专题17 等腰三角形（讲义）-备战2025年中考数学一轮复习考点帮（全国通用）

专题17 等腰三角形的核心知识点精讲 1．了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定． 2．了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定． 3．掌握线段垂直平分线的性质及判定． 考点1：等腰三角形的性质与判定 性质 1. 等腰三角形的两个底角度数相等 2. 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”） 3. 等腰三角形是轴对称图形，有2条对称轴 判定 1. 有两条边相等的三角形的等腰三角形 2. 有两个角相等的三角形是等腰三角形 面积公式 ，其中a是底边常，hs是底边上的高 考点2：等边三角形的性质与判定 性质 1. 三条边相等 2. 三个内角相等，且每个内角都等于60° 3. 等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴 判定 1. 三条边都相等的三角形是等边三角形 2. 三个角相等的三角形是等边三角形 3. 有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形 面积公式 是等边三角形的边长，h是任意边上的高 考点3 ：线段垂直平分线 （1）线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. （3）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 【题型1：等腰三角形的性质和判定】 【典例1】（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 1.（2023·海南·中考真题）如图，一艘轮船在处测得灯塔位于的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达处，测得灯塔位于的北偏东方向上，测得港口位于的北偏东方向上．已知港口在灯塔的正北方向上．    (1)填空： 度， 度； (2)求灯塔到轮船航线的距离（结果保留根号）； (3)求港口与灯塔的距离（结果保留根号）． 2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，则与l的位置关系是________． 3．（2024·四川·中考真题）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，． (1)求证：； (2)若． ①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论； ②若，，求的长． 【题型2：等边三角形的性质和判定】 【典例2】（2022·黑龙江·中考真题）和都是等边三角形． (1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明． (2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明； (3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 1．（2024·四川雅安·中考真题）如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（     ）    A．4 B． C．6 D． 2．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为 ． 3．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H． (1)求证：MP=NP； (2)若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）． 【题型3：线段的垂直平分线】 【典例3】（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线分别交于点D，E，连接 (1)求的长； (2)求的周长． 1．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广西·中考真题）如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图中，连接，若，求的长． 1．（2024·河南信阳·三模）中国的风筝已有多年的历史．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”．如图是一个风筝骨架的示意图，已知，且，，与的夹角为，则该骨架中的长度应为（    ）        A． B． C． D． 2．（2024·山东济南·一模）如图，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点、、都在半径为2的上，，则弦的长为（    ） A．2 B．1 C．4 D． 4．（2022·福建厦门·模拟预测）如图，在等边中，，垂足为且，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 5．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，分别以A，B为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点D，E，连结，交于点P．若，的周长为10，则的长为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．（2024八年级下·全国·专题练习）甲、乙、丙三地如图所示，若想建立一个货物中转仓，使其到甲、乙、丙三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 7．（2024·海南省直辖县级单位·一模）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·湖南·二模）如图，在M，N两个小木块之间恰好放入一个等腰直角三角板．已知木块M，N的高分别为，，点A，B分别与两木块的顶端重合，点C在上，则两木块之间的距离为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·江苏宿迁·一模）已知等腰三角形的两边长分别为2和6，则第三边的长度为 ． 10．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，点P在正五边形内，满足，，则的度数是 ．    11．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在菱形中，对角线相交于点O，以点C为圆心，长为半径画弧交的延长线于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求的周长和面积． 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，点N在等边的边上，，射线，垂足为B，P是射线上一动点，M是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，，，B为射线上的一个动点，分别以为直角边，B为直角顶点，在两侧作等腰，等腰，连接交于点P．当B在上运动时，的长度为 ． 3．（2024·湖北·模拟预测）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，，相交于O，． (1)判断的形状； (2)求的度数． 4．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图①，在中，，，点在边上，连接，点在射线上，连接． (1)如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：； (2)若点是的中点，连接，求的最小值； (3)如图②，若于点，求的值． 1．（2024·四川广元·中考真题）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 2．（2024·河北·模拟预测）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线分别交于点E，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 3．（2023·海南省直辖县级单位·二模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B、C为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交边于点E．若，则的长为（   ） ​ A．5 B．6 C．7 D．8 4．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ． 5．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ． 6．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ． 7．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，四边形为平行四边形，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接，，，则的长 （结果保留）． 8．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ． 9．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为，则它的面积是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 等腰三角形的核心知识点精讲 1．了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定． 2．了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定． 3．掌握线段垂直平分线的性质及判定． 考点1：等腰三角形的性质与判定 性质 1. 等腰三角形的两个底角度数相等 2. 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”） 3. 等腰三角形是轴对称图形，有2条对称轴 判定 1. 有两条边相等的三角形的等腰三角形 2. 有两个角相等的三角形是等腰三角形 面积公式 ，其中a是底边常，hs是底边上的高 考点2：等边三角形的性质与判定 性质 1. 三条边相等 2. 三个内角相等，且每个内角都等于60° 3. 等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴 判定 1. 三条边都相等的三角形是等边三角形 2. 三个角相等的三角形是等边三角形 3. 有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形 面积公式 是等边三角形的边长，h是任意边上的高 考点3 ：线段垂直平分线 （1）线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. （3）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 【题型1：等腰三角形的性质和判定】 【典例1】（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析； ，（2），证明见解析；（3）是定值 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别计算，再填表即可；再由可得结论； （2）如图，延长至使，连接，过作于，延长交于，证明为等边三角形，，，设，，利用相似三角形的性质求解，再进一步可得； 【详解】解：（1）∵，是的角平分线，， ∴， ∴； ∴，； 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 如图，由（1）可得：， ∴， ∴，， ∴； （2）猜想：，理由如下： 如图，延长至使，连接，过作于，延长交于， ∵，平分， ∴为等边三角形，，， 设，， ∴，，而， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； ， ∴； 1.（2023·海南·中考真题）如图，一艘轮船在处测得灯塔位于的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达处，测得灯塔位于的北偏东方向上，测得港口位于的北偏东方向上．已知港口在灯塔的正北方向上．    (1)填空： 度， 度； (2)求灯塔到轮船航线的距离（结果保留根号）； (3)求港口与灯塔的距离（结果保留根号）． 【答案】(1)30，45 (2)灯塔到轮船航线的距离为海里 (3)港口与灯塔的距离为海里 【分析】（1）作交于，作交于，由三角形外角的定义与性质可得，再由平行线的性质可得，即可得解； （2）作交于，作交于，由（1）可得：，从而得到海里，再由进行计算即可； （3）作交于，作交于，证明四边形是矩形，得到海里，，由计算出的长度，证明是等腰直角三角形，得到海里，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，作交于，作交于，   ，， ， 都是正北方向， ， ， ， 故答案为：30，45； （2）解：如图，作交于，作交于，   ， 由（1）可得：， 海里， 在中，，海里， 海里； 灯塔到轮船航线的距离为海里； （3）解：如图，作交于，作交于，   ， ，，、都是正北方向， 四边形是矩形， 海里，， 在中，，海里， 海里， 在中，， 是等腰直角三角形， 海里， 海里， 港口与灯塔的距离为海里． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，则与l的位置关系是________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定： （1）证明，得到，即可得证； （2）根据线段的和差关系，易得，根据三角形的内角和定理，得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． 3．（2024·四川·中考真题）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，． (1)求证：； (2)若． ①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；② 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由余角的性质可得，，根据，可得； （2）①设，可求，可求，根据等腰三角形的判定可得； ②由勾股定理可求，由“”可证，可得，通过证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ； （2）解：①，理由如下： 设， ， ， ， ， ， ； ②，， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， ． 【题型2：等边三角形的性质和判定】 【典例2】（2022·黑龙江·中考真题）和都是等边三角形． (1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明． (2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明； (3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)图②结论：，证明见解析 (3)图③结论： 【分析】（1）由△ABC是等边三角形，得AB=AC，再因为点P与点A重合，所以PB=AB，PC=AC，PA=0，即可得出结论； （2）在BP上截取，连接AF，证明（SAS），得，再证明（SAS），得，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论； （3）在CP上截取，连接AF，证明（SAS），得，再证明（SAS），得出，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论：． 【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC， ∵点P与点A重合， ∴PB=AB，PC=AC，PA=0， ∴或； （2）解：图②结论： 证明：在BP上截取，连接AF， ∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴（SAS）， ∴， ∵AC=AB，CP=BF，   ∴（SAS）， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （3）解：图③结论：， 理由：在CP上截取，连接AF， ∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴（SAS）， ∴， ∵AB=AC，BP=CF， ∴（SAS），   ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 1．（2024·四川雅安·中考真题）如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（     ）    A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，解直角三角形是正确解答的关键． 根据正六边形的性质以及解直角三角形进行计算即可． 【详解】解：设半径为，由题意得，， 解得， ∵六边形是的内接正六边形， ∴， ∵， ∴是正三角形， ∴， ∴弦所对应的弦心距为， ∴． 故选：B． 2．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，三角函数的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作，求出，的值即可得到答案． 【详解】解：作，交y轴于点F， 由题可得：， 是等边三角形，， ∴是的角平分线， ， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H． (1)求证：MP=NP； (2)若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）． 【答案】(1)见详解； (2)0.5a． 【分析】（1）过点M作MQCN，证明即可； （2）利用等边三角形的性质推出AH=HQ，则PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）． 【详解】（1）如下图所示，过点M作MQCN， ∵为等边三角形，MQCN， ∴， 则AM=AQ，且∠A=60°， ∴为等边三角形，则MQ=AM=CN， 又∵MQCN， ∴∠QMP=∠CNP， 在， ∴，   则MP=NP； （2）∵为等边三角形，且MH⊥AC， ∴AH=HQ，   又由（1）得，， 则PQ=PC， ∴PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）=0.5AC=0.5a． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形全等的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 【题型3：线段的垂直平分线】 【典例3】（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线分别交于点D，E，连接 (1)求的长； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，斜中半定理：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）由题意得是线段的垂直平分线，故点D是斜边的中点．据此即可求解； （2）根据、的周长即可求解； 【详解】（1）解：由作图可知，是线段的垂直平分线， ∴在中，点D是斜边的中点． ∴． （2）解：在中，． ∵是线段的垂直平分线， ∴． ∴的周长． 1．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明，根据的周长，即可求出答案． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ， 的周长， ，， 的周长， 故选：C． 2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，进而可得的周长，即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， 故选：． 3．（2024·广西·中考真题）如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图中，连接，若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于为半径画弧，分别交，于点D，E，作直线，则直线l即为所求． （2）连接，由线段垂直平分线的性质可得出，由等边对等角可得出，由三角形内角和得出，则得出为等腰直角三角形，再根据正弦的定义即可求出的长． 【详解】（1）解：如下直线l即为所求． （2）连接如下图： ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线，线段的垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及正弦的定义．掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 1．（2024·河南信阳·三模）中国的风筝已有多年的历史．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”．如图是一个风筝骨架的示意图，已知，且，，与的夹角为，则该骨架中的长度应为（    ）        A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的余弦值解直角三角形可求得的长度，再根据等腰三角形的性质可求的长度． 本题考查解直角三角形的应用和等腰三角形的性质，灵活运用以上知识点是解题的关键． 【详解】且， ， ， 且， ． 故选C． 2．（2024·山东济南·一模）如图，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的性质，对顶角的性质，等腰三角形的性质，先求解，再证明，再结合等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选B 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点、、都在半径为2的上，，则弦的长为（    ） A．2 B．1 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆周角定理以及等边三角形的判定和性质，根据圆周角定理可得，从而得是等边三角形，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：A． 4．（2022·福建厦门·模拟预测）如图，在等边中，，垂足为且，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先根据等边三角形性质得到∠ADC = 90°，∠CAD= 30°，再设CD=x，在Rt△ACD中利用勾股定理计算即可． 【详解】∵等边△ABC中，AD⊥BC， ∴∠ADC= 90° ∠CAD=∠BAD= 60°÷2= 30° ， AB= AC， 设CD=x，则AC= 2x， 在Rt△ACD中， 解得：x=±1(舍负)， ∴AB= AC= 2． 故选C． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及勾股定理，解题关键是熟练应用等边三角形的性质． 5．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，分别以A，B为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点D，E，连结，交于点P．若，的周长为10，则的长为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键；由作图可知垂直平分，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵，的周长为10， ∴，即， ∴； 故选：B． 6．（2024八年级下·全国·专题练习）甲、乙、丙三地如图所示，若想建立一个货物中转仓，使其到甲、乙、丙三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质解答即可，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵中转仓到甲、乙、丙三地的距离相等， ∴中转仓的位置应选在三角形三边垂直平分线的交点上， 故选：． 7．（2024·海南省直辖县级单位·一模）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂直平分线的判定和性质，理解垂直平分线的画法，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意作图可知是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 故选： ． 8．（2024·湖南·二模）如图，在M，N两个小木块之间恰好放入一个等腰直角三角板．已知木块M，N的高分别为，，点A，B分别与两木块的顶端重合，点C在上，则两木块之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质等；由等腰三角形的性质得，，由得，由全等三角形的性质即可求解；掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中 ， ()， ， ， ()； 故选：A． 9．（2024·江苏宿迁·一模）已知等腰三角形的两边长分别为2和6，则第三边的长度为 ． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系．根据等腰三角形的两腰相等，结合三角形的三边关系，求解即可． 【详解】解：当2为腰长时：，不能构成三角形，不符合题意； ∴6为腰长， ∴第三边的长度为6； 故答案为：6． 10．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，点P在正五边形内，满足，，则的度数是 ．    【答案】/36度 【分析】本题考查多边形内角和公式及等腰三角形的性质、三角形内角和定理，属于简单试题． 首先可根据五边形内角和公式求出每个内角的度数，然后求出，即可求出． 【详解】解：根据正多边形内角和公式可得， 正五边形的内角和， 则， ， ， 则 ， ， ． 故答案为：． 11．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在菱形中，对角线相交于点O，以点C为圆心，长为半径画弧交的延长线于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求的周长和面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)的周长是，面积是． 【分析】（1）根据菱形的性质，得到， ，再根据作图得到，证明四边形是平行四边形即可得到； （2）根据菱形的性质得到，，根据平行四边形的性质得到，，进而求得的三边长即可求解． 本题考查了菱形的性质，平行四边形判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，即， ∵以点C为圆心，长为半径画弧交的延长线于点E， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长， ． 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，点N在等边的边上，，射线，垂足为B，P是射线上一动点，M是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，掌握轴对称的性质及解直角三角形是解题的关键．先根据轴对称的性质找出最短路径，再根据直角三角形的性质求解． 【详解】解：作点N关于的对称点E，过E作于，交于，连接， ， ， ， 则当E、P、M三点共线，且和M重合时，的值最小， 在等边中，有，， ， 设， 则：， 解得：， ， 故答案为： 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，，，B为射线上的一个动点，分别以为直角边，B为直角顶点，在两侧作等腰，等腰，连接交于点P．当B在上运动时，的长度为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是作辅助线， 构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答．过点E作，首先证明再证即可解决问题； 【详解】解：如图，过点C作，垂足为点N， ，，均为等腰直角三角形， ， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， 故答案为：3． 3．（2024·湖北·模拟预测）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，，相交于O，． (1)判断的形状； (2)求的度数． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转前后的图形是全等形是解题的关键． （1）由旋转可得，，然后根据，得到是等边三角形，进而得到，得到结论； （2）设，然后表示，的度数，然后利用四边形的内角和和对顶角相等解题即可． 【详解】（1）是等边三角形，理由为： 由旋转可得，，， 又∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 即是等边三角形； （2）设， ∴， 又∵， ∴， 在四边形中， ． 4．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图①，在中，，，点在边上，连接，点在射线上，连接． (1)如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：； (2)若点是的中点，连接，求的最小值； (3)如图②，若于点，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）利用旋转的性质得到，，利用等式的性质得到，再利用全等三角形的判定定理解答即可； （2）利用勾股定理求得，利用旋转的性质得到是等腰直角三角形，则当最小时，最小；利用垂线段最短可知：当时，最小，利用三角形的面积公式求得，则结论可求； （3）过点A作交于点，利用全等三角形的判定与性质得到，设，则，利用勾股定理列出关于的方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）证明：绕点A逆时针旋转得到， ，. ， ， . . 在和中， ； （2）解：在中，，点是的中点， ， ， 连接，则是等腰直角三角形，如图， 则当最小时，最小， 垂线段最短， 当时，最小， 当时，， ， ． 的最小值为． （3）解：过点A作交于点，如图， . ， ， . ， ， ， ， . 在和中， ， ， ，． 为等腰直角三角形， . 设，则， 在中， ， ， 解得：， ， 负数不合题意，舍去， ． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，线段中点的意义，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短的性质，熟练掌握性质的性质是解题的关键． 1．（2024·四川广元·中考真题）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得，，，推出是等腰直角三角形，，过点A作于点H，得到，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：由旋转得，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形，， 过点A作于点H， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2024·河北·模拟预测）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线分别交于点E，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了，作图等长线段，作图垂直平分线，勾股定理，解题的关键是：由作图方法得到等量关系式．根据取等长线段的做法，垂直平分线的做法，得到，，即可求出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：根据作图可得：，为的垂直平分线， ， ， ， ， ， 故选：B． 3．（2023·海南省直辖县级单位·二模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B、C为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交边于点E．若，则的长为（   ） ​ A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图中的计算问题、垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，掌握用尺规作线段垂直平分线的方法是解题的关键． 设交于D，连接，由作图可知：是线段的垂直平分线，即得，有，从而，由勾股定理得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：设交于D，连接， 由作图可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 在中，， ∴． 故选：C． 4．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作，易得为等腰直角三角形，设，得到，证明，得到，进而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根据平行线分线段成比例，求出的长即可． 【详解】解：过点作，则：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形． 5．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出． 求出，由线段垂直平分线的性质推出． 【详解】解：，， ， 在的垂直平分线上， ． 故答案为：3． 6．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．设与相交于点，证明，根据相似的性质进行计算即可； 【详解】解：的垂直平分线分别交边于点E、F． ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 令， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为：． 7．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，四边形为平行四边形，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接，，，则的长 （结果保留）． 【答案】/ 【分析】本题考查弧长的计算，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是判定是等边三角形，得到． 由平行四边形的性质推出，判定是等边三角形，得到，由弧长公式即可求出的长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 由题意得：， 是等边三角形， ， ， ． 故答案为：． 8．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，分两种情况分别画出图形，再结合等腰三角形的性质与角的和差运算可得答案； 【详解】解：如图，当时，延长交于， ∵，， ∴, ∴； 如图，当时，延长交于， ∵，， ∴, ∴， 故答案为：或 9．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为，则它的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，扇形面积的计算，三角函数的应用，曲边三角形是由三段弧组成，如果周长为，则其中的一段弧长就是，所以根据弧长公式可得，即正三角形的边长为．那么曲边三角形的面积=三角形的面积+三个弓形的面积，从而可得答案． 【详解】解： 曲边三角形的周长为，为等边三角形， 曲边三角形的面积为： 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$