专题01 二元一次方程组及其解法重难点题型专训（10大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（华东师大版2024）(1)

专题01 二元一次方程组及其解法重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 二元一次方程的定义 题型二 三元一次方程组的定义 题型三 判断是否是二元一次方程组 题型四 二元一次方程的解 题型五 三元一次方程组的解 题型六 构造二元一次方程组 题型七 已知二元一次方程组的解求参数 题型八 代入消元法 题型九 加减消元法 题型十 二元一次方程组的特殊解法 根据十一 三元一次方程组求字母的值 题型十二 二元一次方程组的错解复原问题 知识点01 二元一次方程（组）的概念 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 知识点02 二元一次方程（组）的解 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 知识点03 二元一次方程组的解法 1.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 2.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 知识点04 三元一次方程（组）的概念与解法 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【经典例题一 二元一次方程的定义】 【例1】（2024七年级下·全国·专题练习）若是关于的二元一次方程，则（　　） A．1 B． C．2 D． 1．（23-24七年级下·福建厦门·期末）已知方程，下列变形正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·重庆·期末）已知方程是关于x、y的二元一次方程．则 ． 3．（23-24七年级下·山西长治·阶段练习）已知关于的方程组是二元一次方程组． (1)求的值． (2)下列哪些是该二元一次方程组的解． ；；． 【经典例题二 三元一次方程组的定义】 【例2】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）实数x，y，z满足，则x、z之间具有哪个等量关系（　　） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）下列四组数值中，是方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·期末）已知三元一次方程组，则该方程组的解为 ． 3．（24-25七年级下·陕西汉中·阶段练习）【数学问题】解方程组 【思路分析】小明观察后发现可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的． (1)【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组 【经典例题三 判断是否是二元一次方程组】 【例3】（23-24七年级下·山西晋城·阶段练习）下列方程中，是二元一次方程组的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①②③ B．②③ C．③④ D．①② 1．（23-24七年级·全国·课后作业）给出下列方程组： ①    ②    ③ ④    ⑤    ⑥ 其中是二元一次方程组的是（    ） A．①② B．②③⑥ C．③④⑤⑥ D．②③④⑤⑥ 2．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知关于、的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则 ， ；这些方程的公共解是 ． 3．（23-24七年级·全国·假期作业）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【经典例题四 二元一次方程的解】 【例4】（24-25七年级下·全国·随堂练习）关于、的二元一次方程的非负整数解有（    ） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于，的二元一次方程组的解为则被遮住的两个数和分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把长的彩绳截成或的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有 种不同的截法． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）对实数，定义一种新运算，规定（其中，均为常数），例如：，． (1)求，的值； (2)求关于，的方程的正整数解． 【经典例题五 三元一次方程组的解】 【例5】（23-24七年级下·福建漳州·期末）已知多项式中，，，为常数，的取值与多项式对应的值如下表： 1 2 7 则值为（    ） A．15 B．19 C．21 D．23 1．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则的值为 ． 3．（24-25七年级下·陕西汉中·阶段练习）解方程组： (1)； (2)． 【经典例题六 构造二元一次方程组】 【例6】（23-24七年级下·全国·单元测试）若是二元一次方程，那么a，b的值分别是（   ） A．1，0 B．0， C．2，1 D．1， 1．（2024·河南新乡·三模）设是从，0，3这三个数中取值的一列数，若，，则（    ） A．154 B．155 C．156 D．157 2．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）已知中每个数只能取，0，2中的一个，且满足，则 ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）当，，，，0，1，3，23，124，1000时，等式可以得到10个关于和的二元一次方程，问：这10个方程有无公共解？若有，求出公共解；若没有，求出其中两个方程的公共解． 【经典例题七 已知二元一次方程组的解求参数】 【例7】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于，的方程组的解满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．（2024七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组给出下列结论：a．当时，方程组的解也是的解；b．无论m取何值，x，y的值不可能互为相反数；c．x，y均为正整数的解只有1对；d．若，则．正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）丽丽在解方程组时，不小心碰翻了墨汁瓶，墨水盖住了两个方程的常数项．丽丽求助老师，老师给了她两条信息：“第一：方程的常数项比方程的常数项大；第二：方程组的解，是相等的．”请你帮她复原该方程组为 ． 3．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【经典例题八 代入消元法】 【例8】（24-25七年级下·全国·随堂练习）用代入消元法解方程组时，较简单的方法是（    ） A．由①得，再代入② B．由①得，再代入② C．由②得，再代入① D．由②得，再代入① 1．（24-25七年级下·广西桂林·期末）对于二元一次方程，下列用表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知，则代数式的值为 ． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）解方程组两位同学的解法如下： 解法一： ①＋②，解得． 解法二： 由②，得．③ 把③代入①中，得． (1)检查两位同学的解题过程是否正确？若有错误，请在错误的步骤后打上“×”； (2)请选择一种你喜欢的方法完成解答． 【经典例题九 加减消元法】 【例9】（24-25七年级下·山西晋城·期末）二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）已知关于、的方程组和有相同的解，那么值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25七年级下·四川眉山·期末）对于实数a，b，定义运算“#”： 例如，因为，所以． 若x， y满足方程组，则 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单： ，得，即． ，得． ，得，解得． 把代入，得． 所以这个方程组的解是 (1)请你运用小明的方法解方程组 (2)猜想关于，的二元一次方程组的解是________． 【经典例题十 二元一次方程组的特殊解法】 【例10】（24-25七年级下·四川资阳·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·河南开封·阶段练习）若关于、的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C．． D． 2．（24-25七年级下·陕西汉中·阶段练习）已知方程组的解是则方程组的解是 ． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由①②，得，即，③ ③14，得，④ ②④，得，从而可得， 方程组的解是 (1)请你仿上面的解法解方程组 (2)猜测关于的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证． 【经典例题十一 三元一次方程组求字母的值】 【例11】（24-25七年级下·全国·单元测试）在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方．如图方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则的值是（    ） y 3 2 x A．1 B．17 C． D． 1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·期末）对于，，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算已知，，则的值为 ． 3．（23-24七年级下·全国·期末）已知，且，求的值． 【经典例题十二 二元一次方程组的错解复原问题】 【例12】（23-24七年级下·四川·单元测试）解方程组时，一学生因把看错得到方程组的解是，而正确的解是，则的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 1．（23-24七年级下·四川乐山·阶段练习）在解关于，的方程组时，小亮解出的结果为老师看了小亮的解题过程后，对小亮说：“你方程组中的抄错了，该方程组的正确结果比大5．”则，的值分别为（    ） A．4， B．4，2 C．，2 D．， 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则 ． 3．（24-25七年级下·山西长治·阶段练习）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， (1)求出，的值； (2)此方程组正确的解应该是多少？ 1．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）已知是二元一次方程的一个解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D．4 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组的解是，则p的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·福建厦门·期末）已知关于的二元一次方程组，下列结论正确的是（　　） ①当时，方程组的解也是的解； ②均为正整数的解只有1对； ③无论取何值，、的值不可能互为相反数； ④若方程组的解满足，则． A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 4．（24-25七年级下·重庆大足·期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，则结论正确的个数为（    ） ；若，、取整数，则或或或； 若对任意有理数都成立（这里和均有意义），则． A．个 B．个 C．个 D．个 5．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）某一商场经销的A、B两种商品，A商品每件进价40元，利润率为；B商品每件售价80元．在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品开展如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B两种商品（两种商品每种商品不少于1件），实际共付款522元．则以下说法正确的个数是（   ） ①可能购买A商品3件，B商品5件； ②购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件； ③如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元． A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知方程组，则 ． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）若是二元一次方程，则 ， ． 8．（23-24七年级下·广西桂林·期中）已知是从1或2中取值的一列数（1和2都至少有一个），若，则这列数的个数n为 ． 9．（23-24七年级下·河南新乡·期末）已知，，为三个非负实数，且满足，若，则的最大值为 ． 10．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）若关于、的二元一次方程组的解为，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 11．（23-24七年级下·广西桂林·期末）（1）解方程组， （2）解方程组 12．（2025七年级下·全国·专题练习）已知是关于的二元一次方程组的解，求的值． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程组的解满足其中．若均为正整数，求所有符合条件的整数． 14．（2024七年级下·全国·专题练习）新趋势·新定义  对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足．我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读以下内容： 已知实数x，y满足，且求k的值． 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于x，y的方程组再求k的值． 乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求k的值． 丙同学：先解方程组再求k的值． 你最欣赏甲、乙、丙中的哪种思路？先根据你所选的思路解答此题，再对你选择的思路进行简要评价． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二元一次方程组及其解法重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 二元一次方程的定义 题型二 三元一次方程组的定义 题型三 判断是否是二元一次方程组 题型四 二元一次方程的解 题型五 三元一次方程组的解 题型六 构造二元一次方程组 题型七 已知二元一次方程组的解求参数 题型八 代入消元法 题型九 加减消元法 题型十 二元一次方程组的特殊解法 根据十一 三元一次方程组求字母的值 题型十二 二元一次方程组的错解复原问题 知识点01 二元一次方程（组）的概念 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 知识点02 二元一次方程（组）的解 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 知识点03 二元一次方程组的解法 1.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 2.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 知识点04 三元一次方程（组）的概念与解法 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【经典例题一 二元一次方程的定义】 【例1】（2024七年级下·全国·专题练习）若是关于的二元一次方程，则（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程，根据二元一次方程的定义，得到且，进行求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得． 故选C． 1．（23-24七年级下·福建厦门·期末）已知方程，下列变形正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了解二元一次方程，熟练掌握解二元一次方程组时，用一个未知数的代数式表示另一个未知数是解决问题的关键． 对于方程，用含的代数式表示，得，由此可对选项A，B进行判断；用含的代数式表示，得，由此可对选项C、D进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：对于方程，用含的代数式表示，得， 故选项A，B不正确，不符合题意； 对于方程，用含的代数式表示，得， 故选项C不正确，不符合题意；选项D正确，符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级下·重庆·期末）已知方程是关于x、y的二元一次方程．则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫二元一次方程． 根据二元一次方程的定义，求出m和n的值，代入进行计算即可． 【详解】解：∵方程是关于x、y的二元一次方程， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：2． 3．（23-24七年级下·山西长治·阶段练习）已知关于的方程组是二元一次方程组． (1)求的值． (2)下列哪些是该二元一次方程组的解． ；；． 【答案】(1) (2)是该方程组的解 【分析】（1）根据二元一次方程的定义即可得到，计算即可得到答案； （2）由（1）得，方程组为，再分别将三组的值代入方程组，进行验算即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：由（1）得，方程组为：， 当时，， 它不是该方程组的解； 当时，， 它是该方程组的解； 当时，， 它不是该方程组的解； 是该方程组的解． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义、二元一次方程组的解，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，二元一次方程组的解满足二元一次方程，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 【经典例题二 三元一次方程组的定义】 【例2】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）实数x，y，z满足，则x、z之间具有哪个等量关系（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解三元一次方程组，通过加减消元法即可求解． 【详解】解：， 得，． 故选A． 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）下列四组数值中，是方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三元一次方程组的解，解题的关键是利用加减消元法进行求解． 方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】 得： 得： 把代入中 ， 把，代入得： ， 方程组的解为， 故选：D． 2．（23-24七年级下·全国·期末）已知三元一次方程组，则该方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的求解，解题的过程中利用消元的思想把三元一次方程组转化为二元一次方程组，再利用消元的思想把二元一次方程组转化为一元一次方程再求解是解题关键．利用和得到二元一次方程组，求出的值，再求出的值，最后求出的值即可． 【详解】解：， 由得：， 由得：， 由得：， 将代入得：， 解得：， 将和代入得：， 解得：， 不等式组的解为， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·陕西汉中·阶段练习）【数学问题】解方程组 【思路分析】小明观察后发现可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的． (1)【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解三元一次方程组、解二元一次方程组； （1）把①代入②，求出x的值，再把x的值带入①，求出y的值； （2）先把①代入③，求出c的值，再把c的值代入②，求出a的值，最后把a的值代入①，求出b的值，即可． 【详解】（1）解： 把①代入②，得， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解： 把①代入③得：，解得：， 把代入②得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为． 【经典例题三 判断是否是二元一次方程组】 【例3】（23-24七年级下·山西晋城·阶段练习）下列方程中，是二元一次方程组的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①②③ B．②③ C．③④ D．①② 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的定义：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组，据此即可判定． 【详解】解：①是三元一次方程组，故不符合题意； ②各方程不是整式方程，故不是二元一次方程组，故不符合题意； ③是二元一次方程组，故符合题意； ④是二元一次方程组，故符合题意； 故是二元一次方程组是③④， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，理解和掌握二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 1．（23-24七年级·全国·课后作业）给出下列方程组： ①    ②    ③ ④    ⑤    ⑥ 其中是二元一次方程组的是（    ） A．①② B．②③⑥ C．③④⑤⑥ D．②③④⑤⑥ 【答案】B 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】① 是三元一次方程组； ②是二元一次方程组； ③是二元一次方程组； ④是二元二次方程组； ⑤是分式方程组； ⑥是二元一次方程组 所以①④⑤不是二元一次方程组. 故选B. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知关于、的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则 ， ；这些方程的公共解是 ． 【答案】 0 1 【分析】将已知方程按a整理得（x+y-2）a=x-2y-3，要使这些方程有一个公共解，说明这个解与a的取值无关，即这个关于a的方程有无穷多个解，所以只须x+y-2=0且x-2y-3=0．联立以上两方程即可求出结果． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， ∵当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解， ∴（a-1）x+（a+2）y+3-2a=0， 整理得：（x+y-2）a=x-2y-3， 则， 解得：， 故答案为：0，1，． 【点睛】本题考查了关于x的方程ax=b有无穷解的条件：a=b=0，此知识点超出初中教材范围，属于竞赛题型．同时考查了二元一次方程组的解法．本题关键在于将已知方程按a整理以后，能够分析得出这个方程的解与a的取值无关，即这个关于a的方程有无穷多个解，从而转化为求解关于x、y的二元一次方程组． 3．（23-24七年级·全国·假期作业）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【答案】见解析 【分析】根据二元一次方程组的定义可以判断． 【详解】解：（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组； （2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组； （3）该方程组中一个方程的含有未知数的项的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组； （4）该方程组中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组； （5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案． 【经典例题四 二元一次方程的解】 【例4】（24-25七年级下·全国·随堂练习）关于、的二元一次方程的非负整数解有（    ） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，熟知概念、掌握求解的方法是关键．根据二元一次方程的解的定义，结合、均为非负整数解答即可． 【详解】解： ，其中、为非负整数， 那么时，， 时，， 时，， 时，， 共4组， 故选：B． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于，的二元一次方程组的解为则被遮住的两个数和分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握方程组的解满足方程组，是解答本题的关键． 将代入，解出的值，即为，再将，同时代入，即可求得的值． 【详解】解：已知，将代入，得， 解得，即为， 将，同时代入，得，即， 故选：C． 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把长的彩绳截成或的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有 种不同的截法． 【答案】四 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，结合题意列出关于的二元一次方程是解题关键．设截得的的彩绳有根，的彩绳有根，根据题意列出关于的二元一次方程，结合均为非负整数确定该方程的解，即可获得答案． 【详解】解：设截得的的彩绳有根，的彩绳有根， 根据题意，可得 ， 因为均为非负整数， 所以或或或， 即有四种不同的截法． 故答案为：四． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）对实数，定义一种新运算，规定（其中，均为常数），例如：，． (1)求，的值； (2)求关于，的方程的正整数解． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了新运算、二元一次方程组的解法、二元一次方程的正整数解，解决本题的关键是把规定的新运算转化为一般的方程组，通过解方程组求出字母的值． 把和分别代入，可得关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值即可； 由可知，可得：、，根据，可得关于、的方程组，整理可得，再根据、为正整数，分情况讨论确定于、的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ， 可得方程组:， 得：， 解得， 把代入得：， 解得：， 方程组的解为：， 的值为，的值为； （2）解：把，代入， 可得：， ， ， 原方程可化为， 整理得：， ， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，； 当时，为负数，不符合题意，舍去； 方程的正整数解为． 【经典例题五 三元一次方程组的解】 【例5】（23-24七年级下·福建漳州·期末）已知多项式中，，，为常数，的取值与多项式对应的值如下表： 1 2 7 则值为（    ） A．15 B．19 C．21 D．23 【答案】D 【分析】本题考查的是三元一次方程组的特殊解法，先根据表格信息建立方程组，再利用整体未知数的方法解方程即可；先求解，，再利用整体代入法可得答案． 【详解】解：当时，①， 当时，②， 当时，③， 当时，④， ③①得：，即， ④②得：， ∴， ∴， ∴； 故选D 1．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据加减消元法求解即可． 【详解】解：， 由得：， 解得：． 由得：， 解得：． 由得：， 解得：． 故原方程组的解为． 故选D． 【点睛】本题考查解三元一次方程组，掌握解三元一次方程组的方法和步骤是解题关键． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则的值为 ． 【答案】2023 【分析】本题考查解二元一次方程组的拓展，把代入原方程组，化简后，利用加减消元法求解． 【详解】解：把代入原方程组，得： ， 化简，得， ，得． 故答案为：2023． 3．（24-25七年级下·陕西汉中·阶段练习）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程和解三元一次方程，熟练掌握加减消元法是解题关键． （1）首先将原式整理为，由，可解得，将代入②，解得，即可获得答案； （2）由，可得 ④，由，可得 ⑤，再由，可解得，将代入④，可解得，将，代入②，可解得，即可获得答案． 【详解】（1）解：， 整理可得， 由，可得， 解得， 将代入②，可得， 解得， 所以，该方程组的解为； （2）解：， 由，可得 ④， 由，可得 ⑤， 由，可得 ，解得 ， 将代入④，可得，解得， 将，代入②，可得， 解得， 所以，该方程组的解为． 【经典例题六 构造二元一次方程组】 【例6】（23-24七年级下·全国·单元测试）若是二元一次方程，那么a，b的值分别是（   ） A．1，0 B．0， C．2，1 D．1， 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，以及解二元一次方程组，即只含有两个未知数，并且所含未知项的次数都为1次的整式方程就叫做二元一次方程；根据二元一次方程的定义，即未知数的项的最高次数是1，得到关于a、b的方程组，从而解出a、b． 【详解】解：是二元一次方程， ， 解得； 故选：C． 1．（2024·河南新乡·三模）设是从，0，3这三个数中取值的一列数，若，，则（    ） A．154 B．155 C．156 D．157 【答案】D 【分析】本题考查的是数字的变化规律和二元一次方程组的应用，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 根据题意，设这一列数中有个，个3，可列，即可求出与的值，再将其代入中计算即可． 【详解】解：设这一列数中有个，个3， 可列， 解得：， ， 故选：D． 2．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）已知中每个数只能取，0，2中的一个，且满足，则 ． 【答案】500 【分析】本题考查了解二元一次方程组．列出关于p、q的二元一次方程组是解答此题的关键． 设有p个x取，q个x取2，根据，可得出关于p，q的二元一次方程组，求出p，q的值，再把p，q及x的值代入求解． 【详解】解：设有个，q个2， ∵， ∴， 解得， ∴原式． 故答案为：500． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）当，，，，0，1，3，23，124，1000时，等式可以得到10个关于和的二元一次方程，问：这10个方程有无公共解？若有，求出公共解；若没有，求出其中两个方程的公共解． 【答案】有公共解， 【分析】本题主要考查二元一次方程的性质和求解方法，解题关键在于理解方程结构，采用合理的方法寻找公共解，并进行验证； 选取两个特定的值得到两个方程组成方程组求解，然后将解代入原方程进行验证，并且通过验证确保得到的解是所有方程的公共解． 【详解】解：设当，时，有，这两个方程的公共解， 解得：， 把代入等式，得 左边， ∴无论m取何值恒为0， ∴是原方程的解， ∴这 10 个方程有公共解，公共解为． 【经典例题七 已知二元一次方程组的解求参数】 【例7】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于，的方程组的解满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及整体代换的思想在解题中的应用，掌握以上知识点是解答本题的关键． 将两个方程相加，得到，再将代入，即可求出的值． 【详解】解：， 由得：， 将代入得：， 解得：， 故选：C． 1．（2024七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组给出下列结论：a．当时，方程组的解也是的解；b．无论m取何值，x，y的值不可能互为相反数；c．x，y均为正整数的解只有1对；d．若，则．正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、二元一次方程组的解等知识，将已知分别代入进而解方程得出答案，即可判断． 【详解】a．当时，关于的方程组为， 解得， 所以， 当时，， 所以当时，方程组的解也是的解，正确； b．解方程组，得， 所以， 所以无论取何值，的值不可能互为相反数，正确； c．由得， 所以原方程组的正整数解是，共2对，错误； d．， 得，， 因为， 所以， 解得，正确； 所以正确的有． 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）丽丽在解方程组时，不小心碰翻了墨汁瓶，墨水盖住了两个方程的常数项．丽丽求助老师，老师给了她两条信息：“第一：方程的常数项比方程的常数项大；第二：方程组的解，是相等的．”请你帮她复原该方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程中的含参问题，根据题意正确把两个方程的常数项设出来是解答本题的关键． 根据题意设出方程组，再结合可得，解出的值，即可复原该方程组． 【详解】解：由题意可设方程组为， ， ， ， 即， 解得：， 故原方程组为． 3．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)，； (2) (3)或3或或5 【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解，二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握求方程组的解是本题的关键． （1）用含的代数式表示，即可确定出方程的正整数解； （2）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （3）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：方程， ， 当时，； 当时，， 方程的所有正整数解为：． （2）解：， ， 当时，， 即固定的解为：． （3）解：， 得：， ， ， 恰为整数，也为整数， 是3的约数， 或，或3，或． 故或3或，或5. 【经典例题八 代入消元法】 【例8】（24-25七年级下·全国·随堂练习）用代入消元法解方程组时，较简单的方法是（    ） A．由①得，再代入② B．由①得，再代入② C．由②得，再代入① D．由②得，再代入① 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，代入消元法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．观察方程组第一个方程的特点可知，再代入②式，可得到没有分母的方程，最为简便，从而得到答案． 【详解】解：由①得，，再代入②， 得到，这种变形方法最为简便， 故选：B． 1．（24-25七年级下·广西桂林·期末）对于二元一次方程，下列用表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据等式的性质变形，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组，代数式求值，非负数的性质：绝对值；偶次方；解决本题的关键是当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目． 先根据非负数的性质列出方程组，求出x、y、z的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意得，解得， 故． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）解方程组两位同学的解法如下： 解法一： ①＋②，解得． 解法二： 由②，得．③ 把③代入①中，得． (1)检查两位同学的解题过程是否正确？若有错误，请在错误的步骤后打上“×”； (2)请选择一种你喜欢的方法完成解答． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查利用加减或者代入法解二元一次方程组， （1）根据移项法则可知解法二中存在错误； （2）利用加减法或者代入法求解方程组即可． 【详解】（1）解：如图． 解法一： ①＋②，得． 解法二： 由②，得．③× 把③代入①中，得到．× （2）解：选择解法一：①＋②，得，解得． 把代入①，得，解得， 该方程组的解为 选择解法二：由②，得 ③． 把③代入①，得，解得． 把代入①，得， 该方程组的解为 【经典例题九 加减消元法】 【例9】（24-25七年级下·山西晋城·期末）二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用①＋②得，，求出，代入①得，，即可得到答案． 【详解】解： ①＋②得，， 解得， 把代入①得， ， 解得， ∴ 故选：A 1．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）已知关于、的方程组和有相同的解，那么值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组求解，、的方程组和有相同的解，列出方程组求出、的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， 因为两方程有相同的解， 所以将代入， 得， 解得， 所以． 故选：B． 2．（24-25七年级下·四川眉山·期末）对于实数a，b，定义运算“#”： 例如，因为，所以． 若x， y满足方程组，则 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、新定义运算等知识点，理解新定义运算是解题的关键． 先解方程组求得x、y的值，然后根据新定义运算法则计算即可． 【详解】解：解不等式组，得：， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单： ，得，即． ，得． ，得，解得． 把代入，得． 所以这个方程组的解是 (1)请你运用小明的方法解方程组 (2)猜想关于，的二元一次方程组的解是________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用加减消元法解二元一次方程组、阅读理解能力．解决本题的关键是读懂材料中提供的解题方法，利用材料中的方法解二元一次方程组． 仿照阅读材料中的解二元一次方程组的方法，把方程组中得到，然后把方程两边同时乘以得到方程，把方程和组成一个新的二元一次方程组，继续用加减消元法解二元一次方程组即可； 仿照阅读材料中的解二元一次方程组的方法求解即可． 【详解】（1）解： ，得， 整理得：， 得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 方程组的解是； （2）解：， 得：， 整理得：， 得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 方程组的解是， 故答案为：． 【经典例题十 二元一次方程组的特殊解法】 【例10】（24-25七年级下·四川资阳·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，仿照已知方程组的解确定出所求方程组x，y的关系，再联立解出x，y的值即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解为：， 解得， 故选：C． 1．（23-24七年级下·河南开封·阶段练习）若关于、的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C．． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，解题关键是根据整体思想及方程组的解法进行求解． 根据方程组的特点可得方程组的解是，再利用加减消元法即可求出a，b． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是， ∴方程组的解是， 解， 得， 故选：C． 2．（24-25七年级下·陕西汉中·阶段练习）已知方程组的解是则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，利用换元思想是解决本题的关键．将方程组中的两个方程两边同除以4，整理得，运用换元思想，得，进而可求得方程组的解． 【详解】解：∵， ∴ ∵的解是， ∴ 解得， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由①②，得，即，③ ③14，得，④ ②④，得，从而可得， 方程组的解是 (1)请你仿上面的解法解方程组 (2)猜测关于的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证． 【答案】(1) (2)，验证见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解． （1）②①，得③，，得，求出x，再把代入③求出y即可； （2）①②，得，求出③，，得，求出x，再把代入③求出y即可． 【详解】（1）解：， ②①，得③， ，得，解得， 把代入③，得，解得， 所以原方程组的解是； （2）解：猜测方程组的解是； ， ①②，得， ， ③， ，得，解得， 把代入③，得，解得， 所以原方程组的解是． 【经典例题十一 三元一次方程组求字母的值】 【例11】（24-25七年级下·全国·单元测试）在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方．如图方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则的值是（    ） y 3 2 x A．1 B．17 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三阶幻方，涉及方程，移项等知识，弄清题意，找准数量关系是解题的关键．根据题意可得关于x、y的等式，继而进行求解即可得答案． 【详解】解：设2与x中间的数为z，由题意得： ， ∴． 故选：C． 1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组、二元一次方程组的定义等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键． 根据矩阵定义列方程组求解即可． 【详解】解：由题意得：， ①×2+②得：， ∵为定值， ∴． 故选：D． 2．（23-24七年级下·全国·期末）对于，，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，新定义，根据新定义得到，再利用得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴ 得：， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·全国·期末）已知，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的值，解方程组等知识，把看成已知数，求出、，然后代入化简即可，解题的关键是把看成已知数解方程组，属于中考常考题型． 【详解】解：把z看作常数，解关于x、y的方程组 ，得 所以原式 ． 【经典例题十二 二元一次方程组的错解复原问题】 【例12】（23-24七年级下·四川·单元测试）解方程组时，一学生因把看错得到方程组的解是，而正确的解是，则的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识，根据题意，由错解得到，再由正解确定，进而得到二元一次方程组，求解即可得到，代入代数式即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识是解决问题的关键． 【详解】解：设一学生将看错成，则方程组的解是， ，则， 方程组的解是， ，则， 综上所示，联立，解得， ， 故选：C． 1．（23-24七年级下·四川乐山·阶段练习）在解关于，的方程组时，小亮解出的结果为老师看了小亮的解题过程后，对小亮说：“你方程组中的抄错了，该方程组的正确结果比大5．”则，的值分别为（    ） A．4， B．4，2 C．，2 D．， 【答案】A 【分析】先由小亮的解求出a的值，并得到关于x，y的一个二元一次方程，再根据老师的话得到关于x，y的另一个二元一次方程，由上面两个方程联立可以得到原二元一次方程组的正确解，把此解代入含有b的二元一次方程可以得到b的值，问题即得解． 【详解】解：由题意可得：-2a+10=2， ∴a=4， ∴4x+5y=2①， 又由老师的话可得x=y+5②， ②代入①可得：4y+20+5y=2， 解得：y=-2，代入②得x=3， 把x=3，y=-2代入bx-7y=8可得：3b+14=8， 解得：b=-2， ∴，的值分别为4、-2， 故选A ． 【点睛】本题考查二元一次方程（组）的应用，熟练掌握二元一次方程的有关概念及二元一次方程组的解法是解题关键． 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．根据题意把代入二元一次方程组可得的值，根据小强看错系数得到解为，由此可得新的方程组，运用加减消元法可求出的值，代入计算即可求解． 【详解】解：把代入二元一次方程组得， ， ∴由得，， ∵小强看错了系数得到， ∴， ∴， ①②得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴， 故答案为：11． 3．（24-25七年级下·山西长治·阶段练习）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， (1)求出，的值； (2)此方程组正确的解应该是多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组解的含义及其解法，理解二元一次方程组解的含义是解题的关键． （1）把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值即可； （2）把m与n的值代入方程组求出解即可． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程①中的，得到方程组的解为， ∴把代入②得 ， 解得：， 把代入①得： ， 解得：； （2）把，代入方程组得： 得： ， 即， 把x=2代入①得： ， 则方程组的解为． 1．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）已知是二元一次方程的一个解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解是解题的关键． 根据方程的解的定义把代入二元一次方程中，再解关于a的方程，即可求出a的值． 【详解】解：代入二元一次方程，得 ， 解得：， 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组的解是，则p的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组两个方程左右两边都相等的未知数的值，据此把代入中，求出y的值，再把x、y的值代入中求出p的值即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25七年级下·福建厦门·期末）已知关于的二元一次方程组，下列结论正确的是（　　） ①当时，方程组的解也是的解； ②均为正整数的解只有1对； ③无论取何值，、的值不可能互为相反数； ④若方程组的解满足，则． A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、二元一次方程组的解等知识，将已知分别代入进而解方程得出答案，即可判断． 【详解】解：①当时，方程组整理得， 由①+②可得， 当时，方程得， ∴当时，方程组的解也是的解，故①正确； ②解方程组，①+②得 当，均为正整数时，则有或， ∴共有2对，故②错误； ③解方程组，①+②得 ∴无论取何值，，的值不可能是互为相反数，故③正确； ④解方程组，①+②得， 当方程组的解满足时， 解得，代入原方程组可得 解得，，故④正确； 综上，正确的结论是①③④， 故选：A． 4．（24-25七年级下·重庆大足·期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，则结论正确的个数为（    ） ；若，、取整数，则或或或； 若对任意有理数都成立（这里和均有意义），则． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，解决本题的关键是根据新定义运算得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，然后再根据新定义运算的规则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 解方程组， 得到：， 故正确； 由可知， ， ， 又、取整数， 有或或或， 故正确； 对任意有理数都成立， ， ， ， ， 故正确． 正确的有三个． 故选：D ． 5．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）某一商场经销的A、B两种商品，A商品每件进价40元，利润率为；B商品每件售价80元．在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品开展如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B两种商品（两种商品每种商品不少于1件），实际共付款522元．则以下说法正确的个数是（   ） ①可能购买A商品3件，B商品5件； ②购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件； ③如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，先求出A商品每件售价，再设购买A商品x件，购买B商品y件，然后分打折前购买的总金额不超过600元和打折前购买的总金额超过600元两种情况，根据打折后的金额推出打折前的金额，进而建立方程求出x、y的值，再逐一判断即可得到答案． 【详解】解：∵A商品每件进价40元，利润率为， ∴A商品每件售价为元， 设购买A商品x件，购买B商品y件， 当打折前购买的总金额不超过600元时，则， ∴， ∴， ∵x、y都为正整数， ∴当时，， 当时，； ∴当购买A商品3件，B商品5件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； 当购买A商品7件，B商品2件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； 当打折前购买的总金额超过600元时，则， ∴， ∴， ∵x、y都为正整数， ∴当时，， 当时，； ∴当购买A商品3件，B商品6件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； 当购买A商品7件，B商品3件时，打折前的购物总金额为元，此时在打折前买相同的物品，要比打折后多付元； ∴如果在打折前买相同的物品，要比打折后多付58元或138元， ∵， ∴购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件； ∴①②③的说法都正确， 故选：D． 6．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知方程组，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握整体思想计算是解题的关键． 将三个方程相加计算即可． 【详解】解：， 由①+②+③可得，解得， 故答案为：8． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）若是二元一次方程，则 ， ． 【答案】 2 1 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解二元一次方程组，只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此得到，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴， 解得， 故答案为：2；1． 8．（23-24七年级下·广西桂林·期中）已知是从1或2中取值的一列数（1和2都至少有一个），若，则这列数的个数n为 ． 【答案】9或14 【分析】本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是对给出的式子进行正确的变形，得到不定方程然后求整数解即可． 由是从1或2中取值的一列数和2都至少有一个，设有个个2，则有个个9，列不定方程解答即可确定正确的答案． 【详解】解：设有个个2，则对应中有个个9， ， ， ， ∵均为正整数， ∴这列数的个数为9或14， 故答案为：9或14． 9．（23-24七年级下·河南新乡·期末）已知，，为三个非负实数，且满足，若，则的最大值为 ． 【答案】130 【分析】本题考查三元一次方程组，通过解方程组得到与的关系是解题的关键．将方程组两个方程相加，得到，整体替换可得，再由的取值范围即可求解． 【详解】解：， 解得：， ①②，得， ，，为三个非负实数， ，， ， ， 当时，的最大值为130， 故答案为：130． 10．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）若关于、的二元一次方程组的解为，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，结合题意，利用整体代入法求解即可． 【详解】令，， ∵关于、的二元一次方程组的解为， 则， ∴关于、的二元一次方程组的解为， ∴关于、的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 11．（23-24七年级下·广西桂林·期末）（1）解方程组， （2）解方程组 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解方程组： （1）加减消元法解方程组即可； （2）加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 由得，， 把代入①得，， ∴是原方程组的解； （2）解： 由得，，∴④ 由得，，∴⑤ 由得，，∴， 把代入④得，， 把带入①得，， ∴原方程组的解为． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）已知是关于的二元一次方程组的解，求的值． 【答案】， 【分析】此题主要考查了解二元一次方程，关键是将已知的解代入方程组构建新的二元一次方程然后解出． 把代入二元一次方程组中，解出m，n 的值，即可求出结论． 【详解】解：将代入方程组，得， ，得，即． 将代入②，得． ∴． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程组的解满足其中．若均为正整数，求所有符合条件的整数． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程组的解法，先求出方程组的解为代入得出，求出m，n代入整理得，然后根据均为正整数讨论可得答案． 【详解】解：解方程组得 因为方程组的解满足 所以， 整理，得． 因为， 所以， 整理，得． 因为均为正整数，所以当时，， 此时； 当时，，此时； 当时，，此时． 综上所述，的值为． 14．（2024七年级下·全国·专题练习）新趋势·新定义  对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足．我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)具有“邻好关系”，见解析 (2)或6 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据方程，即可得到，即可得出结论； （2）先解二元一次方程组，根据新定义，得到关于的绝对值方程，进行求解即可． 【详解】（1）具有“邻好关系”．理由如下：方程组 由②得． 所以方程组的解具有“邻好关系”； （2）解方程组得 因为方程组的解具有“邻好关系”， 所以， 所以，即． 所以或， 所以或6． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读以下内容： 已知实数x，y满足，且求k的值． 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于x，y的方程组再求k的值． 乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求k的值． 丙同学：先解方程组再求k的值． 你最欣赏甲、乙、丙中的哪种思路？先根据你所选的思路解答此题，再对你选择的思路进行简要评价． 【答案】乙同学，见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组的应用，能选择适当的方法解方程组是解此题的关键．选择乙同学的解题思路，①②得出，求出，即可求出答案，再评价即可． 【详解】解：我最欣赏乙同学的解题思路． 方程组 由，得， ∴． ∵， ∴， 解得． 评价：甲同学是直接根据方程组的解的概念先解方程组，得到用含k的式子表示x的关系式，再代入得到关于k的方程，没有经过更多的观察和思考，解法比较繁琐，计算量大；乙同学观察到了方程组中未知数x的系数，以及与中的系数的特殊关系，利用整体代入简化计算，而且不用求出x的值就能解决问题，思路比较灵活，计算量小；丙同学将三个方程作为一个整体，看成关于x，y，k的三元一次方程组，并且选择先解其中只含有两个未知数x，y的二元一次方程组，相对计算量较小，但不如乙同学的简洁、灵活． 学科网（北京）股份有限公司 $$