专题02 二元一次方程组、三元一次方程组解决实际问题重难点题型专训（16大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（华东师大版2024）

专题02 二元一次方程组、三元一次方程组解决实际问题重难点题型专训（16大题型+15道提优训练） 题型一 方案问题 题型二 行程问题 题型三 工程问题 题型四 数字问题 题型五 年龄问题 题型六 分配问题 题型七 销售、利润问题 题型八 和差倍分问题 题型九 几何问题 题型十 图表信息题 题型十一 古代问题 题型十二 其他问题 题型十三 解二元一次方程组的综合应用 题型十四 根据实际问题列二元一次方程组 题型十五 根据几何图形列二元一次方程组 题型十六 三元一次方程组的应用 知识点01 二元一次方程组的应用 （一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）、设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 【经典例题一 方案问题】 【例1】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元． （1）A、B两种商品的单价分别是多少元？ （2）已知该商店购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A、B两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？ 【答案】（1）A种商品的单价为16元、B种商品的单价为4元； （2）有两种方案：方案（1）：m=12，2m﹣4=20 即购买A商品的件数为12件，则购买B商品的件数为20件；方案（2）：m=13，2m﹣4=22 即购买A商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件 【分析】（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，根据等量关系：①购买60件A商品的钱数+30件B商品的钱数=1080元，②购买50件A商品的钱数+20件B商品的钱数=880元分别列出方程，联立求解即可． （2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m﹣4）件，根据不等关系：①购买A、B两种商品的总件数不少于32件，②购买的A、B两种商品的总费用不超过296元可分别列出不等式，联立求解可得出m的取值范围，进而讨论各方案即可． 【详解】解：（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元， 由题意得： 解得： 答：A种商品的单价为16元、B种商品的单价为4元． （2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m﹣4）件， 由题意得： 解得：12≤m≤13 ∵m是整数， ∴m=12或13，故有如下两种方案： 方案（1）：m=12，2m﹣4=20 即购买A商品的件数为12件，则购买B商品的件数为20件； 方案（2）：m=13，2m﹣4=22 即购买A商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件． 【点睛】本题考查一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，注意找到正确的等量关系是重点． 1．（24-25七年级下·广西桂林·期末）某校准备组织七年级师生去红军长征湘江战役纪念馆参观学习，学校联系某客运公司有60座和45座两种客车可供租用．学校如果全部租用45座的客车，那么七年级师生全部有座，且还剩余15个空座位；如果全部租用60座的客车，则可少租3辆，且正好坐满． (1)求七年级师生的总人数； (2)已知客运公司60座的客车每辆每天的租金是900元，45座的客车每辆每天的租金是700元．若学校从该客运公司租用客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车都恰好坐满，求出满足条件的所有租车方案，并说明哪一种租车方案最省钱？ 【答案】(1)480人 (2)方案一：租用60座客车8辆，45座客车0辆；方案二：租用60座客车5辆，45座客车4辆；方案三：租用60座客车2辆，45座客车8辆；租用60座客车8辆，45座客车0辆最省钱 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设七年级师生的总人数为x人，根据全部租用60座的客车，比租用45座的客车少租3辆，列出方程，解方程即可； （2）设租用60座的客车x辆，45座的客车y辆，根据总人数列出方程，求方程的非负整数解，即可得出答案． 【详解】（1）解：设七年级师生的总人数为x人，根据题意得： ， 解得：， 答：七年级师生的总人数为480人． （2）解：设租用60座的客车x辆，45座的客车y辆，根据题意得： ， ∵x、y为非负整数， ∴或或， 满足条件的所有租车方案有： 方案一：租用60座客车8辆，45座客车0辆； 方案二：租用60座客车5辆，45座客车4辆； 方案三：租用60座客车2辆，45座客车8辆； 方案一费用：（元）， 方案二费用：（元）， 方案三费用：（元）， ∵， ∴租用60座客车8辆，45座客车0辆最省钱． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）某运动品牌生产厂开发了一款新式的运动器材，计划15天生产安装360台.由于抽调不出足够的熟练工来完成新式运动器材的安装，工厂决定招聘一些新工人.他们经过培训后上岗，也能独立进行新式运动器材的安装，生产开始后，调研部门发现，2名熟练工和1名新工人每天可安装10台新式运动器材，3名熟练工和2名新工人每天可安装16台新式运动器材. (1)每名熟练工和新工人每天分别可以安装多少台新式运动器材？ (2)如果工厂抽调名熟练工，使得招聘的新工人（至少招聘一人）和抽调的熟练工刚好能完成原计划15天的生产任务，那么工厂有几种新工人的招聘方案？ 【答案】(1)每名熟练工每天可以安装4台新式运动器材，每名新工人每天可以安装2台新式运动器材 (2)3种 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，找准题中的等量关系是解题的关键． （1）设每名熟练工每天可以安装x台新式运动器材，每名新工人每天可以安装y台新式运动器材，根据题意列出等量关系式，进行计算即可得到答案； （2）设招聘m名新工人，根据题意列出二元一次方程，找出符合的所有解即可得到答案． 【详解】（1）解：设每名熟练工每天可以安装x台新式运动器材，每名新工人每天可以安装y台新式运动器材， 根据题意，得， 解得， 答：每名熟练工每天可以安装4台新式运动器材，每名新工人每天可以安装2台新式运动器材． （2）解：设招聘m名新工人， 根据题意，得， ， 又，n均为正整数，且， 或或 工厂有3种新工人的招聘方案． 3．（24-25七年级下·山西晋城·期末）2024年8月22日，山西省文化和旅游厅正式启动“跟着悟空游山西”活动，某校组织八年级学生探寻山西省历史文化的研学活动． ×××景区票价一览表 购票人数/人 单价/元 1〜50 18 51〜100 15 100以上 12 参加活动的八年级（1）（2）两个班共101人去游览山西运城某景点，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共应付1659元； (1)两班各有学生多少人? (2)如果两班联合起来作为一个团体购票，则可以节省不少的钱，联合起来购票能省多少钱? 【答案】(1)八年级（1）班有48人，八年级（2）班有53人 (2)两班联合起来购票能省447元钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确列出等量关系是解题的关键． （1）设八年级（1）班有x人，八年级（2）班有y人，根据八年级（1）（2）两个班共101人；一共应付1659元，列二元一次方程组即可解答； （2）对照表格，计算两个班联合起来后的总门票价格，即可解答． 【详解】（1）解：设八年级（1）班有x人，八年级（2）班有y人， 根据题意得， 解这个方程得， 答：八年级（1）班有48人，八年级（2）班有53人； （2）解：（元） 答：两班联合起来购票能省447元钱． 【经典例题二 行程问题】 【例2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）、两地相距36千米，若甲、乙两人都从地去地，乙比甲先出发2小时，甲出发4小时后追上乙；若甲、乙分别从、两地出发，相向而行，乙比甲早出发小时，两人在甲出发后3小时相遇．求甲、乙两人的速度． 【答案】甲的速度为6千米／时，乙的速度为4千米／时 【分析】设甲的速度为x千米／时，乙的速度为y千米／时，根据题意，得，解方程组即可． 本题考查了方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设甲的速度为x千米／时，乙的速度为y千米／时， 根据题意，得， 整理，得， 故， 解得， 答：甲的速度为6千米／时，乙的速度为4千米／时． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）从A地到B地全程，前一路段为国道，其余路段为高速公路．一辆汽车从A地开往B地一共行驶了．已知汽车在国道上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为，则A，B两地间国道和高速公路各多少千米？ 【答案】，两地间国道和高速公路分别是千米，千米 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组； 首先设，两地间国道和高速公路分别是、千米，根据题意可得等量关系：国道路程高速路程，在国道上行驶的时间在高速公路上行驶的时间，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【详解】解：设，两地间国道和高速公路分别是千米，千米， 根据题意，得， 解得， 答：，两地间国道和高速公路分别是千米，千米． 2．（24-25七年级下·广西桂林·期末）小贵、小港两人从相距的两地相向而行． (1)若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇，求小贵、小港两人每小时各走多少千米？ (2)如果他们同时出发，并保持（1）中的速度，那么后两人还相距多少千米？ 【答案】(1)小贵每小时走，小港每小时走 (2)后两人相距 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设小贵每小时走，小港每小时走，根据“若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据后两人间的距离两人的速度之和运动时间，即可求出结论． 【详解】（1）解：设小贵每小时走，小港每小时走， 依题意，得：， 解得：； 答：小贵每小时走，小港每小时走． （2）解：， 答：后两人相距． 3．（23-24七年级下·江苏南京·期末）一条公路上、、三地的位置如图所示．已知、两地之间相距千米，一辆货车从地出发，向地匀速行驶，经过分钟，距地千米，又经过小时，距地千米．    (1)求、两地之间的距离； (2)该货车从地出发时，一辆客车从地以每小时千米的速度驶向地，若两车在距地千米到千米的某处相遇，直接写出的取值范围． 【答案】(1)千米 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组，分式方程等知识点，解题的关键是根据题意列出方程，解方程；（1）设货车速度为，、两地之间的距离为，根据题意列方程，解方程即可；（2）根据路程与时间和速度的关系，列出分式方程，解分式方程即可， 【详解】（1）解：设货车速度为，、两地之间的距离为，由题意得：， 解得 答：、两地之间的距离为千米 （2）根据题意可知，两车在距离地千米相遇时，有最大值， 则， 解得： 两车在距离地千米相遇时，有最小值， 则， 解得：， 故的取值范围为： 【经典例题三 工程问题】 【例3】（24-25七年级下·全国·单元测试）端午临中夏，时清日复长．临近端午节时，一网红门店接到一份粽子订单，立即决定由甲、乙两组加工完成．已知甲、乙两组加工一天共加工350袋粽子，甲组加工2天比乙组加工1天多加工250袋粽子． (1)求甲、乙两组每天各加工多少袋粽子； (2)已知这份粽子订单为袋，若甲、乙两组共用10天加工完成（甲、乙两组不同时加工），则甲组需要加工多少天？ 【答案】(1)甲组每天加工200袋粽子，乙组每天加工150袋粽子 (2)4天 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用． （1）设甲组每天加工袋粽子，乙组每天加工袋粽子，甲、乙两组加工一天共加工350袋粽子，甲组加工2天比乙组加工1天多加工250袋粽子．据此列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）设甲组需要加工天，则乙组加工天．这份粽子订单为袋，据此列出一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲组每天加工袋粽子，乙组每天加工袋粽子， 根据题意，得 解得 答：甲组每天加工袋粽子，乙组每天加工袋粽子． （2）设甲组需要加工天，则乙组加工天． 根据题意，得， 解得． 答：甲组需要加工4天． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）风味美饭店生意火爆，座无虚席，老板决定扩大规模重新装修．若先请甲施工队单独做3天，再请乙施工队单独做24天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱7200元．若先请甲施工队单独做9天，再请乙施工队单独做16天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱7600元． (1)甲、乙两施工队工作1天，风味美饭店老板应各付多少工钱？ (2)若甲、乙两施工队合作，则需要同时做几天才能完成施工任务？ 【答案】(1)甲施工队工作1天，老板应付400元，乙施工队工作1天，老板应付250元 (2)天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系是解题的关键． （1）设甲施工队工作1天，老板付元，乙施工队工作1天，老板付元，根据题意列方程组，求解即可． （2）设甲施工队的工作效率为，乙施工队的工作效率为，根据题意列方程组，求出甲施工队的工作效率为，乙施工队的工作效率为，继而可求出甲、乙两施工队同时做需要的天数． 【详解】（1）解：设甲施工队工作1天，老板付元，乙施工队工作1天，老板付元， 根据题意，得， 解得， ∴甲施工队工作1天，老板应付400元，乙施工队工作1天，老板应付250元． （2）设甲施工队的工作效率为，乙施工队的工作效率为， 根据题意，得， 解得， ∴甲，乙两施工队同时做需（天）能完成施工任务． 2．（24-25七年级下·福建厦门·期中）为打造集休闲娱乐、健身运动、观光旅游、体验自然等于一体的多功能活动区域．深圳湾公园海滨步道现有一段长350米的河边道路需整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天． 根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：乙： 从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，补全以下解题过程，并利用此方程组求出，两个工程队分别整治河边道路多少米． 解：选择的方程组为____________（填“甲”或“乙”） 设为_______________________； 为_________________________． 【答案】见解析 【分析】本题考查二元一次方程组解应用题，涉及二元一次方程组的解法，根据“两个工程队总共完成350米，共用时30天”分别列方程，求解即可得到答案． 【详解】解：选择的方程组为甲， 设为工程队工作的天数； 为工程队工作的天数． 根据提意得， 解此方程组得， ，， 答：，两个工程队分别整治河边道路150米和200米； 选择的方程组为乙， 设为工程队整治河边道路长度； 为工程队整治河边道路长度． 根据提意得， 解此方程组得， 答：，两个工程队分别整治河边道路150米和200米； 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）为了打造区域中心城市，实现仙桃跨越式发展，我市某路段拓宽工程正按投资计划有序推进．因道路建设需要开挖土方，计划每小时挖掘土方，市政公司现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表： 租金（单位：元/台·时） 挖掘土方量（单位：/台•时） 甲型挖掘机 100 60 乙型挖掘机 120 80 (1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？ (2)如果每小时支付的租金不超过元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？ 【答案】(1)甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台； (2)有1种租用方案． 【分析】本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式和方程组． （1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）根据题意可以列出相应的不等式，注意甲和乙的台数都是整数． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台， ， 得， 答：甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台； （2）设租用甲型号的挖掘机a台，租用乙型号的挖掘机b台， ， ∴， 解得，， 当时，（舍去）， 当时，（舍去）， 当时，（舍去）， 当时，， 当时，（舍去）， 答：有1种租用方案． 【经典例题四 数字问题】 【例4】（24-25七年级下·广西桂林·期末）某两位数，两个数位上的数之和为11．这个两位数加上45，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数． (1)列一元一次方程求解． (2)设原两位数的十位数字为，个位数字为，列二元一次方程组求解． 【答案】(1)38 (2)38 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及由实际问题抽象出二元一次方程组． （1）设原两位数的个位数字为，则十位数字为，根据原两位数等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设原两位数的十位数字为，个位数字为，根据原两位数两个数位上的数之和为11及原两位数等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，即可得出关于，的二元一次方程组，解方程即可． 【详解】（1）解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为， 依题意，得：， 解得：， ， ∴原两位数为38； （2）解：设原两位数的十位数字为，个位数字为， 依题意，得：， 解得， ∴原两位数为38． 1．（23-24七年级下·河南新乡·期中）一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”n的各个数位上的数字之和记为．例如∶时，． (1)对于“相异数”n，若，请你写出一个n的值； (2)若a，b都是“相异数”，其中，，（，，x，y都是正整数），规定：，当时，求k的最小值． 【答案】(1)答案不唯一，只要是1、2、3组合的三位数都对 (2)k的最小值为 【分析】本题考查了二元一次方程的运用，解题的关键是读懂题意，学会求二元一次方程的正整数解． （1）由定义可得； （2）根据题意先求出，，，代入可得二元一次方程，求出x，y的解代入可得k的值． 【详解】（1）任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且不为零，那么称这个数为“相异数”，如果， ∴（也可为213或321等）； （2），，， ， ， ，， 或或或或或， a是“相异数”， ，． b是“相异数”，，． 或或， 或或 ，，， k的最小值为． 2．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）列二元一次方程组解应用题： 爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下： 时刻 里程表上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9时看到的两位数中间多了个0 设：时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y，回答下列问题： (1)用含x，y代数式表示：时里程碑上的数字______；时看到里程表上的数______；时看到里程表上的数______； (2)列方程组并求出时里程碑上的数． 【答案】(1)；； (2)时小明看到的两位数是51 【分析】本题主要考查了列代数式及二元一次方程组的应用，正确找出各数量关系是解题的关键． （1）根据数位的概念用十位数字的10倍加上个位数字可求得时两位数；同样用数位的概念进行表达即可表示时和时的数； （2）分别根据两位数的两个数字之和为6和行驶过程中速度不变两个等量关系列出方程． 【详解】（1）解：∵时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y， ∴时里程碑上的数可表示为； ∵时看到的两位数十位与个位数字与时所看到的正好互换了 ∴十位数字为y，个位数字为x， ∴时看到里程表上的数表示为； ∵看到的数字是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个0， ∴此三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y， ∴时看到里程表上的数； 故答案为；，，． （2）解： ， 解得：． ∴小明在时看到里程碑上的两位数． 答：小明在时看到里程碑上的两位数是51． 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）学习概念：由9个数字组成的一个三行三列的矩阵，其每一行、每一列和两条对角线的数字的和都相等，这就是三级幻方，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数． 探究规律： （1）图1是1~9组成的一个三级幻方，小洁根据图2推出下列四个关系式， ①；②；③；④； 请你用图1中的数验证上述四个式子，其中正确的有______； 应用规律 根据上面的规律，用方程组思想解答下面的问题： （2）如图3，若，求、的值，并把空格中的数填补出来． 【答案】（1）①②③；（2），．表见解析 【分析】本题考查规律型问题，幻方图等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． （1）根据有理数的运算法则计算即可解决问题． （2）由幻方的性质求得，再根据题意求得，；再根据规律以及，列方程组求解即可． 【详解】解：（1）①，；①正确； ②，；②正确； ③，；③正确； ④，；④不正确； 故答案为：①②③； （2）根据题意得， ， ； ，即， ∵， ∴，解得， ∴． 填表： 4 9 8 11 7 3 6 5 10 【经典例题五 年龄问题】 【例5】（23-24七年级下·河南驻马店·期中）在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁， 根据题意得： 解得： ∴当奶奶岁时，小花的年龄为， ∴小花岁时将为奶奶贺白寿， 故答案为：． 1．（2022七年级下·全国·专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【答案】大头儿子现在的年龄为10岁 【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可． 【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁， 由题意得：， 解得：， 答：大头儿子现在的年龄为10岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 2．（23-24七年级下·广西桂林·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 3．（23-24七年级·浙江杭州·）某学校组织捐物给贫困地区的同学，按书、体育用品进行分类打包，统计得共820件，书比体育用品多150件，用甲、乙两种货车共10辆将物品运往贫困地区，已知甲种货车每辆最多可装书100件和体育用品20件，乙种货车每辆最多可装书30件和体育用品50件． （1）求捐赠物品书和体育用品各几件？ （2）学校安排甲、乙两种货车有几种方案？请你帮助设计出来； （3）如果甲货车每辆需付800元，乙种货车每辆需付600元，应选择哪种方案可使总费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】（1）捐赠物品书485件，体育用品335件；（2）学校安排甲、乙两种货车有三种方案：①学校安排甲种货车3辆，乙种货车7辆；②学校安排甲种货车4辆，乙种货车6辆；③学校安排甲种货车5辆，乙种货车5辆；（3）选择安排甲种货车3辆，乙种货车7辆可使总费用最少，最少费用是6600元． 【分析】（1）设捐赠物品书x件，体育用品y件，然后建立一元二次方程组，解方程组即可； （2）设学校安排甲种货车a辆，则安排乙种货车辆，根据载重量的不等关系，列出不等式求解即可； （3）分别求出（2）中三种方案的总费用，再比较大小即可． 【详解】（1）设捐赠物品书x件，体育用品y件 由题意得： 解得 答：捐赠物品书485件，体育用品335件； （2）设学校安排甲种货车a辆，则安排乙种货车辆 由题意得： 解得 a为整数 a的可能取值是 因此，学校安排甲、乙两种货车有三种方案： ①学校安排甲种货车3辆，乙种货车7辆 ②学校安排甲种货车4辆，乙种货车6辆 ③学校安排甲种货车5辆，乙种货车5辆； （3）①学校安排甲种货车3辆，乙种货车7辆，总费用为（元） ②学校安排甲种货车4辆，乙种货车6辆，总费用为（元） ③学校安排甲种货车5辆，乙种货车5辆，总费用为（元） 因为 所以选择安排甲种货车3辆，乙种货车7辆可使总费用最少，最少费用是6600元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，理解题意，正确列出方程组和不等式组是解题关键． 【经典例题六 分配问题】 【例6】（2024七年级下·浙江宁波·竞赛）某公司准备每周（按120个工时计算）组装三种型号的无人机360台，组装这些无人机每台所需工时和每台产值如下表． 无人机型号 ① ② ③ 工时（个） 产值（万元/台） 0.4 0.3 0.2 (1)如果每周准备组装100台型号③无人机，那么每周应组装型号①、②无人机各几台？ (2)若一周型号③无人机至少组装20台，一周产值记为，求的最大值． 【答案】(1)每周应组装型号①、②无人机分别是50台、210台 (2)的最大值是107万元 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和一次函数的应用． （1）设每周应组装型号①无人机台、②无人机台，根据题意列方程组，解方程组即可； （2）设每周组装型号①、②、③无人机分别是x台、y台、z台，可得：，故，而，由一次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：设每周应组装型号①、②无人机分别是台、台． ， 解得， 所以每周应组装型号①、②无人机分别是50台、210台； （2）解：设每周组装型号①、②、③无人机分别是台、台、台． ， 解得， ∴， 由于，且， 所以， 当时，最大（万元）， 所以，的最大值是107万元． 1．（24-25七年级下·福建莆田·阶段练习）综合与实践 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失．    阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水8秒，则再接温水的时间为__________秒． (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是27秒，求乙同学分别接温水和开水所用的时间． (3)丙同学要接一杯700的温水和开水混合的水，先接温水再接开水，若先接x秒的温水，再接开水，请问最后水杯中的温度y与x的关系；若要接一杯的水，要先接多少秒温水？ 【答案】(1)29 (2)乙同学接温水的时间为秒，接开水所用的时间为秒； (3)，要先接20秒温水 【分析】本题考查了一元一次方程、二元一次方程组，一次函数的应用，理解题意，列出方程及函数关系式是解题关键． （1）设再接温水的时间为秒，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （3）根据题意得：温水，则开水为，然后列出等式，整理出函数关系式为，然后求解即可． 【详解】（1）解：设再接温水的时间为秒，依题意得， ， 解得：， 答：再接温水的时间为秒， 故答案为：29； （2）解：依题意，设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意得， ， 解得：， 答：乙同学接温水的时间为秒，接开水所用的时间为秒； （3）解：根据题意得：温水，则开水为， ∵最后水杯中的温度y， 依题意，， ∴， 当时，， 解得：， ∴要先接20秒温水． 2．（23-24七年级下·福建漳州·期中）某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． (1)若学校现有库存A型板材55张，B型板材120张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只？ (2)现有A型板材162张，B型板材340张，若要做这两种箱子共100个，请问有哪几种生产方案？ (3)若学校新购得张规格为的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，将其余的全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，求的最小值？ 【答案】(1)制作出竖式和横式的箱子各15只和20只； (2)①做竖式纸箱38个，则横式纸箱62个，②做竖式纸箱39个，则横式纸箱61个，③做竖式纸箱40个，则横式纸箱60个． (3)n的最小值是35． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次不等式组的应用，二元一次方程的正整数解问题，确定相等关系是解本题的关键； （1）设竖式做个，横式做个，根据现有库存A型板材55张，B型板材120张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完，再建立方程组求解即可； （2）设做竖式纸箱个，则横式纸箱个，利用有A型板材162张，B型板材340张，做这两种箱子共100个，建立不等式组求解即可； （3）设C型板有x张全部切成A板，则有张全部切成B板，再利用剩余的A板与B板之比为建立二元一次方程，再利用方程的正整数求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：竖式纸盒做1个需要1张A，4张B，横式纸盒做1个需要2张A，3张B，设竖式做个，横式做个，则 ， 解得， 答：制作出竖式和横式的箱子各15只和20只； （2）设做竖式纸箱个，则横式纸箱个，则 ， 解得：， ∵为整数， ∴或或， ∴一共有三种方案： ①做竖式纸箱38个，则横式纸箱62个， ②做竖式纸箱39个，则横式纸箱61个， ③做竖式纸箱40个，则横式纸箱60个． （3）∵竖式箱子制作20只用掉20张A板，80张B板， 设C型板有x张全部切成A板，则有张全部切成B板， 且一张的C型板可以切成张A型板或3张B型板， ∴板有张，板有张， 竖式箱子制作20只后剩余板张，剩余板张， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴， ∵，都为正整数， ∴的最小值为，则的最小值为； ∴n的最小值是35． 3．（23-24七年级下·福建厦门·期中）根据以下素材，探索完成任务． 有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面． (1)求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子． (2)由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸．A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做60面小旗子． ①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用． ②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做灯笼42个．已知一张A、B卡纸可分别做灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接在表格中写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼）． 由A卡纸制作 由B卡纸制作 小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个） 方案评价表 方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分 优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分 良好 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 2分 合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分 【答案】(1)A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子． (2)①购买A卡纸6张，B卡纸4张，费用最低为元．②填表见解析 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）设A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子，根据1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面，再建立方程组解题即可； （2）①设购买A卡纸张，B卡纸张，则赠送了B卡纸张，可得，整理得，再利用方程的正整数解进一步可得答案；②由买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．可得尽可能多买A卡纸，当购买A卡纸张，则赠送B卡纸张，此时费用为，设A卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，再建立方程组可得答案． 【详解】（1）解：设A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子，则 ， 解得：， ∴A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子． （2）①设购买A卡纸张，B卡纸张，则赠送了B卡纸张，则 ， ∴， ∴， ∵，为正整数， ∴或， ∵A卡纸每张4元，B卡纸每张3元， 当时，则费用为（元）， 当时，则费用为（元）， ∴购买A卡纸6张，B卡纸4张，费用最低为元． ②∵买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸． ∴尽可能多买A卡纸， 当购买A卡纸张，则赠送B卡纸张， 此时费用为， 设A卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼， ∴， 解得：， ∴A卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼， 制作分配方案如下： 由A卡纸制作 由B卡纸制作 小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个） 方案评价表 方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分 优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分 良好 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 2分 合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分 【经典例题七 销售、利润问题】 【例7】（24-25七年级下·山西长治·期末）“一笔一世界，一划一时光”．如图是一款便携小楷软头笔——钢笔式毛笔，巧妙地将传统毛笔的韵味与现代钢笔的便捷融为一体，让书写变得更加自由流畅．某文具店用3800元购进一批钢笔式毛笔和匹配的墨囊，已知一支钢笔式毛笔的进价为30元，一支墨囊的进价为2元，为吸引顾客，文具店将1支钢笔式毛笔和4支墨囊搭配成套装进行销售，所购进的钢笔式毛笔和墨囊恰好配套．求该文具店购进钢笔式毛笔和匹配的备用墨囊的数量． 【答案】购进钢笔式毛笔100支，配套墨囊400支 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设购进钢笔式毛笔x支，配套墨囊y支， 根据某文具店用3800元购进一批钢笔式毛笔和匹配的各用墨囊，1支钢笔式毛笔和4支墨囊可搭配成套装，再建立方程组解题即可． 【详解】解：设购进钢笔式毛笔x支，配套墨囊y支． 根据题意，得， 解，得， 答：购进钢笔式毛笔100支，配套墨囊400支． 1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如今新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车共需95万元；购进4辆型新能源汽车、1辆型新能源汽车共需110万元． (1)求，两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该4S店计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆型汽车可获利1.5万元，销售1辆型汽车可获利0.7万元，假如这些新能源汽车全部售出，则该4S店共有几种购买方案？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为25万元和10万元 (2)该店共有3种购买方案，最大利润为万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设A种型号的新能源汽车每辆进价为x万元，B种型号的新能源汽车每辆进价为y万元，根据“购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的共需110万元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m辆A种型号的新能源汽车，n辆B种型号的新能源汽车，利用总价=单价×数量，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出该公司共有四种购买方案，再求出各方案可获得的利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设型号的新能源汽车每辆进价为万元，型号的新能源汽车每辆进价为万元， 由题意可得： ， 解得， 答：、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为25万元和10万元． （2）解：设购买型号的新能源汽车辆，型号的新能源汽车辆，由题意可得，且，为正整数， 解得：，，， 所以该4S店共有3种购买方案． 当，时，获得的利润为（万元）， 当，时，获得的利润为（万元） 当，时，获得的利润为（万元）， 综上所述，最大利润为13.5万元． 2．（24-25七年级下·河南南阳·期末）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 (1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为740元，求有哪几种购进方案？ 【答案】(1)第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元 (2)①A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；②有3种购进方案：购进A型台灯1台，B型台灯11台；购进A型台灯4台，B型台灯7台；购进A型台灯7台，B型台灯3台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系式，正确列出方程（组）是解题的关键． （1）根据等量关系式：第一次购买台A型台灯的费用第一次购买台B型台灯的费用元，第二次购买台A型台灯的费用第二次购买台B型台灯的费用元，列出方程组，接可求解； （2）①根据等量关系式：第一次的台A型台灯的利润第一次的台B型台灯的利润元，第二次的台A型台灯的利润第二次购买台B型台灯的利润元，列出方程组，接可求解； ②设再购进A型台灯a台，B型台灯台，由按第二次购买的价格购买，a台A型台灯售出获得利润台B型台灯售出获得利润元，列方程即可求解． 【详解】（1）解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元． （2）解：①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元， 由题意得：， 解得，， 答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；     ②第二次购进的A型台灯的价格为：（元），B型台灯的价格为：（元）， 设购进A型台灯a台，B型台灯台， 由题意得：， 整理得：， ∴ a、b为自然数， 或或， 有3种购进方案： 购进A型台灯1台，B型台灯11台；购进A型台灯4台，B型台灯7台；购进A型台灯7台，B型台灯3台； 3．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）七年级学生在数学实践课上进行了项目化学习研究，已知某项目化小组的研究如下： 【提出研究问题】销售问题 【设计实践任务】选择“素材1”、“素材2”，设计出了相关问题“任务1”、“任务2”，请尝试解决问题． 素材1 学校开展“师生齐健身”活动，七年级（1）班需要购买篮球、足球若干个． 班长小明了解到本市有一体育用品商店对篮球和足球统一进行打折出售（折扣数相同）．打折前买3个篮球和2个足球需480元，买2个篮球和3个足球需470元． 素材2 班长小明买了5个篮球和4个足球，一共花费了688元． [相关问题] 任务1 打折前，篮球和足球的单价各为多少元？ 任务2 篮球和足球打几折出售？ 【答案】任务1：篮球的单价为100元，足球的单价为90元；任务2：篮球和足球打8折 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键： （1）设打折前，篮球的单价为x元，足球的单价为y元，根据打折前买3个篮球和2个足球需480元，买2个篮球和3个足球需470元列方程组求解． （2）设篮球和足球打m折，根据题意列一元一次方程求解 【详解】解：（1）设打折前，篮球的单价为x元，足球的单价为y元 由题意得： 解得： 答：打折前，篮球的单价为100元，足球的单价为90元． （2）设篮球和足球打m折 由题意得： 解得： 答：篮球和足球打8折 【经典例题八 和差倍分问题】 【例8】（2023·吉林长春·模拟预测）为了增强学生体质，九年一班决定购进两种体育器材：跳绳和毽子，如果购进3根跳绳和2个毽子共需63元，购进2根跳绳和5个毽子共需75元，求一根跳绳和一个毽子的售价分别是多少元． 【答案】一根跳绳售价为15元，一个毽子售价为9元 【分析】设一根跳绳售价为x元，一个毽子售价为y元．根据购进3根跳绳和2个毽子共需63元，购进2根跳绳和5个毽子共需75元得：，即可解得答案， 本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程组． 【详解】解：设一根跳绳售价为x元，一个毽子售价为y元． 根据题意得：，解得：， 答：一根跳绳售价为15元，一个毽子售价为9元． 1．（23-24七年级下·广西桂林通·期末） 昭通市某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向边远山区学校捐赠男女两种款式的书包，已知女款书包的单价40元/个，男款书包的单价30元/个． (1)原计划募捐4000元，全部用于购买两种款式的书包共120个，那么这两种款式的书包各买多少个？ (2)在捐款活动中，由于师生捐款的积极性高涨，实际共捐款5000元，如果至少购买两种款式的书包共150个，那么女款书包最多能买多少个？ 【答案】(1)原计划买女款书包40个，则男款书包80个 (2)女款书包最多能买50个 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程组和不等式． （1）设原计划买女款书包个，男款书包个，根据：“购买两种款式的书包共120个、原计划募捐4000元”列方程组即可解答； （2）设女款书包最多能买个，则男款书包个，根据“实际共捐款5000元”列不等式求解即可解答． 【详解】（1）解：设原计划买女款书包个，男款书包个， 根据题意，得：， 解得：， 答：原计划买女款书包40个，则男款书包80个． （2）解：设购买女款书包个，则男款书包个， 根据题意得：， 解得：， 答：女款书包最多能买50个． 2．（23-24七年级下·重庆长寿·期末）重庆市某足球特色学校在七年级各班男队开展足球单循环比赛，即每个班男队都与其他各班男队比赛一场，再按各队总积分（即该队所有比赛场得分之和）排列名次．记分办法是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． (1)比赛中，若七一班男队胜场数的两倍比平场数多1场，总积分为14分，求七一班男队胜了多少场？ (2)已知该校七年级共有16个班，比赛中，若七一班男队的平场数是负场数的整数倍，且总积分为15分，请推算七一班男队最少负了多少场？ 【答案】(1)七一班男队胜了3场 (2)七一班男队最少负了2场． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设七一班男队胜了场，平了场，根据七一班男队胜场数的两倍比平场数多1场，总积分为14分，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）因为该校七年级共有16个班，所以七一班男队共比赛15场，设七一班男队负了场，则平了场，是整数，根据七一班男队的平场数是负场数的整数倍，且总积分为15分，即可得出关于z，k的二元一次方程，求出方程的正整数解即可得出结论． 【详解】（1）解：设七一班男队胜了场，平了场． 依题意得：， 解得：． 答：七一班男队胜了3场． （2）解：∵该校七年级共有16个班， ∴七一班男队共比赛15场， 设七一班男队负了场，则平了场，是整数． 依题意得：，解得：． 因为为整数，所以只能是奇数．即为30的正奇数约数， 所以只可能为1、3、5、15． 当时，，不合题意，舍去； 当时，； 当时，； 当时，． 经比较可知，七一班男队最少负了2场． 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）北京时间2023年12月18日23时59分，甘肃省临夏州积石山县发生级地震．一方有难，八方支援，某市一货车公司积极响应党的号召，帮助运送爱心物资，该公司甲、乙两种车型的货车两次满载的运输情况如表所示： 次数 甲种货车辆数 乙种货车辆数 运送物资总数/吨 第一次 3 2 24 第二次 2 5 38 (1)甲、乙两种货车每次满载分别能运送多少吨物资？ (2)若该公司计划安排甲、乙两种货车共10辆运送爱心物资（均满载），其中甲种货车（辆，当甲种货车安排多少辆时，运送物资的总吨数能取得最大值？最大是多少吨？ 【答案】(1)甲、乙两种货车每次满载分别能运送4吨、6吨物资 (2)当甲种货车安排2辆时，运送物资的总吨数w能取得最大值，最大是56吨 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是列出方程组和函数解析式． （1）设甲种货车每次满载能运送x吨物资，乙种货车每次满载能运送y吨物资，根据题意列方程组求解即可； （2）先列出函数解析式，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲种货车每次满载能运送x吨物资，乙种货车每次满载能运送y吨物资． 根据题意，得， 解得， 答：甲、乙两种货车每次满载分别能运送4吨、6吨物资． （2）解：根据题意，得． ∵，， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，最大值为． 故当甲种货车安排2辆时，运送物资的总吨数w能取得最大值，最大是56吨． 【经典例题九 几何问题】 【例9】（23-24七年级下·陕西汉中·阶段练习）如图，大长方形是由8个一样的小长方形拼成的，已知大长方形的周长是，求大长方形的长和宽． 【答案】大长方形的长为，宽为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，利用长方形的周长计算公式及对边相等，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再将其代入，中即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， ，． 答：大长方形的长为，宽为． 1．（23-24七年级下·四川眉山·阶段练习）如图，长方形由7个正方形组成，已知正方形A的边长为，正方形B的边长为，求此长方形的面积．（只能用二元一次方程组解答） 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设正方形的边长分别为，根据长方形的对边相等，列出方程组求出的值，进而求出长方形的长和宽，再利用长方形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：设正方形的边长分别为， 由图可知：，解得：， ∴长方形的长为：，宽为：， ∴长方形的面积为：． 2．（23-24七年级下·重庆北碚·阶段练习）如图是用长方形厚纸片（厚度不计）做长方体茶叶包装盒的示意图，阴影部分是裁剪掉的部分．沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．用长，宽的长方形厚纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高等于盒底边长乘2.5，三处“接口”的宽度相等，该茶叶盒的容积是多少？ 【答案】该茶叶盒的容积是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设长方体纸盒的底面边长为，三处“接口”的宽度为，则长方体纸盒的高为，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设长方体纸盒的底面边长为，三处“接口”的宽度为，则长方体纸盒的高为， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴该茶叶盒的容积是． 3．（23-24七年级下·四川眉山·期中）某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值． (2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）； ②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是多少个？ 【答案】(1) (2)①；；②24，27，30 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． （1）由图示利用板材的长列出关于、的二元一次方程组求解； （2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数； ②根据横式无盖礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于m、n的二元一次方程，然后讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 答：图甲中与的值分别为：、； （2）①由图示裁法一产生A型板材为：，裁法二产生A型板材为：， 所以两种裁法共产生A型板材为（张）， 由图示裁法一产生B型板材为：，裁法二产生B型板材为，， 所以两种裁法共产生B型板材为张； 故答案为：；． 由图可知，做一个横式无盖礼品盒需A型板材3张，B型板材2张． ∵所裁得的板材恰好用完， ∴，化简得． ∵n，m皆为整数， ∴m为4的整数倍， 又∵， ∴m可取32，36，40， 此时，n分别为8，9，10，可做成的礼品盒个数分别为24，27，30． 答：做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个． 【经典例题十 图表信息题】 【例10】（24-25七年级下·山西长治·阶段练习）太原五中计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小琪在某文体用品店购买完毕回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图所示． 货物或应税劳务、服务名称 篮球 钢笔 笔记本 合计 规格型号 单位 个 支 本 数量 6 46 单价 100.00 15.00 5.00 金额 600.00 900.0 税率 税额 价税合计（大写）   玖佰元整                               （小写）900.00 请根据发票中现有的信息，帮助小琪复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【答案】钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，根据数量总和为46，金额综合为900元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本， 由题意得， 解得， 则（元），（元）， 答：钢笔的数量为10支，金额为150元，笔记本的数量为30本，金额为150元． 1．（23-24七年级下·河南新乡·期中）列方程（组）解决问题： 某班级为了布置教室，购买了一些日常用品和装饰品，清单见表格（部分信息不全）： 物品名 单价/元 数量/个 金额/元 小黑板 40 挂钟 25 2 50 门垫 30 1 30 拖把 20 倒计时墙贴 a 2 30 合计 8 210 完成下列问题： (1) ； (2)该班级购买的小黑板和拖把的数量分别是多少？ 【答案】(1)15 (2)该班级购买2个小黑板，1个拖把 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）根据倒计时墙贴金额可得：，然后进行计算即可解答； （2）设班级购买小黑板个，拖把个，根据题意可得：，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 故答案为：15； （2）设班级购买小黑板个，拖把个， 由题意得：， 解得：， 答：该班级购买2个小黑板，1个拖把． 2．（2024·河南开封·二模）如图，从左向右依次摆放序号分别为，，，．．．的小正方形卡片，每个小正方形卡片上均画有若干个小圆点．其中任意相邻的个小正方形卡片上的小圆点数量之和相等．    (1)分别求出，的值； (2)当时，所有这些小正方形纸片上的小圆点数量之和是多少？ (3)小明说，第个小正方形卡片上的小圆点的个数是个，请直接判断他的说法是否正确． 【答案】(1)， (2) (3)正确，理由见解析 【分析】本题考查图形变化的规律， （1）根据任意相邻的个小正方形卡片上的小圆点数量之和相等，建立关于，的方程组即可解决问题； （2）根据卡片上小圆点个数变化的规律即可解决问题； （3）根据卡片上小圆点个数变化的规律即可解决问题； 能根据所给图形发现卡片上小圆点的个数按，，，循环出现是解题的关键． 【详解】（1）解：∵任意相邻的个小正方形卡片上的小圆点数量之和相等， ∴， 解得：； （2）由题知，连续个相邻卡片上小圆点的个数之和为：， 又∵， ∴， 故这些小正方形纸片上的小圆点数量之和是； （3）正确． 理由：∵卡片上小圆点的个数按，，，循环出现， ∴， ∴第个小正方形卡片上的小圆点的个数是个， ∴小明的说法正确． 3．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）一个圆柱形容器中，现有20个单位高度的水．请根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入6个球，使水面上升到40个单位的高度，放入的大球、小球各多少个？ (2)现放入若干个（1）中的大球或小球，使得容器恰好装满，问有几种可能？请写出过程，并一一列出． 【答案】(1)大球为2个，小球为4个 (2)三种，当大球6个，小球2个，或大球3个，小球6个，或只放10个小球，过程见解析 【分析】本题考查了列二元一次方程组和列二元一次方程解实际问题的运用，二元一次方程组及二元一次方程的解法的运用，解答时理解图画含义是解答本题的关键． （1）由图得出一个小球使水面上升3个单位高度；一个大球使水面上升4个单位高度．设放入的大球为个，小球为个时，水面上升到40个单位的高度，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设此时需a个大球，个小球，根据题意列出方程，由、均为正整数列出所有符合条件的a、b的值即可． 【详解】（1）解：（1）由题意可得：一个小球使水面上升3个单位高度；一个大球使水面上升4个单位高度． 设放入的大球为个，小球为个时，水面上升到40个单位的高度． 解得： 答∶需放入大球为2个，小球为4个时，水面上升到40个单位的高度． （2）解：容器恰好装满时，水位需上涨30个单位高度，设此时需a个大球，个小球，则： ． 所以 因为、均为正整数，所以有以下三种情况， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； 当时，，满足条件． 即：当大球6个，小球2个或大球3个，小球6个或只放10个小球时，容器恰好装满． 【经典例题十一 古代问题】 【例11】（24-25七年级下·广西桂林·期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器六、小器一容五斛；大器一、小器六容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器6个、小容器1个，总容量为5斛；大容器1个、小容器6个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？” 【答案】大容器的容积是0.8斛，小容器的容积是0.2斛 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找到等量关系． 设大容器的容积是x斛，小容器的容积是y斛，根据大容器6个、小容器1个，总容量为5斛；大容器1个、小容器6个，总容量为2斛．列出方程组即可求解． 【详解】解：设大容器的容积是斛，小容器的容积是斛 根据题意得： 解得： 答：大容器的容积是0.8斛，小容器的容积是0.2斛． 1．（23-24七年级下·浙江湖州·阶段练习）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人、羊价各是多少？ 设合伙人为人，羊价为钱，根据题意甲、乙两位同学得到如下方程组：甲同学： 乙同学： 请你判断上述两位同学所列方程组是否正确，如正确并解答；若不正确，请你重新列方程组并解答． 【答案】两位同学所列的方程组都是错误的，详见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意找准等量关系，列出方程组求解即可．设合伙人为人，羊价为钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”列出方程组，即可判断两位同学所列的方程组都是错误的，再解方程组即可解题． 【详解】解：两位同学所列的方程组都是错误的， 设合伙人为人，羊价为钱， 根据题意可得：， 解得：． 答：合伙人为21人，羊价为150钱． 2．（23-24七年级下·山西长治·期末）解方程 (1) (2)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．如：，从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数的系数与相应的常数项，即可表示方程，以此方式，表示的方程是______；请将这两个方程联立成方程组，并求出这个方程组的解． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了列二元一次方程组，解方程组，解题的关键是： （1）根据代入消元法求解即可； （2）根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示x，y的系数与等式后面的数字，即可列方程，然后组成方程组，根据加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：由①，可得：③， ③代入②，可得：， 解得， 把代入③，可得：， 原方程组的解是． ； （2） 解：，表示的方程是 由，可得， 解得 把代入②，可得：， 解得， 原方程组的解是． 3．（23-24七年级下·河南新乡·期中）阅读下列材料，解决问题． 《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (1)[尝试]若设母鸡有x只，公鸡有y只， ① 小鸡有_______只，买小鸡一共花费_____文钱（用含x，y的式子表示）； ② 根据题意，列出一个含有x，y的方程__________； (2)[探索]小军对“百鸡问题”增加一个条件：“母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数； (3)[拓展]小明对“百鸡问题”增加两个条件：“若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数． 【答案】(1)① ；② (2)公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只 (3)公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只 【分析】（1）①根据共买鸡100只，即可求出小鸡购买的只数，结合小鸡的价格即可求出购买小鸡的总花费； ②根据总价=单价×数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于x、y的二元一次方程； （2）根据（1）中②的结论结合“母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）先根据求出x，y之间的关系，然后结合“若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，”讨论，即可求出结论． 【详解】（1）①∵要买100只鸡，且小鸡每三只值一文钱， ∴买了只小鸡，买小鸡花了文钱． 故答案为：；． ②根据题意得：． 故答案为：． （2）由题意得 ， 解得， ∴只． 答：公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只； （3）根据题意得：，化简得：， 当时，；当时，；当时，；当时，；当时，（舍去）． 又因为，且， 所以仅有，符合题意，此时． 答：公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只． 【点睛】本题考查了列代数式，以及二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组求解是解答本题的关键． 【经典例题十二 其他问题】 【例12】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，我们可以按竖放、平放两种方式在同一个书架上摆放一定数量的同一种书，并且要求书脊朝外，方便我们查阅．根据图中的数据，求这种书的厚度和竖放时的高度． 【答案】这种书的厚度为，竖放时的高度为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题先设这种书的厚度为，竖放时的高度为，然后根据题干信息找到等量关系，列出方程组，即可求解； 【详解】解：设这种书的厚度为，竖放时的高度为， 根据题意，得， 解得， 答：这种书的厚度为，坚放时的高度为． 1．（24-25七年级下·河南新乡·期末）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐，这两种食品每包质量均为，营养成分表如表所示： 若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 【答案】选用A种食品2包，B种食品4包 【分析】本题考查利用二元一次方程组解决实际问题，找准等量关系，列出正确的方程组是解题的关键． 【详解】解：设选用A种食品x包，B种食品y包． 根据题意，得： 解得： 答：选用A种食品2包，B种食品4包． 2．（24-25七年级下·河南南阳·期末）某中学教室悬挂的一面窗帘布，上端是由14个圆环镶嵌在其中且间距相等，如图是窗帘布展开的平面示意图，已知一面窗帘布的宽度是156厘米，圆环间的间距d比圆环外圆的半径R多1厘米，两端边距的宽度都是10厘米． (1)求d和R． (2)已知圆环内圆的半径r比外圆的半径R少1厘米，制作一面窗帘需将内圆镂空裁去，求裁去的面积． 【答案】(1)的值为4厘米，的值为3厘米 (2)平方厘米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、代数式求值，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键． （1）根据圆环间的间距比圆环外圆的半径多1厘米可得，将两个边距、14个圆环外圆的直径、13个圆环间的间距相加等于这面窗帘布的宽度，据此可建立一个方程，联立解方程组即可得； （2）根据（1）的结论可求出的值，再利用圆的面积公式求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 答：的值为4厘米，的值为3厘米． （2）解：由（1）已得：厘米， ∵圆环内圆的半径比外圆的半径少1厘米， ∴（厘米）， ∵制作一面窗帘需将内圆镂空裁去， ∴裁去的面积为（平方厘米）， 答：裁去的面积为平方厘米． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）“读万卷书，行万里路．”某中学拟组织七年级420名师生去中国文字博物馆开展研学活动．下面是王老师和小明同学有关租车问题的对话： 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车的载客量为60人，B型客车的载客量为45人，A型客车每辆每天的租金比B型客车的贵150元．”小明：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆A型客车和2辆B型客车到该博物馆参观，一天的租金共计5100元．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)客运公司A，B两种型号的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，则有几种租车方案？哪一种租车方案最省钱？ 【答案】(1)A型客车每辆每天的租金是900元，B型客车每辆每天的租金是750元 (2)有3种租车方案；租用A型客车7辆最省钱 【分析】本题主要考查了二元一次方程或方程组解决实际问题，以及最优方案的问题，找到等量关系式正确列方程是解题的关键． （1）设客运公司A型客车每辆每天的租金是元，B型客车每辆每天的租金是元，根据“A型客车每辆每天的租金比B型客车的贵元，租用辆A型客车和辆B型客车，一天的租金共计元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用A型客车辆，B型客车辆，根据“租用的客车要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满”，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数，可得出各租车方案，再求出各租车方案所需租车费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设客运公司A型客车每辆每天的租金是x元，B型客车每辆每天的租金是y元， 根据题意，得 解得 答：客运公司A型客车每辆每天的租金是900元，B型客车每辆每天的租金是750元． （2）解：设租用A型客车m辆，B型客车n辆， 根据题意，得， ∴． 又∵m，n均为自然数， ∴或或 ∴共有3种租车方案． 方案1：租用A型客车7辆，所需租车费用为（元）； 方案2：租用A型客车4辆，B型客车4辆，所需租车费用为（元）； 方案3：租用A型客车1辆，B型客车8辆，所需租车费用为（元）． ∵， ∴租车方案1，即租用A型客车7辆最省钱． 【经典例题十三 解二元一次方程组的综合应用】 【例13】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2021 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则有， 解得：， ∴， 故选：B． 1．（24-25七年级下·重庆大足·期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，则结论正确的个数为（    ） ；若，、取整数，则或或或； 若对任意有理数都成立（这里和均有意义），则． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，解决本题的关键是根据新定义运算得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，然后再根据新定义运算的规则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 解方程组， 得到：， 故正确； 由可知， ， ， 又、取整数， 有或或或， 故正确； 对任意有理数都成立， ， ， ， ， 故正确． 正确的有三个． 故选：D ． 2．（24-25七年级下·四川眉山·期末）已知关于、的方程组有正整数解，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数，解一元一次方程等知识点，由及、为正整数得出或或是解题的关键． 由①可得，由、为正整数可得或或，进而得出方程组的正整数解，然后代入方程②即可求出的值． 【详解】解：， 由①可得：， ∵、为正整数， ∴或或， ∴或或， 把代入②，得： ， 解得：； 把代入②，得： ， 解得：； 把代入②，得： ， 解得：； 综上，的值为或或， 故答案为：或或． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）已知中每一个数值只能取、0、1中的一个，且满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，根据题意将问题转化为解方程组，求出相应值的个数是解题关键．设有p个取1，q个取，根据题意得出关于p、q的二元一次方程组，再把p、q及x的值代入求解即可． 【详解】解：设有p个取1，q个取， ， ， 解得， 原式． 【经典例题十四 根据实际问题列二元一次方程组】 【例14】（24-25七年级下·四川内江·期末）光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础． 庆阳市某光伏发电项目投入建设，甲、乙两厂承包了部分光伏板的生产任务 (1)若甲、乙两厂共生产4000块光伏板，甲厂每天生产的光伏板数量比乙厂每天生产的光伏板数量多150块，甲厂生产2天、乙厂生产3天共同完成了这批生产任务，则甲厂每天生产的光伏板数量是多少？ (2)若甲厂每天生产的光伏板数量比乙厂每天生产的光伏板数量多，甲、乙两厂各生产6000块光伏板时，乙厂比甲厂多用2天时间，则甲、乙两厂每天各生产多少块光伏板？ 【答案】(1) (2)600,500 【分析】（1）设甲厂每天生产的光伏板块，乙厂每天生产的光伏板块，根据题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设乙厂每天生产的光伏板块，学甲厂每天生产的光伏板块，根据题意列出分式方程，解之即可得出结论；． 本题考查了方程组，分式方程的应用，熟练掌握方程组，分式方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲厂每天生产的光伏板块，乙厂每天生产的光伏板块，根据题意，得， 解得． 答：甲厂每天生产的光伏板块． （2）解：设乙厂每天生产的光伏板块，学甲厂每天生产的光伏板块， 根据题意，得， 解得． 经检验是原方程的解，且符合题意， 故， 答：甲、乙厂每天各生产600块和500块光伏板． 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． x 1 2 3 4 5 y 11 10 9 8 7 56 52 48 44 40 【答案】小悦买书用了1元纸币3张，5元纸币9张． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，由所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，x、y均必须取非零自然数，，买书共用48元，逐步取值，看符合条件的x、y值即为方程组的解． 【详解】解：均必须取非零自然数， ∴列表尝试如下： x 1 2 3 4 5 y 11 10 9 8 7 56 52 48 44 40 ∴方程组的解为 答：小悦买书用了 1元纸币 3张，5元纸币9张． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①，得，最后重新组成方程组这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程组：解得______； (2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块型积木的高为，每块型积木的高为，求与的值（用轮换对称解法求解）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，理解材料提示方法是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据题意列方程组，由材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：， ①②得，， ∴③， ①②得，④， ∴③④得，， 解得，， 把代入③得， 故答案为：； （2）解：根据题意，得 ①＋②，得， ． ②－①，得， 解方程组得． 3．（23-24七年级下·河南南阳·期末）某校组织学生参加数学知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部分参赛者的得分统计表： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 于潇 王晓林 李毅 (1)观察、分析表格提供的数据可知：答对题得______分，答错题扣______分； (2)若设答对题数是，得分为，请用含的代数式表示； (3)参赛者李小萌得了分，求他答对了几道题； (4)参赛者马小虎说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)5；1 (2) (3)答对了道题 (4)不可能，见解析 【分析】（1）设答对一题得分，答错一题扣分，根据题意得：，进行计算即可得； （2）若答对道题，得分为分，则答错道题，依题意得：； （3）根据（2）中的所得y与x的关系式，将代入计算即可得； （4）令，即，进行计算即可得． 【详解】（1）解：设答对一题得分，答错一题扣分，根据题意得： ， 解得：， 即答对一题得分，答错一题得分， 故答案为：；； （2）解：若答对道题，得分为分，则答错道题，依题意得： ； （3）解：依题意得： ， 解得：， 即他答对了道题； （4）不可能，理由如下： 解：依题意，得： ， 解得：， 不为整数， 参赛者马小虎不可能得0分． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意找出等量关系列出方程． 【经典例题十五 根据几何图形列二元一次方程组】 【例15】（23-24七年级下·河南新乡·阶段练习）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 【答案】(1)小长方形的长为，宽为； (2)． 【分析】（）设小长方形的长为，宽为，观察图形即可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值， （）根据阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】（1）设小长方形的长为，宽为， 根据图形可知：， 解得：， 答：小长方形的长为，宽为； （2）由（）得：小长方形的长为，宽为， ∴长方形的宽为， 则阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积， ， ， 答：阴影部分的面积为． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于、的二元一次方程组是解题的关键． 1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在大长方形ABCD中，放入8个小长方形， (1)每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？ (2)图中阴影部分面积为多少平方厘米？ 【答案】(1)7厘米和2厘米 (2)53平方厘米 【分析】（1）设小长方形宽为x厘米，长为y厘米，由图象列二元一次方程组，代入消元法求解即可． （2）阴影面积为大长方形ABCD面积减去8个小长方形面积． 【详解】（1）设小长方形宽为x厘米，长为y厘米，则有 BC=4x+y=15，CD=2x+y，AB=9+x ∵AB=CD ∴2x+y =9+x 即x+y=9 故有二元一次方程组 将y=9-x代入4x+y=15有 4x+9-x =15 解得x=2 将x=2代入y=9-x 解得y=7 故小长方形的长和宽分别是7厘米和2厘米． （2）由（1）问可知大长方形长ABCD为15cm，宽为11cm，则长方形面积为15×11=165cm2 小长方形的面积为2×7=14cm2 由题干知长方形中有8个小长方形 故 即 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，列二元一次方程组解应用题的一般步骤，审：审题，明确各数量之间的关系，设：设未知数（一般求什么，就设什么），找：找出应用题中的相等关系，列：根据相等关系列出两个方程，组成方程组，解：解方程组，求出未知数的值，答：检验方程组的解是否符合题意，写出答案． 2．（23-24七年级下·广西桂林·期中）在的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”．如图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15． （1）图2是显示部分代数式的“等和格”，可得______．（用含的代数式表示）； （2）图3是显示部分代数式的“等和格”，可得______．______． 【答案】（1）；（2）a=-2，b=-1 【分析】（1）根据“等和格”的定义可得：，依此即可求解； （2）由题意得，解方程可得，再由（1）得可求． 【详解】解：（1）由题意得：， 则， 故． （2）由题意得：， 解得， 由（1）得， 则． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是充分利用“每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等”，得出等式求解． 3．（23-24七年级下·山西晋城·期末）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中三角形ABC是格点三角形，其中S＝2，N＝0，L＝6．    （1）图中格点多边形DEFGHI所对应的S＝　 　，N＝　 　，L＝　 　． （2）经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S＝aN+bL﹣1，其中a，b为常数 ①试求a，b的值．（提示：列方程组） ②求当N＝5，L＝14时，S的值． 【答案】（1）7，3，10；（2）①；②11 【分析】（1）将多边形DEFGHI拆分为直角三角形DEF，直角三角形DFI与正方形FGHI可求面积，再数出格点数即可； （2）①将条件中的S＝2，N＝0，L＝6，以及（1）中所得的数据代入S＝aN+bL﹣1，建立方程组求解；②将N＝5，L＝14代入①中所得的关系式求解． 【详解】解：（1）观察图形，可得N＝3，L＝10， 故答案为：7，3，10； （2）①根据题意得： 解得： ②∵S＝N+L﹣1， ∴将N＝5，L＝14代入可得S＝5+14×﹣1＝11． 【点睛】本题考查新型定义问题，理解题意，建立方程组求解是解题的关键． 【经典例题十六 三元一次方程组的应用】 【例16】（2025七年级下·全国·专题练习）已知是整数，且满足下列条件：①，2，3，，2006；②；③．求的最小值和最大值． 【答案】的最小值为200，最大值为2402 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组，熟练掌握解不等式组的一般方法，准确计算．设值为有a个，0有b个，1有c个，2有d个，根据题意得出，解方程组组得出，根据得出，根据求出d的取值范围，得出答案即可． 【详解】解：由①，知的取值范围为，0，1，2四个．设值为有a个，0有b个，1有c个，2有d个． 根据题意，得， 由①③，可知， 进一步可解得， 根据题意，得：． 该式只比②的左侧大， 所以， 因为， 所以， 因为d为整数， 所以， 即的最小值为200，最大值为2402． 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知，当时，；当时，；当时，．求、、的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，有加减消元法和代入消元法两种，本题通过建立关于��，��，c的三元一次方程组，求得��、��、��的值． 【详解】解：根据题意，得 把③分别代入①和②，得，解得 ，，． 2．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）阅读理解：已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ (3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 【答案】(1)，． (2)购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元． (3)该值为． 【分析】本题考查的知识点是加减消元法解二元一次方程组，加减消元法解三元一次方程组，解题关键是熟练掌握加减消元法． （1）根据题意列出二元一次方程组后利用加减消元法即可得解； （2）设铅笔为元，橡皮为元，日记本为元，根据题意列出三元一次方程组，再用加减消元法求解； （3）根据题意列出三元一次方程组，用加减消元法即可求解． 【详解】（1）解：依题得， 则可得即， 可得即． 故答案为：，． （2）解：设铅笔为元，橡皮为元，日记本为元， 则依题得， 可得， 即， ． 答：购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元． （3）解：依题得，由 可得， 即， ． 3．（23-24七年级下·重庆铜梁·期末）问题提出： 已知实数x，y满足，求的值． 问题探究： 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 问题解决： 利用上面的知识解答下面问题： (1)已知方程组，则的值为________． (2)请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变． (3)甲、乙、丙三种商品，如果购买甲1件、乙2件、丙2件共需135元，购买甲3件、乙1件、丙1件共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各2件共需多少元？ 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)150 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，三元一次方程组的应用： （1）由，即可求解； （2）由，得，即可求解； （3）设购买1件甲商品需x元，1件乙商品需y元，1件丙产品需z元，根据题意，列出方程组，可求得，，即可求解． 【详解】（1）解： 得，． 故答案为：2 （2）解：， 由，得， ， 无论a取何值，的值始终不变． （3）解：设购买1件甲商品需x元，1件乙商品需y元，1件丙产品需z元，则 ， ，得， ∴， 把代入①，得， ∴， ∴． 答：购买甲、乙、丙三种商品各2件共需150元． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）为响应植树节活动，加强学生爱护环境的意识，学校组织学生参加植树活动，已知男生植树数量比女生植树数量的2倍多2棵，男女生植树数量的平均数是10，则男女生植树数量之差是（    ） A．4棵 B．6棵 C．8棵 D．10棵 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．设女生植树的数量为棵，男生植树的数量为棵，根据题意列方程组求解即可． 【详解】设女生植树的数量为x棵，男生植树的数量为y棵， 根据题意列方程组得： ∴ 将代入到，得， ∴， ∴， ∴，即男女生植树数量之差是8棵， 故选：C． 2．（24-25七年级下·山西晋城·期末）有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字问题与二元一次方程组，根据等量关系列方程是解题的关键； 设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，根据题意列方程即可求解； 【详解】解：设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为； 根据题意列方程为：， 故选：B 3．（24-25七年级下·福建厦门·期中）正正和阳阳一起玩猜数游戏．正正说：“你随便选定三个小于8的正整数，按下列步骤进行计算：第一步把第一个数乘以4，再减去15；第二步把第一步的结果乘以2，再加上第二个数；第三步把第二步的结果乘以8，再加上第三个数．只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所选的三个正整数．”阳阳表示不信，但试了几次以后，正正都猜对了．请你利用所学过的数学知识来探索该“奥秘”，回答：当“最后的得数”是102时，阳阳最初选定的三个正整数按顺序分别是（    ） A．1，4，6 B．6，4，1 C．6，2，5 D．5，2，6 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组，设这三个数为、、，由题意可得，整理得出，再将各个选项代入计算即可得解． 【详解】解：设这三个数为、、， 由题意得：， 整理得：， 、将1，4，6代入可得：，故不符合题意； B、将6，4，1代入可得：，故不符合题意； C、将6，2，5代入可得：，故不符合题意； D、将5，2，6代入可得：，故符合题意； 故选：D． 4．（2024七年级下·广西桂林·专题练习）现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片，按如图所示两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列代数式，正确用两种方式表示出大长方形的长是解题的关键． 设小长方形的长和宽分别为x，y，大长方形的长为，分别根据两种摆放方式表示出总高度，进而得到对应的等式，从而得到答案． 【详解】设小长方形的长为、宽为，大长方形的长为， 则，， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 故选C． 5．（23-24七年级下·福建厦门·期末）一道来自课本的习题： 从王老师家到学校全程，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路，王老师每天步行上下班．如果上坡路的平均速度为，平路的平均速度为，下坡路的平均速度为，那么王老师从家到学校需分钟，从学校到家需分钟．求从王老师家到学校的上坡路、平路和下坡路的路程． 小吴将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是、，列出了以下四个方程，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列分式方程，王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是、，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是、， 根据题意得 故选：C． 6．（23-24七年级下·四川眉山·开学考试）已知一列数：满足从第二个数起，每个数与前一个数的差都相等，若，且，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了数字的变化规律，二元一次方程组的应用，完全平方公式的应用；设每个数与前一个数的差为，则，，，，，，根据条件列出方程组，解得和d的值再代入计算即可． 【详解】解：依题意，设每个数与前一个数的差为，则，，，，，， 根据题意得， ，即，，，①， ， ，即②， ， 解得，， ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·重庆荣昌·期末）某公司经营甲、乙两种产品，每件甲产品利润率为，每件乙产品的利润率为，当该公司销售这两种产品的总利润是时，则售出的甲、乙两种产品的数量比为；要使该公司销售这两种产品获得总利润为，则该公司销售的甲、乙两种产品的数量比为 （利润率利润成本）． 【答案】 【分析】本题考查了含参的二元一次方程的应用， 设甲产品的进价为x元，乙产品的进价为y元，根据“当售出的甲产品的件数与乙产品的件数比为时，该超市出售这两种产品的总利润率是”列出二元一次方程可求出，然后再根据“出售这两种产品获得的总利润率为”列二元一次方程求解即可，能够根据题意列出二元一次方程是解题的关键． 【详解】设甲产品的进价为x元，乙产品的进价为y元， ∵当该公司销售这两种产品的总利润是时，则售出的甲、乙两种产品的数量比为， ∴可设此时售出的甲产品的件数与乙产品的件数分别为，， 由题意得：， 整理得：， 设售出的甲产品件数与乙产品件数分别为a，b时，获得的总利润率为， 由题意得：， 整理得：， ∴， ∴即售出的甲产品件数与乙产品件数的比应为：， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）近来受新冠疫情影响，大家一起“宅”行动．小区物业为封控在家的业主精心配制了3种蔬菜包、，其中每包蔬菜包的成本是蔬菜包的2倍，每包蔬菜包、蔬菜包、蔬菜包的售价分别比其成本高月份第一周销售蔬菜包、蔬菜包、蔬菜包的数量之比为，三种蔬菜包的总利润是总成本的，则每包蔬菜包与每包蔬菜包的成本之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查三元方程的应用，设每包蔬菜包、蔬菜包的成本为，第一周销售蔬菜包、蔬菜包、蔬菜包的数量分别为，根据三种蔬菜包的总利润是总成本的，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设每包蔬菜包、蔬菜包的成本为，第一周销售蔬菜包、蔬菜包、蔬菜包的数量分别为，则每包蔬菜包的成本为，由题意，得： ， 整理，得：， ∴； 即：每包蔬菜包与每包蔬菜包的成本之比为； 故答案为：． 9．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图所示，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形．如果搭建正三角形和正六边形共用了2024根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数少4个，那么能连续搭建正三角形的个数是 ． 【答案】286 【分析】设搭建了个正三角形，个正六边形，则搭建正三角形用掉了根火柴棍，搭建正六边形用掉了根火柴棍，根据“搭建正三角形和正六边形共用了2024根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数少4个”可得出关于，的二元一次方程组，解之即得答案． 【详解】解：设搭建了个正三角形，个正六边形，则搭建正三角形用掉了根火柴棍，搭建正六边形用掉了根火柴棍， 依题意，得：， 解得：， ∴能连续搭建正三角形的个数是286， 故答案为：286． 10．（24-25七年级下·河南开封·期中）学校举办新年趣味联欢活动，学生要从贴鼻子、打地鼠、套圈、猜谜语、跳房子这个项目中，依照个人兴趣，选择个项目参加活动（每人都只选择个项目），已知某小组名学生选择上述项目的统计结果如下表： 项目 贴鼻子 打地鼠 套圈 猜谜语 跳房子 选择人数 在贴鼻子、打地鼠、套圈三个项目中，如果三个项目都选的有人，只选择贴鼻子、打地鼠的有人，只选择打地鼠、套圈的有人，只选择贴鼻子、套圈的有人，那么的最小值为 ． 【答案】2 【分析】该题主要考查了二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意； 根据6名学生每人都只选择3个项目，得出6名学生共参加个项目，再根据题意得出，，为正整数，且，解答即可． 【详解】解：根据题意6名学生每人都只选择3个项目可得，6名学生共参加个项目， 根据题意可得，，即， 在贴鼻子、打地鼠、套圈三个项目中，如果三个项目都选的有1人，只选择贴鼻子、打地鼠的有1人，只选择打地鼠、套圈的有1人，只选择贴鼻子、套圈的有1人， 已有一人选择了贴鼻子、打地鼠、套圈三个项目，故选择猜谜语的人数， ，为正整数，且， 故当 时，，此时最小， 故答案为：2． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）小王沿街匀速行走，发现每隔从背后驶过一辆公交车，每隔迎面驶来一辆公交车．假设每辆公交车行驶速度相同，且公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是多少分钟？ 【答案】公交车总站发车间隔的时间是 【分析】本题考查了路程问题和二元一次方程组的应用．是一个既含有相遇又含有追及的综合性行程问题，准确的找到相等关系列出方程组是解题的关键．有下列隐含的等量关系：①迎面驶来的两车距离（车速+人速）；②背后开来的两车距离（车速—人速）；③迎面驶来的两车距离=背后开来的两车距离；④同向的两车距离=车速×发车间隔时间． 【详解】解：方法一：设公交车的速度为，小王行走的速度为，发车间隔的时间为，则 化简得， 即． 把代入，得 即 解得． 所以公交车总站发车间隔的时间是． 方法二：设同向行驶的相邻两车的间距为，发车间隔的时间为，小王行走相邻两车间距所用的时间为，则 化简得 ，得 解得． 所以公交车总站发车间隔的时间是． 12．（24-25七年级下·山西晋城·期末）随着山西旅游热持续升温，全省陆续推出了极具特色的各类文创产品．小丽和小壮计划购买一些山西文创产品进行收藏，下面是两位同学的对话： 根据两人的对话，求每件佛小伴挂件和每件晋祠水镜台冰箱贴的售价分别为多少元？ 【答案】每件佛小伴挂件的售价为60元，每件晋祠水镜台冰箱贴的售价为45元． 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，根据两种购买方式列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每件佛小伴挂件的售价为x元，每件晋祠水镜台冰箱贴的售价为y元． 根据题意，得 解这个方程组，得 答：每件佛小伴挂件的售价为60元，每件晋祠水镜台冰箱贴的售价为45元． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）某山区有23名中小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生需要学习费用a元，资助一名小学生需要学习费用b元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好能帮助的贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 七年级 八年级 九年级 捐款数额（元） 4000 4200 7400 捐助贫困中学生（名） 2 3 捐助贫困小学生（名） 4 3 (1)求a、b的值； (2)九年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中（不需要写出计算过程）． 【答案】(1)的值是800，的值是600． (2)九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数分别是4，7． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，关键是以捐款钱数作为等量关系列方程组求解． （1）资助一名中学生需要学习费用元，资助一名小学生需要学习费用元，根据表格中提供的七年级和八年级捐款数，和人数可求出和的值． （2）设九年级学生可捐助贫困中学生人，小学生人，根据该山区贫困生的总人数及九年级捐款数额，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）资助一名中学生需要学习费用元，资助一名小学生需要学习费用元， ， 解得：． 所以的值是800，的值是600． （2）设初三年级学生可捐助贫困中学生人，小学生人， 依题意得：， 解得：． ∴九年级学生捐助贫困中学生人数为4名，捐助贫困小学生人数为7名． 14．（24-25七年级下·山西长治·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②①得：  ③ 得：， 所以，的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求的值； 【实际应用】 （2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）18；（2）共需要450元． 【分析】此题考查了三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价本笔记本、支签字笔、支记号笔花费总数，即可求解． 【详解】解：（1）， ①②得：③ ③得： 所以，的值为18； （2）设买1本笔记本需要a元、买1支签字笔需要b元、买1支记号笔需要c元， 由题意得： ①得：③ ②③得 所以，元； 答：买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔共需要450元． 15．（24-25七年级下·广西桂林左·期末）工作人员从仓库领取如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． (1)下表是工作人员两次领取纸板数的记录： 次数 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 560 940 第二次 420 1002 ①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误，请判断第几次的记录有误，并说明理由； ②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式和横式纸盒各多少个？ (2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1:3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值； (3)拓展延伸：现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（   ） A．2013    B．2014    C．2015    D．2016 【答案】(1)①第二次，见解析；②做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒 (2)3 (3)C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找到正确的数量关系是本题的关键． （1）①设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，由领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍数，可判断第二次记录错误； ②由第一次记录，列出方程组，可求解； （2）由正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，可得，可求解； （3）设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，然后根据所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再根据x、y的系数表示出并判断为5的倍数，然后选择答案即可． 【详解】（1）解：①第二次记录错误， 理由如下：设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒， 则需要正方形纸板张，需要长方形的纸板张， ∴领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和为，应该是5的倍数， 而，，1422不能被5整除， ∴第二次记录有误； ②由题意可得：， 解得：， 答：做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒； （2）解：由题意可得：， 解得：， ∴， 答：竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3． （3）解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个， 根据题意得：， 两式相加得，， ∵x、y都是正整数， ∴是5的倍数， ∵2013、2014、2015、2016四个数中只有2015是5的倍数， ∴的值可能是2015． 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二元一次方程组、三元一次方程组解决实际问题重难点题型专训（16大题型+15道提优训练） 题型一 方案问题 题型二 行程问题 题型三 工程问题 题型四 数字问题 题型五 年龄问题 题型六 分配问题 题型七 销售、利润问题 题型八 和差倍分问题 题型九 几何问题 题型十 图表信息题 题型十一 古代问题 题型十二 其他问题 题型十三 解二元一次方程组的综合应用 题型十四 根据实际问题列二元一次方程组 题型十五 根据几何图形列二元一次方程组 题型十六 三元一次方程组的应用 知识点01 二元一次方程组的应用 （一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）、设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 【经典例题一 方案问题】 【例1】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元． （1）A、B两种商品的单价分别是多少元？ （2）已知该商店购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A、B两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？ 1．（24-25七年级下·广西桂林·期末）某校准备组织七年级师生去红军长征湘江战役纪念馆参观学习，学校联系某客运公司有60座和45座两种客车可供租用．学校如果全部租用45座的客车，那么七年级师生全部有座，且还剩余15个空座位；如果全部租用60座的客车，则可少租3辆，且正好坐满． (1)求七年级师生的总人数； (2)已知客运公司60座的客车每辆每天的租金是900元，45座的客车每辆每天的租金是700元．若学校从该客运公司租用客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车都恰好坐满，求出满足条件的所有租车方案，并说明哪一种租车方案最省钱？ 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）某运动品牌生产厂开发了一款新式的运动器材，计划15天生产安装360台.由于抽调不出足够的熟练工来完成新式运动器材的安装，工厂决定招聘一些新工人.他们经过培训后上岗，也能独立进行新式运动器材的安装，生产开始后，调研部门发现，2名熟练工和1名新工人每天可安装10台新式运动器材，3名熟练工和2名新工人每天可安装16台新式运动器材. (1)每名熟练工和新工人每天分别可以安装多少台新式运动器材？ (2)如果工厂抽调名熟练工，使得招聘的新工人（至少招聘一人）和抽调的熟练工刚好能完成原计划15天的生产任务，那么工厂有几种新工人的招聘方案？ 3．（24-25七年级下·山西晋城·期末）2024年8月22日，山西省文化和旅游厅正式启动“跟着悟空游山西”活动，某校组织八年级学生探寻山西省历史文化的研学活动． ×××景区票价一览表 购票人数/人 单价/元 1〜50 18 51〜100 15 100以上 12 参加活动的八年级（1）（2）两个班共101人去游览山西运城某景点，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共应付1659元； (1)两班各有学生多少人? (2)如果两班联合起来作为一个团体购票，则可以节省不少的钱，联合起来购票能省多少钱? 【经典例题二 行程问题】【例2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）、两地相距36千米，若甲、乙两人都从地去地，乙比甲先出发2小时，甲出发4小时后追上乙；若甲、乙分别从、两地出发，相向而行，乙比甲早出发小时，两人在甲出发后3小时相遇．求甲、乙两人的速度． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）从A地到B地全程，前一路段为国道，其余路段为高速公路．一辆汽车从A地开往B地一共行驶了．已知汽车在国道上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为，则A，B两地间国道和高速公路各多少千米？ 2．（24-25七年级下·广西桂林·期末）小贵、小港两人从相距的两地相向而行． (1)若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇，求小贵、小港两人每小时各走多少千米？ (2)如果他们同时出发，并保持（1）中的速度，那么后两人还相距多少千米？ 3．（23-24七年级下·江苏南京·期末）一条公路上、、三地的位置如图所示．已知、两地之间相距千米，一辆货车从地出发，向地匀速行驶，经过分钟，距地千米，又经过小时，距地千米．    (1)求、两地之间的距离； (2)该货车从地出发时，一辆客车从地以每小时千米的速度驶向地，若两车在距地千米到千米的某处相遇，直接写出的取值范围． 【经典例题三 工程问题】 【例3】（24-25七年级下·全国·单元测试）端午临中夏，时清日复长．临近端午节时，一网红门店接到一份粽子订单，立即决定由甲、乙两组加工完成．已知甲、乙两组加工一天共加工350袋粽子，甲组加工2天比乙组加工1天多加工250袋粽子． (1)求甲、乙两组每天各加工多少袋粽子； (2)已知这份粽子订单为袋，若甲、乙两组共用10天加工完成（甲、乙两组不同时加工），则甲组需要加工多少天？ 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）风味美饭店生意火爆，座无虚席，老板决定扩大规模重新装修．若先请甲施工队单独做3天，再请乙施工队单独做24天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱7200元．若先请甲施工队单独做9天，再请乙施工队单独做16天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱7600元． (1)甲、乙两施工队工作1天，风味美饭店老板应各付多少工钱？ (2)若甲、乙两施工队合作，则需要同时做几天才能完成施工任务？ 2．（24-25七年级下·福建厦门·期中）为打造集休闲娱乐、健身运动、观光旅游、体验自然等于一体的多功能活动区域．深圳湾公园海滨步道现有一段长350米的河边道路需整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天． 根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：乙： 从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，补全以下解题过程，并利用此方程组求出，两个工程队分别整治河边道路多少米． 解：选择的方程组为____________（填“甲”或“乙”） 设为_______________________； 为_________________________． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）为了打造区域中心城市，实现仙桃跨越式发展，我市某路段拓宽工程正按投资计划有序推进．因道路建设需要开挖土方，计划每小时挖掘土方，市政公司现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表： 租金（单位：元/台·时） 挖掘土方量（单位：/台•时） 甲型挖掘机 100 60 乙型挖掘机 120 80 (1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？ (2)如果每小时支付的租金不超过元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？ 【经典例题四 数字问题】 【例4】（24-25七年级下·广西桂林·期末）某两位数，两个数位上的数之和为11．这个两位数加上45，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数． (1)列一元一次方程求解． (2)设原两位数的十位数字为，个位数字为，列二元一次方程组求解． 1．（23-24七年级下·河南新乡·期中）一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”n的各个数位上的数字之和记为．例如∶时，． (1)对于“相异数”n，若，请你写出一个n的值； (2)若a，b都是“相异数”，其中，，（，，x，y都是正整数），规定：，当时，求k的最小值． 2．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）列二元一次方程组解应用题： 爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下： 时刻 里程表上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9时看到的两位数中间多了个0 设：时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y，回答下列问题： (1)用含x，y代数式表示：时里程碑上的数字______；时看到里程表上的数______；时看到里程表上的数______； (2)列方程组并求出时里程碑上的数． 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）学习概念：由9个数字组成的一个三行三列的矩阵，其每一行、每一列和两条对角线的数字的和都相等，这就是三级幻方，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数． 探究规律： （1）图1是1~9组成的一个三级幻方，小洁根据图2推出下列四个关系式， ①；②；③；④； 请你用图1中的数验证上述四个式子，其中正确的有______； 应用规律 根据上面的规律，用方程组思想解答下面的问题： （2）如图3，若，求、的值，并把空格中的数填补出来． 【经典例题五 年龄问题】 【例5】（23-24七年级下·河南驻马店·期中）在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 1．（2022七年级下·全国·专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 2．（23-24七年级下·广西桂林·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 3．（23-24七年级·浙江杭州·）某学校组织捐物给贫困地区的同学，按书、体育用品进行分类打包，统计得共820件，书比体育用品多150件，用甲、乙两种货车共10辆将物品运往贫困地区，已知甲种货车每辆最多可装书100件和体育用品20件，乙种货车每辆最多可装书30件和体育用品50件． （1）求捐赠物品书和体育用品各几件？ （2）学校安排甲、乙两种货车有几种方案？请你帮助设计出来； （3）如果甲货车每辆需付800元，乙种货车每辆需付600元，应选择哪种方案可使总费用最少？最少费用是多少元？ 【经典例题六 分配问题】 【例6】（2024七年级下·浙江宁波·竞赛）某公司准备每周（按120个工时计算）组装三种型号的无人机360台，组装这些无人机每台所需工时和每台产值如下表． 无人机型号 ① ② ③ 工时（个） 产值（万元/台） 0.4 0.3 0.2 (1)如果每周准备组装100台型号③无人机，那么每周应组装型号①、②无人机各几台？ (2)若一周型号③无人机至少组装20台，一周产值记为，求的最大值． 1．（24-25七年级下·福建莆田·阶段练习）综合与实践 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失．    阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水8秒，则再接温水的时间为__________秒． (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是27秒，求乙同学分别接温水和开水所用的时间． (3)丙同学要接一杯700的温水和开水混合的水，先接温水再接开水，若先接x秒的温水，再接开水，请问最后水杯中的温度y与x的关系；若要接一杯的水，要先接多少秒温水？ 2．（23-24七年级下·福建漳州·期中）某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． (1)若学校现有库存A型板材55张，B型板材120张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只？ (2)现有A型板材162张，B型板材340张，若要做这两种箱子共100个，请问有哪几种生产方案？ (3)若学校新购得张规格为的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，将其余的全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，求的最小值？ 3．（23-24七年级下·福建厦门·期中）根据以下素材，探索完成任务． 有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面． (1)求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子． (2)由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸．A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做60面小旗子． ①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用． ②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做灯笼42个．已知一张A、B卡纸可分别做灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接在表格中写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼）． 由A卡纸制作 由B卡纸制作 小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个） 方案评价表 方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分 优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分 良好 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 2分 合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分 【经典例题七 销售、利润问题】 【例7】（24-25七年级下·山西长治·期末）“一笔一世界，一划一时光”．如图是一款便携小楷软头笔——钢笔式毛笔，巧妙地将传统毛笔的韵味与现代钢笔的便捷融为一体，让书写变得更加自由流畅．某文具店用3800元购进一批钢笔式毛笔和匹配的墨囊，已知一支钢笔式毛笔的进价为30元，一支墨囊的进价为2元，为吸引顾客，文具店将1支钢笔式毛笔和4支墨囊搭配成套装进行销售，所购进的钢笔式毛笔和墨囊恰好配套．求该文具店购进钢笔式毛笔和匹配的备用墨囊的数量． 1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如今新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车共需95万元；购进4辆型新能源汽车、1辆型新能源汽车共需110万元． (1)求，两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该4S店计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆型汽车可获利1.5万元，销售1辆型汽车可获利0.7万元，假如这些新能源汽车全部售出，则该4S店共有几种购买方案？最大利润是多少万元？ 2．（24-25七年级下·河南南阳·期末）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 (1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为740元，求有哪几种购进方案？ 3．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）七年级学生在数学实践课上进行了项目化学习研究，已知某项目化小组的研究如下： 【提出研究问题】销售问题 【设计实践任务】选择“素材1”、“素材2”，设计出了相关问题“任务1”、“任务2”，请尝试解决问题． 素材1 学校开展“师生齐健身”活动，七年级（1）班需要购买篮球、足球若干个． 班长小明了解到本市有一体育用品商店对篮球和足球统一进行打折出售（折扣数相同）．打折前买3个篮球和2个足球需480元，买2个篮球和3个足球需470元． 素材2 班长小明买了5个篮球和4个足球，一共花费了688元． [相关问题] 任务1 打折前，篮球和足球的单价各为多少元？ 任务2 篮球和足球打几折出售？ 【经典例题八 和差倍分问题】 【例8】（2023·吉林长春·模拟预测）为了增强学生体质，九年一班决定购进两种体育器材：跳绳和毽子，如果购进3根跳绳和2个毽子共需63元，购进2根跳绳和5个毽子共需75元，求一根跳绳和一个毽子的售价分别是多少元． 1．（23-24七年级下·广西桂林通·期末） 昭通市某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向边远山区学校捐赠男女两种款式的书包，已知女款书包的单价40元/个，男款书包的单价30元/个． (1)原计划募捐4000元，全部用于购买两种款式的书包共120个，那么这两种款式的书包各买多少个？ (2)在捐款活动中，由于师生捐款的积极性高涨，实际共捐款5000元，如果至少购买两种款式的书包共150个，那么女款书包最多能买多少个？ 2．（23-24七年级下·重庆长寿·期末）重庆市某足球特色学校在七年级各班男队开展足球单循环比赛，即每个班男队都与其他各班男队比赛一场，再按各队总积分（即该队所有比赛场得分之和）排列名次．记分办法是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． (1)比赛中，若七一班男队胜场数的两倍比平场数多1场，总积分为14分，求七一班男队胜了多少场？ (2)已知该校七年级共有16个班，比赛中，若七一班男队的平场数是负场数的整数倍，且总积分为15分，请推算七一班男队最少负了多少场？ 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）北京时间2023年12月18日23时59分，甘肃省临夏州积石山县发生级地震．一方有难，八方支援，某市一货车公司积极响应党的号召，帮助运送爱心物资，该公司甲、乙两种车型的货车两次满载的运输情况如表所示： 次数 甲种货车辆数 乙种货车辆数 运送物资总数/吨 第一次 3 2 24 第二次 2 5 38 (1)甲、乙两种货车每次满载分别能运送多少吨物资？ (2)若该公司计划安排甲、乙两种货车共10辆运送爱心物资（均满载），其中甲种货车（辆，当甲种货车安排多少辆时，运送物资的总吨数能取得最大值？最大是多少吨？ 【经典例题九 几何问题】 【例9】（23-24七年级下·陕西汉中·阶段练习）如图，大长方形是由8个一样的小长方形拼成的，已知大长方形的周长是，求大长方形的长和宽． 1．（23-24七年级下·四川眉山·阶段练习）如图，长方形由7个正方形组成，已知正方形A的边长为，正方形B的边长为，求此长方形的面积．（只能用二元一次方程组解答） 2．（23-24七年级下·重庆北碚·阶段练习）如图是用长方形厚纸片（厚度不计）做长方体茶叶包装盒的示意图，阴影部分是裁剪掉的部分．沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．用长，宽的长方形厚纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高等于盒底边长乘2.5，三处“接口”的宽度相等，该茶叶盒的容积是多少？ 3．（23-24七年级下·四川眉山·期中）某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值． (2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）； ②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是多少个？ 【经典例题十 图表信息题】 【例10】（24-25七年级下·山西长治·阶段练习）太原五中计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员小琪在某文体用品店购买完毕回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图所示． 货物或应税劳务、服务名称 篮球 钢笔 笔记本 合计 规格型号 单位 个 支 本 数量 6 46 单价 100.00 15.00 5.00 金额 600.00 900.0 税率 税额 价税合计（大写）   玖佰元整                               （小写）900.00 请根据发票中现有的信息，帮助小琪复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 1．（23-24七年级下·河南新乡·期中）列方程（组）解决问题： 某班级为了布置教室，购买了一些日常用品和装饰品，清单见表格（部分信息不全）： 物品名 单价/元 数量/个 金额/元 小黑板 40 挂钟 25 2 50 门垫 30 1 30 拖把 20 倒计时墙贴 a 2 30 合计 8 210 完成下列问题： (1) ； (2)该班级购买的小黑板和拖把的数量分别是多少？ 2．（2024·河南开封·二模）如图，从左向右依次摆放序号分别为，，，．．．的小正方形卡片，每个小正方形卡片上均画有若干个小圆点．其中任意相邻的个小正方形卡片上的小圆点数量之和相等．    (1)分别求出，的值； (2)当时，所有这些小正方形纸片上的小圆点数量之和是多少？ (3)小明说，第个小正方形卡片上的小圆点的个数是个，请直接判断他的说法是否正确． 3．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）一个圆柱形容器中，现有20个单位高度的水．请根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入6个球，使水面上升到40个单位的高度，放入的大球、小球各多少个？ (2)现放入若干个（1）中的大球或小球，使得容器恰好装满，问有几种可能？请写出过程，并一一列出． 【经典例题十一 古代问题】 【例11】（24-25七年级下·广西桂林·期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器六、小器一容五斛；大器一、小器六容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器6个、小容器1个，总容量为5斛；大容器1个、小容器6个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？” 1．（23-24七年级下·浙江湖州·阶段练习）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人、羊价各是多少？ 设合伙人为人，羊价为钱，根据题意甲、乙两位同学得到如下方程组：甲同学： 乙同学： 请你判断上述两位同学所列方程组是否正确，如正确并解答；若不正确，请你重新列方程组并解答． 2．（23-24七年级下·山西长治·期末）解方程 (1) (2)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．如：，从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数的系数与相应的常数项，即可表示方程，以此方式，表示的方程是______；请将这两个方程联立成方程组，并求出这个方程组的解． 3．（23-24七年级下·河南新乡·期中）阅读下列材料，解决问题． 《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (1)[尝试]若设母鸡有x只，公鸡有y只， ① 小鸡有_______只，买小鸡一共花费_____文钱（用含x，y的式子表示）； ② 根据题意，列出一个含有x，y的方程__________； (2)[探索]小军对“百鸡问题”增加一个条件：“母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数； (3)[拓展]小明对“百鸡问题”增加两个条件：“若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数． 【经典例题十二 其他问题】 【例12】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，我们可以按竖放、平放两种方式在同一个书架上摆放一定数量的同一种书，并且要求书脊朝外，方便我们查阅．根据图中的数据，求这种书的厚度和竖放时的高度． 1．（24-25七年级下·河南新乡·期末）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐，这两种食品每包质量均为，营养成分表如表所示： 若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 2．（24-25七年级下·河南南阳·期末）某中学教室悬挂的一面窗帘布，上端是由14个圆环镶嵌在其中且间距相等，如图是窗帘布展开的平面示意图，已知一面窗帘布的宽度是156厘米，圆环间的间距d比圆环外圆的半径R多1厘米，两端边距的宽度都是10厘米． (1)求d和R． (2)已知圆环内圆的半径r比外圆的半径R少1厘米，制作一面窗帘需将内圆镂空裁去，求裁去的面积． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）“读万卷书，行万里路．”某中学拟组织七年级420名师生去中国文字博物馆开展研学活动．下面是王老师和小明同学有关租车问题的对话： 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车的载客量为60人，B型客车的载客量为45人，A型客车每辆每天的租金比B型客车的贵150元．”小明：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆A型客车和2辆B型客车到该博物馆参观，一天的租金共计5100元．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)客运公司A，B两种型号的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，则有几种租车方案？哪一种租车方案最省钱？ 【经典例题十三 解二元一次方程组的综合应用】 【例13】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2021 1．（24-25七年级下·重庆大足·期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，则结论正确的个数为（    ） ；若，、取整数，则或或或； 若对任意有理数都成立（这里和均有意义），则． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级下·四川眉山·期末）已知关于、的方程组有正整数解，则的值为 ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）已知中每一个数值只能取、0、1中的一个，且满足，求的值． 【经典例题十四 根据实际问题列二元一次方程组】 【例14】（24-25七年级下·四川内江·期末）光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础． 庆阳市某光伏发电项目投入建设，甲、乙两厂承包了部分光伏板的生产任务 (1)若甲、乙两厂共生产4000块光伏板，甲厂每天生产的光伏板数量比乙厂每天生产的光伏板数量多150块，甲厂生产2天、乙厂生产3天共同完成了这批生产任务，则甲厂每天生产的光伏板数量是多少？ (2)若甲厂每天生产的光伏板数量比乙厂每天生产的光伏板数量多，甲、乙两厂各生产6000块光伏板时，乙厂比甲厂多用2天时间，则甲、乙两厂每天各生产多少块光伏板？ 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． x 1 2 3 4 5 y 11 10 9 8 7 56 52 48 44 40 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①，得，最后重新组成方程组这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程组：解得______； (2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块型积木的高为，每块型积木的高为，求与的值（用轮换对称解法求解）． 3．（23-24七年级下·河南南阳·期末）某校组织学生参加数学知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部分参赛者的得分统计表： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 于潇 王晓林 李毅 (1)观察、分析表格提供的数据可知：答对题得______分，答错题扣______分； (2)若设答对题数是，得分为，请用含的代数式表示； (3)参赛者李小萌得了分，求他答对了几道题； (4)参赛者马小虎说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 【经典例题十五 根据几何图形列二元一次方程组】 【例15】（23-24七年级下·河南新乡·阶段练习）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在大长方形ABCD中，放入8个小长方形， (1)每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？ (2)图中阴影部分面积为多少平方厘米？ 2．（23-24七年级下·广西桂林·期中）在的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”．如图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15． （1）图2是显示部分代数式的“等和格”，可得______．（用含的代数式表示）； （2）图3是显示部分代数式的“等和格”，可得______．______． 3．（23-24七年级下·山西晋城·期末）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中三角形ABC是格点三角形，其中S＝2，N＝0，L＝6．    （1）图中格点多边形DEFGHI所对应的S＝　 　，N＝　 　，L＝　 　． （2）经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S＝aN+bL﹣1，其中a，b为常数 ①试求a，b的值．（提示：列方程组） ②求当N＝5，L＝14时，S的值． 【经典例题十六 三元一次方程组的应用】 【例16】（2025七年级下·全国·专题练习）已知是整数，且满足下列条件：①，2，3，，2006；②；③．求的最小值和最大值． 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知，当时，；当时，；当时，．求、、的值． 2．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）阅读理解：已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ (3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 3．（23-24七年级下·重庆铜梁·期末）问题提出： 已知实数x，y满足，求的值． 问题探究： 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 问题解决： 利用上面的知识解答下面问题： (1)已知方程组，则的值为________． (2)请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变． (3)甲、乙、丙三种商品，如果购买甲1件、乙2件、丙2件共需135元，购买甲3件、乙1件、丙1件共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各2件共需多少元？ 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）为响应植树节活动，加强学生爱护环境的意识，学校组织学生参加植树活动，已知男生植树数量比女生植树数量的2倍多2棵，男女生植树数量的平均数是10，则男女生植树数量之差是（    ） A．4棵 B．6棵 C．8棵 D．10棵 2．（24-25七年级下·山西晋城·期末）有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·福建厦门·期中）正正和阳阳一起玩猜数游戏．正正说：“你随便选定三个小于8的正整数，按下列步骤进行计算：第一步把第一个数乘以4，再减去15；第二步把第一步的结果乘以2，再加上第二个数；第三步把第二步的结果乘以8，再加上第三个数．只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所选的三个正整数．”阳阳表示不信，但试了几次以后，正正都猜对了．请你利用所学过的数学知识来探索该“奥秘”，回答：当“最后的得数”是102时，阳阳最初选定的三个正整数按顺序分别是（    ） A．1，4，6 B．6，4，1 C．6，2，5 D．5，2，6 4．（2024七年级下·广西桂林·专题练习）现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片，按如图所示两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·福建厦门·期末）一道来自课本的习题： 从王老师家到学校全程，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路，王老师每天步行上下班．如果上坡路的平均速度为，平路的平均速度为，下坡路的平均速度为，那么王老师从家到学校需分钟，从学校到家需分钟．求从王老师家到学校的上坡路、平路和下坡路的路程． 小吴将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是、，列出了以下四个方程，则正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·四川眉山·开学考试）已知一列数：满足从第二个数起，每个数与前一个数的差都相等，若，且，则 ． d7．（23-24七年级下·重庆荣昌·期末）某公司经营甲、乙两种产品，每件甲产品利润率为，每件乙产品的利润率为，当该公司销售这两种产品的总利润是时，则售出的甲、乙两种产品的数量比为；要使该公司销售这两种产品获得总利润为，则该公司销售的甲、乙两种产品的数量比为 （利润率利润成本）． 8．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）近来受新冠疫情影响，大家一起“宅”行动．小区物业为封控在家的业主精心配制了3种蔬菜包、，其中每包蔬菜包的成本是蔬菜包的2倍，每包蔬菜包、蔬菜包、蔬菜包的售价分别比其成本高月份第一周销售蔬菜包、蔬菜包、蔬菜包的数量之比为，三种蔬菜包的总利润是总成本的，则每包蔬菜包与每包蔬菜包的成本之比为 ． 9．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图所示，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形．如果搭建正三角形和正六边形共用了2024根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数少4个，那么能连续搭建正三角形的个数是 ． 10．（24-25七年级下·河南开封·期中）学校举办新年趣味联欢活动，学生要从贴鼻子、打地鼠、套圈、猜谜语、跳房子这个项目中，依照个人兴趣，选择个项目参加活动（每人都只选择个项目），已知某小组名学生选择上述项目的统计结果如下表： 项目 贴鼻子 打地鼠 套圈 猜谜语 跳房子 选择人数 在贴鼻子、打地鼠、套圈三个项目中，如果三个项目都选的有人，只选择贴鼻子、打地鼠的有人，只选择打地鼠、套圈的有人，只选择贴鼻子、套圈的有人，那么的最小值为 ． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）小王沿街匀速行走，发现每隔从背后驶过一辆公交车，每隔迎面驶来一辆公交车．假设每辆公交车行驶速度相同，且公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是多少分钟？ 12．（24-25七年级下·山西晋城·期末）随着山西旅游热持续升温，全省陆续推出了极具特色的各类文创产品．小丽和小壮计划购买一些山西文创产品进行收藏，下面是两位同学的对话： 根据两人的对话，求每件佛小伴挂件和每件晋祠水镜台冰箱贴的售价分别为多少元？ 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）某山区有23名中小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生需要学习费用a元，资助一名小学生需要学习费用b元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好能帮助的贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表： 七年级 八年级 九年级 捐款数额（元） 4000 4200 7400 捐助贫困中学生（名） 2 3 捐助贫困小学生（名） 4 3 (1)求a、b的值； (2)九年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中（不需要写出计算过程）． 14．（24-25七年级下·山西长治·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②①得：  ③ 得：， 所以，的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求的值； 【实际应用】 （2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 15．（24-25七年级下·广西桂林左·期末）工作人员从仓库领取如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． (1)下表是工作人员两次领取纸板数的记录： 次数 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 560 940 第二次 420 1002 ①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误，请判断第几次的记录有误，并说明理由； ②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式和横式纸盒各多少个？ (2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1:3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值； (3)拓展延伸：现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（   ） A．2013    B．2014    C．2015    D．2016 学科网（北京）股份有限公司 $$