原式=1-3=-2． 13.解：原式==, 由题图得，a=-3,b=2 ∴原式= 14.解：原式=( == ∵a≠0,且a≠1,且a≠-1 ∴a=3,或a=-2 当a=3时，原式= 当a=-2时，原式==3 15.【答案】，3. 【详解】解：原式=== ∵a-b-1=0∴a-b=1 ∴原式==3. 16.【答案】，3. 【详解】原式=[ ====. 当x2-2x-1=0时，x2-2x=1 ∴原式= 学科网（北京）股份有限公司 $$