2025年中考数学复习讲义 专题5 二次根式

专题5 二次根式 【考点梳理】 1.二次根式的有关概念 (1)二次根式的概念：形如的式子. 【注意】二次根式的概念具有双重非负性，即≥0，a≥0. (2)最简二次根式：被开方数①不含分母(分母中不含根号)，②不含能开得尽方的因数或因式 (3)同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式. 2.二次根式的性质 (1)； (2) ； (3)； 3.二次根式的运算 (1)二次根式的加减，实质上就是把二次根式化为最简二次根式后，再合并同类二次根式. (2)二次根式的乘除 乘法法则：； 除法法则：. (3)二次根式的混合运算顺序:先乘方开方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的.乘法公式和有理数的运算律仍然适用. 【考点扫描】 考点一 二次根式的概念与性质 利用二次根式性质时，要注意被开方数的字母的取值范围. ①如果给出了取值范围，就要按照这个范围化简； ②没有给出明确的取值范围，要注意隐含在题目中的取值. 例1 (2023齐齐哈尔)在函数y=中，自变量x的取值范围是______. 解：根据题意得：， 解得：x>1且. 故自变量x的取值范围是x>1且. 【点睛】函数自变量的范围一般从三个方面考虑： (1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； (2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； (3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数. 例2 (2021桂林)下列根式中，是最简二次根式的是(　　) A. B. C. D. 跟踪练习： 1.(2023绥化)若式子有意义，则x的取值范围是 　. 2.(2024乐山)已知1<x<2，化简+|x-2|的结果为( ) A.-1 B.1 C.2x-3 D.3-2x 考点二 二次根式的运算 (1)二次根式的加减法就是把同类二次根式进行合并. (2)二次根式的乘除法要注意运算的准确性；要熟练掌握被开方数是非负数. (3)二次根式混合运算先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去括号). 例3 (2023西宁)下列运算正确的是(　　) A. B. C. D. 例4 (2020呼和浩特)|1-|-+-()-2. 解：原式-1-2+2-. 【点睛】二次根式的运算经常和考查绝对值，二次根式分母有理化、零次幂，负整数指数幂、特殊角的三角函数值等结合在一起，同时结合运用乘法法则和公式。 跟踪练习： 3.(2023烟台)下列二次根式中，与是同类二次根式的是(　　) A. B. C. D. 4.(2023聊城)计算：=_______. 5.(2022荆州)设3-的整数部分为a，小数部分为b，则(2+)b的值是_________. 考点三 无理数的估算 无理数的估算既不是估计、也不是猜测，它是一种科学的计算方法，往往通过逐步逼近的方法确定一个数的大小或范围. 例5 (2020临沂)设a+2，则( ) A.2<a<3 B.3<a<4 C.4<a<5 D.5<a<6 【解析】∵4＜10＜9，∴2，∴4， 故选C. 跟踪练习： 6.(2022临沂)满足m>|的整数m的值可能是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 7.(2023临沂)设m=5 ，则实数m所在的范围是 ( ) A.m＜-5 B.-5＜m＜-4 C.-4＜m＜-3 D.m>-3 【直击中考】 1.(2023济宁)若代数式有意义，则实数x的取值范围是( ) A.x2 B.x0 C.x3 D.x0且x≠2 2.(2023绵阳)使式子在实数范围内有意义的整数x有( ) A.5个 B.3个 C.4个 D.2个 3.(2024济宁)下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 4.(2023青岛)下列计算正确的是(　　) A. B.2 C. D. 5.(2024呼伦贝尔)实数a，b在数轴上的对应位置如图所示，则-(b-a-2)的化简结果是( ) A.2 B.2a-2 C.2-2b D.-2 6.(2024湖南)计算的结果是( ) A.2 B.7 C.14 D. 7.(2024台湾)将化简为a+b，其中a、b为整数，求a+b之值为何？( ) A.5 B.3 C.-9 D.-15 8.(2024重庆)已知m=，则实数m的范围是( ) A.2＜m＜3 B.3＜m＜4 C.4＜m＜5 D.5＜m＜6 9.(2024贵州)计算的结果是 . 10.(2024长春)计算：= . 11.(2024威海)计算：= . 12.(2024天津)计算(+1)(-1)的结果为 . 13.(2023宁夏)如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是-1，点B是AC的中点，线段AB=，则点C表示的数是 . 计算下列各题： 14.(2021临沂)|-|+()2-()2 15.(2024兰州)-. 16.(2024河南)-(1-)0 17.(2023武威). 18.(2024上海)|1-|++-(1-)0 (注：) 答案解析： 【考点扫描】 例1【答案】x>1且x≠2 【解析】∵式子在实数范围内有意义， ∴ 解得:x>1且x≠2 例2【答案】D 跟踪练习： 1.【答案】x≥-5且x≠0． 【分析】根据分式的分母不为0和二次根式的被开平方数大于等于0进行求解． 【解答】解：由题意得x+5≥0且x≠0， 解得x≥-5且x≠0， 故答案为：x≥-5且x≠0． 2.解：原式=a+1-|b-1|+|a-b|=a+1-b+1+b-a=2. 例3【答案】 例4【答案】略 跟踪练习: 3.【答案】C 【解答】解：A．=2，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B．和不是同类二次根式，故本选项不符合题意； C．=2，和是同类二次根式，故本选项符合题意； D．=2，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 4.【答案】3． 【解答】解：原式=(4-3×)÷ =(4)÷ =3÷ =3． 5.-1 【直击中考】 1.【答案】D 【分析】根据分式的分母不能为0和二次根式的被开平方数大于等于0进行求解． 【解答】解：由题意得x≥0且x-2≠0， 解得x≥0且x≠2， 故选：D． 2.【答案】C 【解答】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴ 解得:-3<x≤. 又∵x要取整数值， ∴x的值为:-2、-1、0、1. 即符合条件的x的值有4个. 故选:C. 3.【答案】B 【解答】A.原式=，故该选项不符合题意; B.原式==23，故该选项符合题意; C.原式==92，故该选项不符合题意; D.0.7²=0.49，故该选项不符合题意; 故选:B. 4.【答案】A 【解答】解：①|2023|=2023，故此选项符合题意； ②20230=1，故此选项符合题意； ③2023-1=，故此选项符合题意； ④=2023，故此选项符合题意． 故选：A． 5.【答案】C 【解答】解：与无法合并，则A不符合题意; 2-=，则B不符合题意; ==，则C符合题意; ÷3==，则D不符合题意; 故选:C. 6.【答案】D 【解答】解：对于二次根式的乘法运算，一般地，有 •．该运算法则成立的条件是a≥0，b≥0， 故选：D． 7.【答案】A 【解答】解：∵a=，b=， ∴=2， 故选：A． 8.【答案】C 【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【解答】解：=． 故选：C． 9.【答案】B 【解答】解：m=5==， ∵2，<< ∴-5<-2<-4， 即-5<m<-4， 故选：B． 10.【答案】x>1且x≠2 【解析】∵式子在实数范围内有意义， ∴ 解得:x>1且x≠2 11.【答案】5． 【解答】解：()2=5， 故答案为：5． 12.【答案】6． 【分析】本题考查二次根式的乘法计算，根据•和=a(a＞0)进行计算， 【解答】解：方法一： ××2=2×3=6． 方法二： ×==6． 故答案为：6． 13.【答案】-． 【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式=-2=-． 故答案为：-． 14.【答案】2． 【解答】解：原式=3=2， 故答案为：2． 15.【答案】1． 【解答】解：( =()2-()2=7-6=1， 故答案为：1． 16.【答案】-2(答案不唯一)． 【分析】根据二次根式的乘除法法则进行计算，即可解答． 【解答】解：若“□”是-，“〇”是，则(-+)2÷=(5-2)÷-2； 若“□”是-，“〇”是，则(-+)2÷=(8-2)÷=4-2； 若“□”是，“〇”是，则(+)2÷=(9+2)÷+6； 故答案为：-2(答案不唯一)． 17.【答案】原式=ab(a+b)=(2+)(2-)(2++2-) =(4-5)4=-4 18.【答案】原式=()2-22+4-1+(-2)2022 =3-4+4-1+1=3. 19.【答案】2-2． 【解答】解：原式=-3++1 =2-3+1=2-2． 20.【答案】6． 【解答】解：原式=3 =12-6=6. 学科网（北京）股份有限公司 $$