专题16 全等三角形（讲义）-备战2025年中考数学一轮复习考点帮（全国通用）

专题16 全等三角形的核心知识点精讲 1.熟悉全等三角形常考5种模型 2.掌握全等三角形性质，并运用全等三角形性质解答。 考点1：全等三角形的概念及性质 概念 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形． 性质 1.两全等三角形的对应边相等，对应角相等． 2.全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等． 3.全等三角形的周长、面积相等． 考点2：全等三角形的判定 模型一：平移型 模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动的方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等. 模型示例 模型二：轴对称模型 模型分析:所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相等. 模型三：旋转型 模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况： ①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角 ②有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角. 模型四：一线三垂直型 模型解读：一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，过直角的两边向直线作垂直，利用“同角的余角相等”转化找等角 【题型1：平移型】 【典例1】（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 1．（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 2．（2024·西藏·中考真题）如图，点C是线段的中点，，．求证：． 【题型2：对称型】 【典例2】（2024·江苏南通·中考真题）如图，点D在的边上，经过边的中点E，且．求证． 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，，．    (1)求证：； (2)若，则__________°． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，是的中点，连接．求证： (1)； (2)． 【题型3：旋转型】 【典例3】（2024·湖南长沙·中考真题）如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 1．（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，． 求证：． 2．（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在和中，延长交于，，，．求证：． 3．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．    (1)求证：； (2)若时，求的长； (3)点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 【题型4：一线三等角】 【典例4】（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 1．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点坐标，连接，将绕点逆时针旋转，得到，则点的坐标为 ． 2．（2023·山东·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接．若，则的值为 ．    1．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，在四边形中，已知．添一个条件，使，则不能作为这一条件的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山东淄博·二模）如图所示的两个三角形全等，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图是雨伞在开合过程中某时刻的结构图，是伞骨，是连接弹簧和伞骨的支架，已知点D，E分别是的中点，，．弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，若，，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，，，，A，E，C，F四点共线，求证：． 6．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，点在边上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 1．（2024·吉林长春·二模）如图，点为线段上一点，、都是等边三角形，、交于点，、交于点，、交于点，连结，给出下面四个结论：；；；．上述结论中，一定正确的是 （填所有正确结论的序号）． 2．（2024·上海宝山·一模）在直线l上放置三个正方形a，b，c，正方形a的边长为3，正方形c的边长为4，则正方形b的面积是 ． 3．（23-24八年级上·北京丰台·期中）已知：如图，在长方形（长方形四个内角均为直角，并且两组对边分别相等）中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 秒时，和全等．    4．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在和中，，，若，连接、交于点P； (1)求证∶． (2)求的度数． (3)如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 1．（2024·吉林·中考真题）如图，在中，点O是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，求证：． 2．（2023·西藏·中考真题）如图，已知，，．求证：．    3．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，B是AC的中点，点D，E在同侧，，． (1)求证：≌． (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 4．（2023·江苏·中考真题）已知：如图，点为线段上一点，，，．求证：．    5．（2023·湖南·中考真题）如图，，，，垂足分别为，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 6．（2023·辽宁营口·中考真题）如图．点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，．．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 7．（2022·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE． (1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明； (2)延长ED交直线BC于点F． ①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______； ②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 全等三角形的核心知识点精讲 1.熟悉全等三角形常考5种模型 2.掌握全等三角形性质，并运用全等三角形性质解答。 考点1：全等三角形的概念及性质 概念 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形． 性质 1.两全等三角形的对应边相等，对应角相等． 2.全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等． 3.全等三角形的周长、面积相等． 考点2：全等三角形的判定 模型一：平移型 模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动的方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等. 模型示例 模型二：轴对称模型 模型分析:所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相等. 模型三：旋转型 模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况： ①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角 ②有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角. 模型四：一线三垂直型 模型解读：一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，过直角的两边向直线作垂直，利用“同角的余角相等”转化找等角 【题型1：平移型】 【典例1】（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：选择①； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 选择②； 无法证明， 无法得出； 选择③； ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，即； 故答案为：①或③（答案不唯一） 1．（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键. （1）先证明，再结合已知条件可得结论； （2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论. 【详解】（1）证明：∵ ∴，即 ∵， ∴ （2）∵，， ∴， ∵， ∴ 2．（2024·西藏·中考真题）如图，点C是线段的中点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由点C是线段的中点得出，再利用证明即可得证，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】证明：∵点C是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【题型2：对称型】 【典例2】（2024·江苏南通·中考真题）如图，点D在的边上，经过边的中点E，且．求证． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，根据题意得，即可证明，有成立，根据平行线的判定即可证明结论． 【详解】证明：∵点E为边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，，．    (1)求证：； (2)若，则__________°． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用即可证得； （2）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据全等三角形的性质即可得出的度数． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， 故答案为：20． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，是的中点，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角． （1）根据矩形的性质得出，再根据中点的定义得出，即可根据求证； （2）根据全等的性质得出，根据等边对等角即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∴． 【题型3：旋转型】 【典例3】（2024·湖南长沙·中考真题）如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明是等边三角形是解答的关键． （1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，再证明是等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：在与中， ， 所以； （2）解：因为，， 所以，， 所以是等边三角形． 所以． 1．（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“”证明，即可解决问题． 【详解】证明： ， ，即， 在和中， ， ． 2．（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在和中，延长交于，，，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 由，，可得，证明，进而结论得证． 【详解】证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 3．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．    (1)求证：； (2)若时，求的长； (3)点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由即可证明； （2）证明（），勾股定理得到，在 中，勾股定理即可求解； （3）证明，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，可知，，． ． 即． ． （2）在中，， ． ． ， ，． ． ． 在中，． （3）由（2）可知，． 当最小时，有的值最小，此时． 为等腰直角三角形， ． ． 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【题型4：一线三等角】 【典例4】（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见详解，（2），理由见详解，（3），理由见详解 【分析】（1）直接证明，即可证明； （2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：， ，即有，，进而可得，即可证； （3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明． 【详解】（1），理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），理由如下： 过E点作于点M，过E点作于点N，如图， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，平分，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形， ∴是正方形对角线，， ∴， ， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 即有； （3），理由如下， 过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数量关系，是解答本题的关键． 1．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点坐标，连接，将绕点逆时针旋转，得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】过点作轴于点A，过点作轴于点C，易证，即得出，，即． 【详解】解：如图，过点作轴于点A，过点作轴于点C， ∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴，， ∴．　 ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质．正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 2．（2023·山东·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接．若，则的值为 ．    【答案】/ 【分析】过点作轴于点，过点作于点，证明，进而根据全等三角形的性质得出，根据点，进而得出，根据点在反比例函数的图象上．列出方程，求得的值，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作于点，      ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵点的坐标为． ∴， ∴ ∵在反比例函数的图象上， ∴ 解得：或（舍去） ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，求得点的坐标是解题的关键． 1．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，在四边形中，已知．添一个条件，使，则不能作为这一条件的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据题意，分别对每一项进行分析判断即可． 【详解】解：A.已知，，添加，利用可得，此项不符合题意； B.已知，，添加，利用可得，此项不符合题意； C.已知，，添加，利用可得，此项不符合题意； D.已知，，添加不能得出，此项符合题意． 故选：D． 2．（2024·山东淄博·二模）如图所示的两个三角形全等，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的性质和数形结合的思想解答．根据题意和图形，可知是边的对角，由第一个三角形可以得到的度数，本题得以解决． 【详解】解：图中的两个三角形全等， ， 故选：B 3．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图是雨伞在开合过程中某时刻的结构图，是伞骨，是连接弹簧和伞骨的支架，已知点D，E分别是的中点，，．弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 根据全等三角形判定的“”定理即可证得． 【详解】解：，点D，E分别是的中点， ， 在和中， ． ， 故选：C． 4．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，若，，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴, 故选A． 5．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，，，，A，E，C，F四点共线，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理求证即可． 【详解】， ， 即， 在和中， ， ∴． 6．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，点在边上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键． （1）根据推出即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵ ∴（） （2）解：∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 1．（2024·吉林长春·二模）如图，点为线段上一点，、都是等边三角形，、交于点，、交于点，、交于点，连结，给出下面四个结论：；；；．上述结论中，一定正确的是 （填所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，关键是由等边三角形的性质推出，，判定是等边三角形．由判定，推出，由对顶角的性质得到，由三角形内角和定理得到，由判定，推出，而，得到是等边三角形，因此，得到，推出，在变化，不一定是． 【详解】解：、都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， 故符合题意； ，，， ， 故符合题意； ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故符合题意； 在上的位置在变化， 在变化，不一定是， 故不符合题意． 正确的是． 故答案为：． 2．（2024·上海宝山·一模）在直线l上放置三个正方形a，b，c，正方形a的边长为3，正方形c的边长为4，则正方形b的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是证明．根据正方形的性质，证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出正方形b的面积． 【详解】解：如图， ∵a，b，c都是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴在中， ∴正方形b的面积为25， 故答案：25． 3．（23-24八年级上·北京丰台·期中）已知：如图，在长方形（长方形四个内角均为直角，并且两组对边分别相等）中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 秒时，和全等．    【答案】1或7/7或1 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．分和两种情况，证明和全等，进而可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知，，， 分两种情况讨论， ①当时，如下图，    ∵，，， ∴， 由题意得，解得（秒）； ②当时，如下图，    ∵，，， ∴， 由题意得，解得（秒）． 综上所述，当的值为1或7秒时，和全等． 故答案为：1或7． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在和中，，，若，连接、交于点P； (1)求证∶． (2)求的度数． (3)如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用； （1）根据题意得出，即可证明； （2）根据题意可得是等边三角形，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （3）分情况讨论，当在线段上时，当在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，当在线段上时， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，当在的延长线上时， 同理可得，∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，或． 1．（2024·吉林·中考真题）如图，在中，点O是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出，再由线段中点的定义得到，据此可证明，进而可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴． 2．（2023·西藏·中考真题）如图，已知，，．求证：．    【答案】见解析 【分析】先由题意可证，可得，再根据等式的性质即可得出结论． 【详解】证明：在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 3．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，B是AC的中点，点D，E在同侧，，． (1)求证：≌． (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由B是的中点得，结合，，根据全等三角形的判定定理“”即可证明≌； （2）由（1）中≌得，进一步得，再结合，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】（1）解：∵B是的中点， ∴． 在和中， ∴≌（）． （2）如图所示， ∵≌， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键． 4．（2023·江苏·中考真题）已知：如图，点为线段上一点，，，．求证：．    【答案】证明见详解； 【分析】根据得到，结合，，即可得到即可得到证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据平行线得到三角形全等判定的条件． 5．（2023·湖南·中考真题）如图，，，，垂足分别为，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用“”可证明； （2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 6．（2023·辽宁营口·中考真题）如图．点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，．．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）直接利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，则． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 7．（2022·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE． (1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明； (2)延长ED交直线BC于点F． ①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______； ②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②，理由见解析 【分析】（1）利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到，再由全等三角形的性质求解； （2）①根据线段绕点A按逆时针方向旋转得到得到是等边三角形， 由等边三角形的性质和（1）的结论来求解；②过点A作于点G，连接AF，根据等边三角形的性质和锐角三角函数求值得到，，进而得到，进而求出，结合，ED＝EC得到，再用等腰直角三角形的性质求解． 【详解】（1）解：． 证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 即． 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：① 理由：∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）得， ∴； ②过点A作于点G，连接AF，如下图． ∵是等边三角形，， ∴， ∴． ∵是等边三角形，点F为线段BC中点， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴． ∵，， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$