2025年中考数学复习讲义 专题3 整式及其运算

专题3 整式及其运算 【考点梳理】 1.用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式. 2.整式：单项式和多项式统称为整式 (1)单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数. (2)多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项. 3.同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项. 4.整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 5.幂的运算： (1)am·an= am+n； (2)(am)n=amn； (3)(ab)n=anbn； (4)am÷an. 6.整式的乘法： (1)单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. (2)单项式与多项式相乘：m(a+b+c)= ma+mb+mc. (3)多项式与多项式相乘:(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb. 7.乘法公式： (1)平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2. (2)完全平方公式：(ab)2=a22ab+b2. 8.整式的除法： (1)单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式. (2)多项式除以单项式：(a+b+c)m=am+bm+cm. 【考点扫描】 考点一 代数式的意义及列代数式 例1 (2024广安)代数式-3x的意义可以是(　　) A.-3与x的和 B.-3与x的差 C.-3与x的积 D.-3与x的商 跟踪练习： 1.(2024台湾)有研究报告指出，1880年至2020年全球平均气温上升趋势约为每十年上升0.08℃.已知2020年全球平均气温为14.88℃，假设未来的全球平均气温上升趋势与上述趋势相同，且每年上升的度数相同，则预估2020年之后第x年的全球平均气温为多少℃？(以x表示)( ) A.14.88+0.08x C.14.88+0.08[x+(2020−1880)] B.14.88+0.008x D.14.88+0.008[x+(2020−1880)] 考点二 整式及其相关概念 例2 下列说法中正确的是( ) A.-的系数是-5 B.单项式x的系数为1，次数为0 C.-22xyz2的次数是6 D.xy＋x-1是二次三项式 例3 (2021日照)若单项式xm-ny14与单项式-x3y3m-8n是一多项式中的同类项，求m、n的值. 【点睛】把握好同类项的两相同：①字母相同，②相同字母的指数相同；两无关：①与系数无关，②与字母的顺序无关.要注意几个常数项 同类项. 跟踪练习： 2.下列说法正确的是( ) A.2a2b与-2b2a的和为0 B.b的系数是π，次数是4次 C.2x2y-3y2-1是三次三项式 D.x2y3与-是同类项 3.(2024长春)单项式-2a2b的次数是 . 4.(2024内江)下列单项式中，ab3的同类项是( ) A.3ab3 B.2a2b3 C.-a2b2 D.a3b 考点三 幂的运算 幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理. 例4 (2024济南)下列运算正确的是( ) A.3x+3xy=6xy B.(xy2)3=xy6 C.3(x+8)=3x+8 D.x2x3=x5 跟踪练习： 5.(2024德州)下列运算中正确的是( ) A.a2+a2=a4 B.a(a+1)=a2+1 C.a2•a4=a6 D.(a-1)2=a2-1 6.(2024河北)下列运算正确的是( ) A.a7-a3=a4 B.3a2•2a2=6a2 C.(-2a)3=-8a3 D.a4÷a4=a 7.(2020临沂)计算(-2a3)2÷a2的结果是(　 　) A.-2a3 B.-2a4 C.4a3 D.4a4 考点四 整式的运算 例5 (2024甘肃)先化简，再求值： [(2a+b)2-(2a+b)(2a-b)]÷2b，其中a=2，b=-1. 解：原式=[4a2+4ab+b2-(4a2-b2)]2b =(4a2+4ab+b2-4a2+b2)2b =(4ab+2b2)2b=4ab2b+2b22b=2a+b 当a=2，b=-1时，原式=2-1=3. 跟踪练习： 8.(2024常州)先化简，再求值：(x+1)2-x(x+1)，其中x=-1. 9.(2024通辽)先化简，再求值：(2a+b)(2a-b)-(a+b)(4a-b)，其中a=-，b=2. 【直击中考】 1.(2024河北)若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是( ) A.a+3=8b B.3a=8b C.a+3=b8 D.3a=8+b 2.(2024青海)计算12x-20x的结果是( ) A.8x B.-8x C.-8 D.x2 3.(2024常州)计算2a2-a2的结果是( ) A.2 B.a2 C.3a2 D.2a4 4..(2024兰州)计算2a(a-1)-2a2的结果是( ) A.a B.-a C.2a D.-2a 5.(2024泸州)下列运算正确的是( ) A.3a+2a3=5a4 B.3a2•2a3=6a6 C.(-2a3)2=4a6 D.4a6÷a2=4a3 6.(2024烟台)下列计算结果为a6的是( ) A.a2•a3 B.a12÷a2 C.a3+a3 D.(a2)3 7.(2024滨州)下列运算正确的是( ) A.(n3)3=n6 B.(-2a)2=-4a2 C.x8÷x2=x4 D.m2•m=m3 8.(2024东营)下列计算正确的是( ) A. x2x3=x6 B.(x-1)2=x2-1 C.(xy2)2=x2y4 D.(-)-2=-4 9.(2024威海)下列运算正确的是( ) A.x5+x5=x10 B.mn2=C.a6a2=a4 D.(-a2)3=-a5 10.(2024山东)下列运算正确的是( ) A.a4+a3=a7 B.(a-1)2=a2-1 C.(a3b)2=a3b2 D.a(2a+1)=2a2+a 11.(2024青岛)下列计算正确的是( ) A.a+2a=3a2 B.a5a2=a3 C.(-a)2a3=-a5 D.(2a3)2=2a6 12.(2024湖北)计算2x•3x2的结果是( ) A.5x2 B.6x2 C.5x3 D.6x3 13.(2024广东)下列计算正确的是( ) A.a2•a5=a10 B.a8÷a2=a4 C.-2a+5a=7a D.(a2)5=a10 14.(2024浙江)下列式子运算正确的是( ) A.x3+x2=x5 B.x3•x2=x6 C.(x3)2=x9 D.x6÷x2=x4 15.(2024泰安)下列运算正确的是( ) A.2xy-3xy2=-x2y B.4x8y22x2y2=2x4 C.(x-y)(-x-y)=x2-y2 D.(x2y3)2=x4y6 16.(2024泰安)单项式-3ab2的次数是 . 17.(2024上海)计算：(4x2)3= . 18.(2024德阳)若一个多项式加上y2+3xy-4，结果是3xy+2y2-5，则这个多项式为 . 19.(2024四川)已知x2+2x=3，那么2x2+4x-5的值是 . 20.(2024济宁)已知a2-2b+1=0，则的值是 . 21.(2024乐山)已知a-b=3，ab=10，则a2+b2= . 22.先化简，再求值： (1)(2024陕西) (x+y)2+x(x-2y)，其中x=1，y=-2. (2)(2024济宁) x(y-4x)+(2x+y)(2x-y)，其中x=，y=2. (3)(2024南充) (x+2)2-(x3+3x)÷x，其中x=-2. 答案解析： 【考点扫描】 例1【答案】C 跟踪练习： 1.【答案】B 【解答】解：14.88+x(0.08÷10)=14.88+0.008x， 故选：B． 例2【答案】D 例3【答案】m=2，n=-1， 解：∵单项式xm-ny14与-x3yn3m-8n是同类项， ∴m-n=3，3m-8n=14， 解得：m=2，n=-1， 跟踪练习： 2.C 3.3 4.A 例4【答案】D 跟踪练习： 5-7.CCD 例5略 跟踪练习： 8.原式=x2+2x+1-x2-x=x+1=-1+1=. 9.原式=4a2-b2-(4a2-ab+4ab-b2) =4a2-b2-4a2+ab-4ab+b2=-3ab， 当a=-,b=2时，原式=-3=-6． 【直击中考】 1-15.ABBDCDDCCDBDDDD 16.3 17.64x6 18.y2-1 19.1 20.2 21.29 22.解：(1)原式==x2+2xy+y2+x2-2xy=2x2+y2 当x=1,y=-2时， 原式=212+(-2)2=2+4=6. (2)原式=xy-4x2+4x2-y2=xy-y2 当x=,y=2时，原式=-22=-3. (3)原式=x2+4x+4-x2-3=4x+1 当x=-2时,原式=4(-2)+1=-7. 学科网（北京）股份有限公司 $$