精品解析：河南省商丘市睢县县城多校联考2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级数学期中测试 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列汉字中，属于中心对称的图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 抛掷1个均匀的骰子，出现6点向上 B. 在一个仅装着白球和黑球的袋中摸出红球 C. 任意三角形的内角和为 D. 2月出生的30人中定有人生日在同一天 3. 在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值为（ ） A. B. 1 C. 7 D. 5 4. 对于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象开口向下 B. 图象的对称轴为直线 C. 图象与轴的交点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 5. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，使点A的对应点D恰好落在边上，点B的对应点为E，连接，其中有：①；②；③；④，四个结论，则结论一定正确的有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，已知⊙C的半径为2，圆外一点O满足OC＝3.5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 7. 如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是( ) A. B. C. D. a，b大小无法比较 8. 若二次函数（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A，B两点．下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而增大； ③无论a取任何不为0的数，该函数的图象必经过定点； ④若线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，则a的取值范围是．其中正确的结论是（    ） A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ③④ 9. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②若m为任意实数，则a+b≥am2+bm；③a﹣b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，矩形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，，，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为________． 12. 已知二次函数：与二次函数关于原点对称，则的解析式为_____． 13. 为了响应国家“双减”政策，某校在课后延时服务时段新开发了器乐、戏曲、棋类三大类兴趣课程．现学校从这三类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，则恰好抽到“戏曲”和“棋类”的概率是______． 14. 在周长为定值P的扇形中，半径是___时扇形的面积最大． 15. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点，的半径为，为上一动点，为的中点，则线段长的最大值为________． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 解下列方程： （1） （2） 17. 寒假结束，迎来新学期，9年教务处对学生假期作业检查评价，随机在每个班级抽取的部分学生的作业，并将检查结果按“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”分成四个等级，绘制了如图两幅统计图（不完整）． 根据以上信息回答下列问题： （1）一共调查了多少名学生？ （2）补全条形统计图； （3）全校约有800名学生，估计完成情况为“优秀”或“良好”的学生共有多少人？ （4）经过检查评议，学校从完成情况为“优秀”的作业中选出5份最优作业进行展示，已知这几个人中有2名女生，那么随机翻看两份作业，求恰好是这两名女生作业的概率． 18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)，B(-4，1)，C(-1，2)． （1）画出以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A'B'C' （2）求点C在旋转过程中所经过的路径的长． 19. 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点为飞行距离计分的参照点，落地点超过点越远，飞行距离分越高．某滑雪赛场跳台滑雪的起跳台的高度为，基准点到起跳台的水平距离为，高度为．设运动员从起跳点起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为． （1）若运动员落地点恰好到达点，求，的值． （2）若运动员飞行的水平距离为，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过点，并说明理由． 20. 如图，中，，D为上的一点，以为直径的交于E，连接交于P，交于F，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 21. 某超市销售一种饮料，平均每天可售出箱，每箱利润元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价元，每天可多售出箱．针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题： （1）当每箱饮料降价元时，这种饮料每天销售获利多少元？ （2）为了尽可能地清理库存，以及要使每天销售饮料获利元，问每箱应降价多少元？ 22. 如图，正方形的边长为，以O为原点建立平面直角坐标系，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，把正方形绕点O顺时针旋转α后得到正方形，交y轴于点D，且D为的中点，抛物线过点、、． （1）填空： _____；抛物线的函数表达式是　　； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由； （3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑，直至顶点落在x轴上时停止．设正方形落在x轴上方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围． 23. 已知，在中，．P是边上一动点（P不与B、C重合），将沿折叠得到，点C的对应点为D． 【特例感知】 （1）如图1，当点D落在上时，求的长； 【类比迁移】 （2）如图2，当点D在上方且满足时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接． ①当为等腰三角形时，直接写出长； ②连接，记，的面积为y，请直接写出y与x的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学期中测试 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列汉字中，属于中心对称的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 抛掷1个均匀的骰子，出现6点向上 B. 在一个仅装着白球和黑球的袋中摸出红球 C. 任意三角形的内角和为 D. 2月出生的30人中定有人生日在同一天 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机事件的定义判断即可． 【详解】∵抛掷1个均匀的骰子，出现6点向上是随机事件， ∴A符合题意； ∵在一个仅装着白球和黑球的袋中摸出红球是不可能事件， ∴B不符合题意； ∵任意三角形的内角和为是必然事件， ∴C不符合题意； ∵2月出生的30人中定有人生日在同一天是必然事件， ∴D不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了事件的分类，熟练掌握随机事件即在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；不可能事件即在每一次实验中一定不会发生的事件；必然事件即在每一次实验中一定会发生的事件是解题的关键． 3. 在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值为（ ） A. B. 1 C. 7 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】关于原点对称的点，其横纵坐标互为相反数，由此可得出的值，然后代入求解即可． 【详解】由题意，，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查关于原点对称的点坐标的特征，熟记基本结论是解题关键． 4. 对于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象开口向下 B. 图象的对称轴为直线 C. 图象与轴的交点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：二次函数， ，则该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意； 对称轴是直线，故选项B不符合题意； ∴当时，随的增大而增大，故选项D不符合题意； 当时，， ∴图象与轴的交点坐标为，故选项C符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，对于二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，当时，二次函数有最小值k，在对称轴右边y随x增大而增大，在对称轴左边，y随x增大而减小；当时，二次函数有最大值k，在对称轴右边y随x增大而减小，在对称轴左边，y随x增大而增大． 5. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，使点A的对应点D恰好落在边上，点B的对应点为E，连接，其中有：①；②；③；④，四个结论，则结论一定正确的有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，由旋转的性质即可判定①③结论错误，通过等角转换即可判定④正确，利用逆推的方法判定②． 【详解】解：由旋转的性质，得，，故①错误； 由旋转的性质，得，，故③错误； 由旋转的性质，得， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，故④正确； 若， ∴，而， ∴， ∴，与题干条件矛盾，故②错误； 故选：A． 6. 如图，已知⊙C的半径为2，圆外一点O满足OC＝3.5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】C 【解析】 【分析】先连接OP，PC，OC，根据OP+PC≥OC，OC=3.5，PC=2，即可得到当点O，P，C三点共线时，OP最短，依据OA=OB，∠APB=90°，可得点P在以O为圆心，AB为直径的圆上，进而得到⊙O与⊙C相切时，OP最短，根据OP=3.5-2=1.5，可得AB=2OP=3. 【详解】解：如图，连接OP，PC，OC， ∵OP+PC⩾OC，OC=3.5，PC=2， ∴当点O，P，C三点共线时，OP最短， 如图，∵OA=OB，∠APB=90°， ∴点P在以O为圆心，AB为直径的圆上， ∴⊙O与⊙C相切时，OP最短， ∵OC=3.5， PC=2， ∴OP=3.5−3=1.5， ∴AB=2OP=3. 故选C. 【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论. 7. 如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是( ) A. B. C. D. a，b大小无法比较 【答案】A 【解析】 【分析】连接，依题意得，，的周长为，四边形的周长为，故，根据的三边关系即可得解． 【详解】连接， ∵点是的八等分点，即 ∴， ∴ 又∵的周长为， 四边形的周长为， ∴ 在中有 ∴ 故选A． 【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键． 8. 若二次函数（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A，B两点．下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而增大； ③无论a取任何不为0的数，该函数的图象必经过定点； ④若线段AB上有且只有5个横坐标为整数的点，则a的取值范围是．其中正确的结论是（    ） A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，根与系数的基本关系．根据求出的范围即可判断①；求出对称轴即可判断②；把函数表达式整理成为，即可判断③，根据，利用根与系数的关系即可求出的的范围，从而可以判断④． 【详解】解：二次函数（a是不为0的常数）的图象与x轴交于A，B两点， ， 整理得：， ，故①正确； ， 函数图象关于对称， ，开口向上， 当时，y随x的增大而增大；故②错误； ， 当时，，则恒过定点，故③正确； 若线段上有且只有5个横坐标为整数的点，根据二次函数的对称轴是， 则， ， 即：， 解得：，故④错误， 故选：C． 9. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②若m为任意实数，则a+b≥am2+bm；③a﹣b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，得到b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，即可判断①；根据二次函数的性质得当x＝1时，函数有最大值a+b+c，即可判断②；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0，即可判断③；把b＝﹣2a代入a﹣b+c＜0可对④进行判断；把ax12+bx1＝ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，然后把b＝﹣2a代入计算得到x1+x2＝2可对⑤进行判断． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1， ∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以①正确； ∵抛物线对称轴为直线x＝1， ∴函数的最大值为a+b+c， ∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以②正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧， ∴当x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0，所以③错误； ∵b＝﹣2a，a﹣b+c＜0， ∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以④正确； ∵ax12+bx1＝ax22+bx2， ∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0， ∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0， ∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0， 而x1≠x2， ∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣， ∵b＝﹣2a， ∴x1+x2＝2，所以⑤正确． 综上所述，正确的有①②④⑤共4个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象与解析式系数关系，与方程和不等式关系是解题的关键． 10. 如图，矩形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，，，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作轴于点．首先证明，利用相似三角形的性质求出点的坐标，再探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点． ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 矩形绕点顺时针旋转，每次旋转， 则第1次旋转结束时，点的坐标为； 则第2次旋转结束时，点的坐标为； 则第3次旋转结束时，点的坐标为； 则第4次旋转结束时，点的坐标为； 发现规律：旋转4次一个循环， ， 则第2021次旋转结束时，点的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化旋转、规律型点的坐标，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规律，总结规律． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根的条件列出关于a的不等式组，求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-3x-1=0有实数根， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的定义，熟练掌握当Δ≥0，一元二次方程有实数根，当Δ<0，一元二次方程没有实数根是解题的关键． 12. 已知二次函数：与二次函数关于原点对称，则的解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设二次函数：上任意一点，其关于原点的对称点为，则是二次函数上的任意一点，根据题意，得，代入，得到关于的函数即可． 【详解】设二次函数：上任意一点，其关于原点的对称点为，则是二次函数上的任意一点， 根据题意，得，代入， 得， 所以， 故的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的抛物线解析式的确定，利用对称点的特点变形代入化简是解题的关键． 13. 为了响应国家“双减”政策，某校在课后延时服务时段新开发了器乐、戏曲、棋类三大类兴趣课程．现学校从这三类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，则恰好抽到“戏曲”和“棋类”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出表格，一共得到6种等可能的结果，其中恰好抽到“戏曲”和“棋类”的有2种，再根据概率公式，即可求解． 【详解】解：根据题意，列出表格如下： 器乐 戏曲 棋类 器乐 器乐，戏曲 器乐，棋类 戏曲 戏曲，器乐 戏曲，棋类 棋类 棋类，器乐 棋类，戏曲 共有6种等可能出现的结果，其中恰好抽到“戏曲”和“棋类”的有2种， 恰好抽到“戏曲”和“棋类”的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键． 14. 在周长为定值P的扇形中，半径是___时扇形的面积最大． 【答案】 【解析】 【分析】由扇形的周长和面积公式都与半径和弧长有关系，故可设出半径为r，弧长为l，表示出周长和面积公式，根据基本不等式做出面积的最大值即可． 【详解】解：设扇形半径为r，弧长为l，则周长为，面积为， ，当且仅当，即时取等号． ， ， 当时，扇形面积最大，最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形的周长和面积公式及利用基本不等式求最值，本题的解题关键是正确表示出扇形面积，再利用基本不等式求解． 15. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点，的半径为，为上一动点，为的中点，则线段长的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接并取的中点，连接，，于是可得，，然后求得抛物线与轴的交点，的坐标，进而可求得的长，接下来求得抛物线顶点的坐标，即可求得的长，于是利用勾股定理即可求得的长，进而可求得的长，最后利用三角形三边之间的关系即可得解． 【详解】解：如图，连接并取的中点，连接，， 为的中点，为的中点， 是的中位线， ， 轴， ， 又为的中点， ， 令， 解得：或， ，， ，， ， 抛物线是轴对称图形， ， ， ， 当时，， ， ， 由勾股定理得：， ， ， 即：长的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，直角三角形的性质（斜边中线等于斜边的一半），求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，已知两点坐标求两点距离，轴对称的性质，求函数值，勾股定理，三角形三边之间的关系等知识点，添加适当的辅助线，巧妙利用三角形的中位线定理及直角三角形的性质是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用公式法解方程得出答案． （2）利用完全平方公式分解因式解方程得出答案． 【详解】解：（1） ∵ ， ∴ ， ∴ ； （2） 移项得：， 即 ， ∴ 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确掌握一元二次方程的基本解法是解题关键． 17. 寒假结束，迎来新学期，9年教务处对学生假期作业检查评价，随机在每个班级抽取的部分学生的作业，并将检查结果按“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”分成四个等级，绘制了如图两幅统计图（不完整）． 根据以上信息回答下列问题： （1）一共调查了多少名学生？ （2）补全条形统计图； （3）全校约有800名学生，估计完成情况为“优秀”或“良好”的学生共有多少人？ （4）经过检查评议，学校从完成情况为“优秀”的作业中选出5份最优作业进行展示，已知这几个人中有2名女生，那么随机翻看两份作业，求恰好是这两名女生作业的概率． 【答案】（1）一共调查了100名学生 （2）见解析 （3）估计完成情况为“优秀”或“良好”的学生约有640人 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的相关知识，用树状图以及层别法求概率，用样本估计总体等知识． （1）用“一般”的人数除以其占比即可求出总人数． （2）分别求出“优秀”和“较差”的人数，然后补全条形统计图即可． （3）用样本估计总体即可． （4）画出树状图用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：一共调查的学生人数为：（名）， 答：一共调查了100名学生； 【小问2详解】 解：“优秀”的学生人数为：（名）， 则“较差”的学生人数为：（名）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：估计完成情况为“优秀”或“良好”的学生共有：（人）， 答：估计完成情况为“优秀”或“良好”的学生约有640人； 【小问4详解】 解：5个人中有2名女生，则男生为3名， 画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中恰好是两名女生作业的结果有2种， ∴恰好是这两名女生作业的概率为 18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)，B(-4，1)，C(-1，2)． （1）画出以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A'B'C' （2）求点C在旋转过程中所经过的路径的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点O顺时针旋转90∘后的对应点的位置，然后顺次连接即可． （2）在旋转过程中，C所经过的路程为下图中扇形的弧长，即利用扇形弧长公式计算即可． 【详解】（1）如图，连接OA、OB、OC并点O为旋转中心，顺时针旋转90°得到A'、B'、C'，连接A'B'、B'C' 、A'C'，△A'B'C'就是所求的三角形． （2）C在旋转过程中所经过的路程为扇形的弧长； 所以 【点睛】 本题考查了旋转作图以及扇形的弧长公式的计算，作出正确的图形是解本题的关键． 19. 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点为飞行距离计分的参照点，落地点超过点越远，飞行距离分越高．某滑雪赛场跳台滑雪的起跳台的高度为，基准点到起跳台的水平距离为，高度为．设运动员从起跳点起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为． （1）若运动员落地点恰好到达点，求，的值． （2）若运动员飞行的水平距离为，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过点，并说明理由． 【答案】（1）的值为，的值为60 （2）能超过，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设抛物线为，可得抛物线解析式为，即可解得答案． （2）运动员飞行的水平距离为，恰好达到最大高度，可得抛物线解析式为，当时，，从而可知他的落地点能超过点． 【小问1详解】 依题意，将，代入， 得解得 ∴的值为，的值为60． 【小问2详解】 能超过． ∵运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度， ∴与的函数关系式为， 当时，， ∴他的落地点能超过点． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题． 20. 如图，中，，D为上的一点，以为直径的交于E，连接交于P，交于F，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质： （1）根据直角三角形的两个锐角互余可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理求出，即可解答； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，进而可得，再利用平行线的性质可得，，从而可得，然后利用相似三角形的性质可得，再证明，从而利用相似三角形的性质可得，进而可得，最后进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 21. 某超市销售一种饮料，平均每天可售出箱，每箱利润元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价元，每天可多售出箱．针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题： （1）当每箱饮料降价元时，这种饮料每天销售获利多少元？ （2）为了尽可能地清理库存，以及要使每天销售饮料获利元，问每箱应降价多少元？ 【答案】（1）元 （2）元 【解析】 【分析】（1）每箱应降价元，依据题意得总获利为，当每箱饮料降价元时，代入计算即可求解； （2）要使每天销售饮料获利元，每箱应降价元，依据题意列方程得， ，解一元二次方程，根据尽可能地清理库存即可求解． 【小问1详解】 解：每箱应降价元，依据题意得总获利为：， 当时，元， 【小问2详解】 解：要使每天销售饮料获利元，每箱应降价元，依据题意列方程得， ，整理得，解得，， ∵尽可能地清理库存， ∴， ∴每箱应降价元，可使每天销售饮料获利元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际运用问题，理解题目中的数量关系，掌握一元二次方程的实际运用及解法是解题的关键． 22. 如图，正方形的边长为，以O为原点建立平面直角坐标系，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，把正方形绕点O顺时针旋转α后得到正方形，交y轴于点D，且D为的中点，抛物线过点、、． （1）填空： _____；抛物线的函数表达式是　　； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由； （3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑，直至顶点落在x轴上时停止．设正方形落在x轴上方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围． 【答案】（1）①；② （2）存在点P，使为直角三角形．满足条件的点P共有4个：，，，． （3）． 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得出，．由旋转的性质得出，再根据正切的定义求解即可． 过点作轴，垂足为点E，过点作轴，垂足为点F，设，则，在中，利用勾股定理求得和，即可求得点的坐标，进一步证明，有，即可求得点和点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式； （2）将（1）的抛物线解析式配方得对称轴．根据题意分三种情况：①以点为直角顶点，利用待定系数法求得直线的解析式，即可求得点；②以点为直角顶点，同理求得点；③以点P为直角顶点，分别过点、作抛物线对称轴的垂线，垂足为G、H，设点，进一步分点P在直线上方和点P在直线下方，利用相似三角形求解即可； （3）分三种情况：①当点运动到x轴上时，求得，，利用三角形的面积即可；②当点运动到x轴上时，则，，，，，，利用三角形的面积即可；③当点运动到x轴上时，同②可得：， ，利用三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：①∵四边形为正方形， ∴，． 又∵D是的中点， ∴ ∵由旋转性质可知，， ∴在中， ∴的值是． 过点作轴，垂足为点E，过点作轴，垂足为点F，如图， 在中，， 设，则，在中， 根据勾股定理，得． 即 解得（舍），． ∴，． 又∵点在第二象限， ∴点的坐标为． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点的坐标为，同理点的坐标为． ∵过点、、． ∴ 解得 ∴抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：将（1）的抛物线解析式配方，得． ∴抛物线的对称轴是直线． 假设存在符合条件的点P，分三种情况： ①以点为直角顶点； 由（1）知点点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式：，则 ，解得 则直线的解析式：， 当时， ， 则点； ②以点为直角顶点； 同理可得直线的解析式：， 当时， ， 则点，； ③以点P为直角顶点； 分别过点、作抛物线对称轴的垂线，垂足为G、H； 设点， 当点P在直线上方时， 、、、 ∵， ∴， ∴， 则，解得：，（舍）． 当点P在直线下方时，同上，可求得； 综上，存在点P，使△PB1C1为直角三角形．满足条件的点P共有4个：，，，． 【小问3详解】 解：设运动后的正方形为，分三种情况： ①当点运动到x轴上时， ∵正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑， ∴； 当时，如图①， ，， ∴； ②当点运动到x轴上时，； 当时，如图②； 则，，，，，， ∴； ③当点运动到x轴上时，； 当时，如图③， 同②可得：， ； ∴； 综上， ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、相似三角形的判定和性质、平移的性质和三角函数的定义，解题的关键是熟悉旋转的性质和正方形的性质，以及熟练应用分类讨论思想． 23. 已知，在中，．P是边上一动点（P不与B、C重合），将沿折叠得到，点C的对应点为D． 【特例感知】 （1）如图1，当点D落在上时，求的长； 【类比迁移】 （2）如图2，当点D在上方且满足时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接． ①当为等腰三角形时，直接写出长； ②连接，记，的面积为y，请直接写出y与x的关系式． 【答案】（1） （2） （3）①或3；② 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得：，在中，根据勾股定理可得，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解； （2）延长交延长线于点M，可得，从而得到，在中，根据勾股定理可得， 设，则，在中，根据勾股定理，即可求解； （3）①分三种情况讨论，即可求解；②作于点H，证明，可得，在中，根据勾股定理可得，然后根据，即可求解． 【小问1详解】 解：∵将沿折叠得到， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得：，即； 【小问2详解】 解：延长交延长线于点M， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：，即； 【小问3详解】 解：①情况1：，即； 情况2：如图1，当时，作于点H，则， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 情况3：如图2，当四边形为正方形时，此时，， 由旋转的性质得：， ∴是等腰直角三角形， 此时点D在上，且为的中点， 此时，符合题意， ∴； 综上所述，的长为或3； ② 如图，作于点H， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴ 即． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，图形的折叠和旋转问题，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想和类比思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $