专题12 二次函数（讲义）-备战2025年中考数学一轮复习考点帮（全国通用）

专题12 二次函数的核心知识点精讲 1.了解二次函数的知识结构框架，进一步巩固二次函数概念 2.掌握用待定系数法求二次函数的解析式； 3.掌握二次函数的图像性质，并灵活运用二次函数的图像性质解决问题； 4.通过探究进一步体会函数的一般研究方法及数形结合等思想，提高分析问题、解决问题的能力。 考点1:二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 考点2：二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 考点3：二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 考点4：抛物线的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 考点5：二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 【题型1：确定二次函数解析式】 【典例1】（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线，为实数． (1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． (2)如果当时，的最大值为4，求的值． (3)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 1．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．    【题型2：二次函数的图像和性质】 【典例2】（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 1．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型3：二次函数的图像变换】 【典例3】（2022·湖南湘西·中考真题）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 ．   1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则 ． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 3．（2024·山东济宁·中考真题）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ． 【题型4：二次函数与方程、不等式】 【典例4】（2024·宁夏·中考真题）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是 ． 1．（2018·湖北孝感·中考真题）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ．    2．（2020·贵州黔东南·中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是 ．   【题型5：二次函数的图像与系数的关系】 【典例5】（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论： ①； ②方程有两个不相等的实数根； ③； ④； ⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①  ②（m为任意实数）  ③ ④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·西藏·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（    ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2024·四川乐山·模拟预测）二次函数的顶点坐标为（  ）． A． B． C． D． 2．（2024·云南昆明·一模）若点，，都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 3.（2024·云南曲靖·一模）将抛物线平移得到，下列平移方法正确的是（    ） A．先向左平移3个单位，再向下平移1个单位 B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位 C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位 4．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 5．（2024·浙江温州·三模）二次函数的部分对应值如下表所示，则当时，x的取值范围为（   ） x 3 4 y m 0 m A． B． C．或 D．或 6．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）二次函数化成的形式，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2024·贵州·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．二次函数图象关于直线对称 B．和3是方程的两个根 C．当时，随的增大而增大 D．二次函数图象与轴交点的纵坐标是 8．（2024·安徽合肥·三模）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围为 ． 9．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是 ． 1．（2024·河北石家庄·三模）如图1，，在矩形中，是边上的一个动点，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2024·湖北·模拟预测）已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小．且当时，有最大值2．则的值为（    ） A． B．1 C．−1 D． 3．（22-23九年级上·山东济南·期末）一次函数和二次函数在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽·三模）一种玻璃水杯的截面如图1所示，其左右轮廓线为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图2若盛有部分水的水杯倾斜（即），水面正好经过点B，则此时点P到杯口的距离为（   ） A． B． C． D． 1．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A．B． C． D． 3．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 6．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 2 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 7．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围. 8．（2024·四川乐山·中考真题）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； (3)若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 二次函数的核心知识点精讲 1.了解二次函数的知识结构框架，进一步巩固二次函数概念 2.掌握用待定系数法求二次函数的解析式； 3.掌握二次函数的图像性质，并灵活运用二次函数的图像性质解决问题； 4.通过探究进一步体会函数的一般研究方法及数形结合等思想，提高分析问题、解决问题的能力。 考点1:二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 考点2：二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 考点3：二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 考点4：抛物线的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 考点5：二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 【题型1：确定二次函数解析式】 【典例1】（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线，为实数． (1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． (2)如果当时，的最大值为4，求的值． (3)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出函数表达式，然后化成顶点式，从而解得答案； （2）先求出函数的对称轴为，判断函数的开口向上，判断出当时，取最大值4，代入从而求得答案； （3）当，，当时，，当交点在线段之间时，那么且，或者当时，，从而解得答案； 【详解】（1）解：该抛物线经过点 解得 顶点坐标为 （2）解： 对称轴为，函数图象开口向上 ， 当时，取最大值4 解得， （3）解： 当， 当时， 当交点在线段之间时，当时， 解得； 当时， 解得； 综上，或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与线段的交点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 1．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：把点 ，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为：． 【题型2：二次函数的图像和性质】 【典例2】（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴图象的开口向下，故选项A不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D符合题意； 当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意； ∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下， ∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意； 故选：D． 1．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． 2．（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与性质．利用二次函数的性质，抛物线与轴有2个交点，开口向上，而且与轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可． 【详解】解：二次函数图象经过第一、二、四象限， 设抛物线与轴两个交点的横坐标分别为，由题意可得 解得． 故选：A． 【题型3：二次函数的图像变换】 【典例3】（2022·湖南湘西·中考真题）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 ．    【答案】 【分析】解方程﹣x2+4x+5＝0得A（﹣1，0），B（5，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），然后求出直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时b的值和当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时b的值，从而得到当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围． 【详解】解：如图所示：    当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0）， 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为， 即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）， 当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1； 当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程，即有相等的实数解，即 解得， 所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为＜b＜﹣1， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换． 1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则 ． 【答案】2 【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到，再整体代入变形后代数式即可． 【详解】解：抛物线向下平移5个单位长度后得到， 把点代入得到，， 得到， ∴， 故答案为：2 2．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令，则， 或， 解得：或， ， 故答案为：1． 3．（2024·山东济宁·中考真题）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据平移的规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围． 此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 【详解】解：将抛物线向下平移k个单位长度得， ∵与x轴有公共点， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 【题型4：二次函数与方程、不等式】 【典例4】（2024·宁夏·中考真题）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一元二次方程根的情况和二次函数与x轴交点个数的关系是解题的关键；根据二次函数的图象与轴有交点时解题即可. 【详解】解：二次函数的图象与轴有交点， ， 解得， 的取值范围为， 故答案为：. 1．（2018·湖北孝感·中考真题）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ．    【答案】， 【分析】本题考查抛物线与x轴交点、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标． 【详解】解：由图象可知，关于x的方程的解，就是抛物线与直线的两个交点坐标分别为，的横坐标， 即，． 故答案为：，． 2．（2020·贵州黔东南·中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是 ．    【答案】﹣3＜x＜1 【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围． 【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0）， 由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1． 故答案为：﹣3＜x＜1． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和数形结合能力，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 【题型5：二次函数的图像与系数的关系】 【典例5】（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．①根据图像分别判断，，的符号即可；②将点代入函数即可得到答案；③根据题意可得该函数与轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到；④由，得到，，将代入函数得，从而推出当时，该抛物线与直线的图象无交点，即可判断． 【详解】解：由题图可知，， ，故①正确； 当时，，即，故②正确； 二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5， 多项式，故③错误； 当时，有最大值，即， 当时，抛物线与直线的图象无交点， 即关于x的方程无实数根，故④正确． 综上，①②④正确． 故选：C． 1．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论： ①； ②方程有两个不相等的实数根； ③； ④； ⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；由当时，，可判断①，由函数的最小值，可判断②，由抛物线的对称轴为直线，且，可判断③，由时，，当时，，可判断④，由根与系数的关系可判断⑤； 【详解】解：①抛物线开口向上，，， ∴当时，，故①不符合题意； ②∵抛物线过点， ∴函数的最小值， ∴有两个不相等的实数根； ∴方程有两个不相等的实数根；故②符合题意； ③∵，， ∴抛物线的对称轴为直线，且， ∴，而， ∴， ∴，故③不符合题意； ④∵抛物线过点， ∴， ∵时，， 即， 当时，， ∴， ∴， ∴，故④符合题意； ⑤∵，， ∴， 由根与系数的关系可得：，， ∴ ∴， ∴，故⑤符合题意； 故选：C． 2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①  ②（m为任意实数）  ③ ④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据对称性可得即可判段④，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与轴交于正半轴，则 ∴，故①错误， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线, ∴当时，取得最大值，最大值为 ∴（m为任意实数） 即，故②正确； ∵时， 即 ∵ ∴ 即 ∴，故③正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴关于对称， ∴即故④不正确 正确的有②③ 故选：B 3．（2024·西藏·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（    ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子的符号，由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴，即可得出，，，从而求出，即可判断①；根据二次函数与轴的交点得出二次函数的对称轴为直线，，，计算即可判断②；根据当时，二次函数有最小值，即可判断③；根据即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴相交于点，， ∴二次函数的对称轴为直线，，， 由得：， ∵， ∴， ∴，即，故②错误； 当时，二次函数有最小值， 由图象可得，对任意实数m，， ∴对任意实数m，均成立，故③正确； ∵点，在抛物线上，且， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①③，共个， 故选：B． 1．（2024·四川乐山·模拟预测）二次函数的顶点坐标为（  ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了将二次函数解析式化成顶点式，利用配方法将二次函数解析式化成顶点式，得出顶点坐标即可，熟练掌握将二次函数解析式化成顶点式是解题的关键． 【详解】解： ∴二次函数的顶点坐标为． 故选：B． 2．（2024·云南昆明·一模）若点，，都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知对称轴为轴，当时，随着的增大而增大，由题意知，关于轴对称的点坐标为，由，可得． 【详解】解：∵， ∴对称轴为轴，当时，随着的增大而增大， 由题意知，关于轴对称的点坐标为， ∵， ∴， 故选：A． 3.（2024·云南曲靖·一模）将抛物线平移得到，下列平移方法正确的是（    ） A．先向左平移3个单位，再向下平移1个单位 B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位 C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出两抛物线的顶点坐标，再根据顶点的变化确定平移方法． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 的顶点坐标为， 抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到． 故选：B． 4．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据图象，写出函数图象在轴上方部分的的取值范围即可．本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便． 【详解】解：由图可知，或时，． ∴则函数值时，的取值范围是或， 故选：D． 5．（2024·浙江温州·三模）二次函数的部分对应值如下表所示，则当时，x的取值范围为（   ） x 3 4 y m 0 m A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点、二次函数的性质，认真观察学会利用表格信息解决问题是解题的关键． 根据表格信息找出函数值时x的取值，然后借助函数图象即可得到答案． 【详解】解：由表格数据可得抛物线的对称轴为，开口向下， ∴当时，或， ∴当时，x的取值范围为或， 故选C． 6．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）二次函数化成的形式，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，利用配方法即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 7．（2024·贵州·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．二次函数图象关于直线对称 B．和3是方程的两个根 C．当时，随的增大而增大 D．二次函数图象与轴交点的纵坐标是 【答案】C 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象逐一进行判断即可． 【详解】解：观察图象得：二次函数的图象的对称轴为直线，开口向上，故A选项正确，不符合题意； 观察图象得：二次函数图象与x轴交于点， ∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点为， ∴和3是方程的两个根，故B选项正确，不符合题意； 观察图象得：二次函数的图象的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，故C选项错误，符合题意； ∵抛物线经过点 ∴， 解得，， ∴， 当时，， ∴二次函数图象与轴交点的纵坐标是，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 8．（2024·安徽合肥·三模）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 所以，的取值范围为， 故答案为： 9．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据图象可以直接回答，即可． 【详解】解：观察图象得：当或时，二次函数的图象位于一次函数的图象的上方， ∴当时，x的取值范围是或 故答案为：或 1．（2024·河北石家庄·三模）如图1，，在矩形中，是边上的一个动点，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键．首先推导出，利用三角形相似求出关于的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解． 【详解】解：，， ． ， ． ， ． ， ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线过点， ， 解得， ， ， ． 故选：C． 2．（2024·湖北·模拟预测）已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小．且当时，有最大值2．则的值为（    ） A． B．1 C．−1 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先求出对称轴，根据增减性确定的符号，再根据最值求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵当时，随的增大而减小， ∴抛物线的开口向上， ∴，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，， ∴当时，有最大值为， 解得：或（舍去）； 故选B． 3．（22-23九年级上·山东济南·期末）一次函数和二次函数在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】A．由抛物线可知，又，所以对称轴应该在轴右侧，故本选项不符合题意； B．由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项符合题意； C．由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不符合题意； D．由抛物线可知又，所以对称轴应该在轴右侧，故本选项不符合题意； 故选： B． 4．（2024·安徽·三模）一种玻璃水杯的截面如图1所示，其左右轮廓线为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图2若盛有部分水的水杯倾斜（即），水面正好经过点B，则此时点P到杯口的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，先以的中点为原点建立平面直角坐标系，求解抛物线为，再进一步的解答即可． 【详解】解：以的中点为原点建立平面直角坐标系， ∴，，，， 设轮廓线，所在抛物线的解析式为，记与轴的交点为， 把、代入得 ，解得：， ∴ ∵， ∴， ∴ 设直线的解析式为 把、代入得： ，解得：， ∴直线： 由，解得，（舍） 当，， ∴， 此时点P到杯口的距离为， 故选：D． 1．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移规律，上加下减，左加右减，可得顶点式解析式． 【详解】解∶ 抛物线向右平移3个单位后得到新抛物为， ∴新抛物线的顶点坐标为， 故选∶D． 2．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【详解】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 3．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 解得，， 故选：C． 4．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可． 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点， 四边形是正方形， 、互相平分，，， ，， ． ，， ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ，，， 设，则，， ，，，． 又，， ，． ． ． ． 点、在轴的同侧，且点在点的右侧， ． ． 故选：B． 5．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； （2）解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； （3）解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 6．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 2 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 【答案】（1）①；②当时，有最小值为（2）见解析（3）正确， 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）①把代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可； （2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可； （3）将一般式转化为顶点式，表示出的最大值，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：（1）①把代入，得： ； ∴； ②∵， ∴当时，有最小值为； （2）∵， ∵抛物线的开口向上， ∴当时，有最小值； ∴甲的说法合理； （3）正确； ∵， ∴当时，有最小值为， 即：， ∴当时，有最大值，为． 7．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（）把代入，转化成顶点式即可求解； （）分 和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解； 本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线； 当时，如图，此时， ∴， 又∵， ∴； 当时，如图，此时， 解得， 又∵， ∴； 综上，当或，都有． 8．（2024·四川乐山·中考真题）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； (3)若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的特征．数形结合解题是解题的关键． （1）把代入后再将抛物线化成顶点式为，即可求顶点坐标； （2）根据整点个数的范围确定点A纵坐标的范围； （3）结合图象确定有4个“完美点”时a的最大和最小值，进而确定a的范围． 【详解】（1）解：当时，抛物线． ∴顶点坐标． （2）令，则， ∴， ∵线段上的“完美点”的个数大于3个且小于6个， ∴“完美点”的个数为4个或5个． ∵， ∴当“完美点”个数为4个时，分别为，，，； 当“完美点”个数为5个时，分别为，，，，． ∴． ∴a的取值范围是． （3）根据， 得抛物线的顶点坐标为，过点，，． ∵抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”， 显然，“完美点”，，符合题意． 下面讨论抛物线经过，的两种情况： ①当抛物线经过时，解得此时，，，． 如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，共4个． ②当抛物线经过时，解得此时，，，． 如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，，，共6个． ∴a的取值范围是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$