山东省济宁市2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试题

2024一2025学年度第一学期质量检测 高二数学试题参考答案及评分标准 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.D2.C3.A4.A5.C6.D7.B8. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对的得6分，部分选对得部分 分，有选错的得0分。 9.BC 10.ABD 11.AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.号13.1014.2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解：(1)从7个球中不放回地随机取出2个球，共有7×6=42种可能的取法， 即：n(2)=42.…2分 设事件A表示“第一次取白球，第二次取黑球”，则(A)=3×4=12; …4分 设事件B表示“第一次取黑球，第二次取白球”，则n(B)=4×3=12.…6分 因为A、B互斥， 所以两次取到的球颜色不同的概率P-P(AUB)=12士12-4 42 · 7分 (2)从3个白球，n个黑球中不放回地随机取出2个球，共有(n十3)(n十2)种 可能的取法.…… 9分 所以取出的2个球都是白球的概率为（十3）(+2)一12 3×2 …11分 整理得：n2+5n一66=0即：(n十11)(n-6)-0 所以n=6或n=一11（舍去） 所以n=6.… 13分 16.解：(1)设等差数列{a.}的公差为d,则 b2=2%=4,所以a2=2,……… 2分 又数列{am}是首项为1的等差数列， 所以a1十d=2,从而d=1,… 4分 从而an=a1十(n-1)d=n 5分 所以b.=2m=2 6分 (2)由(1)得：cn=n·2 7分 Sn=1×2+2×22+3×2+4×24+…+(n-1)2m1+n·2 ① 8分 2Sm=1×22+2×23+3×2+…+(n-1)2m+n·2m-1 ② 10分 高二数学试题参考答案第1页（共4页） 由①-②得：-Sn=2+22+23+2+…+2”-n·2+ =21-2）-n·2中1=-2+(1-)2+1… 1-2 14分 所以S。=(n-1)2m+1十2. 15分 17.解：(1)由题意可知点F(0,1),… 1分 设直线l方程为y=k.x十1，A(x1,y),B(x2,y2). Z一4y得：x2-4kx-4=0.2 联立 2分 y=kx+1 由韦达定理知：x1十x2=4k,x1x2=-4…3分 所以|AB|-√/1十1x1-x21-W/1+k2√（x1十x2)2-4x1x2-4(1+k2)-8 解得：及=士1……………6分 所以直线l的方程为y=士x十1.…7分 (2)设1方程为y=k1x一1，MF方程为y=k2x十1……8分 1x2=4y 联立 ,得：x2-4k1x+4=0 {y=k1x-1 10分 所以x江N=4……… 11分 1x2=4y 联立 得：x2-4k2x-4=0 13分 y=k2x+1 所以℃MZQ=一4…… 14分 所以xw十x0=4十二4=0证明完毕. 15分 TM M 18.(1)证明：在图①中连接AC交BD于点M 由题意知BD=√AB十AD=√22+(2√3)2=4 、M BE-}BD=1,AM=号BD=2,E为BM的中点 …2分 所以AE⊥BM,AE-√/AB2-BE-√/22-1=√5…3分 B 在△BEC中，由余弦定理得： EC=BE+BC-2BE·BC·cos∠EBC=1+(2v3)2-2X1X2V3×5=7 …4分 在图②中，PE⊥BD,PE=…5分 PE2十EC2=√3+7=10=PC,所以PE⊥EC………6分 又BD∩EC=E,BDC平面BCD,ECC平面BCD 所以PE⊥平面BCD.…7分 (2)因为PE⊥平面BCD,以过点E垂直于BD的直 线为x轴，ED、EP所在直线分别为y轴、x轴建立空 间直角坐标系如图所示. 则P(0,03),B(0,-1,0),C(3,2,0),D(0,3,0). ………………………………………8分 高二数学试题参考答案第2页（共4页） P心=(3,2，-√3)，P第=(0，-1，-√3)，P市=(0,3，-√3). ………9分 设平面PBC的法向量为n=(xy,) 则n·P心-5+21-=0西=3 ………11分 1n·pi=-y-V3x=0 3y1=-3x 令1=1，则n=(3,-3,1) 12分 设平面PCD的法向量为m=(x2,y2,2) 则m·P℃=3+2-64=0小x,=y 14分 m·Pi=3y2-32=0 =V3y 令x2=1,则m=(1,W3,3)… 15分 则1cos(m,n)1=3-3+3=3 √/13X√13 13 所以平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为3 17分 19.解：(1)由题意可知：x=|(OB|cos0=√2cos0,y=|OA|sin0=sind. ………… 2分 所以cos30+sim0=(爱2+y-号+=1 √21 所以点P的轨迹方程为。十y=1. …………………4分 (2)由(1)可知M(√2cosa,sina)、V(√2cos3,sin8) 6分 因为月=受十a,所以cosg=cos(a+受)=-sina,sing-sin(a+受)=cosa 所以N(-√2sina,cosa).… 8分 所以x片+x号=-(W2cosa)2+(-√2sina)2=2 9分 y十y2=sin2a+c0s2a=1… 10分 (3)解法一：设E(xya)、F(x1,y) 联立后+=1 ：(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0 y=k(x-1) 4k2 2k2-2 所以十x1十2项1=+2 12分 又yy=k(x3-1)(x4-1)=k2xax4-k2(x3十x4)十k 因为OE⊥OF,所以O求.O=0 所以xx,十y3y1=(1十k2)x3x4一k2(x十x4)十k2=0 13分 将十=西瓷2录代人上式用 4k2 (1十k2)(2k2-2) 4k 1十2k2 1+2+2-0 解得：k=士√2 不妨取k=√2，则：y=√2(x-1) 高二数学试题参考答案第3页（共4页） 设点G(W2cosy,siny),则点G到直线1的距离为： 4-l2Yg7a-o洁0二a(其中oa后mg启 …16分 3 3 5 当os(y+g)=-1时，d取得最大值为d=5+E=5+6 √3 3 所以G到1距离的最大值为15+⑤ 17分 3 (3)解法二：设E(x)、F(x4,y) 联立后+1 得：(1+2k2)x2-4k2x十22-2=0 y=k(x-1) 4k2 2k2-2 所以x十x4-1十2农xx=1+2 12分 又yay=(x3一1)(x4-1)=k2x4x4-k2(x3十x4)十b2 因为OE⊥OF,所以O求.O市-0 所以x3x4十yy4=(1十k2)x3x4一k(x十x4)十k2=0 13分 将x3十xa= 离件录代入上式得 4k2 (1+k2)(2k2-2) 4k4 1+2k 1+2+k2-0 解得：k=士√2 14分 不妨取飞=√2，则1：y=√2(x-1) 设直线l:y=√2(x-1)的平行线为l':y=√2(x十m) 联立 匿+ 得：5x2+8m.x+4m2-2=0 y=v2(x+m) 令△=0，即：(8m)2-4×5×(4m2-2)=0 解得：m=±@ 2 所以1：y=2(x士 2） 15分 所以当点G为y-(x+少)与椭图号+y-1的切点时，G到L的距离最大。 最大距离为直线y=2(x一1)和y=(x十)之间的距离… 6分 V2(0+1) 即： 2 .15+√6 √3 3 所以G到1距离的最大值为15+⑤ 3 17分 高二数学试题参考答案第4页（共4页）2024一2025学年度第一学期质量检测 高二数学试题 2025.01 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.在空间直角坐标系Oxy之中，点P(一1,3,5)关于坐标平面Oxy对称的点的坐标是 A.(1,-3,5)》 B.(1,-3,-5) C.(-1,-3,-5)D.(-1,3,-5) 2.若A(1,2),B(一1,0)，C(m,3)三点在同一条直线上，则实数m= A.-4 B.-2 C.2 D.4 3.已知a=(3,一9，m),b=(1,n,2)若a∥b,则m十n= A.3 B.-3 C.9 D.-9 4.已知两点A(4,一7)，B(2,一3)，则线段AB的垂直平分线方程为 A.x-2y-13=0 B.x+2y+7=0 C.x-2y+7=0 D.x+2y-13=0 5.在递增等比数列{am}中，若a2=2,且6as是a4和as的等差中项，则a6= A.18 B.54 C.162 D.486 6.在三棱锥P-ABC中，Pi=a,P克-b,P元-c,且PM-M,B市-2N心，则M- A-a+b+2cB-a+b-号cC.-a+b-2cD.-a+b+号c 7.设等差数列{a.}的公差为d,前n项和为S.,若d+a4=2025,则 a d a2025 A.1012 B.1013 C.2024 D.2026 高二数学试题第1页（共4页） 8已知双曲线C:号-益-1(a>0)的左，右焦点分别为R,R,过R,的直线与C的两条新 近线分别交于A、B两点，若F1A=AB,F1·F2B=0,则双曲线C的标准方程为 A-=1 B若-益-1 D6-造-1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 g.设随机事件A,B,C满足P(A)=2,P(B)=了，P(CO=子，PAB)=G,PAUC)=是 则下列说法正确的是 A.A与B互.斥 B.A与B独立 C.A与C互斥 D.A与C独立 10.已知圆C:x2十y2十2x=0与圆C2:x2十y一2x一4y一4=0交于M,N两点，则下列说 法正确的是 A.直线MN的方程为x+y十1=0 B.MN=2 C.△CzMN的面积为√2 D.圆C2上恰有两个点到直线MN的距离等于1 11.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，Q1为D1C1的中点，动点M在底面ABCD上 (含边界)，则下列说法正确的是 A.当M为BC中点时，DM⊥A,Q B当M为BC中点时，直线AM与DQ,所成角的余弦值为 C.当直线D,D与D,M所成角为平时，M到平面A,Q,D的距离的最大值为 3 D.当M到直线BB,与直线AD的距离相等时，M到直线A,Q,的距离的最小值为3y 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若从1~9这9个数中随机选择一个数，则这个数平方的个位数为6的概率是▲ 13.已知双曲线号-号-1的左焦点为F,M为双曲线右支上任意一点，N为圆C:r+(gy一3-1 上任意一点，则|MF+MNI的最小值是▲· 14.已知直线l1:mx+y十m十4=0，l2:x-my一2=0，若直线l1与直线l2的交点为 M(x,yo),则|4x。一3o+12的最大值是▲ 高二数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 一个袋子中有3个白球，n个黑球，采用不放回方式从中依次随机抽取2个球. (1)若n一4，求两次取到的球颜色不同的概率； (2)若已知取出的2个球都是白球的概率为2求n的值。 16.(15分)》 已知数列{an}是首项为1的等差数列，数列{b.}满足b2=4,bn=2(n∈N). (1)求数列{an和{bn}的通项公式； (2)令cm=a,bn,求数列{cn}的前n项和Sn 17.(15分) 已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A、B两点，且|AB=8. (1)求直线1的方程； (2)若过点T(0,一1)的直线(1交抛物线C于M(xM,yM)、N(xN,yN)(0<xN<xM)两 点，过点M和F的直线交抛物线C于另一点Q(xa,ya),证明：zw十xo=0. 高二数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 如图①，已知矩形ABCD的边AB=2,AD=2V3,BE=}BD,将△ABD沿BD翻折至 △PBD,使得PC=√10，如图②. (1)证明：PE⊥平面BCD; (2)求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值. D E B >D B 图① 图② 19.(17分) 如图，在平面直角坐标系Oxy中，以x轴的非负半轴为起始边，按逆时针旋转0角 (0∈[0,2π))，其终边分别交圆x2十y2=1和圆x2+y2=2于点A、B,过点A作x轴的 平行线L1,过点B作x轴的垂线L2,记l1∩l2=P,点P坐标为(x,y),此时称0为点P轨 迹的离心角. (1)请用日表示点P的横坐标x、纵坐标y,并求出点P的轨迹方程： (2)若离心角a9分别对应点P轨迹上M().N()两点，且月艺十a 证明：x十x2和y十y为定值； (3)若直线l:y=(x一1)与点P的轨迹交于E、F两点，G为点P轨迹上·动点 当OE⊥OF时，求G到l距离的最大值. 高二数学试题第4页（共4页）