专题19.1 平面直角坐标系（5大知识点6大考点16类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（冀教版）

专题19.1 平面直角坐标系（5大知识点6大考点16类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】确定位置 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。 【知识点2】平面直角坐标系及有关概念 1、平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做轴或纵轴，取向上为正方向；轴和轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 2、象限：为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被轴和轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。特别注意：轴和轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。 3、点的坐标的概念 （1）对于平面内任意一点,过点分别轴、轴向作垂线，垂足在上轴、y轴对应的数a，b分别叫做点的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点的坐标。 （2）点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。 （3）平面内点的与有序实数对是一一对应的。 【知识点3】平面直角坐标系内点的特征 （1）各象限内点的坐标的符号特征 点在第一象限⇔ ，； 点在第二象限⇔ ，； 点在第三象限⇔ ，； 点在第四象限⇔ ，. （2）坐标轴上点的坐标特征 点在横轴上⇔y＝0； 点在纵轴上⇔x＝0； 点在原点⇔x＝0，y＝0. （3）各象限角平分线上点的坐标 第一，三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等； 第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数. （4）平行于x轴的直线上的点的纵坐标都相等； 平行于y轴的直线上的点的横坐标都相等. 【知识点4】点的距离问题 （1）点到坐标轴、原点的距离 点到x轴的距离为； 点到y轴的距离为；点到原点的距离. （2）平行于x轴，y轴的直线上两点间的距离 水平线段，铅锤线段. （3）两点之间的距离公式：. （4）中点公式：. 【知识点5】点的平移与对称 （1）点平移的坐标特征 向左平移a个单位的坐标为； 向右平移a个单位的坐标为； 向上平移b个单位的坐标为； 向下平移b个单位的坐标为； 口诀：“右加左减，上加下减”. （2）点的对称点的坐标特征 关于x轴对称的点P1的坐标为 ； 关于y轴对称的点P2的坐标为 ； 关于原点对称的点P3的坐标为 ． 口诀：关于谁对称谁不变，另一个变号；关于原点对称都要变号。 知识点与题型目录 【知识点一】有序数对 【题型1】确定位置...................................................................3 【知识点二】平面直角坐标系 【题型2】写出点的坐标并判断其位置...................................................4 【题型3】点到坐标轴的距离与已知坐标位置求参数.......................................4 【题型4】建立平面直角坐标系并描点求坐标.............................................5 【知识点三】坐标的平移 【题型5】已知平移方式求点的坐标.....................................................6 【题型6】已知平移前后点的坐标确定平移方式...........................................6 【题型7】已知图形平移方式求点的坐标.................................................7 【题型8】已知平移后的坐标求原坐标...................................................8 【知识点四】坐标的轴对称与旋转 【题型9】坐标与图形的变化——轴对称.................................................8 【题型10】求绕原点旋转90度的点的坐标...............................................9 【题型11】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标....................................10 【题型12】求绕原点旋转一定角度的点的坐标...........................................11 【知识点五】平面直角坐标系中的几何综合 【题型13】坐标与图形规律...........................................................11 【题型14】坐标与图形综合...........................................................12 【知识点六】链接中考与延伸拓展 【题型15】链接中考.................................................................13 【题型16】延伸拓展.................................................................14 第二部分【题型展示与方法点拨】 【知识点一】有序数对 【题型1】确定位置 【例1】．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，已知，，，点记作，点记作，点记作，照此规律，点可记作 ． 【变式1】1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）根据下列表述，能确定位置的是（   ） A．航海东路 B．大卫城负二层停车场 C．奥斯卡影城号厅排 D．东经，北纬 【变式2】（23-24七年级下·山东日照·期末）将正整数按如图所示的规律排列下去（第排恰好排个数），若用有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示的实数为9，17可用有序实数对表示，则2024可用有序实数对表示为 ． 【知识点二】平面直角坐标系 【题型2】写出点的坐标并判断其位置 【例2】（24-25八年级上·山西晋中·期中）【问题情境】 在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，小亮在学习中发现，若，则轴，且线段的长度为；若，则轴，且线段的长度为； 【知识应用】 （1）若点，，则的长度为______． （2）已知点，若轴，且，求点D的坐标． 【变式1】（20-21七年级下·广东广州·期末）已知点在第二象限，且，为整数，则点P的个数是（    ） A．3 B．6 C． D．无数个 【变式2】（23-24八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，，，若，，则点的坐标为 ． 【题型3】点到坐标轴的距离与已知坐标位置求参数 【例3】（24-25八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点． （1）若点M在y轴上，求m的值； （2）若点M到x轴的距离为8，求点M的坐标． 【变式1】（24-25八年级上·安徽宿州·期中）下列结论正确的是（   ） A．点在第四象限 B．点在第二象限，它到轴，轴的距离分别为4，3，则点的坐标为 C．平面直角坐标系中，点位于坐标轴上，那么 D．已知点，，则直线轴 【变式2】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点．若点P的坐标为，则a的值为 ． 【题型4】建立平面直角坐标系并描点求坐标 【例4】（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． （1）填空：______，______，______． （2）是直角吗？请说明理由． （3）请建立适当的平面直角坐标系，并写出，，三点的坐标． 【变式1】（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，这是围棋棋盘的一部分，若建立平面直角坐标系后，黑棋①的坐标是，白棋③的坐标是，则黑棋②的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，请你在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帥”的坐标为，则“馬”所在点的坐标为 ． 【知识点三】坐标的平移 【题型5】已知平移方式求点的坐标 【例5】（24-25九年级上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到A点，再把A点绕原点旋转得到B点，那么B点的坐标是 ． 【变式1】1．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2023·辽宁·模拟预测）如图，顶点A，B的坐标分别为，将平移后，点A的对应点D的坐标是，则点B的对应点E的坐标是 ． 【题型6】已知平移前后点的坐标确定平移方式 【例6】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为，是经过某些变换得到的，则正确的变换是（    ） A．绕点逆时针旋转，再向下平移1个单位 B．绕点顺时针旋转，再向下平移1个单位 C．绕点逆时针旋转，再向下平移3个单位 D．绕点顺时针旋转，再向下平移3个单位 【变式1】（24-25九年级上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到A点，再把A点绕原点旋转得到B点，那么B点的坐标是 ． 【变式2】（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，点，，若将线段平移至的位置，则的值是 ． 【题型7】已知图形平移方式求点的坐标 【例7】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，平移三角形，使点A移动到点E，请你写出点B，C的对应点F，G的坐标，作出三角形，并说明是通过怎样的移动得到三角形的． 【变式1】（2024·河南周口·三模）如图，在中，，，，，将向右上方平移，使得点C与原点重合，则点A平移后的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，一块的直角三角板的直角顶点与原点O重合，顶点A的坐标为，现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到，则点B的对应点的坐标为 ． 【题型8】已知平移后的坐标求原坐标 【例8】（22-23七年级下·河南安阳·期中）将点向左平移个单位长度得到点，且在轴上，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·海南儋州·期中）在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移个4单位长度，再向下平移3个单位长度后与点重合，则点的坐标是 ． 【知识点四】坐标的轴对称与旋转 【题型9】坐标与图形的变化——轴对称 【例9】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，平面直角坐标系中，且． （1）求点B的坐标； （2）点M与点A关于x轴对称，连接，求证：． 【变式1】（24-25八年级上·江苏连云港·期末）已知点和关于轴对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）跨学科一束光线从轴上一点出发，经过轴上点，然后反射经过点，则光线从点到点经过的路线长是 ． 【题型10】求绕原点旋转90度的点的坐标 【例10】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点按顺时针方向旋转，旋转后点对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，，点A到x轴的距离为4，将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标是 ． 【题型11】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【例11】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）在平面直角坐标系中，，线段的中点绕旋转后对应点的坐标为 ． 【变式1】（24-25九年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，，将绕原点按顺时针方向旋转，得到，其中与对应，与对应，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，由绕点旋转得到，则点的坐标为 ． 【题型12】求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【例12】（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）在三个顶点的坐标分别为，将绕原点O旋转得到，则点的坐标为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1】（24-25九年级上·河北廊坊·期中）平面直角坐标系内有一点，将点绕坐标原点逆时针旋转得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知：如图，等边三角形的边长为，边在x轴正半轴上，现将等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为 ． 【知识点五】平面直角坐标系中的几何综合 【题型13】坐标与图形规律 【例13】（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形…以此类推，则正方形的顶点的坐标是 ． 【变式1】（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，已知点，，，，，…，按这样的规律，则点的坐标为 ． 【变式2】（24-25七年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ． 【题型14】坐标与图形综合 【例14】（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的长分别为a、b、c，且满足，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． （1）A的坐标为___________，B的坐标为___________． （2）如图2，连结，当t为何值时，平分． （3）如图3，，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使与全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·河南·期末）长方形的边在轴上，边在轴上，，，点是直线上的一个动点，若将沿折叠后，点的对应点落在了轴上，则点的坐标为 ． 【变式2】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接． （1）直接写出点的坐标； （2）分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴； （3）若是轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点的坐标． 【知识点六】链接中考与延伸拓展 【题型15】链接中考 【例1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为 ． 【例2】（2023·山东淄博·中考真题）若实数，分别满足下列条件： （1）； （2）． 试判断点所在的象限． 【题型16】延伸拓展 【例1】（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知是等腰直角三角形，，点在轴负半轴上，点在轴负半轴上．若点A的纵坐标始终为4，则点到直线的距离的最大值是 ． 【例2】（24-25八年级上·四川自贡·期末）在直角坐标系中，已知，且． （1）请判断并说明的形状． （2）如图1．若，为中点，连接，过点向左作，且，连．过点作直线垂直于轴，交于点N，求证：． （3）如图2，点在的延长线上，连接，以为斜边向上构造等腰直角三角形，连接，若，，求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19.1 平面直角坐标系（5大知识点6大考点16类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】确定位置 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。 【知识点2】平面直角坐标系及有关概念 1、平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做轴或纵轴，取向上为正方向；轴和轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 2、象限：为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被轴和轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。特别注意：轴和轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。 3、点的坐标的概念 （1）对于平面内任意一点,过点分别轴、轴向作垂线，垂足在上轴、y轴对应的数a，b分别叫做点的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点的坐标。 （2）点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。 （3）平面内点的与有序实数对是一一对应的。 【知识点3】平面直角坐标系内点的特征 （1）各象限内点的坐标的符号特征 点在第一象限⇔ ，； 点在第二象限⇔ ，； 点在第三象限⇔ ，； 点在第四象限⇔ ，. （2）坐标轴上点的坐标特征 点在横轴上⇔y＝0； 点在纵轴上⇔x＝0； 点在原点⇔x＝0，y＝0. （3）各象限角平分线上点的坐标 第一，三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等； 第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数. （4）平行于x轴的直线上的点的纵坐标都相等； 平行于y轴的直线上的点的横坐标都相等. 【知识点4】点的距离问题 （1）点到坐标轴、原点的距离 点到x轴的距离为； 点到y轴的距离为；点到原点的距离. （2）平行于x轴，y轴的直线上两点间的距离 水平线段，铅锤线段. （3）两点之间的距离公式：. （4）中点公式：. 【知识点5】点的平移与对称 （1）点平移的坐标特征 向左平移a个单位的坐标为； 向右平移a个单位的坐标为； 向上平移b个单位的坐标为； 向下平移b个单位的坐标为； 口诀：“右加左减，上加下减”. （2）点的对称点的坐标特征 关于x轴对称的点P1的坐标为 ； 关于y轴对称的点P2的坐标为 ； 关于原点对称的点P3的坐标为 ． 口诀：关于谁对称谁不变，另一个变号；关于原点对称都要变号。 知识点与题型目录 【知识点一】有序数对 【题型1】确定位置...................................................................3 【知识点二】平面直角坐标系 【题型2】写出点的坐标并判断其位置...................................................5 【题型3】点到坐标轴的距离与已知坐标位置求参数.......................................7 【题型4】建立平面直角坐标系并描点求坐标.............................................9 【知识点三】坐标的平移 【题型5】已知平移方式求点的坐标....................................................11 【题型6】已知平移前后点的坐标确定平移方式..........................................13 【题型7】已知图形平移方式求点的坐标................................................15 【题型8】已知平移后的坐标求原坐标..................................................18 【知识点四】坐标的轴对称与旋转 【题型9】坐标与图形的变化——轴对称................................................19 【题型10】求绕原点旋转90度的点的坐标..............................................22 【题型11】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标....................................25 【题型12】求绕原点旋转一定角度的点的坐标...........................................28 【知识点五】平面直角坐标系中的几何综合 【题型13】坐标与图形规律...........................................................31 【题型14】坐标与图形综合...........................................................34 【知识点六】链接中考与延伸拓展 【题型15】链接中考.................................................................39 【题型16】延伸拓展.................................................................41 第二部分【题型展示与方法点拨】 【知识点一】有序数对 【题型1】确定位置 【例1】．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，已知，，，点记作，点记作，点记作，照此规律，点可记作 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质．根据题干得出规律，从而得出答案． 解：根据题意知：横坐标表示长度，纵坐标表示角度，从而得出点可表示为， 故答案为：． 【变式1】1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）根据下列表述，能确定位置的是（   ） A．航海东路 B．大卫城负二层停车场 C．奥斯卡影城号厅排 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】本题考查了坐标，根据坐标的定义，确定位置需要两个数据，据此逐项分析即可求解，理解坐标的定义是解题的关键． 解：、航海东路，不能确定位置，该选项不合题意； 、大卫城负二层停车场，不能确定位置，该选项不合题意； 、奥斯卡影城号厅排，不能确定位置，该选项不合题意； 、东经，北纬，能确定位置，该选项符合题意； 故选：． 【变式2】（23-24七年级下·山东日照·期末）将正整数按如图所示的规律排列下去（第排恰好排个数），若用有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示的实数为9，17可用有序实数对表示，则2024可用有序实数对表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题意得出一般规律是解题关键．由题意可知，第排最后一个数字为，进而得出第63排最后一个数字为，即可求解． 解：由题意可知，第排恰好排个数， 第排最后一个数字为， 当时，， 即第63排最后一个数字为， ， 2024在第排第8个数， 2024可用有序实数对表示为， 故答案为： 【知识点二】平面直角坐标系 【题型2】写出点的坐标并判断其位置 【例2】（24-25八年级上·山西晋中·期中）【问题情境】 在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，小亮在学习中发现，若，则轴，且线段的长度为；若，则轴，且线段的长度为； 【知识应用】 （1）若点，，则的长度为______． （2）已知点，若轴，且，求点D的坐标． 【答案】（1）12；（2）或 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于x轴及平行于y轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． （1）由和可得轴，根据题意即可解决问题． （2）根据平行于y轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 解：（1）解：∵，， ∴轴， ∴． 故答案为：12． （2）解：∵，且轴， ∴点D的横坐标为． ∵， ∴或， ∴点D的坐标为或． 【变式1】（20-21七年级下·广东广州·期末）已知点在第二象限，且，为整数，则点P的个数是（    ） A．3 B．6 C． D．无数个 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的解法及坐标系内点的坐标特点．熟练掌握根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值是解题的关键． 先根据第二象限点的坐标特征求出x，y的取值范围，再根据y的取值范围求出x的整数解，进而可求出符合条件的y的值． 解：∵点在第二象限， ∴， ∴， 解得，， ∴当时，，此时点P为，， 当时，，此时点P为，，， ， 综上所述，点P的个数是6个， 故选：B ． 【变式2】（23-24八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，，，若，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，由，，得，，过作轴于点，根据同角的余角相等得，证明，由全等三角形的性质得，，最后线段和差得，从而求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 解：∵，， ∴，， 如图，过作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【题型3】点到坐标轴的距离与已知坐标位置求参数 【例3】（24-25八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点． （1）若点M在y轴上，求m的值； （2）若点M到x轴的距离为8，求点M的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查的知识点是象限及点坐标的特点，掌握上述知识点是解题的关键． （1）若点在轴上，则的横坐标为0，即； （2）若点M到x轴的距离为8，则的纵坐标为，列方程，即可解答． 解：（1）解：在轴上， ，解得． （2）解：点到轴的距离为8， 或，解得或． 当时，； 当时，． 点的标为或． 【变式1】（24-25八年级上·安徽宿州·期中）下列结论正确的是（   ） A．点在第四象限 B．点在第二象限，它到轴，轴的距离分别为4，3，则点的坐标为 C．平面直角坐标系中，点位于坐标轴上，那么 D．已知点，，则直线轴 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟知平面直角坐标系中点的坐标代表的意义是解题的关键．根据平面直角坐标系中点的坐标特征分别判断即可． 解：A、点在第二象限，故此选项错误，不符合题意； B、点在第二象限，它到轴，轴的距离分别为4，3， 则点的坐标为，故此选项错误，不符合题意； C、平面直角坐标系中，点位于坐标轴上，那么，故此选项正确，符合题意； D、已知点，，则直线轴，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点．若点P的坐标为，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了作图基本作图、坐标与图形性质等知识点，解题的关键是发现点P在的角平分线上成为解题的关键． 由作图可知，点P在的角平分线上，即点P的横、纵坐标互为相反数，据此列出关于a的方程求解即可． 解：由作图可知:点P在的角平分线上， ， ， ． 故答案为：． 【题型4】建立平面直角坐标系并描点求坐标 【例4】（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． （1）填空：______，______，______． （2）是直角吗？请说明理由． （3）请建立适当的平面直角坐标系，并写出，，三点的坐标． 【答案】（1）；；5；（2）是直角，理由见分析；（3）图见分析，， ，（答案不唯一） 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，用坐标表示点的位置，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）利用勾股定理计算求解，即可解题； （2）利用勾股定理逆定理进行判断，即可解题； （3）结合图形建立平面直角坐标系，再根据坐标系写出，，三点的坐标，即可解题（答案不唯一）． 解：（1）解：正方形网格的每个小方格边长均为1， ，，． 故答案为：，，5； （2）解：是直角，理由如下： ， 为直角三角形， 是直角． （3）解：以为原点，建立如下所示的平面直角坐标系， 由图知，， ，． 【变式1】（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，这是围棋棋盘的一部分，若建立平面直角坐标系后，黑棋①的坐标是，白棋③的坐标是，则黑棋②的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，正确建立直角坐标系成为解题的关键． 先根据黑棋①和黑棋②的坐标建立坐标系，再根据白棋③的位置其坐标即可． 解：根据题意可建立如下所示坐标系： ∴黑棋②的坐标是． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，请你在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帥”的坐标为，则“馬”所在点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，直接利用“帅”位于点，可得原点的位置，进而得出“馬”的坐标． 解：如图所示：可得“炮”是原点， 则“馬”位于点． 故答案为：． 【知识点三】坐标的平移 【题型5】已知平移方式求点的坐标 【例5】（24-25九年级上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到A点，再把A点绕原点旋转得到B点，那么B点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移和中心对称的性质，设，由平移得，再利用旋转可得，，即可得解． 解：设点的坐标为， 点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到A点， ∴， 把点绕原点旋转得到点， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式1】1．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】左平移横坐标减，下平移，纵坐标减，得新点坐标． 解：左平移3个单位长度，横坐标变为，向下平移2个单位长度，纵坐标变为，点B的坐标为； 故选：D 【点拨】本题考查直角坐标系平移与坐标变化；掌握平移方向与坐标加减的法则是解题的关键． 【变式2】（2023·辽宁·模拟预测）如图，顶点A，B的坐标分别为，将平移后，点A的对应点D的坐标是，则点B的对应点E的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质、图形与坐标等知识点，根据已知平移点确定平移方式成为解题的关键． 根据点A和点D的是平移后的对应点，计算出平移的方向和单位长度，由于图形平移所有点的平移方向和单位长度一致，即可确定点E的坐标． 解：由题可知平移后得到点； ∴是先向右平移2个单位长度，在向上平移1个单位长度； ∴点先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度； ∴点． 故答案为． 【题型6】已知平移前后点的坐标确定平移方式 【例6】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为，是经过某些变换得到的，则正确的变换是（    ） A．绕点逆时针旋转，再向下平移1个单位 B．绕点顺时针旋转，再向下平移1个单位 C．绕点逆时针旋转，再向下平移3个单位 D．绕点顺时针旋转，再向下平移3个单位 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，坐标与图形变化—平移，掌握旋转和平移的性质是解题关键．根据旋转和平移的性质求解即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴根据图形可以看出，绕点顺时针旋转，再向下平移3个单位可以得到． 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到A点，再把A点绕原点旋转得到B点，那么B点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移和中心对称的性质，设，由平移得，再利用旋转可得，，即可得解． 解：设点的坐标为， 点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到A点， ∴， 把点绕原点旋转得到点， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，点，，若将线段平移至的位置，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的知识、有理数的乘方、代数式求值，解决本题的关键是根据点、的横坐标与纵坐标的变化得到线段平移的方向和距离，根据平移的方向和距离得到、的值．点的纵坐标由变为，可知线段向上平移了个单位长度，所以可得，点的横坐标由变为，线段向右平移了个单位长度，所以可得，把和代入计算即可． 解：将线段平移至的位置， 点的纵坐标由变为， 线段向上平移了个单位长度， ， 点的横坐标由变为， 线段向右平移了个单位长度， ， ． 故答案为： ． 【题型7】已知图形平移方式求点的坐标 【例7】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，平移三角形，使点A移动到点E，请你写出点B，C的对应点F，G的坐标，作出三角形，并说明是通过怎样的移动得到三角形的． 【答案】见分析， ， 【分析】本题考查的是坐标系内点的平移，根据，可得平移方式，再根据平移方式可得，． 解：∵，， ∴平移方式为：向右平移6个单位，再向上平移4个单位， ∵，， ∴平移后得到的三角形的顶点F，G的坐标分别是，． 平移后得到的三角形如图． 将三角形向右平移6个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到三角形． 【变式1】（2024·河南周口·三模）如图，在中，，，，，将向右上方平移，使得点C与原点重合，则点A平移后的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，平移的性质，解题的关键是先求出点A的坐标，根据将向右上方平移，使得点C与原点重合，得出应该使向右平移4个单位，再向上平移1个单位，然后求出点A平移后的坐标即可． 解：如图，过点C作轴，过点A作于点M，过点B作于点N， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵将平移，使点C与原点O重合， ∴应该使向右平移4个单位，再向上平移1个单位， ∴点A平移后的对应点为：，即． 故选：C． 【变式2】（22-23八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，一块的直角三角板的直角顶点与原点O重合，顶点A的坐标为，现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到，则点B的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与平移，勾股定理，含30度角的直角三角形，先根据含30度的直角三角形的性质，结合勾股定理，求出点坐标，再根据平移规则，求出点的坐标即可． 解：∵顶点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵将该三角板向右平移使点A与点O重合， ∴三角板向右平移了个单位， ∴点B的对应点的坐标为； 故答案为：． 【题型8】已知平移后的坐标求原坐标 【例8】（22-23七年级下·河南安阳·期中）将点向左平移个单位长度得到点，且在轴上，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点向左平移个单位长度后点的坐标为，根据点在轴上知，据此知，再代入即可得． 解：将点向左平移个单位长度后点的坐标为 点在轴上， 即， 则点的坐标为． 故选：． 【点拨】此题主要考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．同时考查了轴上的点横坐标为的特征． 【变式1】（24-25九年级上·海南儋州·期中）在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，逆向思考，把点向下平移个单位长度后即可得到点的坐标．解题的关键是掌握点平移的坐标变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．据此解答即可． 解：∵在平面直角坐标系中，把点向下平移个单位长度后的坐标为，即， ∴点的坐标为． 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移个4单位长度，再向下平移3个单位长度后与点重合，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，根据所给平移方式，将点进行反向平移即可解决问题． 解：由题知，将点向上平移3个单位长度后，所得点的坐标为， 再将点向右平移4个单位长度后，所得点的坐标为， 即点的坐标是． 故答案为：． 【知识点四】坐标的轴对称与旋转 【题型9】坐标与图形的变化——轴对称 【例9】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，平面直角坐标系中，且． （1）求点B的坐标； （2）点M与点A关于x轴对称，连接，求证：． 【答案】（1）点；（2）见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由可证，可得，即可求解； （2）由轴对称的性质可得，可得，，可求，即可求解． 解：（1）解：过点B作轴于H， ， ， 轴， ， ， ， 又， ， ， ， ∴点； （2）证明：过点B作于N，连接， ， ∵点M与点A关于x轴对称， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·江苏连云港·期末）已知点和关于轴对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，已知字母的值求代数式的值，关于轴对称的点的纵坐标相等，横坐标化为相反数，得出的值代入代数式，即可求解． 解：∵点和关于轴对称， ∴， ∴ 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）跨学科一束光线从轴上一点出发，经过轴上点，然后反射经过点，则光线从点到点经过的路线长是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，轴对称的知识．根据题意，作点关于的对称点交轴于点，则，，过点作轴，根据点，可得，，根据勾股定理，求出，即可． 解：作点关于的对称点交轴于点， ∴，， 过点作轴， ∵点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴光线从点到点经过的路线长是． 故答案为：． 【题型10】求绕原点旋转90度的点的坐标 【例10】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作轴于点，轴于点，结合旋转的性质，证明，得到，，即可得到的坐标． 解：如图，过点作轴于点，轴于点， 由旋转的性质可知，，， ， 轴，轴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ，， ， 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点按顺时针方向旋转，旋转后点对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形—旋转变换，全等三角形的判定与性质，分别过、作轴的垂线，垂足分别为、，则，证明，得出，，即可得解． 解：如图，分别过、作轴的垂线，垂足分别为、，则， ∵点， ∴，， 由旋转的性质可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴旋转后点对应点的坐标为， 故选：D． 【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，，点A到x轴的距离为4，将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，先求出，再证明，于是可得，，从而求出点的坐标． 解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ，点到轴的距离为4， ， ， 将绕点逆时针旋转，得到， ，， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【题型11】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【例11】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）在平面直角坐标系中，，线段的中点绕旋转后对应点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定和性质，先求得线段的中点，然后分类讨论，画出图形，结合图形，即可求解． 解：∵，设为的中点， ∴， 如图所示，当绕点逆时针旋转得到，过点分别作的垂线，垂足分别为，    ∴， ∴， ∴， ∴即 当绕顺时针旋转时，同理可得 故答案为：或． 【变式1】（24-25九年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，，将绕原点按顺时针方向旋转，得到，其中与对应，与对应，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的性质；作轴于，作轴于，可得，进而根据全等三角形的性质得出，结合坐标系，即可求解． 解：作轴于，作轴于， 根据题意，如图： ，； 将绕原点按顺时针方向旋转， 在直角和直角中， ； 的坐标为 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，由绕点旋转得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与旋转，根据旋转中心在对应点连线的中垂线上，画出的中垂线，得到点的横坐标，设出点坐标，根据，列出方程进行求解即可． 解：∵由绕点旋转得到， ∴， ∵， ∴点的横坐标为：， 设， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∴； 故答案为：． 【题型12】求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【例12】（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）在三个顶点的坐标分别为，将绕原点O旋转得到，则点的坐标为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查坐标与旋转，分顺时针旋转和逆时针旋转，两种情况，进行讨论求解即可． 解：∵， ∴两点在第二象限的角平分线上， ∴直线与轴正半轴的夹角为， 当绕原点O顺时针旋转时，如图： 过点作轴，过点作轴， 则：，，， ∴， ∴， ∴，， ∴ 当绕原点O逆时针旋转时，如图： 同法可得：，， ∴； 故选C． 【变式1】（24-25九年级上·河北廊坊·期中）平面直角坐标系内有一点，将点绕坐标原点逆时针旋转得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的变化规律，根据坐标系中的点关于原点对称，横纵坐标都变成相反数，即可得出答案． 解：点绕坐标原点逆时针旋转后，得到的点与点关于原点对称，横纵坐标都变成相反数，所以点旋转后的点坐标为． 故答案为：C． 【变式2】（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知：如图，等边三角形的边长为，边在x轴正半轴上，现将等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，根据图形的旋转寻找规律，总结规律是解决本题的关键． 过点B和点O分别作于点C，于点D，根据是等边三角形，可得G点坐标，等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，旋转6次为一个循环，分别求出等边三角形中心G旋转后的坐标，进而可得第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐标． 解：如图所示： 过点B和点O分别作于点C，于点D， ∵是等边三角形， ∴平分， ∴， ∵， ∴，， ∵等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转， ∴旋转6次为一个循环， ∵等边三角形中心G坐标为， 第一次旋转后到y轴正半轴，坐标为：； 第二次旋转后到第二象限，坐标为：； 第三次旋转后到第三象限，坐标为：； 第四次旋转后到y轴负半轴，坐标为：； 第五次旋转后到第四象限，坐标为：； 第六次旋转后回到第一象限，坐标为：， ∵， ∴第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为：． 故答案为：． 【知识点五】平面直角坐标系中的几何综合 【题型13】坐标与图形规律 【例13】（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形…以此类推，则正方形的顶点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：点的坐标．根据题意，可以从各个B点到原点的距离变化规律和所在象限的规律入手． 解：由图形可知，， ， ， , 每一个B点到原点的距离依次是前一个B点到原点的距离的倍，同时，各个B点每次旋转，每八次旋转一周． ∴顶点到原点的距离， ∵， ∴顶点的恰好在x轴的正半轴上， ∴顶点的恰好在第一象限角平分线上， ∴顶点的坐标是． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，已知点，，，，，…，按这样的规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律的问题，解题的关键在于找出规律． 根据题意可得各个点分别位于象限的角平分线上逐步探索出下标和个点坐标之间的关系，总结出规律，再根据规律求出点的坐标． 解：观察点的坐标： 点，，，，，…， 可以发现： 以4个点为一组循环，即，，，（n为自然数）． ∵， ∴， 对于： 当时，； 当时，； 当时，， 其横坐标为，纵坐标为． 根据上述规律，当时，横坐标为，纵坐标为，即． 故答案为：； 【变式2】（24-25七年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查坐标规律探究，等边三角形的性质，过点作，过点作，推出的纵坐标为，即可得出结果． 解：∵点A的坐标是， ∴， ∵等边三角形，， ∴，即：的纵坐标为， 同理：，即的纵坐标为， 依次类推，可知：的纵坐标为， ∴点的纵坐标为； 故答案为：． 【题型14】坐标与图形综合 【例14】（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的长分别为a、b、c，且满足，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． （1）A的坐标为___________，B的坐标为___________． （2）如图2，连结，当t为何值时，平分． （3）如图3，，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使与全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）5；（3）存在，秒或14秒 【分析】（1）根据非负数的性质，求出的值即可； （2）作，根据平分，得出 ，设，则， 根据，即：，即可解出； （3）当时，，，；当时，同理可得． 解：（1）解： ， ∴， ， ，， 故答案为：，； （2）如图所示，过点作于点， 平分， ， ∵，则， ， 即：， ∴， 解得：， 当秒时，平分， （3）如图，当点在线段上时， 当时， ， ， ∴秒， 当点在线段的延长线上时， 当时， 同理可得：， ∴， ∴秒． 综上所述，即存在这样的点，使与全等，的值是或． 【点拨】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质、非负数的性质，坐标与图形，解题的关键是利用数形结合的思想及分类讨论的思想求解． 【变式1】（24-25八年级上·河南·期末）长方形的边在轴上，边在轴上，，，点是直线上的一个动点，若将沿折叠后，点的对应点落在了轴上，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了翻折的性质、勾股定理的应用，分两种情况①当点在线段上时，设则由勾股定理求出的值即可得出答案．②当点在线段的延长线上时，设则由勾股定理求出的值即可得出答案． 解：①当点在线段上时， 四边形是长方形， ，，， 由折叠得可知：， ， ， 由折叠可知：， 设，则， 解得， 点的坐标为， ②当点在线段的延长线上时， ， 设，则， ∵， ∴， 解得， 点． 综上所述，或 故答案为：或． 【变式2】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接． （1）直接写出点的坐标； （2）分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴； （3）若是轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）秒；（3）点的坐标为或 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质求解； （2）设运动时间为秒，由点与点的纵坐标相同，构建方程，求解即可； （3）设点的坐标为，由进行分类讨论并分别求解即可． 解：（1）解：由题意点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段， ，； （2）解：设运动时间为秒，当轴时，点与点的纵坐标相同， 即， 解得， 点同时出发，秒后轴； （3）解：设点的坐标为， ， 当在的左侧时， ， 解得， 此时； 当在到3之间时， ， 解得， 此时； 当在3的右侧时， ， 解得（舍）． 综上所述，点的坐标为或． 【知识点六】链接中考与延伸拓展 【题型15】链接中考 【例1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，据此可求得的坐标． 解：∵，，，，，，，…，， ∴可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为， ∵， ∴的坐标为． ∴的坐标为 故答案为：． 【例2】（2023·山东淄博·中考真题）若实数，分别满足下列条件： （1）； （2）． 试判断点所在的象限． 【答案】点在第一象限或点在第二象限 【分析】运用直接开平方法解一元二次方程即可；解不等式求出解题，在分情况确定，的符号确定点所在象限解题即可． 解： 或 ，； ， 解得：； ∴当，时，，，点在第一象限； 当，时，，，点在第二象限； 【点拨】本题考查点在平面直角系的坐标特征，解不等式，平方根的意义，利用不等式的性质判断点的坐标特征是解题的关键． 【题型16】延伸拓展 【例1】（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知是等腰直角三角形，，点在轴负半轴上，点在轴负半轴上．若点A的纵坐标始终为4，则点到直线的距离的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形在坐标轴上的移动．熟练掌握等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形边的大小关系，是解题的关键． 设直线为l，l交y轴于点E，点到直线的距离为，取点，连接交于点G，连接，证明， 结合，得，得，可得，结合，，得，得，可得，得，根据得最大值为． 解：设纵坐标始终为4的直线为l，l交y轴于点E，点到直线的距离为，取点，连接交于点G，连接， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴最大值为． 故答案为． 【例2】（24-25八年级上·四川自贡·期末）在直角坐标系中，已知，且． （1）请判断并说明的形状． （2）如图1．若，为中点，连接，过点向左作，且，连．过点作直线垂直于轴，交于点N，求证：． （3）如图2，点在的延长线上，连接，以为斜边向上构造等腰直角三角形，连接，若，，求的面积． 【答案】（1）是等腰直角三角形，见分析；（2）见分析；（3） 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线、构造全等三角形解决问题． （1）证明即可； （2）过点作轴，垂足为，交于点，则，证明，推出，再证明即可； （3）过点作交的延长线于点，连，证明，推出，，可求出，最后根据即可求解． 解：（1）由题意得， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）证明：过点D作轴，垂足为H，交于点，则． ∵， ∴， ∵C为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ，垂直于轴，轴， ∴，， ∴，， ∴， 在和中 ∴， ∴； （3）如图，过点作交的延长线于点，连接， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴为等腰直角三角形，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$