专题14 图形初步（讲义）-备战2025年中考数学一轮复习考点帮（全国通用）

专题14图形初步的核心知识点精讲 1.了解线段、射线、直线的区别与联系．掌握它们的表示方法． 2. 掌握“两点确定一条直线”的性质，了解“两条直线相交只有一个交点”． 3. 理解线段的和与差的概念，会比较线段的大小，理解“两点之间线段最短”的性质． 4. 理解线段的中点和两点间距离的概念． 5. 会用尺规作图作一条线段等于已知线段． 6. 理解角的概念，理解平角、直角、周角、锐角、钝角的概念． 7. 掌握度、分、秒的换算，会计算角度的和、差、倍、分． 8. 掌握角的平分线的概念，会画角的平分线． 9. 会解决有关余角、补角的计算问题；会用“同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等”进行推理． 10. 灵活运用对顶角和垂线的性质； 11. 掌握并灵活运用平行线的性质和判定进行有关的推理和计算； 12. 理解和识别方向角 考点1：直线、射线与线段的概念 注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量。 考点2 ：基本事实 1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 考点3： 基本概念 1. 两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 2. 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点 考点4：双中点模型 C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 考点5：角及其平分线 1.度量角的大小：可用“度”作为度量单位。把一个圆周分成360等份，每一份叫做一度的角。1度=60分；1分=60秒。 2，余角：若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余，若∠1与∠2互余，则∠1+∠2=90°. 3.补角：若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互补，若∠1与∠2互补，则∠1+∠2=180°. 性质：同角(等角)的余角相等．同角（等角）的补角相等． 4. 角的平分线的性质 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 5.角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上。 考点6：相交线 1.对顶角：如图1所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 2.邻补角：如图2所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 图1 图2 3.三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 4．垂线的性质 （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 5.垂直平分线的性质 （1）定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. （2）逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 考点7：平行线 1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 2.平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 说明：也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。 3.平行线的判定： （1）同位角相等，两直线平行。 （2）内错角相等，两直线平行。 （3）同旁内角互补，两直线平行。 4.平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等。 （2）两直线平行，内错角相等。 （3）两直线平行，同旁内角互补。 说明：要证明两条直线平行，用判定公理（或定理）在已知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理 考点8：命题 内容 定义 能判断一件事情的语句，叫做命题。 组成 命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出来的事项 表达形式 通常可以写成“如果......,那么......”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。 分类 题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题 【题型1 线与角概念和基本性质】 【典例1】（2024·山东日照·中考真题）如图，直线相交于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对顶角的定义，几何中角度的计算，由对顶角相等得到，即可解答． 【详解】解：， ． 故选：B． 1．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题． 【详解】解：过点有， ， 即得到的力臂大于的力臂， 其体现的数学依据是垂线段最短， 故选：A． 2．（2024·广西·中考真题）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了钟面角，用乘以两针相距的份数是解题关键．根据钟面的特点，钟面平均分成12份，每份是，根据时针与分针相距的份数，可得答案． 【详解】解：2时整，钟表的时针和分针所成的锐角是， 故选：C． 3．（2024·河南·中考真题）如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则∠1的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方向角，平行线的性质，利用平行线的性质直接可得答案． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ∴， 故选：B． 【题型2：平行线的性质和判定】 【典例2】（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质，平行公理的推论，过点作，可得，即得，，根据求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴与所成锐角的度数为为， 故选：． 1．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，平分．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是平行线的性质及角平分线的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用平行线的性质是关键．依据题意，根据平行线及角平分线的性质求解即可． 【详解】解：， ，； 平分， ． ． 故选：C 2．（2024·福建·中考真题）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（ ）按如图方式摆放，若 ，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，由 ，可得，即可求解． 【详解】∵ ， ∴， ∵ ，则， ∴， 故选：A． 【题型3：度、分、秒的计算】 【典例3】（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题） ． 【答案】 【分析】根据度、分、秒的进率计算即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查度分秒的进率计算，熟记度分秒之间的进率是解题的关键． 1（22-23七年级上·浙江湖州·期末）已知与互余，若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互余两角之和为计算，即可求解． 【详解】解：∵与互余，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了余角的知识，属于基础题，掌握互余两角之和等于是解答本题的关键． 【题型4：三角板放置产生的角度计算】 【典例4】（2024·四川泸州·中考真题）把一块含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中角的运算，熟练掌握相关性质是解题的关键．利用平行线性质得到，再根据平角的定义求解，即可解题． 【详解】解：如图，   直角三角板位于两条平行线间且， ， 又直角三角板含角， ， ， 故选：B． 1．（2024·山东东营·中考真题）已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2024·四川凉山·中考真题）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质，是解题的关键．证明，再利用，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴， ∴； 故选B． 【题型5：命题】 【典例5】（2024湖南中考真题）下列命题中，正确的是（    ） A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等 C．正五边形的外角和为 D．直角三角形是轴对称图形 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理的知识，多边形外角性质，菱形性质及轴对称图形的特点，解题的关键是掌握这些基础知识点． 【详解】解：A、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意； C、正五边形的外角和为，选项错误，是假命题，不符合题意； D、直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假命题，不符合题意； 故选：A． 1．（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题主要考查了真假命题的判断以及不等式的性质，根据，可得出，进而可判断出若，则是假命题． 【详解】解：∵ ∴， ∴若，则是假命题， 故答案为：假． 2．（2024江苏宿迁中考真题）请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了逆定理的改写，根据题意，将题设与结论交换位置即可． 【详解】解：定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行 ． 1．（2025湖南娄底一模）下列命题中错误的是（    ） A．两点之间线段最短 B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等 C．两点确定一条直线 D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【分析】本题考查真假命题的判断，熟练掌握线段、直线、垂线的性质，全等三角形的判定定理是解题的关键， 根据线段、直线的性质以及三角形全等的判定定理、垂线的性质，对选项逐一进行分析． 【详解】A．两点之间线段最短，这是线段的基本性质之一，所以本选项说法正确，故不符合题意； B．三角形全等的判定定理中，两边及一角对应相等分为两种情况： 两边及其夹角对应相等，此时两个三角形全等（判定定理）． 两边及其中一边的对角对应相等，此时两个三角形不一定全等． 所以本选项说法是错误的，故本选项符合题意； C．两点确定一条直线，这是直线的基本性质，是数学中的基本公理，所以本选项说法正确，故不符合题意； D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这是垂线的基本性质，所以本选项说法正确，故不符合题意； 故选：B． 2．（2024安徽二模）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的一条直角边与含角的三角板的斜边垂直，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与三角板有关的计算，先证明，得到，进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 3．（2024甘肃模拟预测）如图，直线a，b被直线c所截，，，则的余角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行的性质，余角的定义，熟练掌握平行的性质是解题的关键．根据平行的性质求出的补角，即可求出，即可求出答案． 【详解】解：设的邻补角为， ，， ， ， 故的余角为． 故选A． 4．（2024河北石家庄二模）关于图中的点和线，下列说法错误的是（  ） A．点C在直线上 B．点C在线段上 C．点B在射线上 D．点B在线段上 【答案】D 【分析】此题主要考查了点与直线，线段的相关概念，准确识图，熟练掌握点与直线，线段的相关概念是解决问题的关键． 【详解】解：根据图形可知：点C在直线上正确，故选项A正确，不符合题意； 点C在线段上，故选项B正确，不符合题意； 点B在射线上， 故选项C正确，不符合题意； 点B不在线段上，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 5．（2024江苏苏州一模）如图所示几何体的左视图是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，从左边看，看到的图形分为上下两层，共2列，从左边起，第一列上下两层各有一个小正方形，第二列下面一层有一个小正方形，据此可得答案． 【详解】解：从左边看，看到的图形分为上下两层，共2列，从左边起，第一列上下两层各有一个小正方形，第二列下面一层有一个小正方形，即看到的图形如下： ， 故选：D． 7．（23-24七年级上·江西抚州·期末）如下图，该几何体从正面看得到的图形为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了从不同方向看物体，根据从物体正面看即可得． 【详解】解：从正面看，所得到的图形是： 故选：B． 8.（24-25七年级上·重庆渝北·期末）九曲桥九曲十八弯弯折的道路不仅可以增加美感，还可以增加游客在桥上行走的路程，如图，A，B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，这其中的数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．过一点有无数条直线 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的性质，根据两点之间线段最短，进行求解即可． 【详解】解：A，B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，这其中的数学原理是两点之间，线段最短，故C正确． 故选：C． 9．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）已知，，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查角的大小比较，将化成后，再进行比较即可． 【详解】解：因为， 所以， 又因为， 所以， 故选：C． 10．（24-25八年级上·山西晋城·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果，那么 B．如果两个角都是直角，那么这两个角相等 C．对顶角相等 D．相等的角是内错角 【答案】A 【分析】本题考查了判断命题的真假，分别写出各命题的逆命题，再判断真假即可，熟练掌握一个命题的逆命题的书写方法是解题的关键． 【详解】解：、命题“如果，那么”的逆命题为“如果，那么”，该命题是真命题，符合题意； 、“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题为“如果两个角相等，那么两个角都是直角”，该命题是假命题，不符合题意； 、“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”，该命题是假命题，不符合题意； 、“相等的角是内错角”的逆命题为“如果两个角是内错角，那么它们相等”，该命题是假命题，不符合题意； 故选：． 11．（2025广东模拟预测）将一副三角板如图所示放置，，若，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了与三角板有关的角度计算，先求出，再根据求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·广东惠州·期末）如图，钟表上八时整时，时针与分针所成的角是 度． 【答案】120 【分析】本题主要考查了钟面角，根据钟面分成12个大格，每格的度数为即可解答． 【详解】解：∵钟面分成12个大格，每格的度数为， ∴钟表上8点整时，时针与分针之间有4大格， 所以，所成的角是． 故答案为：120． 13．（24-25七年级上·广东惠州·期末）如图，已知B、C两点把线段分成三部分，M是的中点，若．则线段 ． 【答案】30 【分析】本题考查两点间的距离，根据线段的比例关系以及线段中点的定义进行计算即可． 【详解】解：由于B、C两点把线段分成三部分，可设，则，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∵，即， ∴， 解得， ∴， 故答案为：30． 14．（24-25八年级上·陕西铜川·期末）如图，点、分别在线段、上，连接、、，过点作分别交、于点、，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）根据平行线的性质和已知条件证明，据此可证明； （2）先由平行线的性质得到，，再由角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：，， ， ， 平分， ． 15．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）综合与实践活动课上，老师让同学们以“平行线的等角转化功能”为主题开展数学活动，已知直线，点是和之间任意一点，连结、，完成下面任务． 【任务一】（1）如图1，已知，，过点作，求的度数； 【任务二】（2）如图2，，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）25°；（2）垂直，见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：①两直线平行，内错角相等，②两直线平行，同位角相等，③两直线平行，同旁内角互补． （1）先得出，根据平行线的性质得出，，进而得出，即可得出答案； （2）过点作，根据平行线的性质得出，进而得出，再推出，得出，证得结论； 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴；  （2）与的位置关系是垂直． 理由：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 1．（24-25九年级上·甘肃白银·期末）如图，小明用七巧板拼成一个边长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个矩形，则矩形的对角线长为（   ）    A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，七巧板等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 根据正方形边长为2，则①和②的斜边为2，从而得出矩形的长和宽，进而得出答案． 【详解】解：∵正方形边长为2， ∴①和②的斜边为2， ∵①和②都是等腰直角三角形， ∴①和②的直角边为， ∴矩形的长为，宽为， ∴矩形的对角线长为， 故选：A． 2．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，把一张长方形的纸条沿折叠，若比多，则 ． 【答案】/122度 【分析】本题考查了折叠的性质，邻补角，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 先根据折叠的性质可得，从而可得，再求出，从而可得，再根据邻补角的定义可得，代入计算即可得． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ， 比多， ， ， 又， ， 解得：， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·福建厦门·期末）在数轴上剪下8个单位长度（从2到10）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ．（写出所有情况） 【答案】或或 【分析】本题考查了线段与数轴，求出这三条线段的长度分别为，，，再分情况讨论即可得解． 【详解】解：∵线段长为8，这三条线段的长度之比为， ∴， ∴这三条线段的长度分别为，，， 若剪下的第一条线段长度为，第二条线段的长度也是，则折痕表示的数为， 若剪下的第一条线段长度为，第二条线段的长度也是，则折痕表示的数为； 若剪下的第一条线段长度为，第二条线段的长度也是，则折痕表示的数为， 综上所述，折痕表示的数为或或， 故答案为：或或． 1．（2024·海南·中考真题）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数．如图，过点C作直线平行于直线m，易得，根据平行线的性质可得，由可求出的度数，再由平行线的性质可得的度数． 【详解】解：如图，过点C作直线平行于直线m， ∵直线， ∴， ∴，， 由题意可得， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2024·江苏宿迁·中考真题）全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（    ） A．自 B．立 C．科 D．技 【答案】C 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，还原正方体是正确解答的关键． 根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：将“自”作为底面，则折起来“强”在前面，“立”在右面，“科”在后面， ∴与“强”字所在面相对面上的汉字是“科”， 故选：C． 3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，有关三角板中角度的计算． 由平行线的性质可求出，又由三角板中，根据角的和差即可求出． 【详解】解：如图，∵    ∴， ∵在三角板中，， ∴． 故选：B 4．（2024·内蒙古·中考真题）如图，直线和被直线和所截，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质是解题的关键．先利用判定，再利用对顶角的性质和平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴, ∵， ∴， 故选：B． 5．（2024·陕西·中考真题）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据“两直线平行，同旁内角互补”，得到，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答案． 【详解】， ， ， ， ， ． 故选B． 6．（2024·河北·中考真题）直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 先求出正六边形的每个内角为，再根据六边形的内角和为即可求解的度数，最后根据邻补角的意义即可求解． 【详解】解：正六边形每个内角为：， 而六边形的内角和也为， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．（2024·四川达州·中考真题）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，代入数据，即可求解． 【详解】解：依题意，水面与容器底面平行， ∴ ∵，， ∴ 故选：B． 8．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，平分，请直接写出的形状． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定． （1）由平行证明，由等量代换得到，利用平行线的判定“内错角相等，两直线平行”证明，即可证明； （2）利用平行线的性质结合角平分线的定义求得，，据此即可得到是等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等腰直角三角形． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14图形初步的核心知识点精讲 1.了解线段、射线、直线的区别与联系．掌握它们的表示方法． 2. 掌握“两点确定一条直线”的性质，了解“两条直线相交只有一个交点”． 3. 理解线段的和与差的概念，会比较线段的大小，理解“两点之间线段最短”的性质． 4. 理解线段的中点和两点间距离的概念． 5. 会用尺规作图作一条线段等于已知线段． 6. 理解角的概念，理解平角、直角、周角、锐角、钝角的概念． 7. 掌握度、分、秒的换算，会计算角度的和、差、倍、分． 8. 掌握角的平分线的概念，会画角的平分线． 9. 会解决有关余角、补角的计算问题；会用“同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等”进行推理． 10. 灵活运用对顶角和垂线的性质； 11. 掌握并灵活运用平行线的性质和判定进行有关的推理和计算； 12. 理解和识别方向角 考点1：直线、射线与线段的概念 注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量。 考点2 ：基本事实 1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 考点3： 基本概念 1. 两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 2. 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点 考点4：双中点模型 C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 考点5：角及其平分线 1.度量角的大小：可用“度”作为度量单位。把一个圆周分成360等份，每一份叫做一度的角。1度=60分；1分=60秒。 2，余角：若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余，若∠1与∠2互余，则∠1+∠2=90°. 3.补角：若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互补，若∠1与∠2互补，则∠1+∠2=180°. 性质：同角(等角)的余角相等．同角（等角）的补角相等． 4. 角的平分线的性质 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 5.角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上。 考点6：相交线 1.对顶角：如图1所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 2.邻补角：如图2所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 图1 图2 3.三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 4．垂线的性质 （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 5.垂直平分线的性质 （1）定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. （2）逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 考点7：平行线 1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 2.平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 说明：也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。 3.平行线的判定： （1）同位角相等，两直线平行。 （2）内错角相等，两直线平行。 （3）同旁内角互补，两直线平行。 4.平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等。 （2）两直线平行，内错角相等。 （3）两直线平行，同旁内角互补。 说明：要证明两条直线平行，用判定公理（或定理）在已知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理 考点8：命题 内容 定义 能判断一件事情的语句，叫做命题。 组成 命题由题设和结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出来的事项 表达形式 通常可以写成“如果......,那么......”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。 分类 题设成立，结论也成立，这样的命题叫做真命题 【题型1 线与角概念和基本性质】 【典例1】（2024·山东日照·中考真题）如图，直线相交于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 2．（2024·广西·中考真题）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河南·中考真题）如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则∠1的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型2：平行线的性质和判定】 【典例2】（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，平分．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·福建·中考真题）在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（ ）按如图方式摆放，若 ，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【题型3：度、分、秒的计算】 【典例3】（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题） ． 1（22-23七年级上·浙江湖州·期末）已知与互余，若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【题型4：三角板放置产生的角度计算】 【典例4】（2024·四川泸州·中考真题）把一块含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则（    ）    A． B． C． D． 1．（2024·山东东营·中考真题）已知，直线，把一块含有角的直角三角板如图放置，，三角板的斜边所在直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川凉山·中考真题）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，当时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【题型5：命题】 【典例5】（2024湖南中考真题）下列命题中，正确的是（    ） A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等 C．正五边形的外角和为 D．直角三角形是轴对称图形 1．（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 2．（2024江苏宿迁中考真题）请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理 ． 1．（2025湖南娄底一模）下列命题中错误的是（    ） A．两点之间线段最短 B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等 C．两点确定一条直线 D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（2024安徽二模）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的一条直角边与含角的三角板的斜边垂直，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2024甘肃模拟预测）如图，直线a，b被直线c所截，，，则的余角为（    ） A． B． C． D． 4．（2024河北石家庄二模）关于图中的点和线，下列说法错误的是（  ） A．点C在直线上 B．点C在线段上 C．点B在射线上 D．点B在线段上 5．（2024江苏苏州一模）如图所示几何体的左视图是（   ） A．B．C． D． 7．（23-24七年级上·江西抚州·期末）如下图，该几何体从正面看得到的图形为（    ） A． B． C． D． 8.（24-25七年级上·重庆渝北·期末）九曲桥九曲十八弯弯折的道路不仅可以增加美感，还可以增加游客在桥上行走的路程，如图，A，B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，这其中的数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．过一点有无数条直线 9．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）已知，，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 10．（24-25八年级上·山西晋城·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果，那么 B．如果两个角都是直角，那么这两个角相等 C．对顶角相等 D．相等的角是内错角 11．（2025广东模拟预测）将一副三角板如图所示放置，，若，则的度数为 ． 12．（24-25七年级上·广东惠州·期末）如图，钟表上八时整时，时针与分针所成的角是 度． 13．（24-25七年级上·广东惠州·期末）如图，已知B、C两点把线段分成三部分，M是的中点，若．则线段 ． 14．（24-25八年级上·陕西铜川·期末）如图，点、分别在线段、上，连接、、，过点作分别交、于点、，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 15．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）综合与实践活动课上，老师让同学们以“平行线的等角转化功能”为主题开展数学活动，已知直线，点是和之间任意一点，连结、，完成下面任务． 【任务一】（1）如图1，已知，，过点作，求的度数； 【任务二】（2）如图2，，判断与的位置关系，并说明理由． 1．（24-25九年级上·甘肃白银·期末）如图，小明用七巧板拼成一个边长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个矩形，则矩形的对角线长为（   ）    A． B． C．4 D． 2．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，把一张长方形的纸条沿折叠，若比多，则 ． 3．（24-25七年级上·福建厦门·期末）在数轴上剪下8个单位长度（从2到10）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ．（写出所有情况） 1．（2024·海南·中考真题）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏宿迁·中考真题）全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（    ） A．自 B．立 C．科 D．技 3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·内蒙古·中考真题）如图，直线和被直线和所截，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·陕西·中考真题）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·河北·中考真题）直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川达州·中考真题）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，平分，请直接写出的形状． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$